2026年高考数学一轮练习：两条直线的位置关系（附答案）

§8.2两条直线的位置关系

分值：96分

IV知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.已知直线/i：x+（〃-l）y-3=0与直线口x+2y+3=O相互垂直,则〃的值为（）

A.：B.lC.3D.二

2.“*-3”是“直线2x+（〃?+l）），+4=0与直线加计3广2=0平行”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.与直线21+3），+1=0平行且过点（0,1）的直线方程是（）

A.2x+3y-3=0B.3x+2y-2=0

C.2x-3y+3=0D.3x-2y+2=0

4.已知从点（5,2）发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好过点（1,2）,则入射光线所在的直线方程

为（）

Aa-y3=0Bjc+y-7=0

Cty3=0D.x+y-3=0

5.若曲线y=Av）=2sinx+2025在点g,f（g））处的切线与直线y=（ix+2025垂直，则实数a等于（）

A.lB.-lC.2D.-2

6.已知直线/：x+my-2m-\=0,则点P（2,-1）到直线/距离的最大值为（）

A.V5B.V10C.5D.10

7.（2025•大同模拟）已知实数a,b,c,d满足3a-4〃+3=0,3c-447=0,则（a-cA+S"）?的最小值为（）

A.lB.2

C.3D.4

8.过定点A的动直线x+k产0和过定点B的动直线质-y-2攵+1=0交于点M,则|MA|+|MB|的最大值是（）

A.2V2B.3

C.V10D.V15

二、多项选择题（每小题6分，共18分）

9.已知直线/：V3x-y+l=0,则下列结论正确的是（)

A.直线/过第一、三、四象限

比过点（遮，1）与直线，平行的直线的方程是火工-），-2=。

C.直线百心），+2=0到直线I的距离为:

D.若直线〃?：x-/Wy+l=O,则/_!_〃？

10.对于直线/|：ax+2y+3a=0,1?:3x+（a-1）y+3-4=（），则（）

A./1Z//2的充要条件是斫3或a=-2

B.当旧时，/山2

C.直线/2经过第二象限内的某定点

D.点P（L3）到直线1的距离的最大值为3位

11.（2025•眉山模拟）已知直线/：2D），+3=0,点/?（（）,2）,P（l,1）,孙〃?WR,下列说法正确的是

（）

A.点P到直线/的距离为警

B.若点产与点Q位于直线/的两侧，则

C.点P与点。之间距离的最小值为企

D.|QK|+|QP|的最小值为2

三、填空题（每小题5分，共15分）

12.经过点P（l,（））和两直线hx+2y-2=0,/2：3x-2y+2=0交点的直线方程为.

13.若八：2x+ay-2=0与h：x-y+a=0平行，则两直线之间的距离为.

14.请运用数形结合的思想，得出函数尸匠2一代+537/一加+25的最大值为.

能力拓展

15-17题每小题6分，18题5分，共23分

15.（多选）若直线，〃被两平行直线/i：x-V3y+V3=0与，2：X-V3>H-3>/3=0所截得的线段长为遥，则直线m的

倾斜角可以是（）

A.3O0B.750

C.1350D.1650

16.（多选）直线/:依+勿+。=0,P（Xi,9），。（必）'2），〃7=axi：?i：c,下列选项中正确的有（）

A.若加>1,则/与直线PQ相交

B.若加=1,则/与直线PQ平行

C.若〃2=—1,则/与直线P。垂直

D.存在实数〃2,使得点。在直线/上

17.(多选)(2025・广东九师联盟模拟)在平面直角坐标系Ox.y中，点M(xi，)，1)，Ng闷间的折线距离d(M,

M4U-X2l+lyi》l，已知A(mb),8(1,1),Es=a2+b2+2a+4h,则()

A.若d(A,B)=l,则s有最小值8

B.若d(A,B)=l,则点4的轨迹是一个正方形

C.若d(A,CW1,则s有最大值15

D.若小A,8)W1,则点4的轨迹所构成区域的面积为兀

18.(2024・曲靖模拟)设M,N是同一平面上的两个区域，点尸七M,点。七MP,。两点间距离的最小值叫

做区域M,N间的距离，记作d(M,可).若"={。，y)|e'-y+2024=0),N={(x,_y)|ln(x-2024)-y=0),

则d(〃，N)=.

答案精析

l.A2.A3.A

4.A［运用点关于直线对称，求出［1,2)关于x轴的对称点为(1,-2),又(1,-2)与(5,2)在同一条直线上，

J(1.2)(5,2)

O\：V12^I5X

运用两点式得到入射光线所在的直线方程为会二合，整理得以)，-3:0.则入射光线所在的直线方程为x-y-

3=0.］

5.B［函数./U)=2sinA：+2025,求导得/(x)=2cosx,因此曲线在点g,7•停))处的切线斜率为勺僧)=1,而

切线与直线y=ax+2025垂直，所以

6.B［直线/：x+，〃y-2〃?-l=0,

即％-1+〃竹-2)=0,

由心:然二

所以直线/过定点41,2),

当直线/垂直于直线AP时，距离最大，此时最大值为IAPI=J(2—1)2+(—1-2)2=«U.］

7.D[由题意得，点A(a,2)在直线3x-4y+3=0上，点B(c,d)在直线3x-4y-7=0上,两直线平行，所以(a-

T2

C>+S")2的最小值为两平行线间距离的平方，即J"7|=4]

8.C[由题意知x+k.v=O过定点A(0,0),

动直线kx-y-2k+\=0,即k(x-2)-y+l=0过定点8(2,1),

对于直线]+6=0和动直线心?y-2k+1=0满足IXk+kX(-1)=0,

故两直线垂直，

因此点M在以A8为直径的圆上(除去点(2,0)),|AB|=V22+12=V5,

贝”MAF+|M8|2=5,

所以(|MA|+|MB|)2=|MA|2+|MB|2+2|MA||M8|W2(|AM|2+|M8F)=1(),

当且仅当|MA|二|M8|二年时，等号成立，

故|M4|+|M8|的最大值为CU.|

9.BC[直线/过第一、二、三象限，故A错误；

设过点(再，1)且与直线/平行的直线的方程为岳-)，+/=0QWl),由于点(百，1)满足该直线，代入得U-2,

所以所求的直线方程为国心)，-2=0，故B正确；

由于直线/：百.”+1=0与直线百x-)，+2=0平行，故两直线间的距离4,恒一"W，故C正确；

J(V3)2+(-l)2

直线1的斜率为k,=V3,直线〃7的斜率为院兽,因为幽,H-1,所以直线/和直线〃2不垂直，故D错误.]

10.ABC[S,则a(a-1)-6=0,解得a=3或a=-2,经检验,符合题意，所以a=3或a=-2,所以/)//h

的充要条件是。=3或。=-2，故A正确；

当T时,3a+2(a-1)=衿=0,所以!i_1_，2,故B正确;

355

由I?：3x+(a-1)y+3-«=0,

2

得()，-l)a+3x-)，+3=0,令段^言0]=0解得"二一3'所以直线A经过定点(一|，1)，位于第二象限，故C

正确；

由/i:ov+2.y+3a=0,得(x+3)a+2尸0,令仁；1J解得t二7'所以直线八过定点M(-3,0),当PMU时，

点P(1,3)到直线/1的距离最大，最大值为|PM=J(一3—1尸+(0—3尸=5,故D错误.]

1I.ABD[点P到直线I的距离仁/玄；彳2=¥,人选项正确；

将点尸(1,1)代入直线方程得2-1+3=4>0,又点P与点Q位于直线/的两侧，则将点，/〃)代入直线方

程得2-2m-m+3<0,即,B选项正确；

IPQI二"1一(1一⑴产+(1-m)2=V27n2-2m+1=〔2(小一堂+：>y,C选项错误；

:1-〃!+〃?=1,・••点。在直线h:x+y-1=0上,斜率k=-\,过点P作直线于点。，如图所示，

则I,:x-y=0,

联立方程组D=0,

解得尸)二，即。c，|),

・••点P关于直线人的对称点为原点0(0,0),OR与八的交点为Q,此时|QR|+|QP|最小，

则(IQR|+IQP|)m『|OR|=2,D选项正确」

12.x4-.y-1=0

解析设所求直线方程为x+2y-2+/(3x-2”2)=0，点P(1,0)在直线上，

Al-2+A(3+2)=0,解得,

・•.所求直线方程为x+2y-2+|X(3x-2y+2)=0,即x+y-1=0.

13返

2

解析•・•直线人与/2平行，

工二，解得4=2,

1a

/.直线/|：x-y-l=0,

直线b：x-y-2=0,

••・直线人与/2之间的距离

J-l-(-2)|_V2

a~vm~T

14.2V5

解析因为y=y/x2-

所以它表示点P(x,0)到点A(2,7)和8(4,3)的距离之差，如图所示，

因为|PAHP8|W|A8|二J(2-4》+(7-3>=2遍,

当且仅当P,B,A三点共线时，等号成立，所以产〃2一4x+53Hx2-8x+25的最大值为2遮.

15.BD［设直线〃?与两平行直线所夹的锐角或直角为a,

两平行直线/1:x-V5.y+V5=0与h：X-V3\H-3X/3=0的距离为d=*s3~3^L=>/3,

Jl2+(-V3)2

因为直线〃，被两平行直线人与所截得的线段长为石，所以sina=W=#,

V62

所以a=45°,

因为直线人的斜率为k4,倾斜角为30。，所以直线m的倾斜角可以是75。或165°,如图所示」

16.AB［若m>\,则ax\+by\+c>axi+/?V2+c>0,或cix\+by2~\-c<ax2+byi+c<0,即点P,。在直线/的同

侧，且直线/与直线P。不平行，故A正确；

若m=\,则ax\+by\-\-c=axz+by2+c,即a(x2—x।)+b(y2—y1)=0,若/?=0,则占=工2，过P,。两点的

直线与直线/的斜率都不存在,故两直线平行，若〃W0,则皿=一三，所以kPQ=k,,即直线PQ与直线/

平行，故B正确；

lax让byjcl

因为网"=不

c

\ax2+by2+\1吟+52+日，

「+b2

即|〃力为尸，。两点到直线/的距离的比值，若m=一1,贝加川=1,即P,Q两点到直线/的距离相等，且点

P,。在直线/两侧，但/与直线尸。不一定垂直，故C不正确；

若点。在直线/上，则ax2+bx2+c=O,结合题设及分母不为0,所以不存在实数m,使点。在直线/上，

故D不正确」

I7.BC[对于B，若d(A,8)=1,由题意可知d(A,B)=\a-\\+\b-i\=},令四小1,产b-1,

则国瑚二1,作出其图象如图.

易知，点A(a，力的轨迹可由正方形卜|+|)，|=1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，故B

正确；

对于A,s=a2+b2+2a+4b

二(x+1尸+()叶1>+2(x+1)+4(y+1)=x2+r+4.v+6>H-8

=(x+2)2+(y+3)2-5,

结合图象可得，(x+2)+(y+3)2的最小值即为点(-2,-3)到直线x+.y+l=O(即点(0,-1))的距离

与|』=2或，此时s取得最小值3,故A错误；

V2

对于C,+2)2+(y+3)2的最大值即为点(-2,-3)到点(1,0),(0,1)的距离中的最大值，

max{3V2,275)=275,故$的最大值为15,故C正确；

对于D,若d(A,B)W1,贝”x|+|)，|Wl表示正方形及其内部区域,易知其面积为：X2X2=2,故D错误.]

18.2025V2

解析方法