第二章 直线和圆的方程（思维导图+知识清单）-2024-2025学年高二数学（人教A版选择性必修第一册）

第二章直线和圆的方程（思维导图+知识清单）

【人教A版（2019）］

倾斜角的定义：当直浅;与X岫相交时，我们Uh•脑力基准，X轴正向与直缀.向上的方向之间所成的

角aD」做直武衽倾斜角

厂倾斜角与斜率一直线的斜率：尼一条且融睁角。的正切遒叫做这条直线的科塞，氯室常用“写字.派示，即

i=tan«

直线的倾斜

角与斜率两军直统平行的判定：分科率存在蝌率不存在两类

两条直线平行{两条直级垂直的判定：两直线的斜率存在时，叙率之积为-1

和垂直的判定

直线方程的几点制式方程、科戴式方程、两点式方程、截距式方程、一般式方程

种形式

求直线方程的⑴直接法；（2澎定至效法

一般方法

直线的方程

相交、平行、至合、垂亘

直

线

和

两点间的距通公式

圆

直线的交点点到直线的距意公式：点P到亘线;的距离，就是从点P到直线制垂线段PQ的长度，其中。是垂足

的

坐标与距离距离公式--

方公式两条平行亘就间的距曹公式：两条平行亘发旬的距将是指夹在两条平行亘级间的公垂税段的长

程点、线间的对（1）点关于点的对称；Q）司统关于点的对称：（3）点关于宜战的对称；（4）画送关于宜畿的对称

凝系

图的定义：平面内到定点的距液等于定长的点的集合（轨迹）是圆（定点为圆心，定区为半径）

圆的方程（固的标准方程、图的一股方程、二元二次方程与圆的方程

圆的方程

点与图的位首点与国有三种3s关系：点在圆上，点在圆内，点在国外

关系

m线与圜的＜2黄关系：相交、相切、相茗

宜线与区的过黄关系为判定方法：（1H弋数法；（2）几何法

直线与圆的位

赞关系图的切线及切浅方程：切线的条数、切浅长、切线方程

直线与圆、国的弦长：（1）几何法；（2）代效法、圆的中点52

圆与圆的位

圆与图有五种位置关系：外商、外切、相交、内切、内含

置关系

圆与圆的位苣两园的公切浅：两国为公切浅是指与两国相切的直浅，可分为外公切浅和内公切浅

关系

两底的公共弦：（1）两圆公共弦所在的直线的方程；（2）两圜公共弦长

〉知识清单

2.1直线的倾斜角与斜率

【知识点1直线的倾斜角与斜率】

1.直线的倾斜角

(1)倾斜角的定义

①当直线I与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴一向与直线/向上的方向之间所成的角a叫做直线/

的倾斜角.

②当直线I与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)直线的倾斜角a的取值范围为0Ya<180。.

2.直线的斜率

(1)直线的斜率

把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母人表示，即k=lana.

(2)斜率与倾斜角的对应关系

(3)过两点的直线的斜率公式

过两点PGi，y)，P2a2,笛工⑼的直线的斜率公式为k=WA

•X2XI

【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.

(2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解.

【知识点2两条直线平行的判定】

1.两条直线(不重合)平行的判定

类型斜率存在斜率不存在

前提条件ai=«2^90o«1=«2=90°

对应关系120kl=h八〃，2=两直线的斜率都不存在

图示71II

2r1n1

【知识点3两条直线垂直的判定】

1.两条直线垂直的判定

图示上h一

~0二n

对应/1_L/2(两直线的斜率都存的斜率不存在h的斜率为

关系在)=4]女2=-1()=/]_!_/2

【注】判断两条直线是否垂直时：

在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于一1即可，但应注意有一条直线与

x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.

2.2直线的方程(一)：直线方程的几种形式

【知识点1直线的点斜式、斜截式方程】

1.直线的点斜式方程

⑴直线的点斜式方程的定义：

设直线/经过一点尸(X。,为)，斜率为2,则方程=工一X。)叫作直线/的点斜式方程.

(2)点斜式方程的使用方潸：

①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.

②当已知宜线的倾斜角时，若直线的倾斜角a=90。，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示,

但因为/上每一个点的横坐标都等于汨，所以直线方程为尸X,；若直线的倾斜角分90。，则直线的斜率

k=tana»直线的方程为y—y0=(tana)•(x—x0).

2.直线的斜截式方程

(1)直线的斜截式方程的定势

设直线/的斜率为上在)，轴上的截距为4则直线方程为尸近+6,这个方程叫作直线/的斜截式方程.

(2)斜截式方程的使用方潸：

已知直线的斜率以及直线在)，轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.

【知识点2直线的两点式、截距式方程】

1.直线的两点式方程

⑴直线的两点式方程的定势

设直线/经过两点2(公.%)■人,以抄则方程'二"=士』叫作直爱/的两点式

yi~y\x2~为

方程.

⑵舸点式方程的使用方潴

①已知直线上的两个点na,“），尸2（x2,%），且汨力a,凹抄2时，可以直接使用该公式求直线方程.

②当M=》2,必抄2时，直线方程为X=M（或x=、2）.

③当XmX2,歹1=>2时，直线方程为（或》=%）.

2.直线的截距式方程

⑴真线的截距式方程的定势

设直线/在X轴上的截距为〃，在y轴上的截距为近且〃#）,/#0,则方程?+方=1叫作直线/的截

距式方程.

y

8（0®7

\、力（%0）

~O~X

（2）直线的截距式方程的适用范围：

选用截距式方程的条件是存0,屏0,即直线/在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示

过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行（或重合）的直线.

（3懒距式方程的使用方法：

①已知直线在x轴上的截距、），轴卜•的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.

②已知直线在x轴上的截距、），轴上的截距，一且都为0时，可设直线方程为产玄，利用直线经过的点的

坐标求解左，得到直线方程.

【知识点3直线的一般式方程】

1.直线的一般式方程

（1）直线的一般式方程的定必：

在平面直角坐标系中，任何一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,），的二元一

次方程加+为+。=（）（其中A.B不同时为0）叫作直线的一般式方程.

对于方程At+By+C=0（4B不全为0）：

ACAC

当B邦时，方程Ax+8y+C=0可以写成产-系它表示斜率为-在y轴上的截距为-与■的直

线.特别地，当A=0时，它表示垂直于），轴的直线.

当B=0时，A¥0,方程Ax+B）+C=0可以写成.『-与，它表示垂直于4轴的直线.

（2）卜般式方程的使用方潴

直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.

2.辨析直线方程的五种形式

方程形式直线方程局限性选择条件

不能表示与•!•轴垂①已知斜率；②己知

点斜式y—yc=k(x—xo)

直的直线一点

不能表示与X轴垂①已知在y轴上的截

斜截式y=kx+b

直的直线距：②已知斜率

不能表示与X轴、①已知两个定点；②己

两点式一址_―一为

y),轴垂直的直线知两个截距

V-2一"1±2一±1

不能表示与X轴垂①已知两个截距；②已

F=1

截距式ab直、与y轴垂直、知直线与两条坐标轴

过原点的直线围成的三角形的面积

求直线方程的最后结

Ax+By+C=()

一般式表示所有的直线果均可以化为一般式

0,8不全为0)

方程

【知识点4方向向量与直线的参数方程】

1.方向向量与直线的参数方程

除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧

密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.

如图1,设直线/经过点?(刖,歹0),丫=(/〃,〃)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线/上的任意一点，则向

量已户与y共线.根据向量共线的充要条件,存在唯一的实数眼使几〃=八，，即(x-xo,y-乂))=&〃,〃)，所以

x=x0+mt

v=y0+nt"

在①中，实数，是对应点P的参变数，简称参数.

由上可知，对于直线/上的任意一点尸(XJ),存在唯一实数，使①成立；反之，对于参数/的每一个确

定的值，由①可以确定直线/上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.

2.3直线的方程(二)

【知识点1求直线方程的一般方法】

1.求直线方程的一般方法

（1）直接法

直线方程形式的选择方法：

①已知一点常选择点斜式；

②已知斜率选择斜截式或点斜式；

③已知在两坐标轴上的截距用截距式；

④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.

（2）恃定系数法

先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.

利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.

若已知直线过定点则可以利用直线的点斜式^一则=八。一见）求方程，也可以利用斜截式、

截距式等求解（利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况）.

【知识点2两条直线的位置关系】

1.两条直线的位置关系

斜截式一般式

/1：46+用"+。】=0（4+醉于。）

h:y=k\x+b\

方程

li:y=kvc+b>

l2-A2x+B2y+C2=0（^2+8］，0）

AlB2-A2Bi=^0（当4品羊。时，记为4」Bi）

相交k#kzW于瓦

44+8汨2=0（当场昆黄0时，记为生&__1）

垂直h%2=-l瓦・瓦=―

fAlB2-A2Bl=0或［AlB2-A2B1=0

\8G—82G装014G-42G*0

平行k\=kz且bi邦2

（当力282c2W0时，记为且Q）

无一瓦十口

4=加肌=仍,。=心（杼0）

重合k\=kiRhi=bi（当月2&。2于0时，记为生=旦=巨）

A2B?C?

2.平行的直线的设法

平行：与直线Ar+B），+〃=O平好的直线方程可设为Ar+8.y+〃?=0.

3.垂直的直线的设法

垂直|：与宜线Ax+By+n=O垂宣的直线方程可设为Bx-Ay+m=O.

【知识点3直线方程的实际应用】

1.直线方程的实际应用

利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从

而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.

2.4直线的交点坐标与距离公式

【知识点1两条直线的交点坐标】

1.两条直线的交点坐标

(1)两条直线的交点坐标

二k若方程组有唯一解,则两条直线相

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组

交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多

解，则两条直线重合.

(2)朝条直线的位置关系与方程组的解的关系

设两直线。：4x+Ey+G=0(42+5)V0)，直线，2-.A2X+B2y+C2=0(^+小，0).

方程组'4x+My+G=0的解

一组无数组无解

A2X+B2y+C2=0

直线/1和/2的公共点个数一个无数个零个

直线人和/2的位置关系相交重合平行

【知识点2距离公式】

1.两点间的距离公式

平面内两点B(M,珀，巴(不,月)间的距离公式为|RP2\=，(X2—xM+Sz—yM.

特别地，原点。到任意一点P(M)，)的距离为|。。|=，X2+/.

2.点到直线的距离公式

⑴定义：

点。到直线/的距离，就是从点夕到直线/的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的

距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

⑵公式：

已知一个定点P(x。,%),一条直线为/:Ax+8.v+C=0,则定点P到直线/的距离为仁小。十一］。.

1\/AB~

3.两条平行直线间的距离公式

(1)定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

(2)公式

设有两条平行直线，i：4v+By+G=。，，2：力工++C2=0,则它们之间的距离为^=-^====-

4.中点坐标公式

公式：

|丫_丁+不

一2一

设平面上两点R(xi,y),P,(x2,y2)»线段RP2的中点为，”(40,泗)，则＜,.

v=y十处

2.5点、线间的对称关系

知识点1点关于点的对称】

1.点关于点的对称

求点Q关于点43/）的对称点户的问题，主要依据力是线段P户的中点来求解.

设尸（几,则），对称中心为力（％力），则?关于4的对称点为产（2[一凡,28一为）.

【知识点2直线关于点的对称】

1.直线关于点的对称

求直线/关于点4（。力）对称的直线厂的步骤：

（1）由平行直线系设出直线/'的方程；

（2）在/上任取一点。（x,y）,求。关于力的对称点尸（2a—乜26—y）;

（3）将尸的坐标代入直线厂的方程，求出参数，得到厂的方程.

【知识点3点关于直线的对称】

1.两点关于某直线对称

设点力（汽,此）关于直线/的对称点为8（》/）.

x+x。=/

2.

）y=yo

丫X。

｛.十小二.

⑶直线/的斜率存在R不为。时，设点力（刈,北）关于直线/：/》+坊+C=0的对称点为可占），）.

匕&•e=-1

则x+X。由此可求出8（xj）.

A-+8・W，"+C=0

2

(4)几种特殊位置的对称:

点对称轴对称点坐标

X轴3,4)

y轴(-4力)

y=x

P(a,b)

y=-xGb,-a)

x=m(nii-O)(2m-atb)

尸?(〃#))(a,2n-b)

【知识点4直线关于直线的对称】

直线关于直线对称有两种类型:

⑴若已知直线。与对称轴/相交于点尸，则交点尸必在。关于/对称的直线上，再求出/J二除点〃外

任意一个已知点B关于/对称的点P2,那么经过交点户及点2的直线就是匕

(2)若已知直线。与对称轴/平行，则关于/对称的直线，2到直线/的距离和L到直线/的距离相等，由

平行直线系和对称点即可求;I"关于/对称的直线L

2.6圆的方程

【知识点1圆的方程】

1.圆的定义

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹;是圆(定点为圆心，定长为半径).

圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.

2.圆的标准方程

⑴圆的标准方同：方程G—a)2+(yi)2=r2(/>0)叫作以点“)为圆心，「为半径的圆的标准方程.

(2)圆的标准方程的优尚：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.

(3)圆的标准方程的适用条修：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此

在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.

3.圆的一般方程

(1)方程X?+/+6+6,+尸=()(。2+七2—4/7>())叫做圆的一般方程.

(2)圆的般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，•个圆的•般方程中含有三个字母(待定)，因

此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的〜般方程.

下列情况比较适用圆的一般方稗：

①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数。，E,F；

②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心(-9,-日)代入圆心所在的直线

方程，求待定系数。，E,F.

【知识点2二元二次方程与圆的方程】

1.二元二次方程与圆的方程

(I)二元二次方程与圆的方程的关系：

二元二次方程4N+K9++Qx+切+〃=0,对比圆的一般方程X?+/+6+@+尸=0

(A)2+E2-4F>0),我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的

方程.

(2)二元二次方程表示圆的条件：

(A=C^0

D0

二元二次方程4/+，十C'y2十。x十七)十尸=。表示圆的条件是《~=.

［闱+闱-哈)>。

【知识点3点与圆的位置关系】

1.点与圆的位置关系

(D如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.

(2)圆A的标准方程为(x—a)2+(y—切2=,.2,圆心为力(《㈤，半径为厂(〃>0)：圆A的一般方程为

/+必+瓜+/+/=0(力+炉-4尸>0).平面内一点〃(打,%).

判断方法

位置关系-----------------------------n------------------------------

几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)

点在圆上\MA\=r(xo-a)2+()炉％)2=/

城+痴+£>%+Ey(i+F=0

2

点在圆内(xo-a)2</器+诏+Dx0+Ey0+F<0

2

点在圆外\MA\>r(xo-t/)+。匕〃)若+或+DXQ+£如+F>0

【知识点4轨迹方程】

1.轨迹方程

求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法''将其转化为关于

变量X,)，之间的方程.

(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化''时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定

义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).

(2)求轨迹方程时，一要区分“轨迹“与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.

2.求轨迹方程的步骤：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；

(2)列出关于的方程：

(3)把方程化为最简形式；

(4)除去方程中的暇点(即不符合题意的点)；

(5)作答.

【知识点5与圆有关的对称问题】

1.与圆有关的对称问题

(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.

(2)圆关于点对称

①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.

②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.

(3)圆关于直线对称

①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.

②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.

2.7直线与圆的位置关系

【知识点1直线与圆的位置关系及判定】

1.直线与圆的位置关系及判定方法

(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：

位置相交相切相离

交点个

两个一个零个

数

♦.r

图形\11

d。dj

d与r的

d<rd=rd>r

关系

方程组

有两组不

解的情仅有一组解无解

同的解

况

(2)直线与圆的位置关系的判定方法

6代数涉：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的

实数解，即则直线与圆相交；若有两组相同的实数解.，即则直线与圆相切：若无实数解，即

A<0,则直线与圆相离.

②几何法由圆心到直线的距离，/与半径，•的大小来判断，当时，直线与圆相交；当心「时，直线

与圆相切；当"方•时，直线与圆相离.

【知识点2圆的切线及切线方程】

1.自一点引圆的切线的条数：

(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

2.求过圆上的一点支。,%)的圆的切线方程：

(1)求法；先求切点与圆心连线的斜率&(A¥0),则由垂直关系可知切线斜率为-《，由点斜式方程可求

得切线方程.如果k=o或k不存在，则由图形可直接得切线方程.

(2漳要结论:

①经过圆/十必=/2上一点PG。,泗)的切线方程为即"+*.

2

②经过圆(x—幻2+3—6)2=/上一点PG。/。)的切线方程为(X。-a)(X—a)+(y0-b)(y-b)=r.

③经过圆/+V+。=+小叶尸=()上一点P(x°，K)的切线方程为+凹+D•日岁+E•财&+F

=0.

【知识点3圆的弦长】

1.圆的弦长问题

设直线/的方程为严质+4圆C的方程为(X—死)2+(歹一%)2=尸2,求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径八圆心到直线的距离4弦长/三者具有关系式：〃2=小+(!)2

ADB

⑵代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A(M，M)出(小,先).

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组+2消元后得一元二次方程，由一元

2

I(x-xQy+(y-yQy=r

2

二次方程中根与系数的关系可得为+X2,.¥(•必或必+»2,凹•%的关系式，通常把|Z8|=y/\+k\Xi-X2I或

\AB\=JI+工TIy一yA叫作弦长公式.

【知识点4与圆有关的最值问题的解题策略】

1.解与圆有关的最值问题

(1)利用圆的几何性质求最值凶问题

求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.

①如图2-5-I-4①，当直线/与圆C相交时，最小距离为0,最大距离为AD=r+〃.其中/■为圆的半径，d

为圆心到直线的距离；

②如图2-5-1.4②，当直线/与圆C相切时,最小距离为2最大距离为AD=2r；

③如图2-5-1-4③，当直线/与圆。相离时，最小距离为80=d-r,最大距离为

fi2-5-1-4

(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题

解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标一函数关系式，然后根据函数关系式的特征选

用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几

何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如“匕心的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

X-a

②形如t^ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.

【知识点5直线与圆的方程的应用】

1.直线与圆的方程的应用

⑴解决实际问题的步咻

①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出儿何模型，明确题中已知和待求的数据；

②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出儿何模型的方程；

③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解；

④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释.

(2)4系原则

建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：

①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可

以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐

标轴.

②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形

的三个顶点全部放在坐标轴上.

2.8圆与圆的位置关系

【知识点1圆与圆的位置关系及判定】

1.圆与圆的位置关系及判断方法

(1)圆与圆的位置关系

圆与圆有五种位置关系|：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切

统称为相切.

於H卦B■货

(2)圆与圆的位置关系的判定方法

1利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：

设两圆(x-0)2+(y-bl)2=.与(x—。2)2+(y—仇)2=r1的圆心距为d,则

心，(〃2—0)2+(32—4)2，两圆的位置关系表示如下：

位置关系关系式图示公切线条数

外离d>r\+n四条

外切d=r\+n(O©三条

相交\r\-r2\<d<n+r两条