小升初专项讲练：几何图形（讲义）解析版-2026-2027学年七年级数学上册（苏科版）

几何图形

小学视角

r学业要求,思维衔接坊

衔接引导

T知识过渡•方法训练营

讲义（知识衔接篇）

|项目闯关•题型对点练/变式挑战台

一综合演练•能力进阶场

学业要求•思维衔接坊

小学视角初中展望

小学阶段主要学习了常见的平面几何图形（三角初中阶段较小学阶段在几何图形方面变化

形、四边形、圆）的周长与面积、立体图形（长、正极大：不再是停留在建立图形的直观表象和对

方体、圆柱、圆锥）的表面积与体积。培养的核心数图形特征的研究上，而要转入对其性质较为系

学素养是学生的几何直观、空间观念和运算能力。统的研究。中学数学还要求进行数学证明，这

对从来没有进行过数学证明的学生来说，要掌

握从论据推出结论的方法，来表明论据与结论

之间必然的逻辑联系是有一定难度的。培养的

核心数学素养是学生的几何直观、抽象能力、

推理能力等。

衔接引导

在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思

维能力，比如抽象思维，推理能力等等。难度提升，思维的层次也大为不同。如“三角形的内角和等

于180。”这个定理，小学教材中是由实验得出的。初中要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上

给予严格论证。

知识过渡•方法训练营

考点阐释►►►

1、基本公式

正方形：C=4a；S=axa。长方形：C=（a+b）x2；S=ab。平行四边形：S=ah。

2

三角形：S=ah-i-2o梯形：S=（tz+Z?）xA-j-2<.圆：C=/rd=2^r；S=/rr0

正方体S我=4X4x6；V=axaxa长方体S&=（出?+H?+Z?〃）x2；V=abh

圆柱体、圆锥体（〃:高；S：底面积；r:底面半径）

圆柱侧面积：S=2仃h；圆柱表面积：S=2/ZT・〃+2万产；圆柱体积：V=S/?；圆锥体积：V=-Sh

3

2、求几何图形面积常见方法及运用：

1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）

运用整体思想；5）差不变；6）容斥原理（韦恩图）等。

公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。

割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。

通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升。最后

我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论。

和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最

常用的方法。

等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个

局部合成。有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或随便求出直角边的平方。

差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积,若SwS乙,则S甲+S空白=S乙+S空白,S甲-S中行S乙-S空白。

容斥原理：即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作儿个规则图形用不同的方法亘叠的结果，

利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那

部分面积。

项目闯关•题型对点练

题型1、割补法求面积（一）平移与对称

【解题技巧】常见模型

例L（2024.四川绵阳,小升初真题）已知大正方形边长为2厘米.阴影部分的面枳是（）平方厘米.

【答案】2

【分析】如下图，把图形左边的两个阴影移补到右边空白部分，这样阴影部分组合成一个长等于正方形的

边长，宽等于正方形边长一半的长方形，根据长方形的面积=长乂宽，代入数据计算，即可求出阴影部分的

=2x1

=2(平方厘米)

阴影部分的面积是2平方厘米.

变式1.(2025•全国•小升初模拟)求下图中涂色部分的面积。

<-------10cm---------►

【答案】25平方厘米

【分析】

把上面两个阴影部分面积分别移到下面，如图：['、、、：/,则阴影部分面积=长是10厘米，

卜------10cm--------►

宽是(10-2)厘米的长方形面积-底是10厘米，高是(10・2)厘米的三角形面积；根据长方形面积公式：

面积二长x宽，三角形面积公式：面积二底x高+2，代入数据，即可解答。

【详解】10x(10-2)-10x(10-2)+2

=10x5-10x5-2

=50-50-2

=50-25

=25(平方厘米)

阴影部分面积是25平方厘米。

变式2.(2025・全国•小升初模拟)求涂色部分的面积。(单位：dm)

【答案】50dm56.52dm2

【分析】(1)由图可知，将左边和中间两部分平移至右边空白处，所以涂色部分的面积等于长5x2=10dm、

宽5dm的长方形的面积，根据长方形的面积二长x宽，把数据代入公式即可求解；

(2)由图可知，将下面小半圆移至上面空白部分处，拼成一个大半圆，再根据圆的面积="产，再除以2,

即可求出涂色面积。

【详解】⑴长：5x2=10(dm)

10x5=50(dm2)

所以，这个涂色部分的面积50d门2。

(2)3.14X62-2

=2.14x36-2

=113.04-2

=E6.52(dm2)

所以，这个涂色部分的面积56.52dm2。

变式3.(24-25六年级上•四川巴中•期末)转化思想是解决问题的重要思想，它是将未知问题转化为己知知

识和方法来解决问题的一种策略，割补是解决图形问题的重要方法，我们推导平行四边形、梯形、圆等图

形的面积时都有用到，请用己学知识和方法来解决下面的问题吧。

如图1,若AD=8厘米，BC=16匣米，求阴影部分的面积。

先在图2中画一画，涂一涂，再计算。若未使用转化、割补可直接计算。

图1图2

【答案】作图见详解；32平方厘米

【详解】如图:

图2

8+2=4（厘米）4x4+2十（16—4）x4+2=8+12x4+2=8十24=32（平方厘米）

答：阴影部分的面积是32平方厘米。

题型2、割补法求面积（二）旋转

【解题技巧】常见模型

例1.（24-25六年级下•四川内江・期末）如图，在一个三角形中剪掉一个最大的正方形，剩下的阴影部分的

面积是（）。

【答案】99

【详解】如图：把小阴影三角形以。点为旋转中心，逆时针旋转90。，则红色阴影的小三角形就是原黑色小

阴影三角形，剩下的阴影部分的面积就转化成红色小三角形与大黑色直角三角形组成的底为9、高为22的

直角三角形，根据三角形的面积=底、高+2,代入数据解答即可。

9x22-?2=9x（22+2）=9x11=99所以剩下的阴影部分的面积是99。

变式1.（2024・河北•小升初模拟）如图：大三角形的空白部分是一个正方形，三角形甲与三角形乙的面积和

是39平方厘米。大三角形ABC的面积是（）平方厘米。（提示：可以用拼一拼转化的方法，也可以

用方程）

9厘米

【答案】75

【分析】由于空白部分是一个正方形，把乙逆时针旋转90。，则会得到一个底是：4+9=13（厘米）,高是

正方形边长是三角形；由于这个三角形的面积是39平方厘米，根据三角形的面积公式：底x高+2,可以求

出正方形的边长，之后再求出大三角形ABC的两条直角边，代入面积公式即可求解。

【详解】39x2+（4+9）

=78-13

=6（厘米）

（4+6）x（9+6）+2

=10x15-2

=150-2

=75（平方厘米）

【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式并灵活运用。

变式2.（2025六年级下全国•竞赛）如图是一个直径为3厘米的半圆，AB是直径。让A点不动，把整个半

圆逆时针旋转60。，此时B点移动到C点，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

【答案】4.71平方厘米

【分析】观察图形可知，阴影部分为不规则图形可考虑整体减去空白。AC左边为半圆，右边为扇形CAB,

所以图形总面积为半圆面积+扇形CAB面积，阴影部分面积为半圆面积+扇形CAB面积-半圆面积=扇形

CAB面积，所以阴影部分面积转化为扇形CAB的面积，旋转轴AB长3厘米为扇形CAB的半径，根据扇形

面积公式计算即可

【详解】3.14x3?趣=4.71（平方厘米）

变式3.（2023•全国•小升初模拟）求阴影部分面积.（单位：cm,冗取3.14）

(1)

7

【答案】（I）16平方厘米；（2）22平方厘米

【分析】（1）将右半部分的小规则阴影部分绕圆心腆时针旋转90。然后再平移，阴影部分的面积相当十底

是8厘米、高是4厘米的平行四边形面枳的一半，根据平行四边形的面枳公式：平行四边形的面积=底、高，

用8x（8：2）+2即可求出阴影部分的面积.

（2）将左上部分阴影填补到中间空白处，那么阴影部分的面积哈好是上底为4,下底为7,高为4的梯形

的面积，梯形的面积=（上底+下底）x高92.

【详解】⑴8x4+2

=32+2

=16（平方厘米）

阴影部分的面积是16平方厘米.

(2)(4+7)x4：2

=44:2

=22（平方厘米）

阴影部分的面积是22平方厘米.

题型3、和差法求面积

【解题技巧】常见模型

图形转化后的图形秘籍计算方法

s阴影=s扇形£,狂,-SMDE

得]

4^------B

B

a

阴影半圆八半圆毗.一

S=Sc+SS41cB

C

例1.（2024六年级下•江苏•专题练习）求下面各图涂色部分的面积.

【答案】44dm2,9.435dm2

【分析】（1）用大正方形面积加上小正方形的面积，然后减去底为（8+6）dm,高为8dm的三角形的面

积即可；

（2）用上底为3dm,下底为4dm,高为（3+4）dm梯形的面积减去半径为3dm圆的J,再减去底和高都

为4dm的三角形的面积即可求出涂色部分的面积.

【详解】8x8+6x6-（6+8）x8=2

=64+36-14x84-2

=100—112・2

=100-56

=44（dm2）

（3-4）x（3+4）4-2-3.14x32xl-4x44-2

=7x74-2-3.14x9x1-16^2

4

=49+2-28.26x4-8

4

=24.5-7.065-8

17.435-8

=9.435（dnr）

变式1.（2024.全国小升初模拟）求涂色部分的面积。（单位：dm）

【答案】25.12平方分米；10.26平方分米

【分析】（1）阴影部分的面积等于以8分米为半径的圆面积的;减去一个以8分米为直径的半圆的面积,

4

据此结合圆的面积公式：S=TI（d+2）2=n/列式计算；

（2）阴影部分的面积等于以6分米为半径的J圆的面积减去一个底是6分米高是6分米的三角形的面积,

4

据此结合圆的面积=nr2,三角形的面积=底、高+2列式计算。

【详解】3.14x82xl-3.14x（8+2）2x1

42

=3.14x64x1-3.14x42xl

42

=200.96x1-3.14x16x1

42

=50.24-50.24x1

=50.24-25.12

=25.12（平方分米）

3.14x62xl-6X6-2

4

=3.14x36x1-36-2

4

=113.04x1-18

4

=28.26-18

=10.26（平方分米）

变式2.（2024•江苏扬州.小升初真题）一个零件横截面的形状如图。这个零件横截面（涂色部分）的面积是

多少平方厘米？

16cm

【答案】50.24平方厘米

【分析】观察图形可知，涂色部分的面积二大半圆的面积一小圆的面积，根据圆的面积公式S=n/,代入

数据计算求解。

【详解】16+2=8（厘米）

8+2=4（厘米）

3.14X82-2-3.14X42

=3.14x64-2-3.14x16

=100.48-50.24

=50.24（平方厘米）

答：这个零件横截面（涂色部分）的面积是50.24平方厘米。

变式3.（24-25六年级下海南海口期末）如图，正方形边长2厘米，两阴影部分面积相差多少？

【答案】2.28平方厘米

【分析】观察可知，如下图用半径为2厘米的9圆的面积减空白1,就是阴影2,再减去阴影1即可得解。

根据减法的运算性质，一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和.而空白1与阴影1的和等

于正方形面积与，圆的面积的差，所以两阴影部分面积的差等于半径为2厘米的!圆的面积减正方形面积

44

与;圆的面积之差，根据正方形的面积=边长、边长、圆的面积公式5=冗产，代入数据计算即可。

【详解】3.14X22X4

=3.14x4x—

4

=3.14（平方厘米）

3.14-(2x2-3.14)

=3.14-(4-3.14)

=3.14-0.86

=2.28(平方厘米)

答：两阴影部分面积相差2.28平方厘米。

题型4、整体代换法

【解题技巧】有些参数(如圆的半径)直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设血不求，整

体代换即可。

2

例1.(2024,浙江•小升初模拟)下图阴影部分的面积是30cm2,圆环的面积是()cm0

A.251.2B.188.4C.2826D.1256

【答案】B

【分析】根据题意，可把外圆的半径用R表示，小圆的半径用r表示，大三角形的面积为小三角形的

面积乙可用大三角形的面积减去小三角形的面积计算出(R?-r2)然后再代入圆环的面积公式S=TT(R?

-r)进行计算即可得到答案。

【详解】^R?-^r2=30

解：g(R2T2)=30

；(R2-r2)

222

(R2-r2)x2-30x2

R?-r2=60

3.14x60=188.4(cm?)

圆环的面积是188.4cm?。

故答案为：B

【点睛】此题主要考查的是圆环的面积公式的灵活应用。

变式1.(2025六年级•广东•培优)如图所示的两个同心圆，圆心为O,里边包含一个直角三角形AOB,且

0A与小圆相交于点D,OB与小圆相交于点C,四边形ABCD的面积为50cm2,那么圆环的面积是()cm2。

5取334)

A.300B.157C.314D.628

【答案】C

【详解】设大圆的半径为R，小圆的半径为r。由题意可知，l/?2-ir2=50即川-/口。。

22

2

圆环的面积:万(*_/)=]007r=314(cm)故答案为:C

变式2.(2024•全国•小升初模拟)如图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘

米？

【答案】45平方厘米

【分析】如图：阴影部分的面积等丁大正方形的面积减去小正方形的面积，大正方形的面积=大圆的半径X

大圆的半径=大圆半径的平方，小圆的面积;小圆的半径x小圆的半径=小圆半径的平方，设大圆半径为R.

小圆半径为r,则圆环面积为TT(R2-r2)=141.3(平方厘米)，据此用圆环的面积除以n即可解答。

【详解】设大圆半径为R,小圆半径为ro

则圆环面积为：TT(R2-r2)=141.3(平方厘米)

R2-r2

=141.3-3.14

=45（平方厘米）

答：阴影部分的面积是45平方厘米。

【点睛】本题关键是将阴影部分的面积转化为两个正方形的面积差。再结合圆环的面积公式解答。

变式3.（2025五年级•全国•课后作业）如图，长方形ABCD中，AB=24cm,BC=26cm,E是BC的中点,

F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分面积.

【详解】试题分析：此题是求图中组合图形的面积，可以利用辅助线将它转换成规则图形，如性，连接BH,

将阴影部分分成了三个三角形，求出这三个三角形面积和即可解决问题.利用三角形面积公式进行解决.

AB=CD=24厘米，BC=AD=26厘米,

因为F、G分别是四等分点，

所以BF=±AB=4x2中6（厘米），

44

DG=1DC：4X24=6（厘米），

44

SABFH+SADHG,

="^BFxAH+^DGxHD,

器X6XAH+£X6XDH，

=3xAH+3xDH,

=3x（AH+DH）,

=3＞：AD,

=3x26,

=78（平方座米），

因为E是BC的中点，BE=13厘米，

SABEH=^X13x24=156（平方厘米），

78+156=234（平方厘米），

答：阴影部分的面积为234平方恒米.

点评：组合图形的面积计算，转亿成规则图形的面积计算时解题的关键.

题型5、等积变换法求面积（体积）

【解题技巧】合理使用边、高的匕求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系。

例1.（2024•浙江宁波•小升初真题）（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水

的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？

【答案】1004.8毫升

【详解】3.14x（8+2）2X6+3.14X（8+2）2xl4=3.14x42x6+3.14x42xl4=3.14xl6x6+3.14xl6xl4

=3.14xl6x（6+14）=3.14x16x20=1004.8（立方厘米）1004.8立方厘米=1004.8亳升

答：这个模具的容积是1004.8亳升。

变式1.（2024六年级全国•专题练习）如下图，在梯形/WC。中，三角形的面积等于30立方厘米,

BD=4ED,梯形A8C。的面积是多少平方厘米？

【答案】160平方厘米

【详解】思路点拨因为三角形A3D与三角形AC。同底等高，

所以三角形A3。与三角形46的面积相等，

同时减去三角形4。石，三角形止与三角形CDE的面积相等，都等于30平方厘米。

因为三角形4出与三角形ADE同菖，BD—4ED,BPBE=3ED

所以三角形ADE的面积是10平方厘米，三角形ACD的面积是40平方厘米。

因为三角形COE与三角形同高，BD=4ED.

所以三角形8CE的面积是30x3=90（平方厘米）。

此时梯形分成的四个小三角形的面积都已经分别求出，把四个小三角形的面积相加，30+10+30+90=160

（平方厘米）就是梯形的面积。

因为三角形A班与三角形COE的面积相等，

所以三角形CQE的面积是30平方厘米.

因为3D=4ED,

所以三角形ADE的面积是10平方厘米，三角形8CE的面积是90平方厘米。

梯形ABCO的面积是：30+30+10+90=160（平方厘米）

答：梯形A8CO的面积是160平方厘米。

注意可以运用图形的特点，分割转化成其他的图形，巧妙求出面积。本题把梯形转化成三角形，运用三角

形的面积与底和高的关系求出梯形的面积。

变式2.（2025六年级下•西藏•专题练习）如图是一个平行四边形，KAB=BC=CD,DE=EF。则甲、乙两

个三角形的面积比是（）：（）。

ABCD

面枳的•半，即Jxgx平行四边形，即平行四边形面积：乙的面枳=：X平行四边形面积的•半，即:X

22433

!><平行四边形，即，x平行四边形面积；再根据比的意义，进in求出甲、乙两个三角形的面积比。

26

【详解】根据分析可知，甲三角形面积=；x平行四边形面积：乙三角形面积=0x平行四边形面积。

46

甲:乙=（Jx平行四边形面积）：（」x平行四边形面积）

46

11

=—：—

46

=（ixl2）：（-xl2）

46

=3：2

甲、乙两个三角形的面积比是3:2。

变式3.（24-25六年级上•浙江温州•期末）如图，已知有一块四边形花面ABCD,其中E,F分别为AB,AG

上的点，且BE=2AE,G,H分别是DF,BC上的点，且BH=HC,FG=GD,连接EF,BF,BG,HD,

将花圃分成五块，图中阴影部分种兰花，三角形AEF的面积是25平方米，三角形BFG的面积是150平方

米，三角形HCD的面积是90平万米。空白部分种郁金杳，那么郁金杳的面积为多少平方米？

【答案】440平方米

【分析】连接BD,如图所示:

二角形面积=底2卦2二角形AE卜和二角形BE卜高相等，并且BE=2AE,那么二角形的面积是二

角形AEF面积的2倍；

FG=GD,那么三角形BGD和三角形BFG等底等高，那么这两个三角形的面积相等；

同理，BH=HC,那么三角形BHD和一:角形HCD等底等高，面积相等。

将空白部分的面积相加，求出种植郁金香的面积即可。

【详解】25x2=50（平方米）

504-150+150+90=440（平方米）

答：郁金香的面积是440平方米。

【点睛】本题考查了三角形的面积、组合图形的面积，熟记并灵活运用三角形的面积公式，并掌握割补法

求组合图形的面积是解题的关键。

题型6、差不变思想（原理）

【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积,如果S二S乙,那么S甲+S空白=S乙+S3,反之亦可。

例L（2024•全国•小升初模拟）如图,大小两个长方形部分重售.算一算两块没有重合的阴影部分面积的差

是多少？（单位：厘米）

【答案】28平方厘米

【分析】大长方形没有重合的阴影部分的面积等于大长方形面积减去重合部分面积，小长方形没有重合的

阴影部分的面积等于小长方形面积减去重合部分面积；因为重合面积相等，所以两块没有重合的阴影部分

面积差就是大长方形面积与小长方形面积差，根据长方形的面积二长x宽，代入数据解答即可，

【详解】6x8-5x4

=48-20

=28（平方厘米）

没有重叠的阴影部分面积相差28平方厘米。

【点睛】本题考查长方形的面积重叠问题，解答本题的关键是理解没有重合的阴影部分面积差就是大长方

形面积与小长方形面积差。

变式1.（2025六年级下•江苏・培优）如图，半圆的半径是4厘米，图形甲面积比图形乙面积大1.12平方厘

【分析】观察图形可知，图为一个直角三角形和一个半圆重叠而成，重叠部分（空白部分）面枳相等。

2

S^^S^+S,,.,S4ABC=S^+S^,可知,甲与*乙的差为S半.与*AEC的差。Sriw=3.14x4-2=25.12（平方座

米），因为S甲比S乙大1.12平方厘米，可得S,ABC=25.12-1.12=24（平方厘米）

根据三角形面枳公式，知道底边长4x2=8cm,知道面积即可求高BC,BC=24x2+8=6（厘米）

【详解】3.14x4^2=25.12（平方厘米）25.12-1.12=24（平方厘米）

4x2=8（厘米）24x2+8=6（厘米）

变式2.（24-25五年级上•全国•课后作业）如图，在平行四边形ABCD中，BC长10厘米，直角三角形BCE

的直角边CE长8厘米，已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大10平方厘米，EF长多少厘米？

【答案】3厘米

【分析】根据题意：如图，已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大10平方厘米，则三角形EFG

的面积+10平方厘米+梯形BCFG的面积=平行四边形ABCD的面积，又因为三角形EFG的面积+梯形

BCFG的面积=三角形BCE的面积，所以三角形BCE的面积+10平方厘米=平行四边形ABCD的面积；

CF是平行四边形的高，根据平行四边形的面积=底、高，则高CF=平行四边形的面积♦底，EF=CE-CFO

【详解】10x8-2

=80+2

=40（平方厘米）

40+10=50（平方厘米）

50X0=5（厘米）

8-5=3（厘米）

答：EF的长是3厘米。

变式3.（2024.四川绵阳.小升初真题）如图：直角三角形ABC的直角边AB=6厘米，BC=4匣米，以AB

为直径画半圆，则阴影部分①的面积比阴影部分②的面积大（）平方厘米。（圆周率兀取3）

【答案】L5

【分

由图可知，阴影部分②的面积+空白部分③的面积=直角三角形ABC的面积；阴

影部分①的面枳+空白部分③的面枳=半圆的面枳；根据三角形的面积=底乂高;2,圆的面枳=兀出代入相

应数值，分别计算出三角形面积和半圆的面积，即可比较阴影部分②的面积和阴影部分①的面积，据此解

答。

【详解】三角形ABC面积：6x4-2

=24:2

=12（平方厘米）

半圆面积：3x（6^2）2乂

=3x32+2

=3x9^2

=274-2

=13.5（平方厘米）

因为空白面积③是相等的，所以13.5—12=1.5（平方厘米）。

因此阴影部分①的面积比阴影部分②的面积大L5平方厘米。

题型7、容斥原理（韦恩图）

【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其

精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。木文就来重点讲一下，容斥原

理在求解阴影部分面积时的妙用。

例1.（2024六年级下•江苏•培优）如图，有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上.三个纸片共同重

叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米.图中阴影部分的面积之和是多少平方

厘米？

【答案】8平方厘米

【分析】根据本题题意和容斥原理知道，从三个圆片的总面积里去掉盖住桌面的总面积以及三张纸片重叠

的面积的2倍（因为是两个重叠在一起，所以乘2）,由此即可求出答案.

【详解】解：20x3-36-8x2=60-36-16=8（平方厘米）

答：图中阴影部分的面积和是8平方厘米.

变式1.（2024•全国小升初模拟）如图，aABC是直角三角形，AC=4厘米，BC=1AC,以EC、AC分别

为直径画半圆，两个半圆的交点D在AB边上，求图中阴影部分的面积.

【答案】3.85平方厘米

【分析】两个半圆的面积和减去直角三角形ABC的面积是阴影部分的面积据此解答。

【详解】大半圆的面积：3.14x（4+2）匕2

二314乂4二2

=6.28（平方厘米）；

小半圆的面积：3.14x（4+2+2）%2

=3.14x1-2

=1.57（平方厘米）

三角形的面积：4x（4+2）-2

=442+2

=4（平方厘米）

阴影部分面积：6.28+1.57-4

=7.85-4

=3.85（平方厘米）

答：阴影部分的面积为3.85平方厘米。

【点睛】掌握三角形的面积以及圆的面积公式，关键是要搞清楚哪些部分是被重复计算的，要仔细分析题

目找出阴影部分面积的计算方法。

变式2.（2025六年级下全国•竞赛）如图所示，A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片，

它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5、3、4,求A、B、

C三个图形公共部分（阴影部分）的面积。

A

【答案】2

【分析】首先根据题目说明，令A=8,B=9,C=11.根据容斥定理代入计算，即可求得A、B、C的公共部

分面积。

【详解】设阴影部分的面积是x,由容斥原理知

28-（5+3+4）+x=18,

故:<=2

答：A、B、C三个图形公共部分（阴影部分）的面积为2.

变式3.（2025六年级下•广东•培优）如图，已知ABC为扇形，BDF为扇形，CBDE为长方形。CE=6厘米，

CB=8厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？

【答案】3（）.5平方厘米

【分析】观察图形可知，图中有3个图形重叠而成，也称为图形的容斥。现将重叠后分成的小图形进行编

号，如图。可得S长方形ECBD=Sr0+S③+S④,Sl口形ABc=S①+S②+S③,S均形EFB=S④+S③，所求阴影部分

S.影=S④+S③。观察等量关系可得S阴影阚形ABC+S啕形EFB一S长方形ECBD

2

【详解】S悦方形KBD=6X8=48（平方厘米）S^ABC=3.I4x8x*=50.24（平方屈米）

4

2

SlilKfiFB=3.l4x6xl=28.26（平方厘米）S网杉=50.24+28.26-48=30.5（平方厘米）

4

题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折）

【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看,

与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图

形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点。

例L（2024・山东・小升初模拟）如图，把一个圆沿半径分成若干等份，拼成一个宽4cm的近似的长方形，这

2

个长方形的长是cm,圆的面积是cmo

秦--F

?cm

【答案】12.5650.24

【分析】把一个圆剪拼成一个近似的长方形，长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，圆的面积

等丁长方形的面积；

根据圆的周长公式C=2Tir,求出圆的周长，再除以2,即是近似长方形的长；根据长方形的面积公式5=知，

求出这个长方形的面积，也就是这个圆的面积。

【详解】长方形的长：

3.14x4x2-2=12.56（cm）

圆的面积：

12.56x4=50.24（cm2）

这个长方形的长是12.56cm,面积是50.24cm'。

变式1.（2024.甘肃定西.小升初真题）如图，将一张长方形纸折叠形成一个梯形。这个梯形的面积是（）

cm%

A.48B.96C.104D.128

【答案】C

【分析1梯形的面积=长方形面积一三角形的面积，根据公式长方形面积=长、宽求出长为16cm,宽为8cm

的长方形面枳；根据三角形面积=底＞＜高求出底为8cm,高为6cm的三角形面枳，最后相减即川。

【详解】16x8-6x8^2

=128-24

=104(cm?)

所以这个梯形的面积是104cm2。

故答案为：C

变式2.(2025六年级•江苏培优)如图1,长方形木块长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米，

正方形木桩边长为17厘米。木块从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木

块滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长_________厘米。5=3)

Srv

图I图2图3

【答案】129

【分析】如图：通过观察可知，点A经过的路径=一个半径是5厘米的圆周长的一半十一个半径是13厘

米的圆周长+一个半径是12厘米的圆周长的一半，根据圆周长公式：C=2m■，代入数据分别求出每部分的

长度，再相加即可。

【详解】2x3x54-2+2x3x13+2x3x124-2=15+78+36=129（厘米）点A经过的路径长129厘米。

变式3.(24-25六年级上江苏扬州期末)同学们，“观察一猜想一验证一应用”是我们常用的数学探究方

法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙

想出了两种不同的方法(如图)。

方法2:

35

S阴影=(5-3)X(5+3)

这两种方法都是求的阴影部分的面积，因此52-32=(5-3)x(5+3)o

仔细观察这个等式，想一想：是不是任意两个数都具有这样的特征呢？

(1)请举2个例子验证：①IO?-62=()x()②一

(2)如果用a和b表示两个数(且a>b),这样的规律可以表示为：才-b?=()x()

⑶根据以上结论计算：[1-6)2]x[l-(g)2]x[l-(1)2]=()

【答案】⑴①(10-6)x(10+6)(2)0.82-0.52=(0.8-0.5)x(0.8+0.5)

(2)(a-b)x(a+b)(3)|

o

【详解】(1)0102-62=100-36=64

(10-6)x(10+6)=4x16=64所以，102-62=(10-6)x(10+6)

®0.82-0.52=0.G4-0.25=0.39(0.8-0.5)x(0.8+0.5)=0.3x1.3=0.39

所以，0.82-0.52=(0.8-0.5)x(0.8+0.5)(答案不唯一)

(2)a2-b2=(a-b)x(a+b)

(3)[1-G)>[1-(1)>[1-(；)2]

=(1-：)x(l+1)X(1--)x(1+-)x(1--)x(1+-)=lx—x-x—x-x-=-

2233442233448

题型9、立体图形的拼切重组问题

【解题技巧】几何体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接

问通，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。

例1.(24-25六年级下•福建莆田•期末)沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从

一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间的。如图，如果再过1分钟沙漏上部的沙子就可以全部漏到下

部，那么现在已经计量了多少分钟？

【答案】56分钟

【详解】gx3.14x（2+2）2x3=1x3.14x1x3=3.14（立方厘米）

1x3.14x（8+2）2x12=1x3.14xl6xl2=200.96（立方厘米）

|x3.14x（44-2）2x（12-6）=；x3.14x4x6=25.12（立方厘米）

JJ

200.96-25.12=175.84（立方厘米）175.84+3.14=56（分钟）

答：现在已经计量了56分钟。

变式1.（2024.河北保定小升初真题）用三种不同的方式对完全用同的圆柱进行切分。已知圆柱的底面直径

是2厘米，第一种切分方式表面积会增加平方厘米；第二种切分方式表面积会增加10平方厘米；第

三种切分方式表面积会增加平方厘米。但无论怎样切，体积都是______立方厘米。

【分析】第一种切分方式，表面积增加两个切面的面积，即两个圆的面积，根据圆的面积公式：S=

把数据代入公式解答；第二种切分方式表面积会增加10平方厘米，表面积增加的是两个切面的面积，每个

切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径，据此可以求出圆柱的高；第三种切分方式，

根据圆柱体积公式的推导过程可知，拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积增加两个长方形的面积，每个

的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径，根据长方形的面积公式：长方形的面积=长、宽,

把数据代入公式求出增加的面积；无论怎样切，体积都不变，然后根据圆柱的体积公式：丫=兀凸1,把数据

代人公式解答。

【详解】3.14x（2+2）2x2

=3.14xl2x2

=3.14x1x2

=6.28（平方厘米）

10+2+2

=5-2

=2.5（厘米）

2.5x（2-2）x2

=2.5xlx2

二5（平方厘米）

3.14*（2二2）2*2.5

=3.14xl2x2.5

=3.14x1x2.5

=7.85（立方厘米）

用三种不同的方式对完全相同的圆柱进行切分。已知圆柱的底面直径是2厘米，第一种切分方式表面积会

增加6.28平方厘米第二种切分方式表面积会增加10平方厘米第三种切分方式表面积会增加5平方厘米。

但无论怎样切，体积都是7.85立方厘米。

变式2.（2025六年级下•全国・竞赛）如图所示：（单位：厘米）一个棱长为5厘米的正方体，分别在它的前、

后、左、右、上、下各面的中心挖一个横截面是边长为2厘米的正方形的长方体。（都和对面打通）求这

【答案】198平方厘米

【分析】根据题意可知表面积减少了6个边长为2匣米正方形的面积，即减少的面积为：6x（2x2）=24

平方厘米：同时表面积也增加了12个长5厘米宽2厘米的长方形的面积，再从中去掉两个棱长2厘米的正

方体的表面积，即增加的表面积为：12x(5x2)-6x(2x2)平方厘米；据此进行解答。

【详解】正方体木块上面:

减少了的面积：6x(2x2)=24(平方厘米)

增加了的面积：12x(5x2)-2x6x(2x2)=120-48=72(平方厘米)

5x5x6-24+72

=150-24+72

=198(平方厘米)

答：这个物体的表面积是198平方厘米。

变式3.(24-25五年级下•浙江温卅期末)阅读与解答。

同学们，这个学期我们学习了长方体和正方体的有关知识，让我们进一步阅读、解决和探索如下问题:

【阅读材料】用棱长为1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方体会

出现4种不同的涂色情况。

①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上,共上块。

②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共2x12=24块。

③一面涂色的小正方体，位丁大正方体的6个面上，共4x6=24块。

④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共2x2x2=8块。

检验：总块数=4x4x4=64,各类块数之和=8+24+24+8=64。

【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、

两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？

①三面涂色的小正方体共块。②两面涂色的小正方体共.块。

③一面涂色的小正方体共.块。④没有涂色的小正方体共.块。

检骁：总块数=，各类块数之和=

【探索问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长acm、宽bcm、高ccm的长方体(a、b、c均为大于2的

整数)，表面涂上颜色。

①三面涂色的小正方体共块。②两面涂色的小正方体共块。

③一面涂色的小正方体共2(a-2X〃-2)+2(b-2)(°-2)+2(。-2)9-2)块。④没有涂色的小正方体共一块。

【答案】83652241201204(«-2)+40-2)+4(c-2)

(a-2)(b-2)(c-2)

【详解】用楂长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色。

①三面涂色的小正方体共8块

②两面涂色的小正方体：

4x(6-2)+4x(4-2)+4x(5—2)=4x4+4x2+4x3=16+8+12=36(块)

③一面涂色的小正方体：(6—2)x(5-2)x2+(.4-2)x(5-2)x2+(6-2)x(4-2)x2

=4x3x2+2x3x2+4x2x2=24+12+16=52(块)

④没有涂色的小正方体：(6—2)x(4—2)x(5—2)=4x2x3=24(块)

总块数：6x4x5=24x5=120(块)各类块数之和：8+36+52+24=44+52+24=120(块)

用棱长1cm的小正方体拼成一个长acm、宽