冀教版七年级下册数学习题及解析8.微专题：教材P92“读一读”-杨辉三角

冀教版七年级下册数学习题及解析8.微专题：教材P92“读一读”——杨辉三角基本规律总结：1.对称性：每行数字左右对称，即第n行第k个数（从0开始计数）与第n行第(n-k)个数相等。2.首尾元素：每行的第一个数和最后一个数都是1。3.中间元素：从第2行开始，除首尾两个1外，其余每个数都等于它“肩上”两个数之和。例如，第4行的6（第2个数，从0开始数）等于第3行的3和3相加（6=3+3）；第5行的10（第2个数）等于第4行的4和6相加（10=4+6）。习题1：直接应用规律写数问题：根据杨辉三角的规律，写出第6行和第7行的所有数字。解析：我们已知第5行是：15101051。*第6行：*首数和尾数都是1。*第1个数（从0开始，第二个位置）：5+10=15*第2个数：10+10=20*第3个数：10+5=15*第4个数：5+1=6*所以第6行是：1615201561。*第7行：*首数和尾数都是1。*第1个数：6+15=21*第2个数：15+20=35*第3个数：20+15=35*第4个数：15+6=21*第5个数：6+1=7*所以第7行是：172135352171。答案：第6行：1615201561；第7行：172135352171。习题2：根据位置找数字问题：杨辉三角中，第8行（行从0开始计数）的第3个数（数从0开始计数）是多少？解析：要找到第8行第3个数，我们可以逐步推导，或者利用杨辉三角的构造规律。已知第7行是：172135352171。第8行的每个数（除首尾1外）是第7行对应位置及其前一个位置的数之和。第8行第0个数：1第8行第1个数：7+1=8第8行第2个数：21+7=28第8行第3个数：35+21=56答案：56。二、杨辉三角与整式乘法的联系我们学习的`(a+b)^n`的展开式（n为非负整数）的系数，恰好对应着杨辉三角的第n行。例如：*`(a+b)^0=1`对应第0行：1*`(a+b)^1=a+b`对应第1行：11*`(a+b)^2=a^2+2ab+b^2`对应第2行：121*`(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3`对应第3行：1331*以此类推。这个联系非常重要，它为我们快速写出二项式展开式的系数提供了捷径。习题3：利用杨辉三角展开二项式问题：利用杨辉三角，写出`(x+y)^5`的展开式。解析：`(x+y)^5`的指数是5，所以我们应查看杨辉三角的第5行（行从0开始）。第5行的数字是：15101051。根据二项式展开的规律，各项的字母部分为`x^5y^0`,`x^4y^1`,`x^3y^2`,`x^2y^3`,`x^1y^4`,`x^0y^5`。将系数与字母部分结合，得到：`(x+y)^5=1*x^5y^0+5*x^4y^1+10*x^3y^2+10*x^2y^3+5*x^1y^4+1*x^0y^5`化简后为：`x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5`答案：`(x+y)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5`。习题4：确定展开式中特定项的系数问题：`(a-2b)^4`的展开式中，`a^2b^2`项的系数是多少？解析：首先，我们不考虑符号和系数-2b，先看`(a+b)^4`的展开式。第4行杨辉三角数是：14641。`(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4`。现在，将`b`替换为`(-2b)`，则`(a-2b)^4=(a+(-2b))^4`。我们关注的是`a^2b^2`项，在`(a+b)^4`中对应项是`6a^2b^2`。替换后，该项变为`6*a^2*(-2b)^2`。计算`(-2b)^2=4b^2`，所以该项为`6*a^2*4b^2=24a^2b^2`。因此，`a^2b^2`项的系数是24。答案：24。三、杨辉三角中数字的其他规律探索杨辉三角中除了上述基本规律和与二项式系数的联系外，还有许多有趣的规律值得我们探索。习题5：计算各行数字之和问题：计算杨辉三角前6行（从第0行到第5行）每行所有数字的和，观察这些和有什么规律？根据规律，第n行的数字之和是多少？解析：*第0行：1→和为1*第1行：1+1=2→和为2*第2行：1+2+1=4→和为4*第3行：1+3+3+1=8→和为8*第4行：1+4+6+4+1=16→和为16*第5行：1+5+10+10+5+1=32→和为32观察这些和：1,2,4,8,16,32...可以发现它们分别是`2^0,2^1,2^2,2^3,2^4,2^5`。因此，规律是：第n行的数字之和为`2^n`。答案：前6行和依次为1,2,4,8,16,32；规律是第n行数字之和为`2^n`。习题6：斜向规律观察问题：观察杨辉三角中从左上角到右下角的斜行（例如：第0行第0个数1；第1行第0个数1；第2行第0个数1，第1行第1个数1；第3行第0个数1，第2行第1个数2，第1行第2个数1；等等），你能发现这些斜行上的数字与我们学过的哪些数有关吗？解析：我们来列出这些斜行：*第1条斜行（从(0,0)开始，每次向右下移动）：1,1,1,1,1,1...(每行第0个数)*第2条斜行（从(1,0)开始）：1,2,3,4,5...(从第1行第0个数开始，每行递增1)*第3条斜行（从(2,0)开始）：1,3,6,10,15...(这些数是三角形数，即1,1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,...)*第4条斜行（从(3,0)开始）：1,4,10,20...(这些数是四面体数)这些斜行上的数分别对应着我们学过的常数数列、自然数列、三角形数数列等。答案：这些斜行上的数字依次与常数数列、自然数列、三角形数数列等有关（答案合理即可）。结语杨辉三角是一座丰富的