浙教版初升高一数学暑假预习练习题：可化为一元二次方程的分式方程（原卷版+解析）

可化为一元二次方程的分式方程

1.分式方程的i般解法

分式方程一般解法的关键是如何将分式方程转化为分式方程，而转化为整式方程的关键是找出方程中

的最简公分母.

例：解方程1壬+为4r+=2=】

【解答】x=l

【解析】方程两边同乘Q+2)3—2),去分母得(2—2)+4/—23+2)=3+2)3—2),

整理得±2—3"+2=0,

解方程，解得的=1,电=2.

检验：将的=1,央=2分别代入田+2)S-2)进行检验，发现算=2是增根,

，原方程的解是i=L

BS：验根的基本方法是代入原方程进行检验，而分式方程产生增根就是使分式方程的分母为零的根，因此

我们只要检验一元二次方程的根，是否使分成方程两边同乘的各分式的最简公分母为零，若为零，即为增

根；若不为零，即为原方程的解.

2.换元法解分式方程

例：解方程2y1)+可：1)=7

工+1/~+1

3+A/17_3+历

【解答】为=1+，5,以=1一退，~1—血=—正

化2+16

【解析】令彳青=，，则原方程可化为2沙+?=7,

方程两边都乘U得2/-7〃+6=0,解得仍=2,外=|，

当y=2时，E=2,B|Jx2—2x—l=(),解得Ci=1+=1—A/5；

X।X

平,3u十/+13,34-34-\/17

当岁=5时，.+]=5，即2/—3z—1=0,解得的=血=

经检验的=1+口㈤=1一口，g=八严,%=3+：”均为分式方程的解,

，原方程组的解为

Ci=1+X/2,X2=1—V/2,x3=3+^^/4=3+

3.分式方程的实际应用

例：农场开挖一条长960加的渠道，开工后每天比原计划多挖20〃?，结果提前4天完成任务，原计划每天挖

多少米?

【解答】60,»

【解析】设原计划每天挖cm,那么实际每天挖Gr+20）m.

皿960।960

则------4=

x勺+20

大分母，整理得的=60/2=80,

经检验，的=60/2=-80都是原方程的根，但是负数根不符合题意，舍去，・・・/=60.

答：原计划每天挖60〃?.

巩固练习

9Q

1.方程的根是（）

Xx+1

A、~2—C、—2,—D、-2,1

22

2.已知分式方程生二士»+史二8=7,设口」二y,于是原方程变形为整式方程是（）

x+1X'+\X+1

A、2y2-7y+6=0B>2y2+7y-6=0

C、6y2+7y-2=0D、6y2-7y+2=O

3.用换元法解方程一一/一1二1邑，若设沙=——c,则原方程可化为（）

0X

2

A、y~+y-6=0B、y-y-6=0

c、y2+y+6=01）、y2-^+6=0

4.方程口1+2（：+1）-3=（）的解为（

）

x+\x2+\

A、1,2>1-V2,l4-V2B>0,1,1—V2,l+V2

C^1,2,V2—1,V24-1D、0,1,V2—1,V2+1

5.某农场开挖一条长480〃？的渠道，开工后,每天比原计划多挖20加，结果提前4天完成任务，若原计划

每天多挖那么求文时所列方程正确的是（）

48048^

A=4B、史2.强.20

xx+20xx+4

480480=44804802

C、=20

x-20xx-4x

v-k2

6.k为何值时，方程一--2=—会产生增根?

x-3x-3

7.解下列方程:

XX

------H-----------------1—-----1---------

x-3x+3x+2x~-42-x

2

X2+X-6+7+3(4)x-3x-l=

(£12)2-5(3)+6=0

x-1x-1x+3—2

8.某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，决定每天多组装3

台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原计划多组装6台，问原计划每天组装多少台？

9.某校学生为了感谢修建青藏铁路一线的工人们，需制作400件小礼品，送往昆仑山城口指挥部.某班全

体同学自愿承担了这项任务，但在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样，参加制作的同

学平均每人制作的数量，比原定全班同学平均每人要完成的数量多2件.该班共有多少名同学？

10.解放军某部队承担了加固一段300〃？长的河堤的任务，加固80机后，接到防汛指挥部的指示，由于汛

期提前，要求加快施工速度，每天多加固15〃?，这样一共用6天完成了任务.问加快施工速度以后，部队

每天加固河堤多少米？

11.为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城乡绿化

一体化城市.某校甲、乙两班师生前往郊区参加植树活动，已知甲班每天比乙班少种10棵树，甲班种150

棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天.求甲、乙两班每天各植树多少棵？

12.今年五月，某工程队（有甲、乙两组）承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成.（1）已知

甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2

倍少16天.如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？

（2）在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的工后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组

过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由.

可化为一元二次方程的分式方程

1.分式方程的一般解法

分式方程一般解法的关键是如何将分式方程转化为分式方程，而转化为整式方程的关键是找出方程中

的最简公分母.

例：解方程1系+言4rj+E2=i

【解答】x=l

【解析】方程两边同乘(①+2)(1—2),去分母得3—2)+4/—2(2+2)=(/+2)0-2),

整理得—3e+2=0,

解方程>解得Z1=1,④2=2.

检验：将为=1/2=2分别代入(7+2)(N—2)进行检验，发现2=2是增根,

・二原方程的解是N=L

PS：验根的基本方法是代入原方程进行检验，而分式方程产生增根就是使分式方程的分母为零的根，因此

我们只要检验一元二次方程的根，是否使分成方程两边同乘的各分式的最简公分母为零，若为零，即为增

根；若不为零，即为原方程的解.

2.换元法解分式方程

加料+护2(/+1)6(2+1)

例：解方程----VI---1---=7

%+1-11

3+yTF3+内

【解答】工1=1+\7^/2=1—V受，的~T~~T~

+16

【解析】令—^二人则原方程可化为初+?=7,

T+1y

方程两边都乘步得2«2—74+6=0,解得%=2,外="I，

当g=2时，X=2,即/—2f一1=0,解得3=1+退/2=1一口；

JUIJL

、1,3./+13p..2Anxn3+173+17

当4=5时，.+1=7,即2：1一32一1=0,解得g=---J---,必=----j---

经检验为=1+1①2=1一口，的=3/严,羽=3+J7均为分式方程的解,

原方程组的解为Cl=1+=1—6，①3=3+/4=3+厂^.

3.分式方程的实际应用

例：农场开挖一条长960机的渠道，开工后每天比原计划多挖20〃?，结果提前4天完成任务，原计划每天挖

多少米？

【蟀答】60m

【解析】设原计划每天挖奶口，那么实际每天挖Q+20）m.

则览2一4=笔记

x）+20

去分母，整理得g=60也2=-80,

经检验，为=60/2=-80都是原方程的根，但是负数根不符合题意，舍去，・•・z=60.

答：原计划每天挖60〃?.

巩固练习

93

1.方程,一告=2的根是（）

xz+1

A、一2B、一C>—2,—I）、一2,1

22

【解答】C

【解析】方程两边都乘以2（z+l）得2（）+1）—3c=2z（/+l）,

整理得2了2+32-2=0,解得电=1=-2,

经枪验，Z[==-2都是原方程的解，，C选项正确.

2.已知分式方程空二D+咎主?=7,设士？=y,于是原方程变形为整式方程是（）

X+1X"+1x+\

A、2y2-7y+6=0B、2y2+7y-6=0

C、6y2+7j-2=0D、6y2-7y+2=0

【解答】A

【解析】将2/=含代入2（；2V）I6[*?=7中得2"十：=7,

整理得2g2-7g+6=0,・・・A选项正确.

3.用换元法解方程£2-£-1=T—,若设沙=/一），则原方程可化为（）

X—X

A、y2+y-6=0Iky2-y-6=0

C、y2+y+6=0D、y2-y+6=0

【解答】B

2

［解析】将g=x—x代入N,2-x—i=2）中得沙—1=—»

整理得「一y—6=0,・・.B选项正确.

4.方程一丁+工：_3=0的解为（）

X+1X+1

A-1,2,1—V2,l+V2B、0,1,1—V2,l+V2

C、1,2,V2l,>/211D、0,1,V2I,N/2I1

【解答】B

2j-19

【解析】令夕=r匕言，则原方程可化为g+Z—3=0,

x~rx.（j

整理得力-3"+2=0,（u—2）（夕-1）=0,解得%=1,02=2,

4-1

当时，一即/—（）（）解得工；

y=lXI1N=,NG—1=0,1=0,12=1

当9=2时，^^=2,^x2-2x-l=0,解得必=1+V父小=1一心.

经检验，=0,x2=l,附=1+能用=1—A/2均为原方程的解,

原方程的解为处=0,±2=1,附=1+=1—.

5.某农场开挖一条长480〃?的渠道，开工后，每天比原计划多挖2（加，结果提前4天完成任务，若原计划

每天多挖力〃，那么求X时所列方程正确的是（）

480480，翌2.现二20

A、----------------=4B、

xx+20xx+4

4804801^一暨二2。

C、----------------=4D、

x-20xx-4x

【解答】A

480480

【解析】设原计划每天挖/米，则原计划用时W,实际用时

x二+20'

由题意可得当一旦=4,'A选项正确.

xk

6.攵为何值时，方程一r-2=—会产生增根？

x-3x-3

【解答】上=±收

【解析】方程两边同乘&-3）得十一2（第一3）=小，

整理得上2=一e+6,

k2

•・•方程一T行一2=——有增根，・•・，-3=0,・・・%=3,

x—6x—6

••・代=-3+6,.入2=3,.•.k=±避,

LTk2

综上'当上=±g时'方程3一2=为会产生增根.

7.解下列方程:

XX1814x2

(1)------H---------(2)--------1—1=1

x-3x+3X2-9x+2x2-42-x

1()22

(3)2+(4)x-3x-l=—

X+X-67+3X2-3X

/_、/X+3、，u/X+3、c八x~—2,6x+18.八

⑸(=一(=+6=。(6)——-----^-—+1=0

x+3x~—2

【解答】见解析

【解析】(1)原方程两边同乘(①+3)(£-3)得力(/+3)+)(%—3)=18,

整理得/+3/+——3%=18,即2i=18,解得z=±3.

经检验，/=±3均为增根，，原方程无解：

(2)原方程两边同乘(①+2)(%—2)得)-2+4N—2(①+2)=x2—4,

整理得——3N+2=0,(1一1)(c—2)=0,解得为=1,伪=2,

经检验，£=1是原方程的根，N=2是原方程的增根，，原方程的解为2=1;

(3)原方程两边同乘22+%—6得10+2(e—2)=T24-J:—6,

整理得/2—h—12=0,(化一4)(c+3)=0,解得Ci=4,①2=-3,

经检验，*=-3是原方程的增根，，原方程的解为①=4：

19

(4)令："=/—3c,原方程可化为g—1=—,

g

整理得/一y一12=0,(u—4)3+3)=0,解得%=4,如=-3,

当？=4时，即c?—3]=4,解得=4,g=一1,

当y=-3时，即£2—3rr=-3,无实数解，

经检验，电=4,g=-1都是原方程的解，，原方程的解为电=4,电=-1.

zp_!_Q

(5)令§=[_],原方程可化为犷-5："+6=0,解得仍=3,如=2,

T~4~，

当y=3时，即T?=3,解得⑥=3,

工1

当g=2时，即=2,解得：C2=5,

ZJL

经检验，6=3,g=5都是原方程的解，，原方程的解为⑥=3,④2=5；

⑹原方程先化为谷一”+1=。,

—26

设沙=—TV»原方程可化为U----F1=O,

/十Jy

即/-6+y=0,(y+3)(y-2)=0,解得切=-3,%=2，

丁2―9

当当=—3时，=3次=一3,即/+3。+7=0,无实数解：

NIO

T2_O

当胃=2时，,；=2,即——2c—8=0,(2+2)(N—4)=0,=-2,a：2=4.

X十J

经检验，为=-2,g=4都是原方程的解，.••原方程的解为皿=-2,的=4.

8.某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，决定每天多组装3

台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原计划多组装6台，问原计划每天组装多少台？

【解答】10台

【解析】设原计划每天组装2台，由题意可得出一吗/=3,

x①+3

解得Ci=10,①2=-15,

经检验，」“一10/2—T5都是原方程的解，但是/=-15不符合题意，故舍去.

答：原计划每天组装10台空调.

9.某校学生为了感谢修建青敏铁路一线的工人们，需制作400件小礼品，送往昆仑山t亚口指挥部.某班全

体同学自愿承担了这项任务，但在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样，参加制作的同

学平均每人制作的数量，比原定全班同学平均每人要完成的数量多2件.该班共有多少名同学？

【解答】50名

【解析】设该班有，名同学，则实际参加制作小礼品的有(C-1D)名同学.

由题意可得一幽=2,解得的=50.12=-40,

化一1Ux

经检验，为=50/2=-40都是原方程的解，但是c=-40不符合题意，故舍去.

答：该班共有50名同学.

10.解放军某部队承担了加固一段300〃？长的河堤的任务，加固80,〃后，接到防汛指挥部的指示，由于汛

期提前，要求加快施工速度，每天多加固15〃?，这样一共用6天完成了任务.问加快施工速度以后，部队

每天加固河堤多少米？

【解答】55米

【解析】设施工队原计划每天加固河堤£米，加快施工后，每天加固河堤(算+15)米.

由题总可得---------.i=6,解得为=40,12=-5,

X2十1K3

经检验，£1=40,办2=-5都是原方程的解，但是c=-5不符合题意，故舍去，

④+15=40+15=55.

答：加快施工后，每天加固河堤55米.

11.为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城乡绿化

一体化城市.某校甲、乙两班师生前往郊区参加植树活动，已知甲班每天比乙班少种10棵树，甲班种150

棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天.求甲、乙两班每天各植树多少棵？

【解答】