常用逻辑用语（讲义）-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区）

第2讲常用逻辑用语•配套讲义

一、考情分析....................................1

二、知识清单......................................................................1

一、充分条件、必要条件、充要条件..........................................2

二、全称量词与存在量词.....................................................3

三、含有一个量词的命题的否定...............................................3

三、方法总结.....................................................................3

考点1：充分条件与必要条件.................................................3

考点2：全称量词与存在量词命题.............................................4

考点3：根据命题真假求参数范围.............................................4

四、典题精讲.....................................................................5

考点1：充分条件与必要条件.................................................5

考点2：全称量词与存在量词命题.............................................7

考点3：根据命题真假求参数范围.............................................7

一、考情分析

1.考查频次与题型

年份题号与题型分值考查内容

2026-。分全国一卷中未直接考查

2025-0分全国一卷中未直接考查

2024-0分全国一卷中未直接考查

2023第7题（单选）5分充分条件与必要条件（与集合交汇）

从近年全国一卷（新高考I卷）的情况来看，常用逻辑用语的考查频次呈现出一定的

波动性.2023年在单选题中进行了直接考查，但近三年（2024-2026）的试卷中未出现直接

针对该考点的独立试题.

2.命题角度与特色

核心考点：充分条件与必要条件的判断，全称量词与存在量词命题的真假判断与否定.

命题趋势：常用逻辑用语作为独立考点进行直接命题的频率有所降低.它更多地作为

数学的基础语言，自然融入到函数、导数、不等式等模块中，例如在表述恒成立与存在性

问题时使用“对仟意”“存在”等量词（如2026年全国一卷第19题题干中自然出现的“对仟意

%oER'"'存在”等表述）.

试题特点：当直接考查时，通常与集合、不等式、数列等知识点交汇，以单选题形式

出现，难度中等偏易，侧重考查概念的理解与等价转亿.

3,备考策略

・夯实基础概念：准确掌握充分条件、必要条件的定义，熟练运用集合的包含关系

（小集合是大集合的充分条件）进行判断.

・注重语言转化：重点理解“对任意（V）”和“存在（3）”的数学含义，熟练掌握含量

词命题的否定规则，并能将其灵活应用于函数恒成立与存在性问题的求解中.

・关注知识交汇：在复习其他模块（如向量、三角、解析几何）时，注意梳理相关定

理和公式的成立条件，培养严谨的逻辑推理习惯，以基础题和概念题为主，不必在偏难怪

的纯逻辑题上耗费过多精力.

二、知识清单

一、充分条件、必要条件、充要条件

L定义

如果命题“若p,则q”为真（记作p=q）,则p是q的充分条件；同时q是p的

必要条件.

2.从逻辑推理关系上看

•若p=q且q分P，贝Jp是q的充分不必要条件.

•若p#q且q=p,贝］p是q的必要不充分条件.

・若p=>q且qnp,贝Jp是q的充要条件（也说p和q等价）.

・若p#q且q#p,则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p=q,则p是q的充分

条件，同时q是p的必要条件.所谓“充分”是指只要p成立，q就成立；所谓“必要”

是指要使得P成立，必须要q成立（即如果q不成立，则p肯定不成立）.

3.从集合与集合之间的关系上看

设4={xIp（x）},B={x\（?（%）}.

•若力GB,则p是q的充分条件（p=q）,q是p的必要条件；若AqB,则p是

q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.

•若BU4,则〃是q的必要条件，q是〃的充分条件.

•若/=B,则p与q互为充要条件.

【易错提醒】在利用集合关系判断充分必要条件时，切记“小集合是大集合的充分条件，

大集合是小集合的必要条件”.

二、全称量词与存在量词

L全称量词与全称量词命题

短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.含

有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个X,有p(x)成立”

可用符号简记为“VxWM,p(x)”，读作“对任意％属于M,有p(x)成立”.

2.存在量词与存在量词命题

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“于'表

示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的一个％°，使p(%)

成立”可用符号简记为'勺*WM,p(%)”，读作“存在M中元素％°,使p(x0)成立”

(存在量词命题也叫存在性命题).

三、含有一个量词的命题的否定

1.命题的否定形式

•全称量词命题p:\fxeM,p(x)的否定-ip为3%0EM,-)p(x0).

•存在量词命题p：3x0EMp(%o)的否定-ip为Vx€

【易错提醒】全称量词命题与存在量词命题的否定，必须将条件中的全称量词和存在量

词互换，且只对结论进行否定，不能改变条件范围.

2.常见的一些词语和它的否定词

原词等于任意(所至多有至少有

大于(>)小于(<)是都是

语(=)有)・个两个

否定不等于小于等于大于等于不不都至少有一个都

是某个

词语(。)(<)(>)是两个没有

三、方法总结

考点1：充分条件与必要条件

考法1：定义法与集合法判断充要关系

・利用定义判断：明确推出的含义，是〃成立q一定成立才能叫推出，而不是有可能

成立.举反例是推翻充分性或必要性最直接有效的方法.

・利用集合关系判断：充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，

而大集合推不出小集合.借助Venn图是极为有效的直观工具.证明必要性时，构造一个满足

条件的特殊集合是常见的解题技巧.

考法2：结合函数与方程判断充要关系

•将条件等价传化为函数或方程的性质（加复合函数单调性的“同增异减”，三角方

程解集等），再比较参数取值集合的包含关系.

考法3：结合向量与几何判断充要关系

・处理向量的充要条件判断时，数量积的变形（如展开、因式分解）是揭示向量垂直

或共线关系的核心手段.

考法4：根据充要关系求参数范围

•标准流程：解不等式化为集合T确定集合间的包含关系T转化为端点值的不等式组.

•若不等式两根大小不确定，务必对参数进行分类讨论.

•在求解参数取值范围时，要特别注意端点值是否能取到，避免漏解或多解.

考点2：全称量词与存在量词命题

考法1：含量词命题的否定与真假判断

•真假判断：耍判定一个全称量词命题是真命题，必须严格证明；耍判断为假命题，

只要举出一个反例.要判断一个存在量词命题为真命题，只要找到一个特例使之成立即可;

否则为假命题.

・判断超越不等式恒成立，构造函数求最值是最通用的法宝.既要通过汉字意思理解，

又要通过严格的数学推导得出结论.

考点3：根据命题真假求参数范围

考法1：二次型恒成立与存在性问题

・解决含参二次不等式恒成立问题，切记“先看头，后看尾”.即必须优先讨论二次项

系数是否为零，再结合开口方向和判别式列出不等式组.

考法2：主元法解决恒成立问题

•当不等式中参数的次数较低（通常为一次）而变量次数较高时，果断采用“主亓

法”，将参数视为主变量，原变量视为常数，利用一次函数的单调性转化为端点最值问题.

考法3：分离参数法解决恒成立问题

•分离参数法是解决恒成立或存在性问题的通用利器.核心原则是：Q>/（%）恒成立今

Q>/（X）max；。之f。）有解<=>fl>

•正难则反：在解决求参数的取值范围问题上，若直接求解存在命题较难，可以先利

用其否定（全称命题）为真求出参数范围，再取补集.

四、典题精讲

考点1：充分条件与必要条件

考法1：定义法与集合法判断充要关系

例1.（2025•青岛•一模）设”为全集，A,B是集合，则“存在集合C使得4。C,BQ

C£'是“力nB=。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【思路】判断充要条件，可以从条件推结论，再从结论推条件.本题涉及集合的包含与补集关系，

借助Venn图直观分析，或者利用集合的运算性质进行推导.

【解析】由8JCu。，得80匚=0,而AJC,则=故“存在集合C使得AJC,BJ

QC”是“4CB=。”的充分条件；由4n8=。，存在一个集合C=4使得4£C,8£QC,

二“存在集合C使得4GC,BcCuC”是“4Cl8=的必要条件.故选：C.

【规律】判断集合关系的充要条件时，Venn图是极为有效的直观工具.同时，证明必要性时，构造

一个满足条件的特殊集合（如令C=4）是常见的解题技巧.

考法2：结合函数与方程判断充要关系

例2.（2026・皖江名校・5月模拟）“函数/（%）=lg（x2-ax）在区间（2,+oo）上单调递增”

是aa<r的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【思路】处理复合函数的单调性问题，需遵循“同增异减”原则，并特别注意对数函数真数大于

零的隐含条件.求出使函数单调递增的参数范围后，再与已知条件进行包含关系的对比.

【解析】/（x）=lg（x2-ax）在区间（2,+8）上单调递增aV%>2,一一a%>o且三工2,解得

a<2..*.aW2是aW1的必要不充分条件.

【规律】判断含参命题的充要条件，本质上是比较参数取值集合的包含关系.小集合是大集合的充

分条件，大集合是小集合的必要条件.

考法3：结合向量与几何判断充要关系

例3.（2026・天壹名校・5月模拟）对于平面向量a,b,设甲：a2=2026a-b,乙：a=0,

则（）

A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

【答案】B

【思路】探究向量等式与向量为零之间的逻辑关系.对于甲条件，可通过移项提取公因式，将其转

化为向量数量积为零的形式，进而揭示向量间的垂直或零向量关系，再与乙条件进行双向推导.

【解析】对于充分性，当。鼠。-20268）时甲成立，而乙不一定成立，矛盾；对于必要性，a=0

时a?=2026a•b=0,成立，故选B.

【规律】处理向量的充要条件判断时，数量积的变形（如展开、因式分解）是核心手段.同时，举

反例是推翻充分性或必要性最直接有效的方法.

考法4：根据充要关系求参数范围

例4.已知集合/4=（%|%2-%-12<0},B={x\x2-3mx4-2m2+m-1<0},若

4”是“％的必要不充分条件，则实数小的取值范围为（）

A.[-3,2]B.[-1,3]C.[-1,|]D.[2,|]

【答案】C

【思路】必要不充分条件对应着集合的真子集关系.解题时需先解出两个一元二次不等式对应的集

合，特别注意集合B中两根大小的比较，这需要对参数进行分类讨论，最后根据广集关系列出不

等式组求解.

【解析】由题意集合力={%|——%—1240}=[-3,4],B={x\x2-3mx+2m2+m-1<

0}={xI（x—?n—l）（x—2m+1）<0},若m>2,则2m—+此时8=（zn+1,2m-

2ni—144

1),•・•是“无€人’的必要不充分条件，・・・BG4・•・m+lN-3,・・・2若

m>2

mV2,则2m-lVm+l,此时8=(2m-1,zn+1),:“xWA”是“％£B”的必要不充分

m+1<4

条件，»'.BA,2m—1>—3»-1<m<2：若m=2,则2m—l=m+l,此时B=o,

m<2

满足BQA,综合以上可得[-13.故选：C.

【规律】处理含参不等式的充要条件问题，标准流程为：解不等式化为集合—确定集合间的包含

关系一转化为端点值的不等式组.若不等式两根大小不确定，务必分类讨论.

考点2：全称量词与存在量词命题

考法L含量词命题的否定与真假判断

例5.(2026•黄冈•一模)已知命题p:Vx6(0,+8),e">》,则()

A.p是假命题，->p：mx£(0,+8),靖4%

B.p是假命题，-ip:3xG(0,+oo),e^<x

C.p是真命题,-«p:Bx(0,+oo),ex<x

D.p是真命题，-ipTxW(0,+8),/4工

【答案】D

【思路】面对含参或复杂超越函数的恒成立命题，直接判断真假较为困难.可以构造新函数，利用

导数工具研究函数的单调性与最值，从而严谨地证实或证伪全称命题.同时需牢记量词命题否定的

规则.

【解析】设/(%)=ex-x,则/1'(%)=ex-1.由//(%)>0=>x>0；由ff(x)<0=>x<0..••函

数f(%)在(-8,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增.・・・/")的最小值为>(0)=e0-0=

l..,.ex—%21=£*2*+1=靖>%对%£区恒成立VxE(0,+8),ex>x成立，即命题p为

真命题.丁全称量词命题的否定是存在量词命题，，-ipTxW(0,+8),靖工工故选：D.

【规律】全称命题的否定需变更为存在命题，且只否定结论，不改变条件范围.判断超越不等式恒

成立，构造函数求最值是最通用的法宝.

考点3：根据命题真假求参数范围

考法1：二次型恒成立与存在性问题

例6.若命题P；"3xGR,(Ie?-l)x2+4(1-k)x+3£0”是假命题，则k的取值范围

是()

A.[1,7]B.(1,7)C.[-7,1]D.(-7,1]

【答案】B

【思路】存在量词命题为假，等价于其否命题(全称量词命题)为真.转化后得到•个二次项系数

含参的不等式恒成立问题.处理此类问题，必须像条件反射一样，优先单独讨论二次项系数等于零

的情况，再利用判别式处理系数不为零的情况.

【解析】・・•命题“二WR,(々2-1)%2+4(1一女汝+3W0”是假命题，.••命题“VxWR,(k2-

1)/+4(1—k)x+3>0”是真命题.若U—1=o,即k=1或k=-1..当A=1时，不等式为

3>0,恒成立，满足题意；当々=-1时，不等式为8%+3>0,不恒成立，不满足题意.当A?-

…时，则需要满足烂标黑2_4X旧_1)X3<0,即写*解得1<

AV7.综上所述，k的范围是[1,7).

【规律】解决含参二次不等式恒成立问题，切记“先看头，后看尾”.即先讨论二次项系数是否为

零，再结合开口方向和判别式列出不等式组.

考法2：主元法解决恒成立问题

例7.若命题FaE[—1,3],a%2-(2a-1)x4-3-a<0"为假命题，则实数x的取值范

围为()

A.[-1,4]B.[0,|]C.[-1,0]U[|,4]D.[-1,0)U

(>]

【答案】C

【思路】面对含有两个变量的不等式，常规思维是把X当作自变量.但观察发现，不等式中参数Q

的最高次数仅为一次.此时应转换视角，将Q视为主元，构造关