一元二次不等式恒成立、存在性问题大题专项训练【四大题型】-人教A版高中数学必修第一册（解析版）

专题2.4一元二次不等式恒成立、存在性问题大题专项训练

【四大题型】

【人教A版(2019)]

姓名：班级：考号：

,_______________」二元二次不等式在实数集上恒成立问题

2

1.(2024高三•全国・专题练习)设函数/(无)=ax+(1-a)x+Q-2(aGR)

(1)若不等式/(无)>-2对一切实数x恒成立，求。的取值范围；

(2)解关于x的不等式：/(x)<a-l.

【解题思路】(1)对a是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解•.

(2)不等式化简为a/+(l-a)x-l<0,根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解.

【解答过程】(1)fCv)才一2对一切实数x恒成立，等价于▼尤eR,g;2十(1一。»十。二0恒成立.

当a=0时，不等式可化为xN0,不满足题意.

当“。，有｛晨，即1+祟I*。，解得小

所以Q的取值范围是生+8).

(2)依题意，/(无)<a-1等价于Q%2+(1-a)%-1<0,

当。=0时，不等式可化为x<1,所以不等式的解集为｛x|x<1｝.

当a>0时，不等式化为(ax+l)Q-l)V0,此时一：VI,所以不等式的解集为

当a<0时,不等式化为(ax+l)(x—1)<0,

①当。=一1时，-5=1，不等式的解集为｛%1%工1｝；

②当一lVa<0时，-41,不等式的解集为或％<1｝；

③当。<一1时，一：<1，不等式的解集为｛加工>1或

综上，当QV—1时，原不等式的解集为"|%>1或

当。二一1时，原不等式的解集为1｝：

当一1VaV0时，原不等式的解集为｛x|x>一十或％<1｝：

当a=0时，原不等式的解集为<1｝：

当a>0时，原不等式的解集为{加一：<1}.

2.（23-24高一上•河北石家庄•期中）解决下列问题.

（1）己知关于x的不等式2k/+依-9<0的解集为卜|一|<》<1},求实数〃的值；

（2）若关于x的不等式k/+kx-^<0恒成立，求实数k的取值范围.

【解题思路】（1）根据三个二次之间的关系结合韦达定理运算求解；

（2）分k=0和kW0两种情况，结合一元二次不等式的恒成立问题列式求解；

【解答过程】（1）因为关于X的不等式2k/+依一:<0的解集为{汨一曰<%<1},

可知k>0,且一。和1是关于“的方程2kM+kx-1=。的两个实数根，

28

--+1=

则1：3,解得

--X1=-5

22k

（2）因为关于“的不等式k/+"一:<0恒成立，

4

当A=0时，一之<0成立，

4

（k<0

当A丰0时，满足［=k2_4kx（―JV0，解得一3VkVO,

综上：实数k的取值范围伙|一3<上40}.

3.（23-24高一上.广东河源.阶段练习）设/=加/+（1-7„）.丫+加一2.

（1）若不等式y2-2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；

⑵在（1）的条件下，求小誓的最小值；

m+1

（3）解关于X的不等式/XX）<771-1.

【解题思路】（1）分m=0和m±0讨论，当mH0时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即

可求解；

（2）变形为m+l+T，利用基本不等式求解可得；

7n+l

（3）整理得（7©+1）。-1）<0,根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类

讨论即可.

【解答过程】（1）由y2一2恒成立得：m/+（1一血）％+血？o对一切实数1恒成立.

当m=0时，不等式为4>0,不合题意；

当执工。时，解得：皿4

综上所述：实数〃，的取值范围为卜+8).

14

(2)；机之「•••7714-1>-,

z2

•m••+2^m+^5=^(m+l^)+4=租+,1.+,寸4、32婀+~1T),4=4.,

(当且仅当加+1=」一，即m=l时取等号)，2m+5的最小值为4

m+1m+1

(3)由m%2+(1-m)x+m—2<m,-1得：mx2+(1—m)x-1=(mx+l)(x—1)<0；

①当m=0时，x-1<0,解得：x<1,即不等式解集为(一8,1)：

②当m工0时，令m/+(1-m)才一1二0,解得：匕=1,x2=—

1)当一3<0,即m>0时，不等式解集为(一',1);

2)当0V—AV1,即mV—1时，不等式解集为(—8,—A)U(1,+8)；

3)当一\=1,即m=-l时，不等式可化为"-2x+1=(%-1)2>0,

m1,.,.不等式解集为(一8,1)u(l,+oo)；

4)当一即—lVmvO时，不等式解集为(—8,l)u(—*,+8)；

综上所述：当m=0时，不等式解集为(一8,1)；

当仇>0时，不等式解集为(一3，1)；

当加<一1时，不等式解集为(一8,-A)U(1,+8);

当机=一1时，不等式解集为(一8l)U(l,+8);

当—1VmV0时，不等式解集为(―8,1)u(―，+8).

4.(2024高三上.河南.专题练习)已知QA0,6>0,且一二+丁二=：,若a+6的最小值为〃?.

a+3o3a+o2

⑴求〃?的值；

(2)若对VxWR,不等式t/—2\反比+t+m>0恒成立，求实数t的取值范围.

【解题思路】(1)根据题意结合“1”的灵活应用以及基本不等式运算求解：

(2)根据二次函数恒成立问题分析求解，注意讨论t是否为0.

【解答过程】(1)因为a>0,b>0,且士+义=；,

a+3n3a+b2

则a+b=2(。+匕)(焉+焉)=39+3匕)+(3。+划(焉+焉)

=-(2+—+—)”(2+2/—x—

2\3a+ba+3bJ2\y)3a+ba+3b

a+3b_3a+b

沔一汽1，即Q=b=l时取等号，

(a+3b+3a+b-2

故a+b的最小值m=2.

(2)由(1)可得m=2,

所以lx?一2\/2tx+t4-2>0,

当t=0时，不等式为2>0,显然成立；

当t工。时，由条件可得卜=(_2倒)2_4t(t+2)<。,解得。<t<2

综上可知，实数，的取值范围为[0,2).

5.(23-24高一上•云南德宏•期末)已知/'(无)=——(a+1)工十

⑴若/a)>T恒成立，求实数。的取值范围；

⑵求不等式/(%)>0的解集.

【解题思路】(I)由/(不)>一：恒成立，即工2一俗+1)X+。+：>0恒成立，即得dvo,从而可求解.

(2)由/•(%)>。即a-a)(x-l)>0,然后对Q分情况讨论，从而可求解.

【解答过程】(I〉*.*/5)二/一(a+1)%+a>恒成立，

:.f(x)=x2—(a+l)x+a+：>0对V%€R恒成立，

故/=(一。-1)2-4(。+3〈0,化简得4=。9-2)<0,解得0VQ<2,

故实数Q的取值范围(0,2).

(2)f(x)=x2—(a4-l)x+Q>0,即(％—a)(x—1)>0；

当a>1M,不等式的解为｛%|x<1或x>a],

当aVI■时,不等式的解为｛为|无<a或%>1｝,

当a=l时，不等式的解为｛可％H1｝.

6.(23-24高一上・福建南平・期末)设函数/(%)=ax2+(b-l)x+2.

(1)若a=l,b=-2,求不等式/(x)>0的解集；

(2)若关于％的不等式/Xx)>"的解集为R,求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)解一元二次不等式即可得解；

(2)由题意得VxWR,。%2一%+2N0恒成立，对a分类讨论即可求解.

【解答过程】(1)当a=l,b=-2,不等式/(外,。即为％2-3%+2>0,

解得％<1或%>2,

所以/co>o的解集为拉氏<1或%>2).

(2)因为f(x)=ax2+(b-l)x+2,

所以不等式/(无)>bx可化为。产一%+220,

依题意对V%GR,ax2—x+2>0恒成立.

所以当Q=0时，一%+220,不符合要求；

当心0时，由一元二次函数性质，可知片?，即L解得QZ]

tA<0vl-8a<08

因此实数a的取值范围是L，+8).

7.(23-24高一上•陕西渭南•期末)设f(0=ax2+(1-2a)x+1.

(1)若不等式外外>》对一切实数姬成立，求实数a的取值范围；

(2)解关于无的不等式/(幻>3(。<0).

【解题思路】(1)讨论〃是否为3不为。时，结合一元二次不等式恒成立列出不等式组，即可求得答案;

(2)将/<(%)>3(aV0)化简为2)(QX+1)>0,分类讨论，比较一，2的大小，即可得答案.

【解答过程】(1)不等式/(X)>第对一切实数%恒成立，即。产-2ax+1>0对一切实数%恒成立，

当a=0时，a/—2ax+1>0即1>0,满足题意：

当时，需满足。2a10/八，解得0<Q<1；

故实数a的取值范围为0<a<1;

(2)由/(x)>3(a<0)可得a/+(1-2d)x-2>0,即(x-2)(ax+1)>0,

即"一2)(工+方)<0

当一｝<2,即av—g时，(%—2)(%+》<0的解集为(一(,2)；

当-；=2,即a=-^时，(%-2)(%+；)<0的解集为0；

当一：>2,即0>Q>时，(％—2)(x+3)V0的解集为(2,—3)；

故原不等式的解集为：当—：<2时，解集为(―3,2)；

当-"2时，解集为0；

当一｝>2,时，解集为(2,一：).

8.(23-24高一上•北京密云.期末)已知函数/(%)=/一(。+3)%+3a.

⑴若不等式/(%)VO的解集为(0,3),求a的值；

(2)若不等式f(%)>-1对任意的％6R恒成立，求实数a的取值范围；

⑶解关于%的不等式/(%)>0.

【解题思路】(1)根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系解出Q即可;

(2)根据一元二次不等式恒成立，即可由判别式求解；

(3)分解因式，结合分类讨论，即可由一元二次不等式解的特征求解.

【解答过程】(1)因为不等式/'(X)<0的解集为(0,3),

所以方程%2-(a+3)x+3a=0的两根分别为0=0,%2=3,

根据韦达定理可知与+必=Q+3=3,xrx2=3a=0»解得a=0；

(2)不等式/(%)>一1对任意的xeR恒成立，

即V—(a+3)无+3Q+1>0对任意的x6R恒成立，所以A=(a+3)2-4(3a+1)<0,

即。2一6。+5<0,解得1<Q<5,所以实数〃的取值范围为(1,5)；

(3)f(x)=%2—(a+3)x4-3a>0即(无—a)(x—3)>0,

当a>3时，不等式f(x)>0的解为x>a或x<3,

当a<3时，不等式/(%)>0的解为％>3或“<a,

当a=3时，不等式/(%)>0的解为％Ha,

综上所述，当a>3时，不等式/Xx)>0的解集为(—8,3)U(a,+8),

当a<3时,不等式/(幻>0的解集为(—8,a)u(3,+00).

题型二一元二次不等式在某区间上的恒成立问题

9.(2024高三・全国・专题练习)若对任意％e[1,2],mx2-(m4-l)x-1<0恒成立，求实数比的取值范围.

【解题思路】法一:利用分离变最法求解参数的范围，、

法二：对二次函数的二次项系数和对称轴进行分类讨论，求带有参数的二次函数的最值，求解变量的范围.

【解答过程】法一：对勾函数参变分离后结合对勾函数性质

当x=1时，-2<0,成立；

当xe(L2]时，由题可得m<岩对任意％e(L2]恒成立,

令，'二巨二？则有mWymin，e(1,2],

______x+1_______]

y一(X+1)2-3(X+1)+2-x+1+^-3*

令t=x+l+W，x+lG(2,3],根据对勾函数的性质可得(3,吊],

所以y=±w[|,+8),

所以当％=2时，加丁='

故实数m的取值范围为(一8?]；

法二：分类讨论

令/(%)=血/—(m+l)x—1,

①当m=0时，/(x)=-x—1,

对任意尤G[1,2],f(x)</(I)=-2<0恒成立；

②当m>0时，函数f(x)图象开口向上，

若对任意XE[1,2],f(%)工0恒成立，只需

解得m<|.

故当。<mW决寸，对任意xe[1,2],/(x)<0恒成立；

③当m<0时，对任意[1,2],x—1>0,mx—1<0,

f(x)=(mx-l)(x-1)-2<-2<0恒成立；

综上可知，实数m的取值范围为(-8,引.

10.(23-24高二下•江苏苏州•阶段练习)回答下面两题：

(1)己知函数/(%)=/+m工一1,若对于任意xe[科血+1],都有/(x)v0成立，求实数，〃的取值范围;

(2)解关于A的不等式a/+x+1>0,aGR.

【解题思路】(I)转化为根的分布，列式求解；

(2)讨论a的取值，求解不等式.

【解答过程】⑴由题意可知，/(ni)=m24-m2-l<0

Kf(m+1)=(m+1)2+m(m4-1)-1<0

解得：-4VmV°；

(2)当Q=0时，x+1>0,得x>-l,

当a<0时，△=l-4a>0,

fW=0的两个根分别为与=T+；：4a,皿=,X)<X2,

此时不等式的解集为｛工尸+严<X<士笋｝,

当a>0时，A=l-4a<0,即a>L此时不等式的解集为R,

4

当4=1-4a=0,得a=；,此时不等式的解集为｛划％W-2｝,

当A=1-4a>O即0<a<渺

/W=0的两个根分别为.==三，x2=一「三.>勺，

此时不等式的解集为1lx<士/生或X>士手色),

II2G2a)

综上可知，a=0时，不等式的解集为｛%值>一1｝,

Q<0时，不等式的解集为卜|士要<%<土笋卜

时，不等式的解集为R，

a=:时，不等式的解集为卜仅h-2｝,

0<aV；时，不等式的解集为卜x<一尸或%>…尸］.

4I2a2a)

11.(23-24高二下.陕西渭南.阶段练习)已知y=。/+(2。-1)丫一2.

(1)当a=5时，求满足yW0的工值的集合；

(2)求满足y>0的％值的集合；

(3)当aG(0,1)时，y>0恒成立，求满足条件的x的取值范围.

【解题思路】(1)直接利用一元二次不等式的解法计算即可；

(2)带着参数分类讨论解不等式即可；

(3)变换主元，利用一次函数的单遍性计算不等式即可.

【解答过程】(1)当a=5时，y=5/+9%-2=(5x-1)(%+2),

则：yW0=XW卜2周；

(2)易知y=ax2+(2a-l)x-2=(ax—l)(x+2),

若a=0,则y>0<=>—(%+2)>0=%V—2,

若a>0,则y>0=>x>｝或不<-2,

若-：<aVO,则：<一2,此时y>0=-2>x>：,

若a=-g,此时y=—1(x+2)2>0=>%60,

若a<—5则:>—2,此时y>0=_2<x<^»

综上所述：Q=0时，解集为(一8「2),

a>0时解集为(—8,—2)U&,+8),

■4<a<0时解集为(，一2),

a=一机寸解集为0,a<一:时解集为(一2,：)；

(3)由题意可知y=x(x+2)a-(x+2)对任意ae(0,1)恒成立,

所以f(二3+"案"解之得一—8,—2］.

12.(23-24高一上•江苏宿迁•阶段练习)已知二次函数y=x2+2ax+2.

(1)若xe［1,5］时，不等式y>3QX恒成立，求实数a的取值范围；

(2)解关于x的不等式(a+l)/+x>y(其中Q<0).

【解题思路】(I)分离参数a,转化为函数最值问题求解；

(2)分类讨论求解即可.

【解答过程】(1)不等式y>3女即为：x2-ax+2>0,

当［1,5］时，可变形为：a<—=%+：,

即GV(X+^)min,

Xx+I>2J7J=2A/2,当且仅当为=：,即％=遮€［1,5］时，等号成立,

•••(X+-)min=2V2,即Q<2企，

二实数a的取值范围是：(-8,zV?).

(2)不等式(a+l)x2+x>y,

即(a+1)/4-X>X24-2ax+2,

等价于a%24-(1—2a)x—2>0,

即(％—2)(ax+1)>0,

当a<0时，

(i)当一，<QV0时，因为-j>2,解不等式(％—2)(ax+1)>0得:2<x<—

(ii)当。=一：时，因为一：=2,不等式(％-2)(ax+1)>0的解集为0；

(m)当aV—3时，因为—jV2,解不等式(％—2)(ax+1)>0得：—十V%<2；

综上所述，不等式的解集为：

当一:<a<0时，不等式解集为(2,一》；

当a=W时,不等式解集为0；

当aV-刎，不等式解集为(二,2).

13.(23-24高一上•安徽芜湖•期文)设函数f(%)=ax2+必+3,关于％的一元二次不等式人力>0的解集

为(-3,1).

(1)求不等式尤24-ax+b>0的解集；

(2)若Vxe[-1,3],fM>mx2,求实数m的取值范围.

【解题思路】(1)利用韦达定理求参数后再解不等式即可.

(2)对变量范围进行讨论，分离参数法求解参数即可.

【解答过程】(1)因为一元二次不等式/(%)>0的解集为(一3,1),

(-3+1=--

所以一3和1是方程a/+bx+3=0的两个实根，则《「，

解得a=-l,b=-2.因此所求不等式即为：x2-x-2>0,解集为{幻为V-1或x>2}.

(2)f(x)NmM可化为:(m+l)x2<-2x4-3,当％=0时显然成立；

当无,0时，771+1<-2^4-3G)对VxG[-1,3]恒成立，

令t=[6(-oo,-l]U[~，+co)»贝Jm+1<-2t+3t2,

当£=g即x=3时(一2£+3t2)min=一支

所以m+即mW-土

14.(23-24高一上•湖北恩施•期天)己知函数/'(%)=(m+1)/-(m-l)x+m-1.

(1)当m<0时，解关于％的不等式f(%)>3x4-TH-2：

(2)若不等式/(x)>x2+2x对一切％6[0,2]恒成立，求实数m的取值范围.

【解题思路](1)先把二次不等式化为(m4l)x2-(m42)x+l>0,然后分类讨论解不等式即可；

(2)参变分离，把恒成立问题转化为广三的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可.

x2-x+l

【解答过程】(1)因为/'(%)=(m+l)x2-(m-l)x+m-1,

所以不等式(m+l)x2—(m—l)x+m—l>3x+m-2,

可化简为：(m+l)x2-(m+2)x+1>0,

①当m=-l时，不等式化为xWl,

②当m+1>0即-1<mV0时，—>1,

zn+l

方程(m+l)x2一(m+2)x+1=0的两个根为一二,1.则不等式的解为x<1或不>—,

m+1m+1

③当m+1<0即mV-1时，—^―<1,

m+l

方程(?九+I)%2-(m+2)x+1=o的两个根为二；，1.则不等式的解为一；<x<1,

m+lm+l

综上所述：当血=-1时，不等式的解集为(-8,1],

当一1VmV。时，不等式的解集为(一8,1]u[^Y7,+8),

当加〈一1时，不等式的解集为[念,11

(2)不等式/(x)>%2+2%即(?n+l)x2-(m-l)x+m-1>%2+2x,

即n>靖三对Vxe[0,2]恒成立，令x+1=tW[1,3],所以记三=-^―=+，

x2-x+lL」L」％2-x+it2-3t+3t+y-3

因为t+：225^=26,当且仅当匕=6时取“=”，

所以卢二工4^=乎+1，当且仅当％=值一1时取"=”，

X—X+1-33

所以根的取值范围为[竽+1,+8).

15.(23-24高一上•陕西汉中•期大)已知函数/"(%)=x2-(a+l)x+l(aGR)

(1)若不等式/(幻<1-b的解集为｛m―2<xV3｝,求a,b的值；

(2)若对任意的％G[2,4],/(%)+a+820恒成立，求实数Q的取值范围.

【解题思路】(1)根据一元二次不等式的解、根与系数关系求得a3.

(2)利用分离常数法，结合基本不等式求得Q的取值范围.

【解答过程】(1)原不等式可化为/一(0+1)工+bV0,因为该不等式的解集为｛划-2Vx<3｝,

可知4-(a+l)x+b=0的两根为一2和3,

贝仁£工，即｛工，解嗝二；

所以a=0,b=-6.

(2)若对任意的%6[2,4],/(x)+a+8>0恒成立,

则对任意的％G[2,4],a(x-1)<x2-x+9恒成立，

即对任意的xW[2,4],a4，一恒成立,所以aWx-1+--+1,

(x-i)X-1

又因为x-l+-^-+l>2-+1=7.

x-l7(x-1)

当且仅当％—lu2,即x=4时取等号，所以QW7,

x-1

所以实数a的取值范围是(一8,7].

16.(23-24高一上•江苏宿迁•期口)已知函数f(%)=/-a》+%g(x)=2x—a—1,aGR

(1)若关于x的不等式/(x)-2x<0的解集为求实数a和实数m的值；

(2)若对V1WXW4,fa)Ng(x)恒成立，求实数。的取值范围.

【解题思路】(1)关于；c的不等式/(k)-2x<0的解集为(l,?n),咕换为x=l,x=7n是方程/_(a+2A+

4=0的两个实数根，求值即可.

(2)对VI<x<4,f(x)>gQO恒成立，转换为"-(%-l)a-2x4-5>0恒成立，利用恒戊立知识求解

即可.

【解答过程】(D依题意，f(%)-2%V0,即为2一9+2)无+4<0解集为(1,6)，

所以％=1,%=6是方程/一(。+2h+4=0的两个实数根，

将%=1代入方程得a=3,此时方程/-5%+4=0,另一根％=4,即m=4,

所以实数a=3,7九=4.

(2)若对V1W%W4,(乃恒成立,

即VI<x<4,x2-(x-l)a-2x4-5>。恒成立，

当x=l时，上述不等式恒成立；

当1CXW4时，上述不等式恒成立等价于Q工(上士金)，

而皆=*=(…)+于2"行%

当且仅当％-1=」7，即％=3时我等号，

x-l

即函数y=*i!在(1,4]上有最小值为4,则QW4;

综上，实数a的取值范围是(-8,4].

题型三q一元二次不等式在某区间上有解问题

17.(23-24高二下•江苏常州•阶段练习)已知函数/(%)=mx2-(2m+l)x+2(meR).

(1)若m>0,解关于x的不等式/•(无)<0：

(2)若不等式/(x)Wx-4在％W(3,+8)上有解，求实数m的取值范围.

【解题思路】(1)利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可.

(2)利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可.

【解答过程】(1)易得/(%)<0<=>(x-2)(mx-1)<0(m>0)

当0<m<g时，2Vx<&所以解集为(2,A)；

当加=：时，XG0,所以解集为0:

当加冷时，^<%<2,所以解集为02).

(2)若/'(%)工%-4在%€(3,+8)上有解，

则m/_(2m+l)x+2-x+4<0在％e(3,+8)上有解，

故mx?_(2根+2)x+6<0,即mx-(2m+2)+：W0在xe(3,+8)上有解，

由mx—2tn-2+gW0,得m(x—2)42—

进而知血工宅=筌茅令则“t+3,

•n.zx2(x-3)2t2/2B

设或乃=罚=询的=申工洵=2、一/3,

当且仅当t=V5时取等号，所以力€(-8,2-何.

18.(23-24高一上•山东济南•阶段练习)已知函数/•(%)=/一球+4

(1)若不等式/'(%)>0的解集为(一％1)u(3,+8),求实数a,b的值；

⑵当/(—1)=0时，

⑴解关于x的不等式fQ)>0;

(i)若存在无W[1,2],使得/(外工0,求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)根据题意，转化为得到1和3是方程/一。无+6=0的两个实数根据，列出方程组，即可

求解；

(2)(i)由/"(-1)=0,求得b=-(a+l),把不等式/(%)>0,转化为(*+1)[为一伍+1)]>0,分类讨

论，即可求得不等式的解集；

(ii)由(i)中不等式的解集，结合存在X6[1,2],使得/'G)WO,分类讨论，即可求解.

【解答过程】⑴解:由函数=/-ax+b,因为不等式"》)>0的解集为(-8,1)u(3,+8),

可得1和3是方程-QX+b=0的两个实数根据，

则｛:1;二。解得a=4,b=3・

(2)解：(i)由函数f。)=x2-ax+b,

因为-1)=U,可得/(-1)=1+a+b=。，即b=-(a+l)，

所以f(x)=x2-ax—(a+I'),

由不等式f(%)>0,即/-ax-(a+1)=(x+l)[x-(a+1)]>0,

当&+时，即。>一2时，解得欠<一1或%>a+1；

当6+1=-1时，即a=-2时，即为(x+l)2>0解得％H-1；

当a+l<-l时，即aV—2时，解得％Va+1或x>l,

综上可得，当a>—2时，不等式解集为(—8,—l)u(a+l,+8)；

当a=一2时，不等式的解集为(一8,-1)U(-1,+8)；

当a<-2时，不等式的解集为(—8,Q+1)U(-1,+OO),

(ii)由(i)知，当Q>—2时，不等式/(%)>0解集为(—8,—l)u(a+l,+8),

若存在无£[1,2],使得/(£)40,则满足Q+121,解得QN0:

当a=一2时，不等式/(x)>0的解集为(一8,-1)u(-l,4-oo),

此时不存在46[1,2],使得/(x)W0；

当a<-2时,不等式/"(%)>0的解集为(-8,a+1)u(―1,4-00),

此时不存在x€[1,2],使得/•(%)<0,

综上可得，实数Q的取值范围为[0,+8).

19.(23-24高一上•山东淄博・期口)设函数/(>)=——L

(1)若命题：€RJ(x)>0是假命题，求m的取值范围；

(2)若存在xG(-4,0),/(x)>(m+l)x2+3成立，求实数m的取道范围.

【解题思路】(1)依题意可得Vx€R,f(x)40是真命题，分m=0和mW0两种情况讨论；

(2)依题意参变分离可得存在x6(-4,0)使得m工一工-士成立，则只需mN(-%-士)，xG(-4,0),利

用基本不等式求出(_%-±)即可得解.

\X,min

【解答过程】(1)若命题：mxER,/•(%)>0是假命题，则VxWRJQ)W0是真命题,

即—mx—1<0在R上恒成立,

当m=0时，-1V0,符合题意：

当mWO时，需满足［4-a，解得一4Wm<0；

(A=m"+4m工0

综上所述，m的取值范围为［一4,01

(2)若存在xG(-4,0),/(x)>(m+l)x2+3成立,

即存在工€(-4,0)使得mN-2成立，故只需rnN(-％-士)，xe(-4,0),

x\x/min

因为xE(—4,0)»所以-x€(0,4)»则-X—^=(―X)+-^>2^J(-x),=4,

当且仅当T=3即％=-2时取等号，

所以(一%，)=4,所以mN4.

20.(23-24高一上•福建•期中)已知函数/(%)=a上一(2a+3)%+6(aWR)

(1)若/•(%)>0的解集是｛x|x<2或》>3),求实数Q的值；

(2)当a=1时，若一2<x<2时函数/(x)<-(m+5)x+3+27n有解，求m的取值范围.

【解题思路】(1)根据一元二次不等式的解集列方程，由此求得a的值.

(2)化简不等式/(幻W—(m+5)x+3+2m,通过直接讨论法或分离常数法，结合二次函数的性质或基本

不等式求得小的取值范围.

【解答过程】(1)依题意，/(X)=ax2—(2a+3)x+6(a£R)的解集是｛x|x<2或x>3),则a>0,

且々=2,X2=3是方程Q/一(2。+3)x+6=0的两个根，

a>0

所以「十§二丁，解得Q=1.

x3=：

(2)a=1时，/(x)<-(m+5)r+3+27n在-2<x<2有解,

即9+mx+3-2m<0在［-2,2］有解，

法一：因为y=/+如+3-2m的开口向上，对称轴％=

①一三<一2即m>4,x=-2时，函数取得最小值4-2m+3-2m=7-4m<0,，m>4.

②一2V-：V2即一4Vm<4时，当％=—？取得最小值，此时一芷+3-2m40,

224

解得?n>2V7-4或m<-2y/7-4.又一4<m<4,277-4<m<4,

③当一段?2即mW—4,当％=2时取得最小值，此时4+2根+3—2加=740不成立，

即比无解.

综上，m>2V7-4.

法二：%2+3+m(x-2)<0在[-2,2]有解，

当x=2时/+3+m(x-2)<0不成立，

当x工2时/+3+巾(无一2)W0,即mz在[-2,2]有解，m2仔上)，

2r\2r/min

令£=2一％££(0,4],头£+：-422近-4,

当且仅当£=?即±=夕取"="，=2>/7-4,Am>2\^7-4.

t12-x/min

21.(23-24高二下•河北衡水・期天)若二次函数儿0=如2+次+《"女)),满足凡r+2)—yU)=16x且人0)=2.

⑴求函数人x)的解析式；

(2)若存在xWH，2],使不等式人工)>2%+〃?成立，求实数〃?的取值范围.

【解题思路】(1)由火0)=2得c,由火x+2)-/U)=16x得4qx+4c7+2A=16t,再根据多项式相等可得答

案；

(2)转化为存在x£[l,2],使不等式机<4f—10x+2成立，令g(x)=4f—10x+2,求出且⑴曲可得答案.

【解答过程】(I)由人0)=2,得。=2,

所以fix)=ax2+bx+2(。#)),

由JU+2)-/U)=m(x+2)2+员工+2)+2]—3/+法+2)=4or+40+2儿

又凡r+2)一段)=16.x,

得4al+4。+2b=16%,

所以｛42b-0故"=%〃=-8,所以加)=4/—8x+2.

(2)因为存在x£[l,21，使不等式_/U)>2x+〃?成立，

即存在x£[l,2],使不等式小<4/一IOx+2成立，

令g(x)=4f—IOx+2,xG[l,2],故g(x)max=g(2)=—2,所以m<—2,

即〃?的取值范围为(-00,-2).

22.(23-24高一上•江苏徐州•阶段练习)已知函数y=ax2-(2a+3)x+6(aeR).

(1)若y>0的解集是｛%Ix<2或x>3｝,求实数a的值；

(2)当a=1时，若一2WxW2时函数yW一(巾+5)x+3+m有解，求机2+3的取值范围.

【解题思路】(1)根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得a的值；

(2)对m进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间［-2,2］上有解列不等式，求得m的取值范围，进而求

得7712+3的取值范围.

【解答过程】(1)依题意，y=ax2-(2a+3)x4-6>0的解集是{xIx<2或%>3},

a>0

_2a+3

2o+3o==，解得a=l.

{2x3=-a

(2)a=l时,y工一(6+5)》+3+加在［-2,2］有解，

即+?nx+3-m<。在［-2,2］芍解，

因为y=/+租％+3一6的开口向上，对称轴％=-/,

①一三工—2即mN4,x=-2时，函数取得最小值4—2血+3-mW0,即mNg

:.m>4.

②-2V-%V2即一4VmV4时，当％=-巴取得最小值，此时一这+3-7九W0,

224

解得2<m<4.

③当一£22即mW—4时，当％=2时取得最小值，此时4+2巾+3—小40,

解得m<-7,

综上，m>2或TH<-7.

所以7标+3的范围为［7,+8).

23.(23-24高一上•辽宁鞍山•期口)设/(%)=ax24-(1—a)x+a—2,

(1)若mx6［1,+8)使/•(%)>一2成立，求实数Q的取值范围；

⑵解关于%的不等式/(幻<a-l(aGR).

【解题思路】(1)可转化为，a>^-,再利用基本不等式可得答案：

x2-x+l

(2)等价于a/+(1一a)x-1<0,分Q=0、Q>0、a=-1>-1<a<0^a<-1讨论解不等式可得答

案.

【解答过程】(1)由题知a/+(1-a)X+a-2N-2,得。(/一3+1)之一，

从而a、缶

vx>t.-.t=x+i-l>2jxxi-l=l,

从nn：E(0,1],E[—1,0)»故a>—1；

(2)不等式a/4-(1—a)x+a-2<a—l(a€R),等价于a/4-(1—a)x—1<0.

当a=0时，不等式可化为xvl,所以不等式的解集为｛%I%<1｝；

当a>0时，不等式可化为(。％+1)0-1)<0,此时一：vOvl,

所以不等式的解集为卜l-^<x<l]；

当aVO时,不等式可化为(ax+l)(x-l)<0,

①当a=—l时，-i=1,不等式的解集为｛%IxH1｝；

②当一1VQ<0时，_：>1,不等式的解集为或x<l｝；

③当QV—1时，一5<1，不等式的解集为｛X|X>1或

综上：当QV-1时，等式的解集为｛%|%>1或％<-；｝；

当a=—I时，不等式的解集为mIX01｝；

当一1<aV0时，不等式的解集为｛%Ix>一:或％<1｝：

当a=0时，不等式的解集为｛"父V1｝；

当a>0时，不等式的解集为1|-^<x<l｝.

24.(23-24高一上•江西抚州・期口)己知f(x)=/-2ax+b(a,bER).

(1)若不等式/(')<0的解集为[-1,2],求不等式b/-2ax+1W0的解集：

(2)若b=M,且对任意的%[1,2],都存在小£[L2],使得/•(2右)/(2物)=1,求实数。的值.

【解题思路】(1)根据一元二次不等式的解集的端点为对应的一元二次方程的根求出参数代人求解即可;

(2)对参数a分成不同情况，使得等式有解，依次求出参数即可.

【解答过程】(1)不等式产一2ax+bW0的解集为[—1,2],

即方程/-2ax+b=0的两根是一1和2,BpP+^+d=O解得。二：,

(4-4Q+b=0U=-2

所以不等式b%2—2ax+1<0可化为-2%2—x+1<0,

即2/+x-1=(2x-1)(%+1)>0,

所以解集为卜卜工一1或无之1｝.

(2)因为b=a2,所以/'(%)=x2-2ax4-a2=(x-a)2,

设2M=0,2七=t2,

①当a<2时，此时/(均在[2,4]单调递增且/(%)>0恒成立，

所以对任意的hW[2,4],都存在立■[2,4],使得/•(上)/'。2)=1，

即/«2)=7^有解，

因为/Qi)£[/⑵,/⑷],所以7^5£念，念]，而f(。)w[/⑵，/⑷]，

y(2)<—

所以I八：)，即/'⑵/•⑷=1=(4-0)2(2-a)2=1,

/(4)

1-府

因为QV2,所以(2-a)(4-a)=1,即Q2-6Q+7=0,

解得a=3-&或a=34-V2(舍去)：

②当2<a<4时fQD的最小值为f(a)=0,

令、=a,这时/'(1])/■Q2)=0工1，此时对任意a都不成立：

③当a>4时，此时/'(外在[2,旬单调递减月/(%)>0恒成立，

所以对任意的tie[2,4],都存在£2€[2,4],使得/(£1)/(£2)=1，

即/«2)=念有解，

八”

而/(tjE[f(4)J(2)]，所以点£[志，点卜而f(t2)E[f(4),f(2)],

7⑷<—

所以1华)，即f(2)f(4)=1=(4—a)2(2-a)2=1

V(2)-7W

因为a>4,所以(2—a)(4-a)=1,所以a?—6a+7=0

解得Q=3—&(舍去)或Q=3+位.

综上，实数Q=3-&或Q=3+&.

题型四1一元二次不等式恒成立、存在性综合问题

25.(23-24高一上,浙江台州•期中)已知函数f(x)=2/-ax+a?一4,g(x)=x2-x+a2-(a6R)

(1)当Q=1时，解不等式f(%)>g(%)；

(2)方任意x>0,都有/(x)>g(x)成立，求实数a的取值范围；

(3)若WqG[0,1]，3X2€[0,1],使得不等式f(%i)>0(必)成立,求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)作差后解一元二次不等式即可.

(2)解法一：构造函数，分类讨论求解二次函数最小值，然后列不等式求解即可；

解法二：分离参数，构造函数攵=工+产，利用基本不等式求解最值即可求解；

4x

(3)把问题转化为/G)min>gG)min，利用动轴定区间分类讨论即可求解•.

【解答过程】(1)当a=l时，/(%)=2%2—x—3,g(x)=x2—x

所以「(%)-g(x)=/+£>o,所以/(%)>g(x),所以/(%)>g(x)的解集为R.

(2)若对任意%>0,都有/•(>)>0(%)成立，叩42+(1一。)”+—>0在*>()恒成立，

解法一：设九(%)=/+(1—Q)X+学，X>0,对称轴X=等，由题意，只须M%)min>0，

①当等W0,即1时，/i(x)在(0,+8)上单调递增，所以版无)>h(0)=与，符合题意，所以a41；

②当等>0,即a>l时，岭)在(0,等)上单调递城，在(等，+8)单调递增，

所以hG)>九(?)=一色移+日>°，解得1一后VaV1+危且