2026年九年级中考数学冲刺练习：反比例函数系数k的几何意义

2026年中考数学三轮复习备考利用K的几何意义求K高频考点

归纳练

4

I.如图，在平面直角坐标系宜"中，过反比例函数＞=-一（xvO）图象上一点P分别作x

X

轴、y轴的垂线，垂足为M,N,直线y=x+b分别与x轴、线段PM,PN,丁轴交于点A,

D,C,B.

（1）直接写出加・州的值；

（2）①求证：AB=y/2OB

②设AC=〃z,BD=n,试求机与〃的函数关系式.

2.如图1,点A是反比例函数），=K（x＞0）图象上任意一点，过点A作X轴的垂线，垂足为

（2）若过点A的直线y=X+/2仅＞0）与工轴交于点C,如图2.

①求证：AB=BC.

②OA与OC的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

3.如图，已知点尸（2,a）、点Q（"-2）都在反比例函数）=人图象上.过点P作x轴的垂线,

X

垂足为万，△0。”的面积为1,一次函数），=祇丫+〃的图象过点尸、Q.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求一次函数的表达式，并求△OPQ的面积；

(3)根据图象直接写出不等式+〃〈人的解集.

x

4.如图，B、C分别是反比例函数y=9(x>0)与〉，=-2(》>0)的图象上的点，且8C〃y轴,

.X

过点C作BC的垂线交y轴于点A，

(1)若3点的横坐标为2,求VA8c的面积；

⑵点P是x轴上一点，连接CP,且CP〃/W,连接尸4PB.求..A4P的面积.

5.如下图，A是反比例^数y=&(x<0)图象上一点，AC_Lx轴于点C,且与反比例函数

x

)，=&*<0)的图象交于点RA8=38C,连接OAO8.若△048的面积为6,求4+%的

X

值.

6.如图，点4(-2,y),矶-6,%)在反比例函数y=：(x<0)的图象上，AC_Lx轴于点C,

试卷第2页，共6页

8。J.AC于点D.

（1）若y=2,求直线AB的解析式；

（2）若△人B7）的面积为4,求A的值.

7.在平面直角坐标系中，对于双曲线y=—（W>0）和双曲线V=>0）,如果〃?=2n,

.I

则称双曲线y=4（〃>0）是双曲线y=竺（加>0）的“半双曲线”.

X.1

Q

⑵如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是y=一在第一象限内图像上任意一点，过点

x

Q

人作与轴平行的直线交），二一的“半双曲线”于点8,求V408的面积.

x

8.如图1,点A是反比例函数），=：">0）图象上任意一点，过点A作x轴的垂线，垂足为8,

（2）如图2,若点A在第一象限，过点的直线），=X+/〃>0）与x轴交于点C.求证:

AB=BC.

9.如图，平面直角坐标系中，面积为9的正方形。钻C的顶点A,C分别在x轴、丁斛上，

点8在反比例函数），=&"＞（））的图象上，点。在点8右侧反比例函数的图象上，过点。分

X

别作X轴、＞轴的垂线，垂足分别为。，E,PE交AB于点F.

（2）当四边形ADPF的面积为3时，求点P的坐标；

（3）当四功形AQPb为正方形时，求点〃的坐标.

1L

10.如图，一次函数丁二不1与反比例函数），=一伏＞0）的图象交于点C,点B为线段OC上

〃X

（1）若0。=2,求点A的坐标；

⑵连接AC,若5》必=8,求反比例函数解析式.

11.如图，点4（2,凶）、8（5,），2）在反比例函数）=勺40）的图象上，AC_Ly轴，垂足为

点C,轴，垂足为点O,延长C4交08的延长线于点£

试卷第4页，共6页

（i）根据图象，直接比较升、。的大小：凶（选填，或“="）为:

⑵若四边形OC。的面积为20,求反比例函数的表达式.

12.已知图中的曲线是反比例函数），=—（〃?为常数）怪象的一支.

（1）这个反比例函数图象的另一支在第象限，常数，〃的取值范围是.

（2）若该函数的图象任取一点A,过A点作1轴的垂线，垂足为当△Q4B的面积为4时,

求反比例函数的解析式.

13.如图，在中.NB=90°,边08在x轴上，反比例函数），二4">0*>0）的图

X

象交。4于点M,交AB于点N.己知OM:M4=2:1,S^A0H=18.

（I）求反比例函数的解析式；

⑵若AB=6,求直线MN的解析式.

14.如图，一次函数乂=如一2（。工0）图象与x轴交于点A（2,0）,与），轴交于点且与反

比例函数力=々4>。）第一象限内的图象交于点。.过点C作CO_Lx轴于点。，连接8。,

△88的面积为g.

(2)当时，直接写出x的取值范围.

2

15.如图，点A是反比例函数)=一。>0)上一动点，连接。4,过点。作08_LOA交反比

X

例函数y=-g(1<0)于点B,连接过点4作4O_Lx轴于点过点B作8CJ_x轴于

x

(1)图中△AO。与,80c的面积之和为_；

(2)若点A的坐标为(1,2),求点3的坐标；

⑶当点4在反比例函数图象上运动时，其他条件保持不变，NOAB的度数是否保持不变？

如果不变，请直接写出NOA8的度数；如果变化，请说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案

1.(1)4

Q

(2)①见解析；②，〃=一

n

【分析】本题考查了反比例函数系数&的几何意义，矩形的判定和性质，一次函数的性质,

熟练掌握各知识点是解题的关键.

(1)设点P(«c)，由尸MLY轴，轴，得到尸M=c,PN=-a,根据点P在反比

例函数y=-±(x<0)图象上，于是得到=—GC=—«=—(T)=4；

X

⑵①在y==+b中,令x=0,则…;令y=0,则x=—〃，于是得到4—AO),B(O.b),

求得OA=<M=〃，根据等腰直角三角形的性质得到A8=&08;

②由①知VAO8是等腰直角三角形，得到NA4O=N4AO=45。，过C作CEJ_x轴于£

。/_Ly轴于R则四边形QMKC是矩形，ZMCE是等腰直角三角形，求得

CE=AE=AE=PM=—rn,DF=BF=BF=PN=-n,根据题意列方程即可得到结论.

22

【详解】(1)解：设点P(a,c),

•••PA/_Lx轴，尸N_Ly轴，

，PM=c,PN=-a,

4

丁点P在反比例函数y=-之"v0)图象上，

PM•PN=-a-c=-ac=一(T)=4；

(2)解：①证明：..•在)=x+b中，令x=(),贝ijy=b；令y=。，则x=-8,

・•・A(F0),B(O.b),

OA=OB=b»

•・•ZAO8=90。，

・•・AB=41OB：

②由①知VAO8是等腰直角三角形，

AZABO=ZBAO=45°,

过C作CEJ_x轴于E,。产_Ly轴于产，

答案第1页，共18页

则四边形PMEC是矩形，ZkACE是等腰直角三角形，

^CE=AE=PM=—m，DF=BF=PN=-n,

22

JPMPNg-4]=4,

••mx——〃=4，

22

・・.H.

n

Q

••・，〃与〃的函数关系式为勿=£.

2.⑴2=2

⑵①证明见解析；②是定值，4

【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知

反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键.

(1)设n)(m>0,n>0),得到mn=2即可得到』=2；

(2)①根据题意得到4?=6+〃，求出C(一九0),得到8C=/〃-(-〃)=〃?+〃，即可得到结

论；

:2222

②是定值，由题得04=病+〃2,继而得到0A2-0C?=m+(,n+b)-b,即0A-0C=2mn,

由(1)知“明=2,得至IJ042—002=4.

【详解】(1)解:设A(〃K〃)(〃】>0,〃>0).

AB±x轴,

/.B(nM.

AB=〃，OB=m,

•••SA08=g""?=l，

nui=2.

答案第2页，共18页

k=nui,

：.k=2.

(2)①证明：设A(m,n)(m>0,//>0).

点在直线y=x+b上，

.\n=m+b.

AB=/n+b.

当y=0时，()=x+/7,

/.x=-b.

BC-=m+b.

:.AB=BC.

②解：是定值.

设A(m,n)(m>0,w>0).

AB_Lx轴,

J在RtAOB中，OA2=/,

7OA2-OC2=nr+n2-b2,n=m+b,

22

OA-OC=J/+(加+加2_h2,

:.OA2-OC2=2m(m+b).

-OC2=2mn.

由(1)知mn=2,

•••OA2-OC2=4.

2

3.(D>'=-

x

3

⑵一次函数表达式为y=:c-1,△OPQ的面积为:

(3)x<-l或0cx<2

【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应月，利用数形结合的方法确定不等式

的解集是解本题的关键.

答案第3页，共18页

（1）利用反比例函数），=幺中k的几何意义求出上进而得到反比例函数表达式；

X

（2）先将点代入反比例函数求出。坐标，再代入一次函数表达式，用待定系数法求出

一次函数表达式;求..OPQ面积，可通过将其转化为几个容易计算面积的三角形组合来求解;

（3）根据反比例函数与一次函数图象位置关系，找出一次函数图象在反比例函数图象下方

时x的取值范围.

【详解】（1）解：已知32M）,过点P作x轴垂线，垂足为，，如图所示:

.•.附=2,

•・•反比例函数图象在一、三象限，

:.k>0,

:.k=2,

2

・••反比例函数表达式y=±；

X

7

（2）把点2（2,〃）、点。他一2）代入），=一上,

X

.•，、。的坐标为尸（2,1）,（-1,-2）,

一次函数。=〃氏+〃过点P（2,1）、G（-l,-2）,

2m+n=\

将两点代入可得，J

-m+n=-2

解得6=1,n=-\

・•・一次函数表达式为y=x-i,

设直线y=x-i与y轴交点M,令x=o,则y=一1,

答案笫4页，共18页

SAOPQ=+S40QM，

S=—x|OM|x|x|=-xlx2=1,

OPM22p

乙L乙

c.13

•••SOP(?=]+5=3；

乙乙

k

(3)不等式加i+〃〈勺即一次函数值小于反比例函数值，

x

2

从图象看，一次函数)，="-1图象在反比例函数1y=±图象下方时:

x

当xc-l或0<x<2满足条件,

二.胆+〃<V的解集是工<一］或o<%<2.

x

4.(1)4

(2)4

【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的判定等知识，掌握反比例函

数比例系数A的几何意义是解题的关键.

(1)过点8作4。_Lx轴于。，如图，设3c交工轴于点E,则四边形DACB、四边形DOEB、

四边形AOKC都是矩形，由反比例函数比例系数k的几何意义、矩形。人8与V/WC的面积

关系即可求得结果；

(2)根据平行线间距离史处相等和同底等高的三角形面积相等即可得到答案.

【详解】(1)解：过点B作轴于。，如图，设BC交工轴于点E,

即4BDA=ZDAC=/BCA=/DOE=ZAOE=NOEB=90。,

•••四边形/"C8、四边形。。上6、四边形AO2C都是矩形，

答案第5页，共18页

由反比例函数比例系数★的几何意义知：S期形”£8=6,S矩形AOEC=2,

S矩形。AC8=S矩形"O班+S短形A。以；

•:S矩形0AC8=2S八改,

,SABC=耳X8=4♦

•••CP〃八3且两平行线间的距离处处相等，

S皿=S.=4

5.-20

【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是正

确解答的关键.

由，38的面积为6,可求出08。的面积为2,进而求出Q4C的面积为8,再根据反比例

函数系数攵的几何意义可求出跖右,进而得出答案.

【详解】W：V51-0C=6,SBOC.=^BC-OC,AB=3I3C,

•・•uqBOC-4?，

*''S.AOC~SHOCAOK~2+6=8.

又・•SAXM；图二8,SHX=；闷=2,且K〈0人＜0,

乙乙

&=-\6,k2=-4,

^+A:2=-16-4=-20.

故4+&2的值为20.

答案笫6页，共18页

工八、18

6.(l)y=-^+-

⑵-6

【分析】本题主要考查了反比例函数系数4的几何意义，待定系数法求解函数解析式，反比

例函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键.

(1)先求出8的坐标，再利用待定系数法求解直线AB的解析式即可：

(2)先根据题意得到X=3%,再求出8。=4,4。=28，再根据三角形面积求出8点坐

标即可得出结果.

【详解】(1)解：丁点A.8在反比例函数y=K(x<())的图象上，y=2,

2

/.-2x2=-6y2,解得%=§，

+6.|)

设直线A4的解析式为)，=如+〃，将A,B的坐标分别代入，

-2a+h=2a=—

得，，2,解得:，

—6a+b=—o

7bz=一

•3

・・・直线AB的解析式为)，=gx+g.

(2)根据题意，可得-2y=-6%,

•••X=3%

・.・AC_Lx轴，BDLAC,

BD=-2-(-6)=4,AD=y1-y2=3%-y2=2y2,

_4x2)，

••0ABD-2'

.•.必=1，即8(-6,1),

k=—6x1=—6.

7.(l)y=-

X

(2)VAO8的面积为2

【分析】本题主要考查了新定义、反比例函数4的几何意义、反比例函数与几何的综合等知

识点，掌握数形结合思想是解题的关键.

答案第7页，共18页

（1）直接利用“半双曲线”的定义解答即可;

（2）根据反比例函数A的几何意义以及三角形的面积公式求解即可；

【详解】（1）解：由“半双曲线”的定义可知：=9的“半双曲线''是y=3.

XX

故答案为：.

X

84

（2）;双曲线一的“半双曲线”是），=一，

XX

AOD的面积为4,BOQ的面积为2,

A03的面积为2.

8.（1）2

⑵证明见解析

【分析】本题考查了反比例函数系数攵的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知

反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键.

（1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得5人加=耳=1,再根据函数图象在第一象限

即可得到答案；

（2）根据题意得至=求出C（—40）,得到&:=”「（—〃）=/"+〃，即可得到结论.

【详解】（1）解：•・•轴，且点A是反比例函数图象上任意一点，

・S-1^-1

,/反比例函数图象分布在第象限，

・・.攵＞0,

2

:.k=2；

（2）证明：.点4（小〃）在直线），=%+力上，且点A在第一象限，

：.n=ni+b.

答案笫8页，共18页

•・•A3八轴，

AB=m4-b，OB=nt.

当)，=0时，O=x+b,

x=-b.

.•.c(—AO),则oc=〃.

BC=m+b.

AB-BC.

9.(1)点B的坐标为(3,3),k的值为9；

(9、

(2)点。的坐标为-,2：

12/

.,..(3+3>/53>/5-3

⑶点户的坐标为•

\/

【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，一元二次方程：

(1)根据正方形Q48C的面积为9,可得到点3的坐标为(3,3),即可求解；

(2)设点〜的坐标为(〃”?)，根据S矩形，L=S矩形的E-S，以及四边形ADPF的面积

为3,即可求解；

(3)设点〜的坐标为力)，根据四边形4年尸为正方形，可得力=。-3,再由他=9,可

得矶a-3)=9,即可求解.

【详解】(1)解：.,正方形OA8C的面积为9,

.•.比=。4=3,点5的坐标为(3,3),

.,.太=4•37=3x3=9

故点/的坐标为(3,3),k的值为9；

9

(2)解：由题意得，四边形AOPE为矩形，。4=3,反比例函数的解析式为>，=2，

x

设点〃的坐标为(/几〃)，

9

,•S矩形ADPE=S短形8在一S班彩QAFE=Tww-3w=9-3w=9-3x—

Ifl

27,

一S雄形A0PE=9,m>3

tn

答案第9页，共18页

•••四边形ADPF的面积为3,

279

:.9---=3,则m=—

m2

9

,反比例函数y=一

X

9c9c

n=—=9+—=2

in2

故点q的坐标为（*2；

（3）解：设点尸的坐标为（d〃）,

,/四边形ADPF为正方形，

../?=«-3

又ab=9，

/.tz(fl-3)=9,

解得，正，/=土芋（舍去），

…密，

’3+3&3旧-3

故点，的坐标为

-2-，-2~

10.（1）42,9）；

9

（2）7=-.

X

【分析】（I）利用线段比例关系确定点小坐标与点c坐标的关系，再由OO求出参数〃J进

而确定反比例函数解析式，求出点A坐标.

（2）用参数出表示出点A、B、C的坐标，计算A4的长度和点C到直线44的距离，利用

三角形面积公式建立方程求解.

【详解】（1）解：•・,点C在），上，

设点C的坐标为（孙葭），

答案第10页，共18页

过点C作CE_Lx轴于点E,

，BD〃CE,

又点4在线段OC上，且罢=:，

DC2

.OD1

・・--=一,

DE2

•・•点B的坐标为(r，r),

36

QB。JLx轴于点D,

•••点。的坐标为(g,0),

:.OD=—,

3

8=2,

.心=2,

3

=6,

•••点C的坐标为(6,3),

••,点C在反比例函数y=A上，

A

/.k=6x3=18,

..•反比例函数解析式为)，=",

x

.1点A在直线上，且点。的横坐标为2,

•••点A的横坐标为2,

•••点A的坐标为(2,9).

答案第11页，共18页

（2）解：由（1）可知，点八的坐标为q卷），点3的坐标为q5），

,八3mm4/72

AB=----------=——，

263

，直线的方程为x=g,点C的坐标为（〃?.?），

点C到直线"的距离为时玄=,，

仁1.„2m14，〃2m4;??2

丁・SARC=—XAux=-xx=------，

ABC232339

S&ABC=°»

.包=8,

9

nr=18,

2

.m18n

22

・••反比例函数解析式为尸二9

x

11.（D＞

（2）y=-

x

【分析】（1）将两点横坐标代入反比例函数y=K,求出y,%,再根据〃＞（）比较大小；

X

（2）先证得四边形OCEZ）是矩形，再说明OC=y,＜儿＞=5,然后根据四边形OCE。的面积

为20,得出点4的坐标，求出女的值.

【详解】⑴解：・・•点力（2y）,8（5,%）在反比例函数yJ（左＞0）的图象上,

・"=”4，

.k、k

25

即y＞y2.

（2）解：・・・AC_L），轴，垂足为点c,轴，垂足为点。，ZCOD=90°,

・•・四边形OCE。是矩形，

：・OC=DE，OD=CE,

VA(2,y,),B(5,%),

答案第12页，共18页

・・・C(O,y)、E(5,y)、。(5,0),

/.OD=5,OC=y,,

•・•四边形OCEO的面积为20,

.\ODOC=5.V1=20,解得y=4,

二A(2,4),

又•••点4(2,4)在反比例函数)，=々4>0)的图象上，

X

A4=1，解得左=8，

Q

・••反比例函数的表达式为)，=?.

X

12.⑴三，，〃>5

(2)y=-

x

【分析】(1)根据反比例函数的性质可求得反比例函数的图象分布在第一、第三象限，所以

"7—5>0即可求解；

(2)设点4［上］,根据三角形的面积列方程即可求出反比例函数解析式.

\a)

【详解】(1)解•：由图可知：这个反比例函数图象的另•支在第三象限，

•・・这个反比例困数y=—的图象分布在第一、第三象限，

X

.\/H-5>0,

解得m>5；

(2)解：设点

AB_Lx•轴，

点R的坐标为(40).

,:S°八8=4,

Ik

-4•一=4A,

2a

二.k=8,

Q

反比例函数的解析式为y=3.

x

答案第13页，共18页

13.(l)y=L(x＞。)

小220

(2)y=---v+—

【分析】（1）作轴，证明OBA,根据相似三角形的面积比等于相似比的平

方,求出0。3的面积，即可得出结果;

（2）利用相似三角形对应边成比例，求出M,N的坐标，待定系数法求出函数解析式即可.

【详解】（1）解：作轴,

(2)解：由(1)可知：,ODMS.084,S3W=8,

.OMODDM2

OAOBAB3

答案第14页，共18页

22

：.OD=-OBtDM=-AB,

VAH=6,

ADM=4,

：.-ODDM=-ODx4=8,

22

0。=4,

OB=6,

••・M(4,4),8(6,0),

VA3_Lx轴，

**•=6,

•・•点N在y=3(x>0)的图象上，

X

,当x=6时，y=—=^?

63

・••《a

设直线MN的解析式为y=nix+b,

4/z?+b=4

则L；8，

6m+b=—

3

2

m=—

解得2(/，

b=—

3

・•・直线MN的解析式为y=-12x+2y0.

14.⑴4=1,k=3

(2)x<-l或0<x<3

【分析】(1)将点A坐标弋入一次函数解析式即可计算〃，进而得到吕点坐标，设C点横坐

标为“，则。点坐标为(见。)，结合.BCD面积公式求出用,继而得到。点坐标,由此即可

示得攵：

(2)联立解析式可求得交点坐标，再结合图象可得x的取值范围.

【详解】(I)一次函数N=or-2过点42,0),

0=2。-2,解得。=1：

答案第15页，共18页

・•・一次函数解析式为X=x-2,

当x=0时，=-2,

・•・8点坐标为。-2),

：,OB=2,

设。点坐标为(〃?,。)，

,•,a>_Lx轴，。在一次函数y=工一2上,

・・・。点坐标为（〃?，〃?-2）,

I3

CDOD=,

•e•SBCD=Y2其中8="?-2,OD=m,

I3

代入得：=

22

整理得m2—2m-3=0,解得zn=3或/n=-l（舍去）,

•♦.C点坐标为(3,1),

又・・・C在反比例函数外=&上，

X

k=3x1