浙江省杭州市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷（三）浙教版（含答案）

浙江省杭州市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2025秋•武安市期中）下列图形中，可以看作中心对称图形的是（）

2.（3分）（2023秋•通川区校级月考）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

A.ax2+2x=1B.5x-2y=()

2x2

C.5V3x2-x=0D.+3x=5

x

3.（3分）（2025春•交城县期末）下列运算正确的是（）

A.V44-V2=2B.V2+V3=V5

C.J(一2'=-2D.V3X1

4.（3分）（2025•湖南模拟）用反证法证明“如果。＞b＞0,则口＞是真命题时，应假设（）

A.y/a<y/bB.y/a<yfbC.a<bD.aWb

5.（3分）（2024秋•建瓯市期中）某运动/PQ记录中了小明10月份每天的步数，小明统计了每周走路的

平均步数并制成如下列图表，能反映他一周走路运动情况最平稳的是（

周数第一周第二周第三周第四周

平均步数8509852385078516

方差41.330.6

A.第一周B.第二周C.第三周D.第四周

6.（3分）（2023秋•中原区校级期中）下列说法正确的是（)

A.矩形的对角线互相垂直

B.菱形的对角互补

C.矩形的四个内角都是直角

D.菱形的对角线相等

7.（3分）（2024春•拱壁区校级期中）已知关于x的方程。（/〃［）2+方=0,（人阴均为常数，且aWO）

的两个解是xi=3和X2=7,则方程a（2Y+〃L1）2+b=0的解是（）

A.xi=2,X2=4B.xi=3,X2=7

C.xi=5,X2=13D.xi=2,X2=6

8.（3分）（2023春•新晃县期末〕如图，尸是矩形内一点，过户的两直线分别与矩形的边平行，下

列说法不一定成立的是（)

AN

A.S^ABC=S^ADC

B.S^AEF=S^ANF

C.S娘形NFGD=S矩形EFMB

D.S^AEF=S始形NFGD

9.（3分）（2023秋•郸城县月考）某小区中央花园有一块长方形花圃，它的宽为5而，若长不变，将宽扩

大，使得扩大后的花圃变成正方形，且面积比原来增加15小2,设原来花厕长为.□〃，则可列方程（）

A.X2+5X=\5B.X2-5X=\5C.（x-5）2=15D.x2-52=15

10.（3分）（2025•黄冈校级模拟）如图，在Rt△力8C中，AB=AC,。、E是斜边8c上两点，且ND4E

=45°,若8。=3,CE=4,则△彳8C的面积为（）

A.36B.38C.40D.42

二,填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（2021春•涧西区期中）若式子店二W在实数范围内有意义，则x应满足的条件是.

12.（3分）（2024秋•盐城期中）一组数据19,15,10,x,4,它的中位数是13,则这组数据的平均数

是.

13.（3分）（2024春•江北区校级月考）一个正多边形的一个内角等于一个外角的3倍，则这个正多边形

是正边形.

14.（3分）（2023春•宇明县期末）如果关于x的方程x2・Zr+川一0没有实数根，那么实数机的取值范围

是.

15.（3分）（2024•建邺区二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OX8C的顶点4的坐标是（3,1）.若

顶点8在第一象限的角平分线上，则点8的坐标是.

B

'A

0

16.（3分）（2023•十堰）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形38。（/4=90°）

硬纸片剪切成如图所示的四块（其中。，E,产分别力8,AC,8。的中点，G,〃分别为Z）E,3/的中

点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的

最小值为，最大值为

三,解答题（共12小题，满分102分）

17.（9分）（2024春•陇西县月考）计算：3V2-V3-X2V3+\/24.

18.（9分）（2025秋•南京期中）解方程:

（1）W-6x-5=0；

（2）x（x+1）=2（x+1）.

19.（9分）（2025春♦张掖期末）如图，在平面直角坐标系中，△力AC的三个顶点坐标分别为力（1,I）,

B（4,2）,C（3,4）.

（1）将。沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△力出|。（点4的对应点为小，点4

的时应点为S，点C的对应点为G）：

（2）将绕着点。顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△力282c2（点力的对应点为42，点4的

对应点为治，点。的对应点为C2）,则C2的坐标;

（3）在平面内有一点。，使得以力，B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的所有点。

20.（9分）（2025春•兰溪市期末）某校团委要招聘一名节目主持人，A.B、。三位同学报名并参加了3

个项目的素质测试，测试成绩如表（单位：分）.

知识积累人文素养实践经验

A8()7882

B788679

C798774

（1）计算得力同学的总成绩的平均分为80分，请求出仄C两同学的平均分；

（2）对于主持人工作，三个项目的重要性程度有所不同，规定应聘者的知识积累、人文素养、实践经

验的成绩按3：3：4的比例计算，得分高的应聘，请问谁能应聘成功？

21.（9分）（2024春•华容县期末）如图，OE是△ABC的中位线，延长C8至点凡使BF=3C,连接

BE,DF.

（1）求证：四边形6。尸是平行四边形；

（2）若OF另力C,试判断△相。的形状，并说明理由.

22.（9分）（2025秋•沙坪坝区校级月考）受高温影响，重庆多地暑假突发山火.“山火无情人有情”，多

家企业及学校积极履行社会责任，主动投身到防暑抗旱、森林防火工作中，合力共克时艰，同时，他们

组织捐赠油锯和水基灭火器共1.5万个，总价值450万元.已知油锯的售价为每个400元，水基灭火器

的售价为每个250元.请完成下列问题：

（1）本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为多少万个？

（2）某企业计划捐赠90个油锯、120个水基灭火器，在采购时，商家为驰援山火救援主动让利，将油

锯的售价降低了〃?％,水基灭火器的售价降低了最终该企业捐赠的这批物资总价为53800元，

6

请求出m的值.

23.（9分）（2025秋•杨浦区校级月考）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知Q=』,

求2a2-8a+1的值.经过思考和探索，他的解答如表.

..12—>/3田

・。二市5=西75"辱=o23

a—2=­V3

:.(a-2)2=3,gpa2-4a+4=3,

Ao2-4a=-1,

・・・2/-8a+l=2(a2~4a)+1=2X(-1)+1=-1.

请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】:

（1）计算：而+7^+会+~+即+时;

（2）

若"二表求a4-4a--3a+3的值.

24.（9分）（2025秋•东城区校级期中）在平面直角坐标系X。］，中，O（0,0）,J（-2,1),B(3,-

1）,C（3,3）,£）（-2,3）,若点尸关于某直线/的对称点落在长方形力8CQ内（不包含边界），则称

y

6

5

4

3

2

1

1234567

-2

-3

-4

-5

一6

-7

一8

-9

-10

（1）若点

P（1,2）是长方形/4CQ的“/封闭点”，则/可以是（填序号）.

①x轴；

②y轴：

③一、三象限角平分线；

④长方形ABCD的对称轴.

（2）若点。（小b）是长方形48CO的轴封闭点”，求点0横坐标。的取值范围；

（3）点〃（〃/，加）是直线/上的动点，点M（0,-9）,点N（c,d）是线段上的一点，若点N

是长方形的“直线/封闭点”，求点N的纵坐标d的取值范围.

25.（9分）（2023秋•黄埔区校级月考）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程4/2=0

的两根，则这个直角三角形的面积为

26.（9分）（2024春•沙坪坝区期末）在口48CQ中，若N4=80°,则N8的度数是.

27.（6分）（2023•徐汇区二模）方程组产22y2=°的解是.

28.（6分）（2020春•西岗区期末）如图，E是正方形48CO内的一点，KDE=DC,EB=EC，则NBOE

的度数为__________.

参考答案与试题解析

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2025秋•武安市期中i下列图形中，可以看作中心对称图形的是（）

【考点】中心对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】B

【分析】根据中心对称图形的定义解答即可.

【解答】解：/、图形不是中心对称图形，不符合题意；

8、图形是中心对称图形，符合题意；

C、图形不是中心对称图形.不符合题意：

。、图形不是中心对称图形，不符合题意，

故选:B.

【点评】本题考查的是中心对祢图形的定义，熟知中心对称图形则是指在平面内把一个图形绕着某个点

旋转18（）。后，能够与原来的图形重合的图形是解题的关键.

2.（3分）（2023秋•通川区校级月考）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

A.ax2+2x~1B.5.r-2y-0

C.5A/3X2—x=0D.--+3x=5

x

【考点】一元二次方程的定义.

【专题】一元二次方程及应用；应用意识.

【答案】C

【分析】根据一元二次方程的定义判断即同;

【解答】解：力、当。=0时，加+%=1即为2x=l,不是一元二次方程，不符合题意；

B、5x-2y=0含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；

C、56/一%=0是一元二次方程，符合题意；

。、史+3》=5不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意：

x

故选：C.

【点评】本题主要考杳了一元二次方程的定义，解题的关键是理解只含有一个未知数，且未知数的最高

次为2的整式方程叫做一元二次方程.

3.（3分）（2025春•交城县期末）下列运算正确的是（）

A.V44-72=2B.V2+V3=V5

C.V（-2）2=-2D.V3xJ|=l

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式：运算能力.

【答案】D

【分析】根据二次根式的运算法则计算并判断选项即可.

【解答】解：A："+/=2+&=专=也结果为企而非2,故错误，不符合题意;

B：&与6的被开方数不同，无法直接合并为遥，故错误，不符合题意;

C：yrr2）2=V4=2,故等式应为2而非-2,故错误，不符合题意;

D：V3x=Jsx|=VT=1,运算正确，符合题意：

故选：D.

【点评】本题考查了二次根式的运算性质，正确运算是解决本题的关键.

4.（3分）（2025•湖南模拟）用反证法证明”如果4Q0,则口>逐”是真命题时，应假设（）

A.y/a<y/bB.Va<VbC.a<hD.aWb

【考点】反证法.

【专题】反证法；推理能力.

【答案】B

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答即可.

【解答】解：反证法证明“若a>b>0,则口>4”时，假设返工④，

故选：B.

【点评】本题考查反证法，解答本题的关键要明确：在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可

能的情况，如果只有一利那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.

5.（3分）（2024秋•建阻市期中）某运动力PP记录中了小明10月份每天的步数，小明统计了每周走路的

平均步数并制成如下列图表，能反映他一周走路运动情况最平稳的是（）

周数第一周第二周第三周第四周

平均步数8509852385078516

方差41.330.6

A.第一周B.第二周C.第三:周D.第四周

【考点】方差：众数.

【专题】数据的收集与整理：数据分析观念.

【答案】D

【分析】比较方差即可.

【解答】解：由题可知，第四周的方差（第二周的方差（第三周的方差〈第一周的方差，

••・第四周走路运动情况最平稳：

故选：D.

【点评】本题考查了方差，一组数据中，各数据与他们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的

方差，方差是反映一组数据波动大小的一个量方差越大则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，反之

则它与其平均值的离散程度越小稳定性越好.

6.（3分）（2023秋•中原区校级期中）下列说法正确的是（）

A.矩形的对角线互相垂直

B.菱形的对角互补

C.矩形的四个内角都是直角

D.菱形的对角线相等

【考点】矩形的性质：多边形内角与外角：菱形的性质.

【专题】证明题；推理能力.

【答案】C

【分析】根据矩形、菱形的性质逐项判断即可.

【解答】解：力、矩形的对角线相等且平分，不垂直，选项错误，不符合题意；

8、菱形的对角相等，不是互补，选项错误，不符合题意；

C、矩形的四个角都是直角，选项正确，符合题意：

。、菱形的对角线垂直且平分，不相等，选项错误，不符合题意；

故选：C.

【点评】】此题考查了矩形、菱形的性质，熟记各种特殊四边形的性质是解题关键.

7.（3分）（2024春•拱墅区校级期中）已知关于x的方程a（x+〃?）2+6=0,（b,均为常数，且。W0）

的两个解是制=3和4=7,贝］方程。（2X+〃L1）2+6=（）的解是（）

A.xi=2,X2=4B.XI=3,X2=7

C.xi=5,X2=13D.XI=2,X2=6

【考点】解一元二次方程-直接开平方法.

t专题】整体思想；一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】A

【分析】把后面一个方程中的2x-1看作整体，相当于前面一个方程中x的求解.

【解答】解：,・•关于x的方程。（户加）2+6=0的解是小=3,X2=7,

工方程a（2叶〃?-1）2+b=0变形为0（2v-1）+m]2+b=0,

即此方程中2「1=3或2x-1=7,

解得xi=2,X2=4.

故选:A.

【点评】此题考查了方程解的定义，运用整体思想是解题的关键.

8.（3分）（2023春•新晃县期末〕如图，F是矩形"CD内一点,过〃的两直线分别与矩形的边平行，下

列说法不一定成立的是（）

ANn

A.S4ABC=SdADC

B.S"EF=S.ANF

c•s嵬影NFGD=S矩形EFMB

D.S”EF=S区形NFGD

【考点】矩形的性质；平行线之间的距离；三角形的面积.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】D

【分析】根据矩形的性质可判定△X8C和△CD4全等，从而可对选项4进行判断；再根据〃/

£G〃BC可得到四边形4£7W,四边形NFGO,四边形A//GC,四边形均为矩形，据此可对选项

4进行判断；利用选项44成立可对选项C进行判断；然后由题目中的已知条件不能证明SAUEF=S

矩形NFGD,由此可对选项。进行判断.

【解答】解：•・•四边形力8c。为矩形，

：.AB=CD,BC=AD,AB//CD,BC//AD,Z5=ZD=ZBAD=ZBCD=90°,

在△48C和△CD4中，

AB=CD,BC=AD,N8=ND=90°,

:AABgACDA(SAS),

•**S“BC=SAADC，

故选项力成立：

,:MN〃AB,EG//BC,

又BC〃AD,AB=ZD=ZBAD=ZBCD=90°,

・•・四边形/E/M四边形NFG。，四边形M/PC,四边形EEM?均为矩形，

由选项力正确得：SdAEF=S"NF，S△尸MC=SNCG，

故选项6成立；

•/S^ABC=S&IEF+S矩形EFMB+S^FMC^S^ADC=SAJ,VF+5矩形NFG的S^FCG，

:'SAAEES里形EFMB+S4FMC=S&ANNS版形NFG.S^FCG，

S>AEF=S&ANF，S&FMC=S△尸CG，

S却形EFMB=S班形NFGB，

故选项C成立；

根据题目中的条件不能得到：S"EF=S范形NFGD，

因此选项。不一定成立.

故选：D.

【点评】此题主要考查了矩形的性质，理解矩形的两组对边分别平行且相等，四个角都是直角是解答此

题的关键.

9.（3分）（2023秋•郸城县月考）某小区中央花园有一块长方形花圃，它的宽为5〃?，若长不变，将宽扩

大，使得扩大后的花圃变成正方形，且面积比原来增加15m2,设原来花圃长为不明则可列方程（）

A./+5x=15B.X2-5X=15C.（x-5）2=15D.x2-52=15

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】一元二次方程及应用；应用意识.

【答案】B

【分析】设原来花照长为xm，根据“扩大后的花圃变成正方形，且面积比原来增加15/”列出一元二

次方程即可.

【解答】解：设原来花圃长为xm,

由题意得：x2-5.v=15,

故选：B.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，找到等量关系.

10.（3分）（2025•黄冈校级模拟）如图，在Rt△力8C中，AB=AC,D、£是斜边8。上两点，RZDAE

=45°,若40=3,。£=4,则△力8。的面积为（）

A

【考点】勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形：几何直观；运算能力：推理能力.

【答案】A

【分析】将△/£（?顺时针方向旋转90°至4AFB,得出N44/T=N/1CO=45°,ZBAF，=ZCAE,AE

=",证明△”!上注△»1尸（S4S）,由全等三角形的判定与性质得出OE=。凡由勾股定理求出OE的

长，根据三角形的面积可求出答案.

【解答】解：如图，将△《装7顺时针方向旋转90°至△力必，连接力兄

AZABC=ZACB=45°,

根据旋转的性质可得△力£。且乙48凡

/.ZABF=^ACD=45°,/BAF=/CAE,AE=AF,

:・/FBE=450+45°=90°,BF=CE,

：,BD2+BF2=DF2,

：,ZDAE=45°,

：,ZBAD+ZCAE=45°,

：・NBAD+NBAF=45°,

，ZDAE=ND4F,

又・：AD=AD,

:•△DAE/ADAF(SAS),

：.DE=DF,

：.BD2+BF2=DE2,

*：BD=3,C£=4,

/.£>£,=V32-F42=5,

/2

ABC=BD+DE+CE=3+5+4=12,AB=AC=12x/=6近，

：./\ABC的面积为:x6&x6yli=36,

故选：A.

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，

熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键.

二,填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（2021春•涧西区期中）若式子年行在实数范围内有意义，则工应满足的条件是运^.

【考点】二次根式有意义的条件.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】xW5.

【分析】肯接利用二次根式的定义分析得出答案.

【解答】解：由题可知，

5-G0,

解得xW5.

故答案为：xW5.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键.

12.（3分）（2024秋•盐城期中）一组数据19,15,10,x,4,它的中位数是13,则这组数据的平均数是

12.2.

【考点】中位数；算术平均数.

【专题】统计与概率；运算能力.

【答案】12.2.

【分析】由中位数的定义“将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据”

即可判断出x的值，再利用求平均数的公式求出结果即可.

【解答】解：•・•这组数据由5个数组成，为奇数个，且中位数为13,

•»x=13,

，这组数据为4,19,10,13,15,

・♦・这组数据的平均数5=4+19+1:+13+15=122

故答案为：12.2.

【点评】本题考查中位数，求平均数，掌握中位数的定义和求平均数公式是解答本题的关健.

13.（3分）（2024春•江北区校级月考〉一个正多边形的一个内角等于一个外角的3倍，则这个正多边形

是正八边形.

【考点】多边形内角与外角.

【专题】多边形与平行四边形；运算能力.

【答案】八.

【分析】设这个正多边的外角为x°,则内角为36,根据内角和外角互补可得x+3x=18O,解可得x

的值，再利用外角和36（T除以外角度数可得边数.

【解答】解：设这个正多边的一个外角为，由题意得：

x+3x=180,

解得：工=45,

3600+45°=8.

・•・这个正多边形是正八边形.

故答案为：八.

【点评】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数.

14.（3分）（2023春•宁明县期末）如果关于x的方程厚・2^^=0没有实数根,那么实数小的取值范围

是1.

【考点】根的判别式.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

［答案】w>1.

【分析】根据根的判别式的意义得到小=（-2）2-4,//<0,然后解不等式即可.

【解答】解：根据题意得△=（-2）2-4m<0,

解得小>1,

即实数〃，的取值范围为/%>1.

故答案为："7>1.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程/+加+。=0（aWO）的根与A=^-4ac有如下关系：

当△>（）时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程

无实数根.

15.（3分）（2024•建邺区二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形。48c的顶点力的坐标是（3,1）.若

顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是（4,4）.

y

【考点】菱形的性质；坐标与图形性质.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】(4,4).

【分析】由“SSS”可证丝△4〃。，可得OH=BH,NAHO=NAHB=45：由等腰直角三角形

的性质可得力〃=尸〃=1，即可求解.

【解答】解：如图，过点8作轴于〃，过点力作力凡L0〃于R连接力H,

•・•点力的坐标是(3,I),

：,AF=\,OF=3,

•・•四边形。力8c是菱形，

OA=AB,

•・•点B在第一象限的角平分线上，

•••△O8H是等腰直角三角形，

：.BH=OIL

又•：AH=AH,

:AAHB/XAHO(SSS),

：・OH=BH,/AHO=/AHB=45°,

,：AFLOH,

：,AF=FH=\,

：.OH=BH=4,

1点B(4,4),

【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线

构造全等三角形是解题的关键.

16.（3分）（2023•十堰）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形33。（/4=90°）

硬纸片剪切成如图所示的四块（其中。，E,产分另1］力从AC,8C的中点，G,〃分别为。E,的中

点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的

最小值为8，最大值为8+2/.

【考点】图形的剪拼：等腰直角三角形；轴对称-最短路线问题.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称：推理能力.

【答案】8；8+2V2.

【分析】根据题意，可固定四边形G尸CE,平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小

值，最大值.

【解答】解：如图,

8C=4,AC=4x辱=2gCI=BD=CE=%C=五,DI=BC=4,

工四边形BCID周长=4+4+2&=8+2近；

AF=AI=IC=FC=2,

:.四边形力“7周长为2X4=8；

故答案为：8,8+2V2.

【点评】本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键.

三.解答题（共12小题，满分102分）

17.(9分)(2024春•陇西县月考)计算：3&+6一4X2V3+值.

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】2V6.

【分析】先算乘除，化为最简二次根式，再合并同类二次根式.

【解答】解：原式=3/2+3-2J*X3+2\/^

=V6—V6+2>/6

=2限.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则.

18.(9分)(2025秋•南京期中)解方程：

(1)X2-6X-5=0；

(2)x(x+1)=2(r+1).

【考点】解一元二次方程・因式分解法：解一元二次方程・配方法.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】(1)打=3+V14,々=3-V14;

(2)xi=2,X2=-1.

【分析】(1)运用配方法进行解方程，即可作答.

(2)运用因式分解法进行解方程，即可作答.

【解答】解：(1)VX2-6X-5=O,

・4-6x=5,

AA2-6x+9=5+9,

，(x-3)2=14,

Ax-3=±V14,

.*.%1=3+x2=3-V14：

(2)x(x+1)=2(x+1),

Vx(x+1)-2(x+1)=0,

:.(x-2)(x+1)=0,

Ax-2=0或x+1=0,

••X\=2,X2=-1•

【点评】本题考食了解一兀二次方程，熟知解一兀二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键.

19.(9分)(2025春•张掖期末)如图，在平面直角坐标系中，△43。的三个顶点坐标分别为4(1,1),

B(4,2),C(3,4).

(1)将△48。沿戈轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△小81cl(点力的对应点为小，点8

的对应点为81，点C的对应点为。)；

(2)将△XBC绕着点。顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△/2&C2(点彳的对应点为42，点8的

对应点为仍，点。的对应点为。2)，则C2的坐标(4,・3):

(3)在平面内有一点。，使得以力，B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的所有点。

【考点】作图-旋转变换；平行四边形的判定与性质；作图-平移变换.

【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】(1)将△力8c沿x轴方向向左平移6个单位得到的△小小。，如图1即为所求;

(2)将△4〃。绕着点。顺时针旋转90°得到△力242c2，如图2即为所求;

图2

(4,-3)；

(3)(6,5)或(2,-I)或(0,3).

【分析】(1)根据平移变换的性质分别作出儿B,C的对应点小，Bi，。即可.

(2)根据旋转的性质分别作出/B,。的对应点4?，82，G即可.

（3）有三种情形，画山平行四边形，可得结论.

【解答】解：（1）将△力沿x轴方向向左平移6个单位得到的△力向Ci，如图1即为所求;

（2）将△49。绕着点。顺时计旋转90°得到△血历C2，如图2即为所求;

图2

由图可知，。2（4,-3）»

故答案为：（4,-3）：

<3）依题意，以4B,C,。为顶点的四边形是平行四边形,

图3

由图可知，。的坐标是（6,5）或（2,-1）或（0,3）.

故答案为：（6,5）或（2,-1）或（0,3）.

【点评】本题考查作图-旋转变换，平行四边形的判定与性质，作图-平移变换，解题的关键是熟练掌

握平移与旋转的性质.

20.（9分）（2025春•兰溪市期末）某校团委要招聘一名节目主持人，A.B、。三位同学报名并参加了3

个项目的素质测试，测试成绩如表（单位：分）.

知识积累人文素养实践经验

A8()7882

B788679

C798774

（1）计算得力同学的总成绩的平均分为8（）分，请求出仄C两同学的平均分：

（2）对于主持人工作，三个项目的重要性程度有所不同，规定应聘者的知识积累、人文素养、实践经

验的成绩按3：3：4的比例计算，得分高的应聘，请问谁能应聘成功？

【考点】加权平均数.

【专题】统计的应用；数据分析观念.

【答案】（1）8的平均分81分；。的平均分80分.（2）8将成功应聘.

【分析】（1）利用平均数的公式即可直接求解;

（2）利用加权平均数公式求解.

78+8+79

【解答】解：（1）4的平均分：^=8］（分）,

79+87+74

。的平均分：---二80（分）.

•D

（2）4的加权平均分是：80X0.3+78X0.3+82X0.4=80.2（分）,

8的加权平均分是：78X0.3+86X0.3+79X0.4=80.8（分）,

。的加权平均分是：79X0.3+87X0.3+74X0.4=79.4（分）,

因为4的加权平均分最高，所以8将成功应聘.

【点评】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算是解题的关键.

21.（9分）（2024春•华容县期末）如图，。£是444。的中位线，延长至点凡使连接

BE,DF.

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）若=*4C,试判断△44C的形状，并说明理由.

【考点】平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理.

【专题】多边形与平行四边形；几何直观：推理能力.

【答案】（1）证明见解析过程；

（2）△力AC为直角三角形，理由见解析过程.

【分析】（1）根据三角形中位线定理可得。e〃8C,DE另BC,求出。E=8月根据平行四边形的判

定可得结论；

（2）根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出4E=£C=8G可得NE<B=/EB4,/ECB=/

EBC,然后利用三角形内角和定理求出NEA4+N£8C=90°即可.

【解答】（1）证明：〈QE是也力〃。的中位线，

：.DE//BC,DE=^BC,

'：BF=^BC,

1,DE=BF,

，四边形厂是平行四边形；

（2）解：△/以?为直角三角形；理由如下：

•・•四边形BEDF是平行四边形，

:・DF=BE,

*：DF=^AC,

：,BE=^AC.

,:DE是的中位线，

：.AE=EC=^AC.

:・AE=EC=BE,

：.ZEAB=NEBA,NECB=NEBC,

•:NE/IB+NEB4+NECB+NEBC=180°,

：・NEBA+NEBC=90°,即N/8C=90°,

•••△48C为直角三角形.

【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，

熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键.

22.（9分）（2025秋•沙坪坝区校级月考）受高温影响，重庆多地暑假突发山火.“山火无情人有情”，多

家企业及学校积极履行社会责任，主动投身到防暑抗旱、森林防火工作中，合力共克时艰，同时，他们

组织捐赠油锯和水基灭火器共L5万个，总价值450万元.已知油锯的售价为每个400元，水基灭火器

的售价为每个250元.请完成下列问题：

（1）本次捐赠中，油裾和水基灭火器的数量分别为多少万个？

（2）某企•业计划捐赠90个油锯、120个水基灭火器，在采购时，商家为驰援山火救援主动让利，将油

锯的售价降低了〃?％，水基灭火器的售价降低了5m%，最终该企业捐赠的这批物资总价为53800元，

6

请求出m的值.

【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】（1）本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为0.5万个，1万个；

（2）m=20.

【分析】（1）设本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为x万个，y万个，然后根据油锯和水基灭

火器共1.5万个，总价值450万元列出方程组求解即可；

（2）根据物资总价=油锯的价值+灭火器的价值列出方程求解即可.

【解答】解：（1）设本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为x万个，y万个,

x+y=1.5

由题意得

400x+250y=450'

解得｛；：了

答：本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为0.5万个，1万个:

(2)由题意得90x400(1-m%)+120x250(1-1m%)=53800,

36000(I-M%)+30000乂/％=53800,

o

/.36000-360^+30000-250加=53800,

解得机=20.

【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意找到等量关系列

出方程是解题的关键.

23.（9分）（2025秋•杨浦区校级月考）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知。=备，

求2『-8。+1的值.经过思考和探索，他的解答如表.

12-43

'0=2+75=(2+73)(2-73)

・•・(4-2)2=3,即。2-4。+4=3,

(T-4。=-1,

・・・2/・8〃+1=2(a2-4a)+1=2X(-1)+1=-1.

请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】:

、、31111

3）计算：而+瓦赤十五忑+…+，——

V20254-^/2024^

(2)若a=/；求a4-4a-3a+3的值.

J5—2

【考点】二次根式的化简求值；规律型：数字的变化类；平方差公式；分母有理化.

【专题】二次根式：运算能力.

【答案】（1）44；

(2)6+V5.

【分析】（1）将各式分母有理化后，合并同类二次根式即可;

（2）根据阅读材料化简可得J-4〃=l,将所求代数式变形为含/-44的式子，代入求值即可.

1x/2-1

【解答】解：(1)=yfi—1,

V2+1-(V2+1)(V2-1)

1___________&五

=yfi—y/2,

V3+V2=(V3+V2)(N/3-V2)

1V2025-V2024)----)----

V2025+V2024(V2025+V2024)(V2025-V2024)vv

1111

V2+1V3+V22+V3V2025+V2024

=x^-l+V3-V2+V4-V3+-+V2025-V2024

=V2025-1

=45-1

=44；

(2).”亨T(而+2)(石一2)=6+2,

/.<7—2=Vs,

a*2-4a+4=5，

/.a2-4a=l,

・，•原式=02(a2-4a)-3a+3

=cr-3a+3

=a2-4a+a+3

=1+a+3

=4+a

=4+V5+2

=64-y/5.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键.

24.(9分)(2025秋•东城区校级期中)在平面直角坐标系xQy中，。(0,0),力(-2,-1),8(3,-

1),C(3,3),0(-2,3),若点尸关于某直线/的对称点落在长方形月BCO内(不包含边界)，则称

点产是长方形/8CO的“/封闭点”.

66

55

44

33

22

11

11i11111111tlj1111111i1Ii।

-6-5-4-3-2-I012345671—6—5—4—3—2—101234567H

-1-1

-2-2

-3-3

-4-4

-5-5

-6一6

-7-7

一8-8

-9-9

-10