《高等数学习题集（第四版）》 习题及答案 马明环 作业 第1-9章

作业1.1.1

1.求下列函数的定义域.

■

___________sinx,x<—,

(1)y=Jx2-4八十3；(2)y=\Jx+2+-；(3)y=«?

'-3x,-X<7T.

2

解(1)解不等式f-4x+320得xWl或x23；故函数定义域为(YO,1]U[3,R)；

(2)解不等式x+2》。得x22,由产-3工0知工工±百；故函数定义域为[2,+8)；

(3)分段函数的定义域为各段取值范围的并集，故定义域为[0,兀).

2.设/(x)=F-2x+1,求/(0),./(-l)J(2),/(x+l).

解/(0)=0-0+1=1；/(-|)=(-|)3-2X(-1)+1=2；/(2)=23-2X2+1=5；

f(x+1)=(x+1)?-2(1十1)+1=x3+3x2十31十1一2x—2十1=A?+3x2+x

9—3JVr<I

3.设/(x)='；,求/(—2)，/(0)，/⑵.

4,xN1

解/(-2)=2-3x(-2)=8；八0)=2；/⑵=4・

4.求下列函数的反函数，并在同一个坐标系中作出它们的图像

(1)y=2,v-3；(2)y=x2-\,xe(0,+oc)

解(1)函数的定义域和值域都是R,由)，=21-3得工=上+3,故其反函数为

22

x3

¥=—+—»XGK.

,22

它们的图像为

第4(1)题图

(2)函数的定义域为(0,+oo),值域为(-1,+8),由y=f一1得4=6，+].故其反函数

为

y=7x+l,xe(-l,-KO).

它们的图像为

作业1.1.2

1.写出下列函数的复合过程.

(1)y=el~x~；(2)y=ln(3-x):

(3)y=^tan；(4)y=sin2(3x-^).

解(1)y-eu»w=1—x2：

(2)y=Inu,u=3—xi

(3)y=&,M=tanv,v=—；

2

(4)y=y2,«=sinv,v=3x——.

6

2.写出各函数复合而成的函数并求其定义域.

(1)y=5M,u=\lv-\,v=lnx；(2)y=Inw»〃=8A?+1.

解(1)〉，=5标\定义域为［e,a)'

(2)y=ln(8,d+1),定义域为(一

作业1.1.3

1.市场对某种商品的需求量Q满足：Q(P)=200-2P,其中P为商品价格，而生产

商对此商品的供应量S满足：S（P）=3P-100,求该种商品的市场均衡价格尸和均衡数量

解（解g（P）=200-2P=S（P）=3P-100得"60,

将P=60代入Q（P）=200-2。得。=80.

2.已知某商品的成本函数（单位：万元）为C（Q）=60+8Q,其中。为该商品的产量.

（1）该商品的计划售价为12万元/件，那么该商品的盈亏平衡点（保本点）Qo是多少件？

（2）求生产50件时的成本和平均成本为多少？

（3）当该商品以计划售价的五折出售时，能否盈利？

解（1）Qo=15（件）；（2）C（50）=100,C（50）=义亚=2（万元）；（3）不会盈利，

50

会造成亏空.

3.某商品的销售价格为100元，月销售量为4000件，当销售价格每提高2元，月销售

量会减少50件，在不考虑其他因素情况下，

（1）求这商品月销售量与价格之间的函数关系；

（2）当价格提高到多少元时，这商品会卖不出去？

解<1）e（P）=6500-25P；（2）260元.

4.有一个容积为200加的水池,现存有水20加,以0.5加/min的速度向水池中注水,

试将水池中水的体积丫表示成时间，的函数，并求将水池注满所需时间.

解由题意得，水池中的体积可以表示为V=V（r）=20+0.5，，由200=20+0.5，，可得

t=360（加汕.所以将水池注满需要360分钟.

5.求下列函数关系：

（1）某地某天的气温等速下降，最低气温为0℃,开始时刻温度为12℃,5〃后下降到

9°C,试建立该地气•温丁与时间，的函数关系式.

（2）圆的内接正多边形中，当边数改变时，正多边形的面积随之改变，试建立圆内接正

多边形面积4与边数〃523）的函数关系式.

L1/+12,/e[0,20）

解⑴/=<5

O,，E[20,-4-00)

1727r

(2)An=-nR~sm-,其中R为圆的半径.

作业1.2.1

1.通过观察对应函数图像，讨论下列极限:

(1)lim——(2)lim(-)A；(3)lim3r；(4)iim(2--)；(5)limyfx；

x3X+1X—Xx->o+

x<0,

(6)limInx.(7)limsinx；(8)设f(x)=求四)/(x).

.V->1nx>0

X->3

解做出相应的函数图像(略).

(I)观察函数)，=一匚的图像知，lim—=0：

X+1x/X+1

(3)观察函数)，=3,的图像知，lim3*=0；

第I(3)题图第I(4)题图

(4)观察函数的图像知，lim(2—4)=2；

XX

(5)观察函数)，=«的图像知，lim4=0；

x->0+

(6)观察函数)，=Inx的图像知，limlnx=lnl=0.

A->1

(7)观察函数尸sinx的图像知，limsinx=sin?=且；

r—¥—no3J2

第1(7)题图第1(8)题图

1-

<8)观察函数的/(/)=《:图像知，limf(x)=1;

x+1,QO.5

作业1.2.2

1.计算下列极限：

31..2x"+x—2..x—1

(1)lim(2+4--)：(2)hm-----------：(3)lim------

PRXXf->003x~-4x+lx—x-1

31

解(1)lim(2+WJ=linn2+lim--lim—=2；

is_rxXXfaX->OCx

c12

2+——22

/r、r2厂+X—2..

(2)hm--------------=hm:彳二；

Xis3x-4J+1x-3

Kx~

\_1

(3)lim~~-=lim：=0.

♦8X-1181

2.计算下列极限:

3)2—9

(1)lim(x2+x)：(2)lini(x4—-)；(3)lim-------

XT4X->-2dx->2X+2

33

解(1)liin(x2+x)=limx2+limx=8+4=12；

x->4x-»4.r->4

(2)lim(x4-=limx4-lim-^-=16--=—；

.r^-2f.r—>-2x—>-2*—84

/x..x2—24—21

(37)hm--------=-------=—.

x-»2x+22+22

]一尤YV]

3.作出函数/")=।的图像.

x--1,I

(1)写出lim/。)和lim/a)；(2)写出lim/⑶和limf(x);(3)判断lim/(x)

x->2x->rx—>1+xT

是否存在，若存在求出来.

解函数图像如图卜：

第3题图

(1)观察函数图像知,lim/(x)=2,lim/(x)=3

x->-1x->2：

(2)limf(x)=lim(1-x)=0,limf(x)=lim(x2-1)=0；

x->r.v—>rA->I4

(3)因为lim/(x)=lim/(x)=0,所以lim/(x)存在，且lim/(x)=0.

XTlX—>|+X—>1X—>1

3x—1X<1

4.已知函数/'(x)=<2''，求limf(x).

解limf(x)=lim(3x-1)=2,limf(x)=lim(F+1)=2.

x->rx-»rXTI.HTI.

故lim/(x)=2.

XTl

C,r=0

5.在一个电路中的电荷量。满足Q=，，其中R,C为正的常数，分析电荷

/

Ce菽,f>（）

量。在时间If0时的极限.

解lim2=0

*6.计算下列各极限

(1)lim(l+—)*；(2)lims*n^A.(3)；(4)limxsin—.

'isXx->02%.v->0xx->0x

解(1)lim(l+-r=r；(2)lim^^=-；

XT9xx-t02x2

(3)limtanv=1.(4)limxsin—=0.

.r->0xx->0%

作业1.2.3

1.判断下列命题是否正确（正确的填“错误的填"X”）

（1）o.oor000是无穷小；（x）

（2）当时，10x是无穷小；（X）

（3）当x->—8时，0是无穷小；（V）

（4）当xf-8时，2、是无穷小；（V）

（5）当xf8时，2r是无穷小；（X）

（6）当X-2时，V一4是无穷小.（V）

2.比较下列各组无穷小.

（1）当x-0时，/与/；（2）当X-2时,工一2与丁一8：（3）当x->8时，—...

?-8

与

解(1)因为lim.l=0,limf=0,且==0,所以当X-0时，./是比/

x->0x->0x->0厂x->0

较高阶的无穷小.

(2)因为lim(x-2)=0,lim(d-8)=0,且

人T2XT2

「x—2[.x-2.11

lim—......=lim-------------------------=lim------------=—

12丫—8v->2(x-2)(x+x+l)v->2x+x+\7

所以，当xr2时，x-2与/-8是同阶无穷小.

(3)因为lim——=0,lim—!—=0,且

-8x-^x-2

I12

..r3-8..r2r3八

lim"°=lim—X；---2-=lim———=0,

1T

x-2--------------------x3

所以，当xr2时，――为比」—较高阶的无穷小.

?-8x-2

3.确定函数f(x)=—为无穷小的条件.

x-1

解由于lim史口•=-]+1=0，

x-*-'x-\-1-1

故函数为无穷小的条件为“xf-1”。

4.利用等价无穷小求下列极限.

tan3xsin，-])l-cos3x

(1)lim-----；(2)hm---------；(3)lim--------.

I。xix-\x->°xsinx

解(1)因为当x—>0时，tan3x~3x,所以

tan3x..3x_

hm-----=lim—=3

x->()xx->()x

(2)因为当x-0时，sin(x2-1)~x2-1»所以

sin(x-1)..x-1..._

hm---------=lim-----=hm(x+(l)=2.

IX~\XTlI-]XTl

(3)因为当x-0时，1-COS3X~1(3X)2,所以

2

.。-(3x)2八

l-cos3x_29

lim---------lim―—；——--

ioxsin.r—x~2

作业L3.l

1.考察函数/")=卜2T

在I，ix=2处的连续性，并作出函数

x+1,X>1

的图像.

解方法一函数图像如下:

笫1题图

观察函数图像知，函数在x处与4=2处连续，在x=l处不连续.

方法二⑴/(；)=(1)2-l=-plim/(.r)=lim(x2-l)=/(；)=lim/(助刃f(x)

乙乙4xf-.v->-4Zx->—

222

在x=2处连续.

(2)/(I)=(1f-l=O,lim/(x)=lim(x2-1)=0,limf\x)=lim(x+1)=2,

x->rx->rx->r

lim/(x)#lim/(x),.\lim/(x)不存在，.•./(%)在x=l处不连续.

X->rXTl

(3)/(2)=2+l=3,lim/(x)=lim(x+1)=2,f(2)=lim(x+1),在x=2处连续.

x->2X->2.t->2

4x,0W_rW2

2.讨论函数=/2在点x=2处的连续性.

?+l,2<%W4

解limf(x)=lim4x=8,lim/(x)=lim(d+1)=5.故lim/(x)不存在.所以，函数

Xf2-x->2-x->2*Xf2-x->2

在x=2处不连续.

3.设函数/*)=1-]'X<°,试确定。值，使/(幻在其定义域内连续.

a-x,x20

解lim/(x)=lim(l-e')=0；limf(x)=\\m(a+x)=a；f(0)=a.

x->0'x-»0-.v->0*.r->0'

由于函数在定义域内连续，故在点x=0处连续，因此必有

limf(x)=limf(x)=limf(x)=/(0)=a.

X-KTx-MTx->0

所以，4=0.

sin3x八

-------r<0

4,设函数/(x)=x''试确定常数。的值，使函数/*)在x=0处连续.

x2-2<z,x>0,

解•・•/(1)在x=0处连续，「.lim/。)存在，lim/(x)=lim/(x).

A->0,r->0-x->0*

.勺o

又「lim/(x)=limX=3,lim/(x)-lim(x2-2a)--2a,.\-2a=3,:.a=—.

A->0"xf€TXxWx->(r2

作业1.3.2

1.计算下列极限:

2cosx

(1)limex；(2)(3)hm----------

XTOiV+2Ui1+sinx

/z-\i-e'+l

(4)limx2；(5)lim(Aln.r+2.r)；(6)hni----.

x->4x-><?XT-2x

i-4-I-1n

解⑴lime1=e0=I；(2)hm-----=-----=0；

.v->0if+2I3+2

33

2cosx2cosn.

Inn--------=--------=-2:(4)limx2=42=8；

x->n1+sinx1+sin7i,v->4

lim(xlnx+2x)=e\ne+2e=3e\(6)limc+1=-—(e-2+1).

(5)

"—"I22

作业1.4

1.在我国，以中国人民银行对国家专业银行和其他金融机构规定的存贷款利率为基准利

率。最新资料显示，依据基准利率，工商银行五年期的存款年利率为4.75%,而三至五年（包

括五年）的贷款年利率为6.40%。

（1）现某甲将二十万元现金存入工行五年，以年为期分别计算单利和复利方式五年后的本

利和为多少万元？

（2）同期某乙为了投资需要向工行贷款二十万元五年，以季为期按复利方式计算五年后连

本带利应该归还银行多少万元？

（3）若五年后想得到100万元，以年为期按复利计算，则现在应存入银行多少万元？

解（1）24.75（万元），25.223198（万元）；

（2）27.472878（万元）；（3）79.292086（万元）.

2.某丙现持有一年到期的票据300元和三年到期的票据500元，若银行贴现率为6%,

现去银行进行一次性转让，银行要付多少贴现金额？

解702.83（元）

业2.1.1

1.用定义求函数y=3.r+2的导数.

解(1)求函数增量

Ay=f(x+Ax)-f\x)-3(x+Ax)+2-3x-2=3Av；

(2)算比值

Ay=/(x+3Ax=3

MMM

（3）取极限

(x)=lim-------------=3.

fAr->O

所以r(x)=3

2.用定义求函数y=2/在x=2处的导数.

解(1)求函数增量

A),=/(2+Ar)-/(2)=2(2++2-22=8zkr+(zlv)2；

(2)算比值

-=8AI+3)、8+A「

AxAx

(3)取极限/⑵=lim包=8.

所以八2)=8

3.设/(方)存在，按照导数定义观察下列极限，指出字母A的含义：

(1)由3*。—)=八；

Ax

解一+垓)=-T"%+9-/(“]=Y；

"…AXAX

⑵lim/Uo-Ax)-/(A-o)=A

-Av

解M+(一9]-♦g㈠)=.

AT-Ar

4.求曲线y-丁在x=2的切线方程.

解x=2处切线方程的斜率为k=/'(2)=3x(2)2=12,代入x=2,求得切点坐标为

(2,8).由点斜式求切线方程，y-8=12(x-2),即⑵-y-16=0.

5.求曲线)，=A3-3x上切线平行％轴的点.

解曲线上任意一点切线斜率A=)，'=3/-3.因为切线平行于x轴，所以)，'=0.即

x=±\,因此所求点为(1,-2),(-1,2)

6.求曲线y=2f在工=1处切线方程.

解在x=l处切线斜率为2=)，1,7=4乩/4,又当x=l时)，=2,由点斜式切线方程为

y-2=4(x-l),即4x-y-2=0.

7.(1)用定义求函数)，=«的导数

解(1)△>,=f(x+及)-f(x)=\/x+Ax-6；

(2)算比值缈=/*+Ar)―/⑴=.

AxA.vSx\[x+Xx+x/x

(3)取极限f(x)=lim

Vx+Ax+x/x2\[x

⑵求曲线)，=4在工=1处切线方程.

解在x=l处切线斜率为太=丹5=木|=：，又x=l时，y=l，所以切线方程为

x-2y+1=0.

8.在曲线y=工二上求•点，使得该点处切线平行于v=4.r-1.

解曲线y=Y上切线斜率为女=)/=2x,因为切线平行于y=4工-1,所以2x=4,x=2,

代回原函数)，=4,即所求点为(2,4).

9.已知物体的运动规律为5=『5),求

(1)物体在，=2s至f=4s这段时间内的平均速度

(2)物体在/=2s时的瞬时速度.

解⑴三去售"8%;

=•一=3工+2叱).

作业2.1.2.(1)

1.填空题

(1)设函数y=sinx-cosa,则y'-.

解y'=cosA+0=cosxo

(2)设函数y=xtan.r,则虫=_________________.

dx

解包=Vtanx+x(tan.r)f=tan.r+xsec2x.

dx

(3)曲线y=xlnx在x=2处切线斜率为.

解=y'\=(lnx+x--)=In2+1.

I.v=2y

X工=2

(4)如果函数/(x)和g(x)对于区间(4力)内每个点都有/'(X)=g'(x),则在区间(“加内

必有f(x)=.

解fM=g(x)+C.

2.求下列函数的导数.

(1)J=X2(2+\/X)：

解y=2『+/

(2)y=x3cosx；

解yr=3.r2cosx-x3sinx

Gx3-x4x+5

⑶WF-

解y=x3-A6+5A)

，817：5T8w76厂5疗

r=-x3——x6——x3=-xQx~--VX——-4-

363363A-2

小Inx

(4)y=----

sinx

i.,

--sinx-Inx-cosx

解v'=---------------

(sinJ:)2

sinr

(5)u=-----

sinr+cos/

m,cosz(sin/+cosz)-sin/(cosr-sinz)1

解w=--------------------；---------

(sin/+cosr)(sinr+cosr)2

3.求下列函数在给定点的导数.

(1)y=sinx+cosx,在x=0及4=四处;

2

解/=cosx-sinx,代入x=0和x得=申

(2)f(x)=x2+xcosx-\,在x=_7t及X=7l处；

解fXx)-2x+cosx-xsinx»代入x=-九和x=兀得/''(一兀)=一2兀-1,/'(兀)=2兀-1

(3)f(x)=VInx,在x=1处.

解f\x)=3x2lnx+A2,代入x=l得/⑴=1.

4.曲线y=在N处切线平行于x轴，求N点的坐标.

4

解N点处切线斜率^=/=x3-l,因为切线平行于大轴，所以攵=0.即x=l.所

以N点的坐标(1,-3).

4

5.求曲线y=2V-/在工=］处的切线方程.

解在x=l处的切线斜率为k=)，L=(6f-2矶「4,又当x=l时y=l.所求切线方

程:为4r—y—3=0

6.求曲线y=x2+2sinx在x=0处切线方程.

解在x=0处切线斜率为A=y'\x()=(2A-+2COSX)|Vo=2.又当x=0时y=0所求方程为

y=2x.

作业2.1.2.(2)

1.填空题

(1)设/(x)=(2x+l)s,则/'5)二.

解/=5(2x+1)4-(2x+1)，=10(2x+1)4o

(2)设/(x)=cos(l-2x),则八幻=

解f(x)=-sin(l-2x)(l-2xY=2sin(l-2x)。

(3)设/(x)=sin2］，则f\-)=__________

4

解f\x)=2sinxcos.r=sin2.v

2.求下列函数的导数

(1)y=cos—+1：

x

解/=-sin-(y)=-Vsin-.

XXX

(2)y=cos«sin2x；

解y'=cosa-2sinx・cosx=cosc?sin2x«

(3)y=Vl-A-2；

-x

解y=-7=

2>/i7r\I\-X2

(4)y=lnx2+ln2^.

版,12(1+Inr)

解)，=—+21nx-=-----------

x"xx

⑸y=ln(x2+x+1)；

2x+l

解y'

x2+x+l

x

(6)y-tan—；

-2

解y=sec2--(-/=-sec2-

2222

(7)y=xsin2x；

解y'=x'sin2x+x(sin2x)'=sin2x+xcos2x-2=sinlx+2,rcos2x.

(8)y=lncos2x；

,1/r-2sin2x

解y=-----(cos2%)=--------=-2Uin2x.

杆cos2.rcos2x

(9)y=arcsin2x；

广产)，2

解

Jl-(2x)2Vl-4x2

(10)y=-2x

解y=e-2x\-2x)'=-2e2x.

3.求下列函数的导数.

(1)>'=er+3；

解y=et+3(x+3)*=ev+3

(2).y=2^-'

解_/=22?_|In2(2r-I)r=4.rln2-22?_,.

(3)y=e2cos3x：

解)，=(e2),cos3.r4-e2(cos3.rX=--e2cos3x-3sin3Ae

(4)>-=5r,nx

解)，'=5,lnAIn5(xlnxy=5"m5(Inx+l).

/V-V+l

(5)y=-----

x

1

X->/x+\

解y，=2/亘

2x\/x+1x~

(6)y=arctan\[x

蜴，(«)'1

解y=-——----r~

1+x2vx(x+1)

4.求函数y=在x=3处的导数.

3

解y=,>y|3=-

2j3x—5lz4

5.求函数y=ln(l+d)在x=l处的导数.

解)''=含'>'1-=，

1I人

6.已知曲线)，=。五工？+6在(0,1)切线斜率为2,求ab

解y'=—，—，当x=0时，@=2,〃=4,代入(0,1)彳旦〃=—3

7.求曲线)，=(工+1)・行二在(2,3)处的切线方程.

解y'=VT^+(x+l)・—(3-x)3,所以斜率为％=Vr^+(x+])《(3_x)3=1

330

由点斜式得切线方程为x-)，+1=0.

作业2.1.2.(3)

1求下列隐函数的导数.

(1)x2-2xy+9=0；

解两边同时对x求导，得2x-2y-2x/=0故y'=^―-.

x

(2)x2+y2-xy+3x=\x

解两边同时对x求导得2工+2»，'一)，一3，'+3=0所以)，'=2")-3.

x-2y

(3)xev-10+.y2=0；

解两边同时对x求导得，+xe"-y'+2y/=0所以了=———.

xe>+2y

y

(4)x-sin—+(ana=0；

x

，

,_x'+ycos—y

解两边同时对X求导得l-cos£•也W=o,故y，=_：_£.

XXxcos^

X

(5)盯=/:

解两边同时对x求导得y+xy'=e，'•)，'，故y'=—-—.

-x

(6)ev-xy2=3.

2

解两边同时对x求导得2)，•)，'=(),故)/=1_2-----.

e-2xy

2.求^+9=4在(1,6)处的切线方程.

解由于9=-土，所以曲线在(1,6)处的切线斜率为k=-J=,故切线方程为

x+-4=0.

3.求下列隐函数的导数

(1)tan(x+y)+xy=2x

解两边同时对X求导得"•)，'一船7.2)，.)，，=0,故),，J2：Y)cos-Q--1

\+xcos(x+y)

222

(2)/+)尸二凉.

解两边同时对.r求导得|/+1。=o,故y=-fi.

作业2.1.3

1.求下列函数的二阶导数

(1)y=x3-2x2+3；

解y'=3x2-4x，y"=6x-4.

(2)y=ex+e~x；

解)严=F+"、.

(3)y=2%

解V=2"In2•3/=2Vr(ln2-3)2.

(4)y=2x2+Inx；

解V=4x+Lyw=4--V.

xx~

(5)y=xex；

xxx

解y=e+xe=^(1+x),/=/(1+x)+e'=e(2+x).

(6)y=ln(l+x)；

,1,一1

=

解y；1-+x，)'=-(l~+x)~,

(7)y=(x2+2)lnx；

解yr=2x\nx+-...=2xlnx+x+->y"=21nx—+3.

xx.r

(8)y=x3\nx

解y'=3x2Inx+x2,yH=6xlnx+5x.

2.求下列函数在指定点处的二阶导数

⑴y=f-3d+l,求儿；

解y=4x3-9x2/=12X2-18X,y〃L=-6.

(2))'=占，求刑―

(3).=加，求y'Lo

解y=e、(l+x),y”=e，(2+x),所以)，=2.

3.求函数)，=此2'在x=］处的二阶导数.

解/=*+2靖\/=2e2x+2e2x+4xe2x=4a+\)e2x，所以儿=8/.

作业2.1.4

1.将适当的函数填入下列括号，使等式成立.

(1)d()=2dx；(2)d()=2人必；

解d(2x+c)=2dx:解d(x2+c)=2xdx；

(3)d()=costdt：(4)d()=—dx；

x

解r/(sinz+c)=cosrt/z；解d(\nx+c)=-dx；

x

(5)dln(l+f)=()J(l+x2)=()dx.

解^/ln(l+x2)=(—二)d(l+W)=(2A心

l+x~\+x~

2.求下列函数的微分

(1)y=^2-5x-：

s,-10x,-5x,

解ay=—/dx=/dx：

2V2-5x2V2-5x2

(2)y=xcosx；

解4=(Vcosx+x(cosx)')dx=(cosx-xsinx)dx：

(3)j=eco,x；

解dy=ewlx•(-esc2x)dx；

x

(4)y

l+x2

.1♦(1+)-x,2A-.1—x~.

解ay---------------------ax---------dx.

(1+x2)2(1+x2)2

3.求函数y=f在x=2,Ar=0.01时的增量及微分.

解Ay=/(2+0.01)-/(2)=2.012-22=0.041

dy\x=2=2-2-0.01=0.04.

Av=0.01

4.函数y=2/+工一1在工=]处，当Ar=0.01时的微分.

解dy=(4x+V)dx,dy\x=i=0.05

6=0.01

5.求下列函数的微分

(1)y=Incos-

Ar

.[.tan(-)tan(-)

解/=—i-rC-sin-X—^)=—所以外=—&dx.

IXXXx~

2xjx2+a~-x2.3

的>Jx2+a2X+2xa~

解)'=--------；---------=---------7

%(/+/户

所以^+2刈：烝

(x2+a2y

6求下列由参数方程确定的函数的导数

x=2+r,

(1)

y=t\nt

dy_(finr)'df_ln/+l

解

dx(2+J)'d/2/

x=acost

(2)

y=bsint

解d}'_(Z?sinr)rdr_bcost

civ(acosf)'d/-asin/

⑶1+2、

y=3/-In/

,3--

解dy_⑶-Inf）山__1_3r-l

瓦―（〉+2，）'df-3尸+2-3尸+27•

“、x=2e”

（4）；

y-te'

dy_（te1）'df_:+id

■一（2^'）'也—4产•

7.求由参数方程卜=皿1+"）在，=|处切线方程.

y=arctant

1

解虫切线斜率为女=_L=L又当时，=i时，x=m2,），=四，由点斜

dv2，2t2t24

1+r

式得切线方程为x-2y+2-ln2=0.

作业2.2.1

一、填空

1.曲线〃x)=In3x在区间内是单调增加函数.

解D=(0,+oo),f\x)=-,所以在(0,+oo)内是单调增加函数

2.函数)，=x+』的单减区间为.

x

解o=(-oo,o)u(o,+oo)y=i-二=与1,当(—1,0)50」)时，y<o.所以函

厂厂

数)，=1+_1的单减区间为(T,0)u(0.1).

X

3.设在(。力)内，/(4)口J导，且—>0,芭vXj小,x2