山东省2025-2026学年高一年级下册4月阶段性检测 数学（含解析）

2025-2026学年第二学期高一第一次阶段性学情检测数学试题

一、单选题

1.若复数z=3-2i,则复数z的虚部为()

A.-2iB.2iC.-2D.2

2.在平行四边形A3CQ中，E是对角线AC的中点，则潴=()

A.-AB--ADB.-AB+-AD

2222

C.-AB-ADD.

224

3.若VA3c中，角ARC的对边分别为。也c.若/+〃—,2=而，则cosC=()

A.且B.；C.--D.一直

2222

4.已知向量〃=(21,“)，0=(1,1),若d_L人则忸-2%()

A.2B.2&C.3D.x/H)

5.圣•索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建

筑集球，圆柱，楂柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方

向找到一座建筑物AE，高为（156在它们之间的地面上的点M（8,M,。三点共线）处测得楼顶

A,教堂顶。的仰角分别是15。和60。，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30。，则小明估算索菲亚教堂的高度

为（）

MB

A.30mB.20mC.30x/3mD.20后m

6.在VA8C中，A8=4,BC=5,AC=J五，。为边AC上一点，且B。平分/A8C,则8。=（）

A20x/3x/H

A♦------Rt5♦-----

93

7.在梯形AACO中，AB//CD,ABA.AD,AB=2CD,点M是线段8。（含端点）上的动点，设

AM=xAB+yAD,若X+)，=*,则%一＞二()

'4

A.0B.-C.-D.I

42

8.在VABC中，a,分别为角4,及C所对的边，已知c=2,ccosA=〃-；。，则a+人的取值范围是()

A.(2,4]B.(2,2网C.(2,«+&]D.(2,拉+网

二、多选题

9.已知复数马=4-3i/2=2+i,则()

5

A.Zj-z2=11-2iB.1^1=

C.zl+z2=zl+z2D.Z-z?在复平面内对应的点位于第二象限

10.已知VA8C的内角A8C所对的边分别为。也c,则卜列说法止确的是()

A.若sir)8〉sinC,则

B.若。=26力=4,A=£,则三角形有两解

C.若VA3C面积为S,S=，/+从”2),则c=(.

D.若反os8-aosC=(),则VABC•定为等腰直角三角形

11•.聿庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，荣昌折扇平面图为下图的扇形C。。，其中NCO/)=著，

OC=4OA=4,动点P在CQ上(含端点)，连结”交扇形QW的弧A4于点Q，且OQ=xOC+)，OO,则

下列说法正确的是()

B.若y=2x,l|lljOAOP=0

23

D.PAPB>—

2

三、填空题

12.若复数z满足|z-l+2i|=3,则|z|的最大值为

IG

13.如图，在平面四边形ABC。中，AB=7,BC=8,CD=473,cosZC4B=-,ZBCD=—,则ACD

73

的面积是.

14.在VA8C中，内角A8,C的对边分别为4〃，。，若c(cosA+cos3)=〃+〃,c=2,则该三角形内切圆面积

的最大值为.

四、解答题

15.已知i是虚数单位，复数z=2-3i.

⑴若复数为满足zw=3z-z，求个

⑵若关于x的实系数一元二次方程/+〃次+〃=0有一个根是z,求m+〃的值.

16.在VA8C中，sin2C=V3sinC.

⑴求NC；

⑵若8=6,且VA8C的面积为求VA8C的周长.

mmI皿11

17.在VA08中，NAOB为直角,OC=-OA,OD=-OB,AO与8c相交于点M,连接。M,记。4=a，

OB=b-

(1)试用〃，b表示向量OM:

(2)在线段AC上取一点E,在线段80上取一点F,使得直线跖过M,设0£=%0A，OF=/JOB(2,4均

13

为非零实数)，求丁+一的值.

X//

18.某市公园绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香.因为在C

处有一古塔，市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道A8一侧规划一个三角形区域

(古塔的底座忽略不计)A8C做绿化，如图，已知NCA8=1,为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为

一个锐角三角形.

(1)若在A、4处分别测得塔顶E的仰角为45。、30°,求塔高CE；

(2)求绿化区域VA8C面积的取值范围；

(3)绿化完成后，某游客在绿道48的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从A到。，再从。到从已

知=求游客所走路程的最大值.

19.布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利・布洛卡于19世纪提出，其定义如卜：设P是VABC

内一点，若/PAB=/PBC=/PCA=8,则称点尸为V48C的布洛卡点，角。为VA8C的布洛卡角.如图，

在VA8C中，记它的三个内角分别为A8,C,其对边分别为的面积为S,点P为VA8c的布洛

卡点，其布洛卡角为0,请完成以下问题：

(1)若44BC=],AC=2,A8=1,求NAPC的大小及lang的值;

(2)已知夕=2的条件下.解下列两个问题：

O

①若5=6，求若+—+。2的值;

②若a=2,求S.

参考答案

1.C

【详解】由复数的概念可知，复数z=3-2i的虚部为-2.

故选：C.

2.A

【详解】根据题意，作出草图，如下:

根据平面向量的共线定理和减法法则，^DE=\DB=UAB-AD\=^-AB-\AD.

22、722

故选：A.

3.B

2.221

【详解】在VABC中，由/+/一。2=岫及余弦定理，得“SC

2ub2

故选：B

4.D

【详解】因为向量a=(2x-l,x),〃二(1/)，且〃_1〃，所以2%-1+1=0,解得“=(,

所以3〃—2Z>=(6x—3,3x)—(2,2)=(-3,-1),所以忸-2/?|=而.

5.C

【详解】由题意知：邪XM=45,W/C=105，则邪1CM=3O,

ABAB

在RtA8W中，AM=

sinAAMBsin150

AMCM

在△ACM中，由正弦定理得

sin30°-sin45°*

AMsin45。ABsin45。

所以CM=

sin30°sin15°sin300

Asin15=sin(45-30)=sin45°cos300-cos45°sin30°=显乂立.旦△=垦也

22224

在RtDCM中,

(15回15卜冬日

CZ)=CM.sin6(r=4fisin45°Sin6QO

306(m).

sin150sin30°

42

故选：C.

6.A

【详解】如图:

因为8。平,分/A8C,所以=又AC=JU，所以AO=勺亘•

CDt>CJ9

AB2+AC2-BC2_16+21-253

在VA3C中，根据余弦定理，可得cosA=

2AB-AC85/2125，

在△ABD中，根据余弦定理,

222，,16x21r,4V2T316x25

BD2=AB+AD2-2ABADcosA=\6+-------2x4x——x—==——

8192y/2\27

所以皿=超=邛

7.B

【详解】如图建立平面直角坐标系，设A8=a,AD=b.

则A（0,0）,以砌,。（0,〃），呜力），AB=（a,O），AD=（O,b）.

从而AM=xA8+)，AO=(a\:,〃y),设BM=2BC，其中0W4W1,

则AM=A8+8M=AB+/IAC，又8。=［一］,。卜

2_

则AM=|jJ_5ja劝上从而,5,因x+y=l+,=；=A=g，

3

x=­1

4=

叫］=>x-4-

V=—

M

8.A

【详解】已知eosA=〃-1，根据正弦定理-^=3=」一

2sin4sinBsine

边化角得：sinCcosA=sinB--siiv\,

2

因为4=兀一（4+。），所以sin8=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

代入上式：sinCcosA=sin/lcosC+cosAsinC--siiv\,

2

整理得siivk'QsC?=—siivl,

2

因为A£（0,7t）,sinA/O,所以cosC=g,得C=],

24

由正弦定理，sinC

3

因此：a=-^=s\nAJ）=^sin^»又8=,一A,Aw（0,2兀

4^-A475

代入得：a+b=—^sin/l+sinI-sinA+cosA=4sinlA+-

V3J⑸2TI6

因为Aw（0,《一71571

,所以A+

o

则由i（A+看

（2J

因此：a+/?=4sin（4+^）€（2,4]

9.AC

2

【详解】选项A：z,-z2=（4-3i）（2+i）=8+4i-6i-3i=8-2i+3=ll-2i,A正确,

选项B：由模长公式区|=亚洋=逐工5,B错误,

=

选项C：Z]+z2=（4—3i）+（2+i）=6—2i,Z）4-z26+2i；

Z1+Z2=（4+3i）+（2—i）=6+2i,

故Z]+Z2=Z]+z2,C正确，

选项D：z.-z2=（4-3i）-（2+i）=2-4i,对应复平面内的点为（2,Y）,

实部为正、虚部为负，位于第四象限，不是第二象限，D错误.

1（）.AC

【详解】对于选项A：因为sinB>sinC,则〃,c,所以4>C,故A正确;

对于选项B：由余弦定理可得+c?-2Z?ccosA,BP24=16+c2-2x4cx—,

2

整理可得C2-4X&-8=0，解得c=2应+4或c=2拉-4（舍去），

所以三角形有一解，故B错误；

对干选项C：因为S=；（/+//一。2）,则；〃加足0=32〃儿050,可得100。=1,

且Ce（O,兀），所以C=2,故C正确：

对于选项D：例如4=8=C=],则a=Z?=c,

可得从osB—ccosC=/”os3—b8sB=0,符合题意，

但VA4C为等边三角形，故D错误；

故选:AC.

11.BD

【详解】如图，作OE_LOC,分别以oc,。石为x轴，y轴建立平面直角坐标系,

由。。=xOC+yOD可得cosg=41一2y,sin6=26y，

对于A,若）=3则8§2夕+5而6=（4》-2），）2+（2向，）2=],解得=；（负值舍去），故i+y得，故

A错误；

对于B,若y=2x,贝ijcosd=4x-2y=。，则。=二，所以。4OP=4cose=0，故B正确；

对干C,ABOP=j-(4cos^,4sin^)=-6cos£?+2>/3sin^=4V3sin^--j^,

由于匹0,y,故夕亨卜第］,故—644氐in("扑6,所以..0--6,故C错误;

归心…斓,且-4sin。］,

对于D,由于24=(1-4cos，J-4sin〃)，

22

1一4sin。=-y--2cos6?-2>^sin^=^--4sin^4--^-j,

PA-PB=(l-4cos0)------4cos0+(-4sin。)

I2)26

HA71「715兀］ULI、I•1八「11所以尸A.PB=g-4sin(e+e'2卫-4="

而，+工€7»T，所以Sine+ze不1故D正确.

6|_66」I6；\_222

故选：BD.

12.3+6/0+3

22

【详解】^z=A-+3i,|z-l+2i|=3=>(x-l)+(y+2)=9,

即(乂力在以4(1,-2)为圆心，半径为厂=3的圆上.

又忖二战+〃2表示o(o,0)至ij(x,y)的距离，

则由图可知|z|«|Q4|+/•="+(-2)+3=3+石.

【详解】在VABC中,由余弦定理得BC2=A82+AC2—2A8ACCOSNCAB，

即64=49+4C2_2AC，解得AC=5,COSZACB=8+5-7=-,

2x8x52

而()<N48〈兀，则/ACB=J,又ZBCD=—,因此4c。=4，

333

所以..AC£>的面积是SMO=:创^4>/3?sin-^15.

14.(3-20兀

【详解】在VA8C中，由正弦定理及c(cosA+cos8)=a+〃，sinC(cosA+cosB)=sin4+sinB,

IjlijsinCcosA+sinCcosB=sin(B+C)+sin(A+C)

=sin8cosc+cosBsinC+sinAcosC+cosAsinC,

^g^(sinB+sinA)cosC=0,而A8w(0,兀)，gpsinA>0,sinB>0,

因此cosC=0,C=[,设该三角形内切圆半径为，

2

则，A8C=!〃〃=；〃(4+~+c)，又C=2，于是「=-Y-=丁

22a+b+c"'+2：(a)—+b+c)T)

=：：+"：=+人一2),由"+〃)4a」+//=4,得a+〃工2夜，

2((7+/?­+2)22

当且仅当a=b=后时取等号，因此7^=0-1,

所以该三角形的内切圆面积的最大值为兀・(&-1)2=(3-2加加.

故答案为：(3-2/加

15.(Dzj=|-1«

(2)9

(1)解：由更数z=2—3i,可得；=2+33因为z.Z1=3z-Z|,可得4・(z+l)=3z,

历以1z+13-3i1-z(l-i)(l+i)1-i222,

(2)解：因为2-3i为实系数方程』+如+〃=0的一根,

所以(2—3i)2+/〃(2—3i)+〃=0,整理得(.+2土一5)-(12+3⑹i=0,

所以〃+2〃?一5=()且12+3〃z=0,解得〃?=-4,〃=13.

所以"2+〃=-1+13=9.

16.⑴g

0

⑵6+6G

(1)解：因为Ct(O,乃)，贝lJsinC>(),由已知可得GsinC=2sinCcosC，

可得cosC;立，因此，C=£.

26

(2)解：由三角形的面积公式可得54必=；。加m。=1。=66，解得“=46.

由余弦定理可得T=fl2+/?2-2^cosC=48+36-2x4x/3x6x^=12,:,c=2应,

所以，VAAC的周长为4+"C=6>/5+6.

13

17.⑴OM=—a+—b

(2)7

【详解】⑴设OM=.+〃〃，，〃、8三点共线,

:.存在非零实数k使得CM=kCB=k(OB-OC)=kb

4

:.OM=OC+CM=-a+kb--a=—a+kb

444t

\-k

m=------1_>i_

4,解得〃7=—「①，

n=k4

又。、M、4三点共线，，存在非零实数/使得。M=fZM=«O/"OD)=s-?.

It\-t

:.OM=OD+DM=—b+ta——h=ta+-----b.

222

m=t

I-Iff

又OM=ma+，ib,,1—/,解得〃=~--②.

n=-----2

2

由①②解得〃?=T，〃=

/.OM--a+—b；

77

(2)由(1)知OV/=,a+—〃，

77

F、M、七三点共线，

・•.存在非零实数h使得=hFE=h(OE-OF)=hAa-〃皿，

ia=-

7

vFM=OM-OF=^\b,所以

,3

13

消去力得〃+3义=74/,.,.丁+—=7.

18.(1)100米.

(2)S*G(500073,2OOOOx/3)

(3)400米

【详解】(1)设CE=x米，

依题意可知CE_LAC,CEtBC,

又在八、8处分别测得塔顶E的仰角为45。、30。即N£4C=45。，NE4C=30。,

.,・可知AC=x,8c="x,...在V48C中，ZCAB=p

据余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABCOS^CAB，

即3fnf+zo^-zOOx,解得：x=100或x=—2(X)(舍去)

・•・塔高CE为100米.

(2)设ZAC8=a,则/CZM=f-a,

AB_AC

则在VABC中，据正弦定理得前兀“「故AC=竺她r+100,

Jtana

n

0<a<—

又依题可知，V48c为锐角三角形，则02即Jvav],

2n兀62

0n<----a<—

32

故lanaw(¥，+8,则AC=^^+100w(100,400),

XS5c=-ACABsin^CAB=50GAC,则5诋(500()6,2OOOOx/3).

(3)在△AB。中，据余弦定理得”2=4)2+082-24DO8cosO，

.•.2OO2=AD~+DB--ADDI3=(AD+Dfi)2-3AD-DB

“AQ+£>8)2_3(AD；D8)=；(AO+OB『.

(AQ+/MJW4x2(X)2,.仞+加工秋，

当且仅当AP=8。=200时取等号，故所走路程AD+BD的最大值为400米.

19.(1)ZAPC=—,tan<9=—

34

(2)012；②①

【详解】(1)

A

所以cosNC48=!，而/C4A为锐角，故NCA8=j所以NAC8=二,

236

所以NPAC=g_0,而ZACP=8,故NAPC