北京市丰台区2025-2026学年第二学期期中练习高一数学（含答案）

北京市丰台区2025-2026学年第二学期期中练习高一数学

一、选择题：本大题共10小题，共50分。

1.复数z=3-i的虚部为（）

A.iB.-iC.1D.-1

2.如图所示，观察四个几何体，下列选项中，量送的是（）

A.2是棱台B.②不是圆台C.③是极锥D.©是棱柱

3.已知向量N=（2,-1）,匕=（工,4）.若N_Lb,则不等于（）

A.8B.-2C.-8D.2

4.若a+2i=i(b+i)(a,bWR),其中i是虚数单位，则a+b=()

A.-1B.1C.-3D.3

5.下列说法不正确的是（）

A.底面是正多边形的直棱柱是正棱柱B.底面是正多边形的棱锥是正极锥

C.棱柱的侧楂相互平行D.正棱柱的高与侧棱长相等

6.在复平面内，复数Z],Z2对应的点关于实轴对称，且Zi=l+2i,则Z-Z2=（）

A.-l+2iB.1-2iC.5D.-3

7.在中，已知Q=3质，c=2,B=^n,则b=（）

6''

A.713B./22C.2x<10D.7

8.“4、B、C、。四点共线”是“而与而共线”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必耍条件

9.在Rt△力8c中，C=90°,AC=3,BC=4,。为48的中点，点P在线段Q?上，则瓦？•丽的取值范围为（）

A.[-y,0]B.[0阴C.[-4,0]D.[0,4]

10.在中，内角48,。对应的边分别为Q”,C,若力a=73,则b+c的取值范围是（）

A.（0,2]B.（x/^,2/3]C.（3,373]D.（3,6]

二、填空题：本大题共5小题,共25分。

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11.如图所示，已知正方形网格中每个小正方形边长为1,则向量五与了夹角的余弦值为

⑵在中，何=2,BC=&,4屋，则8=

13.如图，在复平面内，复数Zi和Z2对应的点分别是力和氏则为=；等于

A

O1x

一」邑」

14.如图所示，水平放置的四边形48CD的斜二测直观图为矩形力‘8'C'ZT，若A'8'=2,BC=1，

15.如图正八边形力8CDQGH,。为正八边形中心，已知。A=l，P为正八边形A8CDQGH边上的动点，给

出下列结论:

次与而夹角啰

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颜方在双5上的投影向量为-与殖

幽？•厢的最大值为

④存在点P,使得|P川2+\PB\2+\PC\2+|P0|2+\PE\2+\PF\2+\PG\2+\PH\2=15

其中正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.已知平面向量=(I,-2),08=(4,771).

(1)若憎初一而|=20，求实数m的值；

(2)设。弓,1),若48,C三点共线，求m的值.

17.已知△A8C的周长为18,cos/l=-i,AB=7.

(1)求BC：

(2)求△ABC的面枳.

18.如图，在菱形4BQ5中，AB=2,乙兄40=60。，点E为边CO的中点，点F为线段BE上靠近8的三等分点

(即设丽=市AD=b.

(1)用基底回了｝表示向量丽，AF：

(2)若点尸为线段8。上的动点，求方•标的最小值.

19.在"BC中,内角48,。对应的边分别为a,b,c,且氏osC+ccosB=2acos力.

(1)求角4

(2)已知c=3,再从条件①、条件②、条件戮三个条件中选择一个作为已知，使得△48C存在且唯一确定,

求BC边上中线力D的长.

条件①：cosB=-5；

条件②：a=-/19；

条件③：b=5.

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注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答

计分.

20.在T8C中,内角4,8,C对应的边分别为Q,瓦c,4D是ZB4c的角平分线.

⑴证明：翳亲

(2)已知48=2门，4c=30，丽=9,CM=tCA+(l-t)CB,求|丽|的最小值.

21.设n是给定的正整数,2=石=(力,、2,…,0)(其中4%WR，，=12,3,…,九),定义互方=

%i>i+x2y2+…+%”%.已知集合S={a\a=(a1,a2t-,an),atW{0,1},i=1,2,…,九}.若集合S满足下列两个

条件，则称集合S具有性质P.

条件①：对于集合S中任意一个元素a,都有a・a为奇数：

条件②：对于集合S中任意两个不同元素心,心，都有为偶数.

(1)判断集合4={(1,0,0),(0,1,0)}和8={(0,0,1),(1,1」)}是否具有性质P;

(2)若n=4,且集合S具有性质P,求集合S中兀素个数的最大值；

(3)若集合S具有性质P,求集合S口元素个数的最大值.

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参考答案

1.0

2.A

3.0

4.B

5.B

6.C

7.D

S.A

9.A

10.5

"福

当或竽

13.2+i：；；：；：

14.4<2

15.(2AW

16.解；(1)因为五=(1,-2),OB=(4,m),所以2百一丽=(-2,—4—m),

因为|26？―而|=所以J(-2产+(—4-m)2=2，7,

整理得打理+8?n+12=0,解得m=-2或m=-6.

(2)法一：因为4B,。三点共线，

所以后〃而，

因为而=而—雨=(3,m+2),AC=OC-OA=

所以,(m+2)=9,所以巾=4.

法二：因为力，B,。三点共线，

所以存在实数3使得近=£引+(1-£)砺，

即6,1)=t(l,-2)+(1—t)(4,ni)=(4—3t-2t+m—mt),

所以卜-3t=,即卜T.

—2t+m—mt=1Im=4

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17.解：(1)因为A/IBC周长为18,AB=7.

所以2C+BC=11,即AC=11-BC.

AB2+AC2-BC2

由余弦定理可得cosA=

-2ABAC-

所以多弯普孝BC>°，解得BC=8.

(2)因为COS/1=—y,AE(0,7T)

所以sinzl=V1-cos2/I=

由(1)可知4C=11-BC=3

所以S<8c=.AC-sinA=1x7x3x^=673.

18.解：=AD-AB=~b-a

_1_

BE=BD+DE=b—a4-^-a=b—

乙

h+^b.

=+=+=a+1(b-ia)=o3

(2)设丽=2丽，Ae[0,1],

则而=AB+BP=AB+ABD=AB+X(AD-=a+A(b-a)=(1-A)a+Ab,

a2=4,b2=4,a-b=2x2xi=2,

所以而.而=偿五+•[(1-2)a+Ab]

=4(1一入清+J高2[51-

+A+5-(l-1)a-b

o3zoJ

104/I

=-Q-(1—4)+司4+2(5/1+可

•D。\2乙3。

=4-A

当；1=1时，取得最小值为3.

19.解：(1)方法一：由正弦定理高=焉=肃=2心R为三角形外接圆半径,

代入bcosC+ccosB=2acosA,得sin/?cosC+sinCcosB=2sin4cos4,

即sin(B+0=2sin4cosA.

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由/+B+C=yr,sin(fi+C)=sinA,故sin4=2sin/lcos4.

因为sin/。。，所以cos4=；,又4€(O,?r),所以4=J.

方法二：因为bcosC+ccosB=2acos4,

i,zra.a2+b2—c2,a2+c2-b2b2+c2-a2

由余弦定理得b•-z-r—+c——----=2na—————，

2abZac2bc

22

化简得/+c-a=be即cosA=)芍2he一"=2

%e(o,7r),所以4=半

(2)选条件①：cos8=-|,c=3,A=*

因为cosB=-,V0,所以5E得,TT),sinB=V1-cos2B-

J\fczJ

则sinf=sin(7r—A-S')=sin(A+B)

工_6-2口

=sinAcusB+cusAsinB=<0.

¥•(4)十2・T=―6-

三角形内角正弦值必为正，故A力BC不存在.

选条件②a=/19,c=3,A=1.

由余弦定理层=b2+c2-2bccosA,得（、不）2=按+32-2匕.3

即19=/+9-3匕，整理得扭-3/7-10=0,解得b=5或匕=一2（舍去）.

故上一5,三角形唯一确定.

因为AD为BC边上中线，由向量关系得而=*通+元），

两边平方得|而E=；（|前产+\AC\2+2AB-AC）,

代人所|=c=3,|菊=b=5,AB-AC=bccosA=3x5x1=y,

得而/=”+52+2x学）=—9+25+15）=群所以40=

1\Z•i乙

选择条件③：6=5,c=3,A=与，

｛。为边上中线，所以而=*而+元），

\AD\2=］（|而|2+\AC\2+2AB.硝，

代入|而|=3,|而|=5,而•玄=3x5xcos?=^,

得|初2=）（9+25+15）=鬃，所以40=］三角形存在且唯一.

14

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20解⑴在“四中，焉h』,即上骁需

在"n小DC_b印[℃_sinzJX4C

在'中'sinzD/lC-sinZwC*'。丁-sin-C，

因为40是N8/1C的角平分线，

所以NB/1。=Z.DAC,s\nz.BAD=sinz.DAC,

因为s\nz.ADB=sinz4DC,

所以好=华，即等

cbDCb

（2）因为48=24，力C=3C,AB-AC=9,

所以8sM何=儡禽日，5LLBACe（o,7r）,

所以45AC=g所以,ZMD=zZMC=J.

Jo

因为由=tg5+(l-t)而，所以M在直线48上,

当DM1时，|丽|有最小值.

在，48。中，。2=房+。2—2bccos/-BAC=12+27-2x2/3x3/3x1=21,

由G>0解得a=\[2i.

f4i/a、4a8/?c2xf32匚匚“cc2-21

由（1）得加=石=砧=3,所以BD=M，

“dcikr,a2+c2-b221+12-27。

在"8C中'8sB==2x2⑸、出=育

所以sin8=V1-cos2B=4/，

在AS/43M中，DM=BDsxnB=t

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所以I而I的最小值为£.

21.解：(1)集合力具有性质P,集合B不具有性质P.

(2)集合5中的每个元素含奇数个1,所有含有奇数个1的元素共有8个，

将所有含有奇数个1的元素分成如下4组：

£1={(1,0,0,0),(1,0,1,1)},E2={(0,1,0,0),(0,1,1,1)},

E3={(0,0,1,0),(1,1,1,0)},E4={(0,0,0,1),(1,1,0,1)}

一方面若集合S中有5个元素，

由抽屉原理S中至少有两个元素来自号(i=1,2,3,4),

因为每个集合号。=1,2,3,4)中的元素不能同属于集合S,

所以集合中元素个数不超过4；

另一方面，S={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}，具有性质P;

所以集合S中元素个数最大值是4.

(3)设集合S中元素个数为m,

一方面m<n,

若山之九+1,记5=…,即}，

对于任意一数组«1，3…"血)，其中&€{0,1},i=l,2,…,

可生