2026年河南省南阳市高考数学二模试卷（含答案）

2026年河南省南阳市高考数学二模试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集(/={-1,0,123},集合4={-1,1},B={0,1,2},则(QA)CB=()

A.{3}B.{0,2}C.{-1,0}D.{-1,0,2,3)

2.已知复数z在复平面内对应的点为(5,12),则卷=()

厂八

A1313.n13,13.512.5,12.

A^一适iBT+］21C-Ti-nlD.E+行I

3.设五，石为非零向量，则“I五+Z|=\a\+历I”是“五与石共线”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.若％=2是函数/(x)=(x+l)(x-2)(%-a)的极值点，则f(l)=()

A.-1B.0C.1D.2

5.已知等差数列{%}的前n项和为S，若S3=6,S6=2S4+6,则/=()

A.30B.32C.34D.36

6.已知fO)是定义在H上的奇函数，且/•(2+乃+/(2-乃=0,若当XE(-2,0州寸，/(x)=2-x,则

/(log225)=()

A-至B-竺r-D至

A16M25。2516

7.已知函数/(x)=2si/i(3%-3)(幻＞0)，若/(%)在区间［0,2乃］上恰有5个零点，则3的取值范围是()

A“317、1721、「2125、「2529、

A」m小)BD」r至石)C.［r百，百)Dn.［不国)

8.双曲线工2一《=1的右焦点为尸，过点P(3,0)的动直线，交双曲线于4B两点，点7(5,1),若直线FT平分

乙1FB,则直线Z的斜率为()

579

A--2B•-2C.-彳D-5

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知数列{Qn}是等比数列，其前几项和为工，且S3=3Q3,则公比q的值可以是()

A.-1B.-1C.|D.1

10.已知椭圆。：圣+餐=1(Q＞力＞0)的左、右焦点分别为F］,尸2，长轴长为4,点P”21)在椭圆内部，

点Q在椭圆上，则以下说法正确的是()

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A.离心率的取值范围为(0,节)

B.当离心率为机t,IQ&I的最大值为3

C.存在点Q,使得西•沃=0

D.当离心率不小于g时，m品+高可的最小值为3

11.已知1。8(-1)(匕-1)>0(。>1且。工2),若b<Q,且必於</内(6为自然对数的底数)，则()

A.ln(b-1)<a-2B.(a-l)ln(d-1)>(b-l)ln(a-1)

c.(b-l)a-2>(a-1»-2D.loga(a-1)>log6(b-1)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在二项式(2d一专)1。的展开式中，常数项为一.

13.已知数列｛斯｝的首项由=且满足“+i=鼻，则4=—.

/nan-r1/\

14.如图，已知在一个四分之一球形状的玩具储物盒内可放入的最大正方体棱长为((\

2+72,若重新放入一个正四面体，并使该正四面体可以在储物盒内以任意角度(,

旋转，则可放正四面体的最大棱长为_.K

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知锐角△力BC的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且b=2,2cos4+ga=c.

⑴求B：

(2)求吐它的取值范围.

ac

16.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex+ax2-1.

(1)若Q=1,求/'(x)在％=0处的切线方程；

(2)若Q=0,证明不等式/(%)<-2+6在［0,1］上恒成立.

17.(本小题15分)

某单位为了提高职工业务能力，举行相关的知识竞赛.规则如下：利用计算机在题库中选出3个题由职工作

答，已知题库中有48两类题，每个力类题答对可以得到20分，每个B类题答对得30分.两类题的数量足

够，每位职工正确回答4类和B类题的概率分别是抑(，且回答48两类题正确与否相互独立.

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(1)若职工甲选3个4类题作答，试求甲得分X的分布列和方差;

(2)若甲乙两人每人选择2个4类题和1个B类题作答，求甲得分高于乙的概率.

18.(本小题17分)

如图，四棱锥的底面48CD为直角梯形，SA_L平面力8C0,AD//BC,乙ABC=%SA=BC=AB=1,

AD=\,E为S4的中点，点尸在线段BC上.

4

(1)证明：平面SBC1平面S4必

(2)已知E,A,B,C四点均在球。的球面上.

①证明：C,E,。三点共线;

②若直线。尸与平面S8D所成角的正弦值为之求|8F|.

□

19.(本小题17分)

已知抛物线Gy2=?pr(p>0)的焦点为此点〃(一§,0),点。(R。)，过焦点户的直线交C于M,N两点，AHMN

的面枳的最小值为4.设直线MD,ND与C的另一个交点分别为4B,直线MN,48的倾斜角分别为a,从当

直线MN,48的斜率存在时分别记为的，k2.

⑴求抛物线C的方程;

(2)证明：符=2；

(3)当a-/?取得最大值时，求直线88的方程.

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参考答案

l.B

2.C

3.A

4.D

5.C

6.A

7.B

8.。

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.180

13—

,17，

14.2C.

15.解：(1)因为b=2,2cos/l+=c,

即bcosR+=c,

由正弦定理得：sinBcosA+^sinA=sin(B+4)=sinBcosA+cosBsinA,

则:si和4=cosBsinA,

因为力,8€(0《)，则sirMAO,

所以cosB=I，

所以B=£

J

fo<c<p

(2)在锐角△ABC中，由《/

lQ<A=T-C<2

可得*VCV%

o/

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,,a_sinA_sin(C+^)_^sinC+^-cosC_16

.乂c一suiC~sinC~sinC-22tanCf

又tanC>乌,则OV==<门，

3tanC

故£e6,2),

—=2+二设£=女白2),

accacv27

设/(£)=t+p

又/(t)在6,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，所以/'«)min=/(l)=2.

又因为6)=/(2)=/所以f(t)W[2,|),

故*的取值范围为⑵|).

16.解：(1)当a=l时，f/(x)=ex+2x,那么/''(0)=1,f(x)=ex+x2-1,那么/'(0)=0,

此时函数/'(x)在x=0处的切线为y=x.

(2)证明：当Q=0时，/(x)=ex-l,要证/(%)=ex-1<-2+3对任意的工G[0,1]恒成立，

那么即证/+1W4,即证e+1)(2-x)<4,即证(%-2)/+x+2>0对任意的%G[0』恒成立,

LA,

构造g(x)=(x-2)e"+X+2,其中％W[0,1],

g'(x)=(x-l)e"+1,其中xW[O,l],令函数九(%)=(%-1)1+1,那么导函数八’(x)=双"

对任意的％6[0,1],h'(x)=xex>0恒成立，因此g'(%)在[0,1]上单调递增，

当xG[0,1]时，9'(%)29'(0)=0,因此g(x)在[0,1]上单调递增，

当[0,1]时，g(x)>g(0)=0,因此原不等式得证.

17.解：(1)设甲答对人类题的数量为匕则y〜8(3,百)，得分x=2oy,

x=o时，P(y=o)=c5(|)3=i；x=2O时,P(y=i)=c1(l)3=|；

1311

23时33

c=X=6owczX--

3-==3kl-J

X=40时，P(Y=2)2i;3)28

故X的分布列为：

X0204060

1331

p

8888

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1-100

D(r)=3x/U0(X)=D(20V)=202x^=300；

(2)设甲答对4类题的数量为X],答对B类题的数量为％,则甲的得分工=20七+30丫1，

设乙答对力类题的数量为X2,答对B类题的数量为匕，则乙的得分52=20X2+30%，

其中X1〜8(2,；),%~8(1,1)，

X2~B(2§),力~8(1』)，

S1和$2的可能取值为0,20,30,40,50,70,

2

P(SI=0)=P(X]=o,r1=o)=(|)x|=1；PS=20)=P(XI=1,%=0)=*)2x|=|：

PS=30)=P(X1=0,%=1)=(i)2xl=i；PS=40)=P(Xi=2,%=0)=弓)2xI=/

2

P(1=50)=P(X1=l,y1=l)=禺()xi=l；P(S1=70)=P(X]=2,%=1)=(i)x|=^;

故多的分布列为：

sifo(20(30(40(50(70-

111111

63126612

同理S2的分布列与Si相同，

故P(S1>S2)=P(S1=20)P(S2=0)+P(S1=30)[P(S2=0)+P(S2=20)]+P(S]=40)[P(S2=0)+

P(S2=20)+P(S2=30)]

十P(5i=50)[P(S2=0)+P(S2=20)+P(52=30)+P(52=40)]

+P(S1=70)[l-P(S2=70)]

18.解：(1)证明：:S力，平面A8CD,BCcz平面力BCD,•••S?!JLBC,

♦:乙ABC=%，ABYBC,

•••SA,ABu平面SAB,KSAC\AB=A,

二BC_L平面S48,•••BCu平面S8C,二平面SBC_L平面S4&

(2)饱明：作E8中点为。'，EC中点为。,

GO'〃BC，•••BC1平面S4B,00'1平面SAB,

•••S4JL平面ABC。，,SA1AB,BPAE4B是以为直角的三角形,

则△EAB外心为。，、4

VCO7_1_平面S4/?.OF=OA=OR,

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•••GE=OC,•••OE=OA=OB=OC,

•••点。为球心，二。，E,0三点共线；

②4口图所示，以A为坐标原点，分别以AB,AD,4s为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则S(O,O,1),见1,0,0),WO,：,0),E(0,0,；),C(l,l,0),

设|BF|二Q(0WQW1),则F(l,a,0),

.­.fi5=(-l,0,l),DS=(0,-pl),OF=(pa-p-^)»

设、F面SBO的法向量为沅=(x,y,z),

.回京=()即n+z=°

"Ur丽=0,发-/+z=(T

令X=1时，解得Z=l,y=2,即平面SBD的一个法向量为沅=(1,2,1),

设直线0F与平面S8。所成的角为a,则s»a=|cos<m,0F>\=

|J+2a—1-1Ar

可得，N“=不,化简得23a2-17。+管=0,

Em"+(aT)2+得b16

解得a=,或Q=7；

924

19.解：（1）根据题意可知直线MN斜率不为0,设直线MN为=

设点MQi/i）,N（x2,y2）,

__p

联立方程组得?=%一',化简得;丫2_6§=0,

[y2=2px2P2

可知/=m2—4--(—0=m24-l>0,

2

那么根据韦达定理可得%+y?=2pm,力•y2=-p,

那么可知SMMN=；I”尸IM-力1=[,P•J（yi+%）2-4yly2=p2/m2+1,

可知当〃i=0时三角形面枳最小，可得犷=4,解得p=2（〃=-2舍），

因此抛物线C为V=4x.

（2）证明:设4（%3，%），8（%4，丫4），M（%1，%），'（%2，力），可知。（2,0）

设直线4M为y=k3(x-2),设直线BN为y=k4(x-2),

联立方程组得，2："：,一2），化简得y2_ty_8=0,

164

可知』=+32>0,根据韦达定理可得力+丫3=瓦,乃乃=-8,

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联立方程组得&二怨”一2),化简得y2.”8=0,

可知4=患+32＞0,则y2+%=2y4=-8,

那么直线4B的斜率e=纥丝=与岑=+=/V=-方吟

“X4-X34y3丫4+为一端•+》201+丫2)

直线MN的斜率自==咨=+，

“2一必yi_yi7z+yi

T4

则合宝一段，

2

2(yi+y2)

根据⑴可知力丫2=_4