三角形（数学竞赛题汇编）-八年级全国（解析版）

专题09三角形

全国各地竞赛真题试题汇编「

1.（2023八年级-广东深圳-竞赛）已知平面直角坐标系中48C三点的坐标分别为（-20,（2。（一7,0,

在直线AC下方的y轴上有一条长为1的线段EF（E在上/在下），当线段EF在y轴上滑动时四边形ACEF

的周长的最小值为（）

X.3+a+0B,2+2^5C.1+C+E

D.2+2^3E,3+2/2

【答案】C

【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质.

如图，作BOIIEF,且8O=EF=7,连接CD交y轴于点£连接AF,BF,此时四边形ACEF的

周长最小.根据勾股定理求出AC=GCD=>Tld,进而计算即可.

【详解】解：如图，作BDIIEF,且BD=EF=7,连接CD交y轴于点£连接AP,BF,

「.BOEF是平行四边形，

.-.BF=DE,

•.•A(-ZO),B(2,6,

,\AO=OB,

♦.FO1AB,

AF=FB

/.AF=DE

.•・四边形ACEF的周长=AC+EF+CE-f-AF=AC+EF+CE+ED,

即E在线段CD上时四边形ACEF的周长最小.

••・A(-20.cm,

...AC=+22=6

•.•B(Z0,BD\\EF,

1/28

.'.CD=4（—―2）2+（2—7）2二g

」.四边形ACEF的周长=AC+EF+CE+ED

=AC+EF+CD

=0+i+/w.

，四边形ACE尸的周长的最小值为7+0+方.

故选：C.

2.（2023八年级下•四川宜宾•竞赛）已知四条线段的长分别是9、5、儿1（其中x为正实数），用他们

拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如图）则x的取值个数为（）

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理，作E81AC交AC的延长线于E,则四边形CO8E

为矩形，从而可得CE=BO,BE=CD,由图可得，AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x,

再分情况讨论，结构勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解

此题的关键.

则NBDC=ZDCE=NE=90°,

四边形CORE为矩形，

,,CE=BD,BE=CD.

由图可得，AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x,

当AB=9,CD-X时，则AE-AC+CE—AC+BD=5+7=6,BE=CD=x,

由勾股定理可得：AE2+BE2=AB2,即62+x2=于，

解得x=3V5（负值不符合题意，舍去）；

当AB=9,CD=5时，则AE=AC+CE=AC+BE=x+7,BE=CD=5,

由勾股定理可得：AE2-f-BE2=AB2,即（x+7/+★=绊，

2/28

解得X=25-1（负值不符合题意，舍去）；

当AB=9,CD=7时，则AE=AC+CE=AC=5+x,BE=CD=1,由勾股定理可得：

222

AE+BE=ABf即（x72=解得x=40一5（负值不符合题意，舍去）；

当AB=x时，CD=9时，则AE=AC+CE=AC+BE=5+7=6,BE=CD=9,

222

由勾股定理可得：AE+BE=AB1即62+f=x1

解得x=3^13（负值不符合题意，舍去）；

当A8=*时，CO=5时，则AE=AC/CE=AC+BE=9+7=70,BE=CD=5,由勾股定

理可得：AE2+BE2=AB2,即夕+7炉=x]

解得x=50（负值不符合题意，舍去）；

当AB=x时，CD—7时，则AE-AC+CE—AC+BE=5+9=14,BE=CD-7,

由勾股定理可得：AE2+BE2=AB2,即742+72=x{

解得x=/函（负值不符合题意，舍去）；

故《的取值个数为6个，

故选:D.

3.（2023八年级下•浙江杭州•竞赛）如图，将四边形纸片ABCD沿过点力的直线折叠，使得点8落在

CD上的点财处，折痕为AP；再将△ADM分别沿PM,AM折叠，此时点C,D落在AP

上的同一点N处.则关于结论：①MN1AP；②当四边形APCD是平行四边形时，AB=QMN.下

列说法正确的是（）

A.①②都错误B.①②都正确

C.①正确②错误D.①错误②正确

【答案】D

【分析】本题主要考查了翻折变换、平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识

点并灵活运用这些性质是解题的关键.

由折叠的性质可得NB=NAMP,ADAM=ZMAP=ZPAB,ADMA=

ZAMN,NCMP=NPMN,ND=NANM,NC=NMNP,由平角的性质可得ND+NC=

18CP,NAMP=&7°,可证AD〃BC,由平行线的性质可得NDAB=/7°,若MN1AP,贝ij

AADM=ZMNA=ZC=90°,即四边形ABCO为矩形，而题目中无条件证明此结论，即可判断①;

3/28

由平行四边形和折叠的性质可得AN=PN,由直角三角形的性质可得AB=QPB即可判断

②.

【详解】解：由折叠的性质可得：ZB=ZAMP,ADAM=ZMAP=ZPAB,ZDMA=

NAMN,NCMP=NPMN,ZD=ZANM,NC=/MNP,

•.•NMNA+NMNP=780°,

.•.ND+NC=78/

:.AD//BC,

ZB+ZDAB=18g

•；NDMN+/CMN=J80°,

j.Z.DMA+NCMP=9CTf

：.Z.AMP=900,

/.ZB=ZAMP=9CPt

/.ZDAB=90°,

若MNJ.AP,则NAOM=NMNA=NC=9疗，即四边形ABCD为矩形，而题目中无条件证明此

结论，故结论①不正确；

,Z.DAB=90°,

..ZDAM=/.MAP=ZPAB=",

由折叠的性质可得：AD=AN,CP=PN,

•.•四边形APCO是平行四边形，

,\AD=PC,

.•.AN=PN,

又•••/AMP=9（r,

...MN=»P，

•.•NPAB=3/NB=90

:.PB=jAP,

：.PB=MN,

二.AB=43PB=QMN,故结论②正确.

故选：D.

4.（2023七年级下•广东•竞赛）如图所示的△ABC和在△ABC中，ZADB=ZBDC=

ZCDA=12CP,〃、八印、x由如图标出，则*与"+w的大小关系为（）

4/28

R

=u-FV-/-wC.xvu+u+wD.x丰u+

Vw

【答案】B

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，将△BOC绕点8

按逆时针方向旋转&7°,到△BEF的位置，易得EF=CD,BD=BE,BC=BF,NDBE=NCBF=

6),进而得到48。5和4BCF均为等边三角形，推出人I)、E、/四点均在一条直线上，进而得到AF=

u+u+w,以线段AF为边在点8一侧作等边△AFG.△AFG即为符合条件的等边三角形，其中的点8

即为点M证明△AFC三△GFB(SAS),得到BG=CA=b,即可得出结论.

【详解】解：如图，将△BDC绕点/按逆时针方向旋转87°,到aBEF的位置:.

连接DE,CF,则：EF=CD,BD=BE,BC=BF,NDBE=NCBF=60°,

「.△5。后和aBCF均为等边三角形，

DE=u,CF=a,Z.EDB=609,

：Z.ADB=120NBDE=6(T,

..AADE=780°,

则,4、D、月三点共线(即该三点在同一条直线上).

同理，•；NBEF=/BDC=72O°,NBED=60°,

即/DEF=180则〃、E、尸三点共线，

:.A.D、E、尸四点均在一条直线上.

,/EF=DC=w,

5/28

线段AF=u+v+w.

以线段AF为边在点台一侧作等边△AFG,

则4AFG即为符合题意条件的等边三角形，其中的点笈即为点加

正三角形的边长为u已证，BA=cfBF=BC=a,

下面再证BG=>

•/ZCFB=ZAFG=6(T.

即N7+NEFB=N2+NEFB=6(T,

.•./7=N2

在4人尸。和aGFB中，

,/FA=FG,N1=N2,FC=FB.

/.△AFC三△GFB(SAS),

.•.AC=GB,即BG=CA=b.

从而点B(M)到等边△AFG三个顶点的距离分别为日、b、c,

且X=U+V+w.

故选:B.

5.(2023八年级下•广东佛山•竞赛)已知&八。是△ABC的三边长，且满足+C?=2山。/。一b),

则此三角形是______________.

【答案】等边三角形

【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意，将题中式子选行化简得到(。一^)2+3-，2=0,推

出a=b=c,得到这个三角形是一个等边三角形.据此解答.

【详解】解：•.■a2+c2=2b(a+c-b),

a2-t-c2-2ab-2bc+2b2=0,

a2-2abH-b2+c2-2bc+b2=0,

即(a-b)2+(b-c)2=0,

:.a-b=0且b-c=0,

:.a=b=c,

二.这个三角形是一个等边三角形.

故答案为：等边三角形.

6.(2024八年级下•广东揭阳•竞赛)已知△ABC三边长分别为&b,c,且满足历工夫(7+b，-

C2)2=0,则△ABC的形状为.

【答案】等腰直角三角形

628

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负

性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质

是解题的关键.

根据已知，^a-b+(a2-hb2-c2)2=0,可得［a-b=0且佃2+c?尸=。,进而得出a-b=0,

a2-kb2-c2=0,^a2^b2=c2,根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义即可得出答案.

【详解】解：•••"b+(a2+b2-c2)2=0,

-b=0且(a?+b?_c2)2=0,

二a—b=0,a2+b2-c2=0,-f-b2=c2,

：・a=b,△ABC是直角三角形，

.•.△ABC是等腰直角三角形.

故答案为：等腰直角三角形.

7.(2023八年级下•浙江宁波•竞赛)如图，四边形ABCD是菱形，AB=8,且NABC=6〃，M为

对角线BD上任意一点，贝ij2AM"的最小值为.

【答案】8c

【分析1本题考查了菱形的性质(对角线平分内角、各边相等)、直角三角形的性质(3疗角所对的直角边

等于斜边的一半、勾股定理)，解题的关键是通过构造MH1BC将待求式2AM+BM转化为2(AM+

MH),再利用点M位于AT边上时取等号确定AM的最小值，进而求出2AM+的最小值.

由菱形性质得NDBC=jzABC=30、过用作MH1BC,在R【△中，由3^角性质得MH=

钟M,故2AM=2(AM过力作ATJ.BC,在RtaABT中，由NABC=6疗得

ZBAT=3/故BT=^AB=4再用勾股定理算得AT=^AB2-BT2=4y/3-,又AM+MH>AT

(点M位于AT边上时取等号)，因此2(AM+MH)>8^3,即2AM+BM的最小值为8^3.

【详解】解：如图，过点工作ATJ_BC于7；过点M作MHLBC于H

7/28

•.•四边形A8CD是菱形，ZABC=60°,

..Z.DBC=jzABC=3（T,

•；MH1BC,

；.NBHM=9/

.♦.MH=jBM,

•••AM+•M=AM+MH,

-AT1BC,

.'.ZATB=9（Tt乂由NABC=6"知NBAT=3〃，

:.BT==AB=：x8=4,

...AT=qAB?-BT2=弋82-42=4>[3,

AM+MH>AT（点/位于AT边上时取等号）

AM+MH>4^3,

:.AM+：BM>4j~3,

:.2AM+BM>80

:.2AM+BM的最小值为8^3,

故答案为84.

8.（2023九年级•北京朝阳•竞赛）已知E为BC的中点，DELAE,AB\\CD,若。E=3,AE=4,

BC=^,则线段AB与CD的长度之差为.

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，延长DE交AB的延长

线于点尸，连接AD,ADCE-AFBE(AAS),得出BF=CD,EF=DE=3,由题意可得AE垂直

平分。尸，结合勾股定理可得AF=5,作EG_LAF于G,由三角形面积公式计算得出EG=£,再结合

勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键.

【详解】解：如图，延长DE交的延长线于点尸，连接AD.

8，’28

-AB||CD,

/.ZC=ZFBE,NCDE=NF,

•「E为BC的中点，

:.CE=BE=jBC.

DCE=△FBE（AAS）,

-.BF=CD,EF=DE=3,

-DE1AE,DE=3,AE=4,

.•.AE垂直平分DF,AD={DE2+AE2=5,

..AF=AB+BF=AB+CD=5.

作EG1AF于G,

y^AEF=^^EF=jAF-EG,

7厂AEEF12

二.七G=­AF5,

,BG=^BE2-EG2=1,FG=^EF2-EG2={

:,CD=BF=FG-BG={

,.AB=AF-BF='

.•.AB-CD

333

故答案为：v

9.（2023八年级下•浙江•竞赛）已知关于x的方程（血？-7）x^-5（5m-7）x+78=0有两个正整数

根（m是正整数）.△ABC的三边&b,。满足c=2Q,m2-fa2m-8a=0,+b2m-8b=0,则

m为；△ABC的面积是.

【答案】21或49+12a

【分析】本题考查了•元二次方程根与系数的关系、勾股定理及其逆定理等知识点，本题解题的关键是分

类对Gb的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状.

第一空：先求出方程的两个根，然后根据这两个根都是正整数写出m的可能的情况，求出m的值.

22

第二空；山第一空得出的m的值，然后代入将m2-8a=0fm+bm-8b=。进行化简，进而得

9/28

出。、b的值.然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的ab的值，用三角形的面积公式得出三角

形的面积.

【详解】解：••・关于x的方程有两个正整数根，且m是正整数，

•••m2-1*0、解得m丰土7,

解方程(m2-7卜2_3(的一7)X+78=0得：X=>》皿卜霏[『~5-7),

即、7=焉、2=总

\m-Fl=1,2,3,6

{m-1=1,3'

(m=2f5

"[m=2,4'

***m=2.

将m=2代入两等式，化简得：M-4a+2=Ob-4b+2=0.

当a=b时，a=b=2±-J~2.

当a#b时，a,。是方程X?-4x+2=0的两根，显然此方程A>0.

由一元二次方程根与系数关系得：a+b=4>0,ab=2>0,

---a>0,b>0.

下而分三种情况讨论：

①当a#b,c=2QH丸

a2+b2=(a+b)2-2ab=42-2x2=12=c2,

.•.△ABC是直角三角形，且NC=9疗，

二.SyBc=T"b=L

②当a=b=2-四,c=20时，

-a+b=2(2-y/1)<2>f3=c,

不能构成三角形，不合题意，故舍去.

③当a=b=2+*c=2口1寸，

•：Q+b=2(2+4)>243=C,

.•.能构成三角形，符合题意.

从而S&ABC=/24个(2+&)2_(4)2=、9+12m.

综上，△ABC的面积为1或Jg<12a.

故答案为：2；1或口+124.

10.(2023九年级•北京朝阳•竞赛)在RtZXABC中，ZBAC=90°,NACB=3疗，点P为其内部

10/28

一点.若AP=7,BP=V3,CP=0,则NAPC的度数为.

【答案】15炉

【分析】将ABAP绕8逆时针旋转6疗得△BA'P：此时A'为BC中点，作CDIIA'P：交BP'延长线于

点2推出A'P'=AP=7、BD=26、PP'=4、CD=2连PO,由BP'=BP=PP得NBPO=9",

设/BAP=a,推导NACO=3Zr+a,结合△BP。中，PC=V5,得NPCO=9疗，进而推出N3=

a-6(T.A2=9CT-a,在△APC中，计算得NAPC=75/

【详解】解：将△BAP绕点B逆时针旋转6",得到△BAP：

BP=BP：Z.PBP'=6(T

.•.△BPP为等边三角形，

在RlaABC中，ABAC=90°fZACB=30°,

•••BC=2BA,

•••A为BC的中点，

作C。||A'P'交BP'延长线于点。则NBA'P'=NBC。，

，普=黑=(即BP'=P'。，

V**LJ

A'P'是ABCD的中位线，

vBP=Q,

BD=2BP'=2C,PP'=BP=BP'=CD=2A'P'=2,

连接P。，

vBP'=DJP'=PP：

二点尸在以点P为圆心，BD为直径的圆上，

ZBPD=9/

令NBAP=a,则NOCB=NP'A'B=Q,

:.ZACD=Z.ACB+/BCD=3CP+a、

•.•在RtaBP。中，PD={BD2_BP2=Q(2问2-(G)=3,且PC=V5,

:.PC2-f-CD2=PD2,

:.NPCD=9(f,

:.ZACD=a+3CP、

£3=3CP+a-9(f=a-6CP,

V£2=9CP-a,

二在△APC中，

ZAPC=780°-(N2+N3=18(T-3CP=15g

11/28

11.（2023八年级下•辽宁人连•竞赛）如图，AD=AE,AB=AC,zLDAE=ZBAC=9（T.

⑴求证：CE=BD-,

(2)若AC=2,CE=4,DC=2^2,求NACO的度数.

【答案】⑴证明见解析

(2)135°

【分析】(1)由两个三角形全等的判定定理SAS证得△EAC三△OAB(SAS),再由全等性质即可得到答

案；

(2)连接BC,如图所示，在ABC中，由勾股定理及等腰直角三角形的判定与性质得到BC及

ZACB=45°,在△BC。中，由勾股定理的逆定理得到NBCD=&7°,从而得到NAC。的度数..

【详解】(1)解：在△EAC和aDAB中，

AD=AE

ZDAE=ZBAC=90°,

AB=AC

.--△FAC=APAB(SAS),

CE=BD；

EAAB=AC=2,

12/28

.•.在RtZXABC中，ZBAC=9（f,AB=AC=2,则由勾股定理可得BC=+2?=2々，且

ZACB=45°,

•••DC=2>/2,

•••BC-DC=2^2,

在△BCD中，BC=DC=242,BD=CE=4,则5。2=。。2=&BD2=16,

•••BC2-f-CD2=BD2,

即^BCD为等腰直角三角形，

ZBCD=9（T,

:.ZACD=ZACB+ZBCD=45°90°=135°.

12.（2023八年级上•山东滨州•竞赛）【背景】

如图，下列条件中，不能判定△ABC与△AOC全等的是（）

A.AB=AD,ABAC=ZDACB.AB=AD,ZABC=ZADC

C.ZABC=ZADC,ZBAC=ZDACD.AB=AD,BC=CD

【思考】

请判断以上题目有没有答案，若有请选出来，并举例说明为什么选这个答案；若找不到题H的答案，即四

个选项都能保证△ABC与△ADC全等，那么请从A、B、C、D四个选项中任选一个作为已知条件，证明

△ABC与△ADC全等.

【答案】见解析

【分析】本题主要考杳了全等三角形的性质和判定，

根据“边角边”解答A,再根据“角角边”解答C,然后根据“边边边”解答D,最后分三种情况解答B.

【详解】解：没有，理由如下：

在448。和aAOC中，

AB=AD

NBAC=ZDAC,

AC=AC

/.△ABC=△ADCGAS）；

当NABC=ZADC=9£T时,

13/28

,/AC=AC,AB=AD,

,-.RtAABC=RtA>4DCrHL；；

当NABC=ZADCv9货时，作AE1BC,AF1CD,

•/ZB=ND/AEB=ZAFD=骈，AB=AD,

ABE=AADF(WS),

：.AE=AF,BE=DF,

.♦.RtAAEC=RtAAFCfllL；,

CE=CF,

BC=DC,

/.△ABC=△ADC；

当NABC=ZADC>9疗时，在延长线上作AE1BCfAFLCD,

同理可得答案.

则B不符合题意；

C

在△ABU¥liaADC中，

ZABC=AADC

ABAC=ADAC,

AC=AC

△ABC=△ADCfAAS)；

在448。和4AOC中，

AB=AD

BC=CDt

AC=AC

.•.△ABC=△ADCfSSS).

今全国联赛真题试题汇编「

zi3/+「3—Q

\一

{abc=3

则△ABC是（）

14/28

A.等边三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不等边三角形

【答案】A

【分析】本题主要考查了因式分解的应用、完全平方公式、非负数的性质等知识点，掌握因式分解是解题

的关键.

先变形。3+b3+c3_3abc=0,再进行因式分解，然后运用完全平方公式的变形，最后根据非负数的性

质求解即可.

【详解】解：•・•。3+卜3+。3=9abc=3,

：,a3-/-b3+c3-3abc=0,即(a+b+c)(a2-t-b2+c2-ab-ac-be)=0,

";a、b、c为△ABC的三边，

：.a+b+c>0,故/+b2+c2-ab-ac-be=0,

：.2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0,即(a-b)2+(b-c)2+[a-c)2=0,

:.a=b=c,即△ABC是等边三角形.

故选:A.

2.(2023八年级•全国•竞赛)如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=9(T,。为AC边上一点，

连接BD,于点F,点E在BF上，连接AE,ZEAF=45°,连接CE,AK_LCE于点K,

交DE于点H,NDEC=30HF=j,则EC的长为()

【答案】C

【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线是解题的关键.

延长AF交CE于P,证得△ABH三4APC(ASA)得出AH=CP,WAAHF=△EPF(AAS),得

出AH=EP,得出EC=2AH,解攵7°的直角三角形AFH求得AH,即可求得EC的长.

【详解】解：如图，延长AF交CE于P,

15/28

B

：AF1BD,

/.Z.AFD=ZAFB=ZPFD=NEFP=9/

+AADB=9(T,APAC-f-AADB=90°,

-.AABH=NPAC,

-AK1CE,AF1BD,

..AAKE=AAFE=9(f,

又.NEHK=ZAHF,

.•.NHEK=ZFAH,

•.•NFAH+NAHF=9",ZHEK+Z.EPF=9(T,

J.Z.AHF=Z.EPF,

-.AAHB=AAPC,

在△ABH与△APC中，

ZABH=ZPAC

AD-AC,

ZAHB=ZAPC

ABH=△APC(ASA),

:.AH=CP,

Z.EAF=45°,Z.AFE=9(f,

.•.NEAF=ZFEA=45°,

:.AF=EF,

在△AHF与△EPF中，

ZAHF=ZEPF

ZAFH=ZEFP=90°,

AF=EF

」.△AHF=△EPF(AAS),

/.AH=EP,

.,.EC=2AH,

16/28

•••ZDEC=3（r,

J.Z.HAF=30°,

.•.AH=2FH=2x^=3,

/.EC-2AH=6,

故选：C.

3.（2023七年级上•全国•竞赛）在梯形ABC。中，AD\\BC,点〃为对角线BO的中点，记Sjp。=

S7，SAPBC=Sz，S梯形ABC。=S，则有（）

A.2（S—S2）＞SB.2（S—S2）VS

C.2（S]+S2）=SD.2Si+S2=S

【答案】C

【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积，得到S^ABD=2S],S.BCD=2SZ,

再根据S悌形4BCD-^^ABD+S~BCD,即可得出结果•

【详解】解：•.•点P为对角线BD的中点，

=2S△APD=2Sj,S"CD=^BCP=2S2,

梯形AB。。=S.BQ+S鹃CD，

2（Sj-f-S2）=S；

故选C.

4.（2023八年级上•全国•竞赛）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,P是AD上的动点，PE1

ACTE,PF1BO于尸，则PE+PF的值是（）

【答案】B

【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用面积法解决问题.

连接OP,先求得△AOD的面积，再由SA,oQuSaQcp+SAAOpnqOA-PE+TOD-PF，即可求

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解.

【详解】解：如图，连接OP.

:.AC=BDfOA=OC=jACtOB=OD=jBDfZABC=90°f

...OA=OC=OB=OD,AC=^AB2+BC2=yj62+82=10,

:.OA=OD=5,

vS△八OD=）S矩形ABCD=；X8x6=72,

即S4ODP,SAAOP=12,

­.-OA-PE+-OD-PF=12,

22

.•Jx5{PE+PF）=12.

解得PE+PF=^=4.8.

故选：B.

5.（2025八年级•全国•竞赛）如图，过点月作△ABC的一条内角平分线，交B。于点。且NADB=9〃,

BE交AC于点E且AE：AC=7：2,若AC=DC=a,则图中两个阴影三角形的面积最大相差（）

A.{a2B.{a2C.{aD.2a2

242

【答案】A

【分析】此题考查的是角平分线有关计算，等腰三角形的判定和性质，三角形面积公式，掌握其性质定理

是解决此题的关键.

延长BD、AC交于点〃设AD交BE于点。证明NABD=NH,得AB=AH,得BD=DH,证

明NCDH=NH,得CD=CH=AC,可得S-BE=S®H，^A0BD-SAA0E=SAACD,得当

DC1AC时，△ACD的面积最大，为4•

【详解】延长B。、AC交于点〃设A。交BE于点。

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•••AD1BH,

:.ZADB=ZADH=9(Tt

.%ZABD-PZ.BAD=9CT,Z.H+/.HAD=90°,

•••ABAD=ZHAD,

Z.ABD=NH,

AB=AH,AD1BH,

BD=DH,

DC=CA,

•••Z.CDA=/CAD,

VZCAD-AZH=9(r,NCDA+4CDH=90

:.ZCDH=NH,

CD=CH=AC,

vAE=EC,

^LABE=7S&ABH，S&CDHjSyB”，

•••^AOBD-S—OE=S^ADB-S&ABE=^^ADH~^^CDH=^^ACD>人。=CD=Q

.•.当DC1AC时，△ACO的面积最大，最大面积为

故选：A.

6.（2024九年级•全国•竞赛）如图，将边长为7dm正方形幺BCD绕点D按顺时针方向旋转45°后得到

正方形DEFG,边EF.BC相交于点H,则四边形CDEH的面积为（）.

C.(V2-7)dm2D.(2+7)dm2

【答案】C

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【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，判断出点。、D,F共线是解答本题的关键.

【详解】解：如图,连接FD.

.•.NEDF=45°.

•.•正方形ABCD绕点。按顺时针方向旋转45°后得到正方形DEFG,

"EDC=45°,

.♦.点O,D、F共线，且。F=V^dm,

-，-CF=CM=J~2—7(dm),

四边形COEH的面积为=S4EOF-S、HCF

=jx7x7-jx(42-I)2=42-7(dm2).

故选C.

7.(2023七年级上-全国•竞赛)如图，在四边形ABC。中，线段BC长6cm,NABC为直角，ZBCD

为135°,而且点A到边CD的垂线段AE的长为72cm,线段ED的长为5cm,则四边形ABCO的面积

为.

【答案】8Mm2

【分析】本题考查邻补角，等腰直角三角形，不规则图形的面积.

延长AB,DC,交于点F,可得等腰直角三角形CBF和等腰直角三角形AEF,从而可得44。尸和4CBF

的面积，相减即可得四边形ABCD的面积.

【详解】解：延长AB,DC,交于点F,

•.•NABC为直角，

../.ABC=好，

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/.ZCBF=9/

•"BCD为135°,

.,.NBCF=45°,

/.ZF=18CP-9(f-45°=45°,

.•.NBCF=ZF,

/.BF=BC=6,

,AE1CD,

..AAEC=90°,

AFAE=18CT-9CT-45°=45°,

：.Z.FAE=NF,

：,FE=AE=12,

S四边形ABCD

=S&ADF~S^CBF

=(12+5)x12x；-6x

=102-18

=<?4(cm2)

故答案为：84cm2.

8.（2023七年级上•全国・竞赛）如图，在aABC中，N7+N2=J75°,N3=12g则NA=

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【答案】55

【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运

用是解题的关键.根据三角形内角和定理得到NOBC+NOCB=6Z7°,由三角形外角的性质得到

ZACO+ZABO=£1+Z2-2NA,最后在△ABC中，利用三角形内角和定理可知NA+ZABO+

40BC+NACO+40cB=180代入即可求得答案.

【详解】解：在△OBC中，NOBC+NOCB+/3=18炉,乙3=

NOBC+4OCB=181r-Z3=60°,

•.N7=NA+NACO,N2=NA+NABO,

.♦.NACO+AABO=Z.1+N2-2乙A、

Z.1+Z.2=775°,

J.Z.ACO+ZABO=775°-2NA,

在^ABC中，NA+Z.ABO+NOBC+Z.ACO+NOCB=78疗，

即NA+6CP+7750-2Z.A=180

解得NA=55",

故答案为:55.

9.（2025八年级-全国-竞赛）如图，点。在点4C两点之间运动（不与点小。重合），NBAC=NAFB=

9）,AE=AB=AC,若AB=8,CH=4,则EH=.

【答案】4/7

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，过点。作CG1AH

于G先求出EH=〃EF,CH=OCG,再证明△AFBz^CGA（AAS）得出AF=CG,进而可得

CH=V^AF,再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此

题的关键.

【详解】解：过点C作CG1AH于G如图：

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E

B9

,/AE=AB=AC,

：.Z.AED=Z.ABE,ZACE=ZAEC,

设/AED=NA8E=Q,则NBAE=78疗一2a,

:.ZCAE=ZBAE-ABAC=90°-2a,

VZCAE+AACE+AAEC=18(T,ZACE=ZAEC,

:.ZAEC=450+a,

:.ZBEC-Z.AEC—Z.AED-45°,

ZFEH=45°,

•••AH1BE,

•••ZFHE=NFEH=45°,

:.EF=FH,

又•••ZEFH=9(T,

EH=>[2EF,

VZFHE=45°,CG1FH,

:.NGCH=AFHE=45°,

:.GC=GH,

CH=V2CG,

ZBAC=Z.CGA=909,

ZBAF+ACAG=9(TtZCAG+Z.ACG=90°,

•••ZBAF=Z.ACG,

又AB=AC,ZAFB=ZAGC,

AFB=△CGA(AAS),

:.AF=CG,

CH=^2AF,

在RtZ\AE尸中，AE2=AF24.EF2,

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:.（&F）2+（生J7）?=2AE2,

二EH2+CH2=2AB2,

,-AB=8,CH=4,

...EH=4，

故答案为：4，

10.（2023九年级•全国•竞赛）如图，E是等边△ABC的边BC上一点，以AE为边作等边△AEF,

连接CF,在CF延长线上取一点D,使N7=N2.求证：AC=AD.

【答案】见解析

【分析】此题考查了等边三角形的性质和列定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点.

首先由等边三角形得到AB=AC,ZB=ZBAC=60°,AE=AF,ZEAF=60°,然后证明出

△ABE=△ACF（SAS）,得到NB=ZACF=60然后证明出△ACD是等边三角形,得到AC=AD.

【详解】解：•・•△ABC,/XAEF是等边三角形，

.-.AB=AC,ZB=ABAC=60°,AE=AF,AEAF=60°,

ABAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,

..ZBAE=ZCAF,

/.△ABE=△ACF（SAS）,

,-.ZB=ZACF=60°,

•「N7=NZ

+ZCAF=£2+ZCAF,

..ACAD=ZEAF=600,

」.△AC。是等边三角形，

/.AC=AD.

11.（2023八年级•全国•竞赛）如图，在△ABC中，BA=BC,M是AC的中点，ZBAC=a,P

是线段BM上的动点，将线段PA绕点尸顺时针旋转2a得到线段PQ.线段CQ的延长线与射线BM交于点

D,连接AD.若点P不与点反必重合，试猜想NCDB的大小（用含a的代数式表示），并加以证明.

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A

C

【答案】ZCD5=yu0-a

【分析】首先利用已知得出aAP。三△CP。，进而得出NPA。+NPQD=NPQC+NPQD=180

即可