直线与圆综合（原卷版）

2J2专题：直线与同综合

模块一：题型分类...................................................2

题型一：常规法求阅的方程........................................2

题型二：求囿的外接回方程........................................2

题型三：求圜的内切圄............................................3

题型四：利用弦长求留的方程......................................3

题型五：利用切线求圆的方程......................................4

题型六：利用最值求圆的方程......................................5

题型七：点与圆位置关系求参......................................6

题型八：@1上点到直线距离为定值的求参............................6

题型九：直线与园相交弦长求参....................................7

题型十：最短弦问题..............................................7

题型十一：网内三角形面积........................................8

题型十二：国内四边形面积........................................9

题型十三：国的切线问题..........................................9

题型十四：过圆外一点的切线问题.................................10

题型卜五：切点弦问题...........................................10

题型十六：切点弦长及最值范围问题...............................11

2J2专题：直线与同综合

模块一：题型分类

题型一：常规法求圆的方程

1.若圆C经过点4(2,5),6(4,3),且圆心在直线/：3x-y-3=0上，则圆C的方程为()

A.(x-2)，(y-3『=4B.(x-2)，(…)?=8

C.(X-3)2+(^-6)2=2D.(x-3)2+(y-6)2=10

2.某圆经过力(OJO)，8(6,10)两点，圆心在直线2..丁=1上，则该圆的标准方程为()

A.(x+3『+(y+5『=34B.(…,+(y+5『=34

C.(A+3)2+(^-5)2=34D.(.V-3)2+(V-5)2=34

3.关于奇数的哥德巴赫猜想:任何大于5的奇数都是二个素数之和，如7-2+2+3,17-3+7+7.若从2,3,7中

任取2个不同的素数。力组成点(〃")，其中且组成的所有点都在圆E上，则圆E的标准方程为()

A.(x-2『+(y-g=4B.+=16

U(x-1)+«-5)2=17D.卜一刍+(J,—5)2=?

4.圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆》2+尸电亡4=0和x2+y+6p-28=0的交点的圆的方程为()

A./+尸工+7»32=0B./+产子+7广16=0

C.x2+y2-4x+4y+9=0D.x2+)^-Ax+^y-8=Q

5.在平面直角坐标系xOp中，直线x+2y-4=0与两坐标轴分别交于点A、B,圆。经过A、B,且圆心在

V岫上，则圆。的方程为()

A.x2+y2+6^-16=0B.x2+y2-6y-16=0

C.—9=0D,x2+y2—Sy—9=0

题型二：求圆的外接圆方程

1.已知三角形的三边所在直线为x+y=-l,2x-y=\t2x+y=3,则三角形的外接圆方程为

2.过点/4,2)作圆/+/=4两条切线，切点分别为/、B,O为坐标原点，则△048的外接圆方程是()

A.Cv-2)2+(y-l)2=5B.(X-4)2+(J；-2)2=20

C.(x+2)2+(y+l)2=5D.(x+4)2+(y+2>=20

3.已知lyC'中，力(-3,0),8(3,0),由C在直线y=x+3上，”AC的外接圆圆心为七(0,4).则直线EC

的方程为.

4.已知点/是直角三角形44C的直角顶点，且/(2a,2),B(-4,a),C(2«+2,2),则△力8C的外

接圆的方程是.

5.已知曲线少=/+、-2020与x轴交于M,N两点，与y轴交于尸点，则△MN尸外接圆的方程为()

A.x2+/+^-2019y-2020=0B.x2+/+x-2021^-2020=0

C.x2+y2+x+2019y-2020=0D.x2+y2+x+202\y-2020=0

题型三：求圆的内切圆

1.如果三角形的顶点分别是。(0,0),4(0,15),8(-8,0),那么它的内切圆方程是.

2.在平面直角坐标系中，已知三点4(7,2),8(3,2),则"8C的内切圆的方程为()

A.(x-l)2+(^-6)2=4B.(X-1)2+(^-1)2=4

C.(x-l)-+(y-6,=1D.+(y-I)?=]

3.已知三角形三边所在直线的方程分别为y=。、x-y+2=0和x+y-4=0,求这个三角形的内切圆圆心和

半径.

4.已知圆C：(工-1『+/=4,不经过点C的直线/：y=Ax+l与圆C相交于A,8二点，求A/2C的内切

圆的面积最大值为.

题型四：利用弦长求圆的方程

1.已知圆c的圆心坐标为(i,o),且歹轴被。c截得的弦长为4G，则圆c的方程为()

A.(x-1)2+y2=9B.(,v-l)2+/=33

C.(x-l)：+/=3D.(x-l)：+r=7

2.若圆。过点(0,-1)(0,5),且被直线x-y=O截得的弦长为2々，则圆。的方程为

A./+(y_2/=9或(x+4『=25

B.x2+(.y-2)2=9bJc(x-l)2+(y-2)2=10

C.(x+4)2+(y-2『=25或(K+4『+(y-2)2=17

D.(x+4y+(y-2『=25或"-4)2+(j，-l)2=16

3.已知圆心在V轴上的圆。与直线3X-4J，-6=0相切，且截直线3x+4y+l=0所得的弦长为26，则圆C的

方程为()

A，/7、，64_y,764t*.3.•>.

A.r+()'+一)-=——B.x~+(y+-)~=—ng-+(y+-)-=4

22544Jx4

2或/=最

C.f+(y_i)2=4D.x+(y-l)2=4+(y+1)2

44J

4.不经过坐标原点的直线/:x+y+〃?=0被曲线。:/+/一2工—2y-2=0截得的弦的长度等于2近，则直

线/与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是()

A.x2+y2-4x-4y=0B.x2+y2+4x+^y=0

22

C./+/+3(+3丁=0D.x+y-2x-1y-0

题型五：利用切线求圆的方程

1.过4(0,1)、8(0,3)两点，且与直线尸=x-l相切的圆的方程可以是()

A.(x+iy+(y-2)2=2B.(一丫+(y-2『=5

C.(X-1)：+(^-2)2=2D.(X+2)2+(J^-2)2=5

2.圆心在x轴负半轴上，半径为4,且与直线x+G，-5=0相切的圆的方程为()

A.(.v+3)24-=16B.(x-3)2+y2=16

C.(X-13)2+/=16D.(X+I3)2+/=16

3.已知直线x+石下4=0与圆心为(2,0)的圆。相切，则圆C的方程为()

A.(x-2)2V=3B.(x-2)2+/=9

C.(x+2)2+/=3D.(x+2)2+/=9

4.已知圆C与x轴的正半轴相切于点A,圆心在直线y=2x上，若点A在直线x-y-4=0的左上方且到该

直线的距离等于右，则圆C的标准方程为()

A.(x-2)2+(y+4)2=4B.(x+2)2+(^+4)2=16

C.(x-2)2+Cy-4)2=4D.(x—2)2+()，-4)\[6

5.已知半径为6的圆与x轴相切，且与圆f+。-3)2=1内切，则此圆的方程是()

A.(X-4)2+O；-6)2=6B.(x+4)2+(y-6)2=6ng(x-4)2+(y-6)2=6

C.(X-4)2+(^-6)2=36D.(x+4)2+(y-6)2=36«£(x-4)2+(j；-6)2=36

题型六：利用最值求圆的方程

1.与直线％-y-4=0和圆(》+1)，(尸以=2都相切的半径最小的圆的方程是()

A.(x+l『+(y+l)2=2B.(x+l)2+(^+l)2=4

C.(x-l1+(y+l)2=2D.(x-l)2+(^+l)2=4

2.已知圆C的半径为近，其圆心。在直线x+y+2=0上，圆c上的动点P到直线"-J，-〃+2=0(%cR)

的距离的最大值为4&，则圆C的标准方程为()

A.(x+l『+(y+l)2=2B.(X+2『+/=2

C.(x+4『+(y-2)2=2D.(x+3)’+(y-炉=2

2

3.圆心在曲线)，=二。＞0)上，巨与直线2x+y+l=0相切的面枳最小的圆的方程为

X

A.(x-l)2+(y-2)2=25B.(x-2)2+(j；-l)2=25

C.(x-l)2+(y-2)2=5D.(X-2)2+(^-1)2=5

4.已知过点(0,2)的圆C的圆心在直线2x+.y=0上，则圆C的面积最小时圆。的方程是()

A.""/；4D(4?f8丫16

1sjr5)51VV5)25

c-(闻+。+沪4(4?f8丫16

515)r5)25

5.在平面直角坐标系XQF中,以点(0,1)为圆心且与直线x—勿+26+1=0相切的所有圆中，半径最大的圆

的标准方程为()

A./+(y—1尸=4B.x2+(y~l)2=2

C.-1)2=8D./+廿一1)2=16

题型七：点与圆位置关系求参

1.已知点在圆/+/-孙-4=0的外部（不含边界），则实数。的取值范围为（)

A.a<1B.a>1C.0<«<1D.a>—

5

2.若点（2,1）在圆f+vr+y+uo的外部，则。的取值范围是（）

A.（；，+8）B.卜8』C.b43D.（一8,-4）嗯,+8

3.若点R（T2）在圆。：/+/_2尤_2尹々=0的外部，则实数。的取值范围为（）

A.a<-3B.4;>-3C.-3<a<2D.-2<a<3

4.若点ASM)在圆/+/—〃+/+勿_3=o外，则实数。的取值范围是()

A.(-oo,-3)B.(-3,1)

C.(-D.(-CO,-3)U(1,-K»)

5.已知圆C:/+/—2机丫+2胴+3=0,若过点（2,1）可作圆C的两条切线，则〃?的取值范围是

A.(—,4)B.(-a),-l)u(3,4)C.(3,4)D.(-1,4)

题型八：圆上点到直线距离为定值的求参

1.若圆/+/=4上恰有一个点到直线/"j，+a=O的距离为1,则a的值为（）

A.±3x/2B.±72C.V2D.372

2.若圆。-3）2+（»+5）2=产上恰有两个点到直线4*-3W2=（）的距离为1,则半径「的取值范围是（）

A.（6,+cc）B.[6,-KO）C.（4,6）D.[4,6]

3.若圆。：（》-1）2+3-3）2-8上存在四个点到直线/：»），+切=。的距离为血，则实数小的取值范围是（）

A./n<-6B.m>-2

C.-6<m<-2D.<-6或m>-2

4.已知直线山-尸2=0,圆。：/+）,2=/（/>0）,若圆。上怆有三个点到直线/的距离都等于血，则,.=（）

A.2B.4C.2\/2D.8

5.已知直线/："?x+y+l—2〃?=0（加eR）和圆C：./+J，2—2X+4J，+1=0,贝『'〃?=0"是"圆C上恰令二个不同

的点到直线/的距离为1〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

题型九：直线与圆相交弦长求参

1.已知直线/：2x+y-2=0是圆。：（》-3）2+（），-。）2=6的一条对称轴，设直线/与x轴的交点为P,将直线/

绕点P按顺时针方向旋转30。得到直线/'，则直线/'被圆。截得的弦长为（）

A.1B.75C.2D.y/s

2.直线y="+3与圆（.”3）2+（），-2）2=4相交于M、N两点，若|丽卜2石，则〃等于（）

223

A.0B.一一C.一一或0D.一一或0

334

3.已知过坐标原点的直线/与圆C:（x-6-+（），+8/=125相交于M,N两点，当线段M/V的长为整数时，

所有满足条件直线的条数为（）

A.12B.13C.25D.26

4.若直线2x—y—2=0与直线2x—y—l=0被圆。：/+/一2工一6）一〃?=0（"＞一10）截得的弦长之比为1：a,

则圆C的面积为（）

.、14一、16

A.27rB.—兀C.3兀D.—it

55

5.已知圆。：&-圆G：，+（y_2）2=g,过点（1,2）两条互相垂直的直线的/?,其中人与圆01

交于力，4,4与圆。2交于c,D,且则|力同=（）

A.立B.立C.巫D.正

51052

题型十：最短弦问题

L已知圆C:（x-2）2+（尸4）2=35,直线/：（2〃?+l）x+（加+1亚-7川-4=0则直线/被圆。截得的弦长的最小

值为（）

A.5B.4石C.10D.275

2.圆C:，+JJ-2X+2-叱2=0被过点P（0.0）的直线截得的最短弦长为（）

A.2B.4C.2及D.2月

3.若直线工+”-—2=0与圆C：（x-2）'+/=4交于A,B两总,当|力以最小时，劣弧港的长为（）

714712兀

A.-B.—C.—D.几

233

4.已知直线/：（%+1）%-（3&+1）尸2=0和圆C：（》一2）2+（尸2）2=4相交于4B两点,则弦长|阳的最

小值是（）

A.V2B.25/2C.2D.—

2

5.已知点4（7,-2）,8（0,a）,若直线48关于y的对称直线/与圆C：（x-3『+/=18交亍M,N两

点，贝的最小值为（）

A.2x/2B.3yliC.2MD.472

题型H^一：圆内三角形面积

1.设直线y=x+2〃与圆。：/+/_2砂_2=0相交于48两点，若HM=2G,则圆C的内接正三角形的面

积为（）

A.4B.8C.3月D.

2.直线4x+绘+C=（）与圆。：/+）/=4相交于两点“，M若满足C?5、—则工小=.

3.已知直线/：xsina+ycosa=2（aeR）与圆0：/+/=16相交于A,8两点，则』08的面积为（）

A.2B.2百C.4>/3D.与a有关的不确定值

4.设直线ax+y+2=0与圆C：/+（y—2『=4相交于人、8两点，且“8c的面积为2,则。=（）

A.±72B.±73C.±75D.±疗

5.己知直线3x+4y—10=0与圆2x+4y—20=0相交于A、8两点，点P在圆。上，且满足

S-s=4,则满足条件的尸点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

题型十二：圆内四功形面积

1.过圆石:.--2》+/-15=0内一点M（-1,3）作两条相互垂直的弦力4和CQ,且48=8,则四边形力

的面积为（）.

A.16B.17C.18D.19

2.已知圆的方程为丁+/一2工-4卜-4=0,设该圆过点"（2,3）的最长弦和最短弦分别为力。和8。，则四

边形48co面积为（）

A.6B.6石C.6不D.6VH

3.在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y+a=0与圆。：.一+歹2-24-4^+1=0交于A,8两点,已知四边

形04C3为菱形，则|川力=（）

A.VFTB.y/7C.2D.73

4.若过原点0的动直线/将圆E:{x-丫+（歹-21=10分成两部分的面积之差最大时，直线I与圆的交点记

为A,B,直线/将圆E分成两部分的面积相等时，直线/与圆的交点记为C,D,则四边形力。8。的面积

为（）

A.1072B.MC.2而D.2石

5.在圆/：/+/_以+27-4=0内，过点。（0,0）的最长弦和最短弦分别是小C和8。，则四边形/8CQ的

面积为（）

A.24B.12C.10D.8

题型十三：圆的切线问题

1.圆/+/-6），=0在点P（右」）处的切线方程为（）

A.底-2y-3=0B.瓜-2y+3=0C.2x-a-3=0D.2."石y+3=0

2.已知圆。：/+/=4,M（x0,九）为圆O上位于第一象限的一点，过点”作圆0的切线/.当/的横纵截

距相等时，/的方程为（）

A.x+y-242=0B.x+y—^~=口

C.x+y-4&=（）D.x-y-2x/2=0

3.已知圆C，:(x-2『+(y-3)2=2,直线/过点力(1,2)且与圆C相切，若直线/与两坐标轴交点分别为忆M

则网=()

A.272B.4C.3&D.M

4.已知过点?(2,2)的直线与圆=5相切，且与直线奴-歹+1=0垂直，则〃=()

11

A.——B.-C.-2D.2

22

5.过点卜百,-1)的直线/与圆/+/=4相切，则直线/在歹轴上的截距为()

A.拉B.--C.4D.-4

33

题型十四：过圆外一点的切线问题

1.过点"(2,4)向圆(XT)?+(尸3)2=1引切线，则其切线方程为

2.已知曲线产J-/+©-3与直线区-尹卜1=0有两个不同的交点,则实数4的取值范围是.

4、

3.已知圆4：/+/=4和圆6：(；-3)2+()-2)2=1,则过点时2,-且与G，G都相切的直线方程

\3)

为.(写出一条即可)

4.已知圆C:x2+y2+2x_4y+3=0,直线/与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，则满足上述条件

的直线I共有条.

5.已知直线/经过坐标原点，且与圆/+/—叙+3=0相切，切点在第四象限，则直线/的方程

为.

题型十五：切点弦问题

1.已知圆。的方程为/+/=1,过圆。外一点尸(“⑼作圆。的两条切线以，PB,切点分别为儿B,则直

线48的方程为()

A.ax-by+\=0B.ax+by-\=0

C.bx-卬，+1=0D.bx-ay-\=0

2.已知圆。:寸+y=1,过直线/：x+y—2=0上第一象限内的一动由M作圆。的两条切线，切点分别为4氏

过48两点的直线与坐标轴分别交于尸,0两点，则AOP。面积的最小值为（）