分式 全章专项复习【3大考点11种题型】-浙教版七年级数学下册

专题5.10分式全章专项复习[3大考点11种题型】

【浙教版2024]

＞题型梳理

【考点1分式】..................................................................................1

【题型1分式有、无意义及值为0的条件】........................................................3

【题型2分式的基本性质】.......................................................................4

【题型3分式在规律问题中的运用】..............................................................5

【考点2分式的运算】...........................................................................7

【题型4分式的混合运算】.......................................................................8

【题型5分式的化简求值】......................................................................11

【题型6整数指数器的运算】....................................................................13

【题型7分式运算的实际应用】..................................................................14

【考点3分式方程】............................................................................17

【题型8解分式方程】..........................................................................17

【题型9利用分式方程的解的情况确定字母的值或取值范围】......................................18

【题型10利用分式方程解决实际问题】...........................................................21

【题型11与分式方程有关的探窕性问题】.........................................................25

院举一反三

【考点1分式】

1.分式的定义

A

一般地，若4与3均是整式且B中含有字母，那么式子g叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。

A

分式满足的三个条件:①式子一定是g的形式；②4与8一定是整式；③B中一定含有字母。

简单理解.分母中含有字母的式子就是分式。

2.分式有意义的条件

即要求分式的分母不能为0。即蓝中，B不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进行因式分解,

让每一个因式都不为0。

3.分式的值以及分式值为0的条件

⑴分式的值为0的条件

分式的值为（）的条件为要求分子必须为0,同时要求分母不为0。即=中，A=0,

对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0,让分母里面所有因式的值不等

于0。

(2)分式的值.

AA

若分式弓的值是正的，则43X)，即A与8同号；若分式弓的值是负的，则A4VO，即A与8异号。

BB1

4.分式的性质

⑴分式的性质：

分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。

4A.CAA—C

BP.-=—=(4E、C均是整式且。和)

BBCBB+C

⑵分式的符号改变法则：

分式的分子，分母以及分式本身均有符号，改变其中任意两个符号分式不会发生改变。

A—A—AA

即.—=---=-----=------

B-BB-B

5.约分与通分

(I)公因式

①公因式的概念:一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的公因式。

②公因式的求法:对分子分母进行因式分解，然后求出系数的最大公因数与相同式子的最低次暮。他们的乘

积为公因式。

(2)最简分式的概念

分子分母没有公因式的分式叫做最简公因式。

⑶约分

①约分的概念.根据分式的基本性质，把分子分母的公因式约去，这个过程叫约分。

②约分的步骤

I对分式中能因式分解的分子或分母先进行因式分解。

H约去分子分母的公因式即可。

(4)通分

①通分的概念.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式值相等的同分母的分式的过

程叫做通分。这个相同的分母叫做最简公分母。

②最简公分母的求法.

最简公分母二所有系数的最小公倍数X所有因式的最高次鬲。对能进行因式分解的分母先因式分解，在确定

所含有的因式。

③通分的步骤

I.将所有能分解因式的分母分解因式；

n.求出最简公分母；

in利用分式的性质在分子分母上同时乘一个因式,使分母变成最简公分母；

【题型1分式有、无意义及值为（）的条件】

【例1】（24-25七年级•湖南岳阳•期中）要使分式区3的值为0,则x应满足（）

X-2

A.x=2B.x=-2C.x±2D.x=±2

【答案】B

【分析】本题考查了分式值为零的条件.利用分式的值为零则分子为零，分母不等于0,进而得出答案.

【详解】解：•・•分式吗的值为0，

X-2

••・卜|-2二0且％-2。0,

解得：x=—2.

故选:B.

【变式1・1】（24-25七年级•广西百色・期末）当工时，分式々没有意义.

【答案】=-2

【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分母等于0即可求解，掌握分式无意义的条件是解题的关键.

【详解】解：当分式的分母为。时，分式没有意义，

x+2=0,

:.x=-2,

故答案为：=-2.

【变式1-2]（24-25七年级•四川绢阳・期末）已知式子;£有意义，则x的取值范围是.

【答案】%H0且汇丰1

【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解决此题的关键.利用使分

式有意义的条件求解即可.

【详解】解：由题意，得X—1H0且XW0,

解得x工1且工工0.

故答案为：x*1且％*0.

【变式1-3]（24-25七年级•黑龙江大庆•期末）已知分式普的值为正数，则〃的取值范围______.

1—2a

（答案】a＜阻Q*0

【分析】根据分式的值为正数，那么分了-与分母的符号相同，结合分子大于等于。进行求解即可.

【详解】解：•・•分式的值为正数，a2>0,

l-2a

.（a2Ho

*ll-2a>0，

a<沮a*0,

故答案为：aV：且aHO.

【点睛】本题主要考瓷了根据分式值的情况求参数，正确理解题意是解题的关键.

【题型2分式的基本性质】

【方法总结】将分式的分子与分母中各项系数化''整”的方法：

⑴当分式的分子与分母中各项系数是分数时，分式的分子、分母同乘分子和分母中所含分数的分母的最小

公倍数；（2）当分式的分子与分母中各项系数是小数时，一般情况下，分式的分子、分母同乘10的正整数

倍（特殊情况下也可以乘其他数的正整数倍）.

【例2】（24-25七年级•山西•阶段练习）下列运算正确的是（）

a_a0.2a+b_2a+b

0.3a+d—3a+b

-Q-bQ-匕

b-a_]a2+b2

c.D.a-b

a2-b2a+ba+b

【答案】c

【分析】根据分式的基本性质以及分式中的符号法则进行判断即可.

【详解】解：-4=--^-,故A选项错误;

-a-ba+b

0.2a+b_2a+l0b

0.3a+b3a+10b'故B选项错误;

既=-器?二一七,故C选项正确；

a2-b2（a-b）（a+b）a+b

匕搭HQ-b,故D选项错误.

a+b

故选：C.

【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质和约分，正确的把分子分母进行因式分解是解题的关键.

【变式2-1］（24-25七年级•江苏盐城•期中）系数化成整数且结果化为最简分式:0.25a-0.2d_

O.la+O.3fe

【答案】5a-4匕

2a+6b

【分析】利用分式的性质，分子分母同乘100,再进行化简即可.

025-0.2b_100(0.25-0.2)_25a-20b_5a-4b

【详解】解：根据分式的基本性质得:0.1a+0.3b-100(0.1a+0,3b)-10a+30b_2a+Gb'

故答案为:5a—4b

2a+6b

【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘或都除以同一个不为。的整式，分式的值不变.

【变式2-2]（24-25七年级•河南周口・期末）下列分式中，最简分式是（）

A.衅WB.匕^C./JD.R

15（x-y）x+yx2y^xy2（x+y）z

【答案】c

【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的约分等知识点，掌握最简分式的概念是解题的关键.

根据“分子与分母没有非零次的公因式的分式叫最简分式''逐项判断即可.

【详解】解：A.II箸的分子分母有非零公因式a-y）,不是最简分式，不符合题意；

B.3葺的分子分母有非零公因式（x+y）,不是最简分式，不符合题意；

C./J的分子分母没有有非零公因式，是最简分式，符合题意；

D•蓝茶的分子分母有非零公因式（％+y），不是最简分式’不符合题意；

故选：C.

【变式2-3]（24-25七年级•山西临汾•阶段练习）若x,y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不

变的是（）

A.—B.—C.D.包

3y+6y3x-2y2x-l

【答案】C

【分析】本题考查了分式的性质，根据题意逐项把各选项分式字母的值均扩大为原来的2倍，约分后与原分

式进行比较，从而可判断分式的值是否发生变化，从而可得答案.

【详解】解：A.言色中％，y的值均扩大为原来的2倍得到箕=景|,故原选项不合题意;

B.手中％,y的值均扩大为原来的2倍得到等=今，故原选项不合题意；

C.悬;中工,y的值均扩大为原来的2倍得到If鹭=老，故原选项符合题意；

D.含中x,y的值均扩大为原来的2倍得到翳，故原选项不合题意.

故选:C.

【题型3分式在规律问题中的运用】

【例3】（24-25七年级•云南红河・期末）按一定规律排列的分式：青挣条筝,霁……第〃个分式是（）

.n2xn2nx^2nXn

A.y2n

y2nc.D.等

【答案】B

【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解

题的关键.通过观察可得规律：第〃个分式的分子是2n/，第〃个分式的分母是y2n,即可得到笫〃个分式.

【详解】解：•••第1个分式的分子是1x2x,

第2个分式的分子是2X27,

第3个分式的分子是3x2二,

・••第fi个分式的分子是2九”；

•••第1个分式的分母是y2xi,

第2个分式的分母是/X2,

第3个分式的分母是y2x3,

・•・第〃个分式的分母是于七

二第〃个分式是嗒，

故选:B.

【变式3-1］（24-25七年级•贵州铜仁・期末）小苗探究了一道有关分式的规律题，上,三,左,工,三,_____

x+3x+5x+7x+9x+11------

々，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式.

【分析】利用给出的式子的每一项和项数的关系，找到规律，即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加I,

分子都是前两个分式分子和得答案.

【详解】解：由给出的式子的特点，

即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1,分子都是前两个分式分子和，

由此可得第6个式子是京士18

X+ZXo+1r+13

故答案为悬

【点睛】本题考查了归纳推理，这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有

这些特征的推理成为归纳推理.

【变式3-2]（24-25七年级•安徽安庆・期末）观察下列等式:%=篁，。2=14，=14，=1一2

根据其蕴含的规律得（）

_1

=n=na

A.。2022B.a2Q22C.«2022=工7[2022—

【答案】D

【分析】根据所给的等式的形式总结出规律，然后进行求解即可.

【详解】解：。2=1-上=1一%=匚，

%nn

由此看出，5,a2,a3,因……g（k为正整数）的侑是按照〃，?，一去每3个一循环，依次循环下去,

•••2022+3=674,

1_1

Aa2022=~~7=i~•

n—11-n

故选:D.

【点睛】本题主要考查分式的加减法，数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律.

【变式3-3]（24-25七年级•贵州铜仁・期末）已知一列分式，一1，J-CC-C-观察其规律，

则第n个分式是.

【答案】（-l）n+i==

y刊n+1）

【分析】分别找出符号，分母，分子的规律，从而得出第n个分式的式子.

【详解】观察发现符号规律为：正负间或出现，故第n项的符号为：（-1）计]

分母规律为：y的次序依次增加2、3、4等等，故第n项为：y1+2+3+-+n=yin（n+1）

分子规律为：x的次数为对应项的平方加1,故第n项为：xn2+1

故答案为：

y那n+1）

【点睛】本题考查找寻规律，需要注意，除了寻找数字规律外，我们还要寻找符号规律.

【考点2分式的运算】

1.分式的乘除运算

(I)分式的乘法

AC

①运算法则：同分数的乘法运算法则，分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母；即色•上=

BD

AC

而。

②具体步骤：

I.对能因式分解的分子分母进行因式分解。

II.分子分母有公因式的要先约分，所有的分母可以和所有的分子进行约分。

HL再用分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。

(2)分式的除法

除以一个分式等于乘上这个分式的倒数式，变成乘法运算。即+g=±•二=

BDBCBC

2.分式的加减运算

(1)分式的加减法运算法则

①同分母的分式相加减.分母不变，分子相加减。

②异分母的分式相加减.先通分，变成同分母的分式的加减运算,在按照同分母的加减运算法则运算即可。

(2)具体步骤

第一步.通分.将异分母分式转化为同分母分式。

第二步，加减.分母不变，分子相加减。

第三步，合并.分子去括号，然后合并同类项。

第四步，约分.分子分母进行约分，把结果化成最简分式。

分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。

3.科学计数法表示较小的数

用科学记数法表示较小的数，一般形式为〃*1。一〃，其中|a|的取值范围为l<|a|<10,n为由原数左边起

第一个不为零的数字前面的0的个数所决定。

【题型4分式的混合运算】

【例4】(24-25•河北承德,模拟预测)若(；；)/的运算结果为整式，则中的式子可能为()

A.a-bB.a+bC.abD.a2—b2

【答案】C

【分析】本题考查了分式的混合运算，把四个选项中的式子代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根

据求出的结果得出选项即可.

【详解】解：A.—==_,是分式，不是整式，故本选项不符合题意；

\abJa-bab2lab

B.+2=力.噂二驾，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；

\ab/a+bab22ab

c=号片=竽，是整式，故本选项符合题意；

\abJabab22

D.（二一9+』於=空.回华辿=一塔铲是分式，不是整式，故本选项不符合题意；

\abJa2-b2ab2lab

故选：c.

【变式4-1]（2425七年级，四川宜宾.期末）计算：日一.

Lxx（x+2）Jx+2--------

【答案】-

X

【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键，根据分式的基本运算法则，

先算括号内，再算除法.

【详解】解：

Lxx（x+2）Jx+2

2XX

x（x+2）x+2

2xx+2

x（x+2）x

2

-_-9

X

故答案为：-

X

【变式4-2]（24-25七年级•江苏苏州・期末）计算：

⑴（1一士）+三

⑵上++ab+h\

~ra-ba3-2a2b+ab2b2-a2

【答案】（1）1

唠

【分析】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，分式的约分、通分,

以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键.

（1）首先通分计算括号里面，进而根据分式的除法运算计算即

（2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行约分

【详解】（1）解：原式=C4?）x?,

xx-1

=-------x--------

x-1x

=1:

(2)解：原式=4+”出渭等

a-ba(a2-2ab+b2jd(a+h)

b

G-b+a(a—b)2X

bb2

a—ba(a—b)

ab-b2

G(Q—b)

b(a-b)

G(Q—b)

b

=?

【变式4-3］（24-25七年级.江苏泰州.期末）按要求填空:

小华计算（1-受）+公的过程如下:

解：a一受）+W

(XX+1\.(x+l)(x-l)

二匕一丁J丁x(x—l)第一步

x-x+1x+1

第二步

第三步

XX+1

1

第四步

x+1

（1）小华计算的第•步是（填所有符合要求的序号：①通分，②约分，③因式分解，④合并同类项），

计算过程的第步出现错误;

（2）直接写出正确的计算结果是

【答案】（1）①③；二

⑵一箱

【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是:

（1）观察可知，第一步是通分和因式分解，第二步数字1前面'没有变号;

（2）根据分式的混合计算法则求出正确的结果即可.

【详解】（1）解：由题意得，小华计算的第一•步是通分和因式分解，计算过程是第二步出错的，在计算同

分母分式减法的时候，数字1前面的符号没有变号.

故答案为：①③；二;

（2）解：（1-第+会

(X+l)(x-1)

X(x-1)

x-x-1X+1

X+1

X+1

故答案为：-w

【题型5分式的化简求值】

【方法总结】解决此类问题的关键是掌握因式分解、通分、约分，同时要注意解题的步骤.

【例5】（24-25七年级・北京•期中）己知二-：=4,则：一二:的值等于（）

ab2a-2:b1+7ab

A."B.——C.—6D.6

157

【答案】D

【分析】本题考查了分式的化简求值，整体代入是解题的关键.

由已好±=4可以得到=把这个式子代入所要求的式子，化简就得到所求式子的值.

【详解】解：已解一户4.可以得到入”4人

即a-b=-4ab,

一

则原式=a-2ab-b(am-2ab-4ab-2ab_-6ab

2a-2b+7ab2(a-b)+7ab-8ab+7ab-ab

故选：D.

【变式5/X24-25•湖南益阳・中考模拟冼化简，再求值--士）+房其中，。是方程%2+3x+l=

0的根.

【答案】手1

2

【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解的定义，先把小括号内的式子同分，再把除法

变成乘法后约分化简，接着根据•元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到M+3a=-1,

最后代值计算即可.

【详解】解：（£^7一S）,总;

a2-4a—212

(a—2)2(a—2/]a2—2a

a2+a-62

(a—2)2a(a—2)

(a+3)(a—2)Q(Q—2)

=(a-2"2-

a(a+3)

二2

_a2+3a

，

=2

■是方程%24-3x4-1=0的根，

.*.G2+3a+1=0,

+3。=-i,

原式=—

【变式5-2](24-25七年级,广东深圳•期末)如果士+三=4,那么"黑的值为()

ab(a-b)2

A.1B.1.5C.2D.3

【答案】D

【分析】本题考查了分式求值，根据题意得出a2+/=4Qb代入分式进行计算即可求解.

【详解】解：・.3+£=4

.a+b_.即晨十/=4ab

ab

.(a+b)2_a2+b2+2ab_4ab+2ab_3

**(a-d)2a2+b2-2ab4ab-2ab

故选：D.

【变式5-3](24-25七年级.江苏南通・期末)已知工+：=；3+二=；,2+乙=；,则7c=.

ab2bc3ac4ab+bc+ac---------

【答案】'

【分析】本题考查了分式的化简求值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键.

令题目中三个式子相加化简得出工+：+工=叫，再将分子分母同时除以abc，化简带入数值即可求

abc24ab+bc+ac

出结果.

【详解】解：•・」+：=；[+*=：,工+工=；，

ab2bc3ac4

1.1.1

abbcac423

即i+：+”

12’

根据题意可得Me*0,

abc_abc-i-abc_124

ab+bc+ac(ab+bc+ac)+abc\+号+：13,

故答案为：合

【题型6整数指数幕的运算】

【例6】（24-25七年级・河南周I」•阶段练习）计算（a-2）3（。炉）-2,并把结果化为只含有正整数指数幕的形式

为（）

b4

A1D「1

A，涯B.3。/D・蓬

【答案】D

【分析】根据基的乘方和积的乘方，负整数指数哥的运算法则计算即可.

【详解】解：（。-2）3（帅2）-2

=a-6-a~2b-A

=a-sb-4

］

=丽.

故选:D

【点睛】本题考查了辕的乘方和积的乘方，负整数指数曷，熟练掌握这些运算法则是解题的关键.

【变式6-1］（24-25七年级.河南信阳・期末）计算：（-?）一晨（-?）+色厂.

【答案】4

【分析】本题考查的是整数指数辕的运算，分式的混合运算，结合分式混合运算的运算法则进行求解即可.

［详解］解：X（弋"（/'

=（孙山…

=a4b2x（—宁）+a4/?4

=-a3b4+a4b4

【变式6-2]（24-25七年级・湖北黄石・期末）等式（Q+1）-1=1的条件是（）

A.a装一1B.aH0C.a芋1D.a=-1

【答案】A

【分析】本题考查了负整指数塞的条件，解答本题的关键是掌握负整指数累：。」=3（。工0产为正整数）.

根据负整指数幕的条件求解即可.

【详解】解：由题意，得a+1AU,

解得：QH-1,

故选：A.

【变式6-3]（24-25七年级•四川绢阳・期末）计算：（-2/y）2+•（厂5尸）=.

【答案】2

【分析】本题考查了积的乘方、负整数指数耗、单项式的乘除，先根据积的乘方和负整数指数鼎进行计算，

再根据单项式的乘除运算法则计算即可得出答案.

【详解】解：(-2x2y)2-r(2x-1y)•(x_sy_1)=4x4y2建，二4卷2.亚篇=2,

故答案为：2.

【题型7分式运算的实际应用】

【方法总结】找准各个量的关系，正确列出式子是关键，注意列出的分式一定要有意义.

【例7】（24-25七年级•湖北武汉・期末）如图，“丰收I号”小麦的试验IH是边长为〃?米（加>1）的正方形去掉

一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（血-1）米的正方形，两

块试验田的小麦都收获了〃千克.设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克侏2

和。千克/米2.下列说法：

①P>Q：②P=Q；③PVQ；④P是。的%三倍.其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】分别表示出p=W4,Q=TE，再计算出P-Q和1即可判断.

m2-l(m-1)2Q

【详解】解：由题意可得：P=-7,Q三，

m2-l=(Tm-1)2

“m2-l(m-1)2

n(m—1)n(Tn+1)

(m+l)(m—l)2(77i+l)(m-l)2

mn-n—mn—n

(m+l)(m-I)2

_一2n

Cn+l)(m-l)2'

Vn>0,

-2n

<0,即P<Q,

..P_n.n

・Qm2-l"(m-1)2

n(m-l)2

=-2—1rxn

m—1

~m+1

故③④正确，共2个,

故选B.

【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法.

【变式7-1]（24-25七年级•河北石家庄•期末）某种商品，原来每盒售价为〃元，现在每盒的售价降低了2

元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买（）盒

.1000n1000c500h1000

A.------B.------C.------D.-------

P（P-2>P（P+2）P（P-2）P（P-2）

【答案】A

【分析】本题考置了分式的运算的应用，根据“现在购买的数量-原来购买的数星''和“购买数量=总价+单价”

列出代数式.

【详解】解：依题意，话500_500P-500(p-2)_1000

P-2PP(P-2)P(P-2)

故选:A.

【变式7-2]（24-25七年级•江苏盐城♦阶段练习）一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成,

则两人一起完成这项工程需要一小时.

【分析】由题意知，甲单独做一天可完成工程总量的L乙单独做一天可完成工程总量的士二人合作一天可

*y

完成工程总量的2+L工程总量除以二人合作一天可完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需天数.

*y

【详解】解：设该工程总量为1,

则二人合作完成该工程所需天数为1+

\xy）x+y

故答案为：义.

x+y

【点睛】本题考杳了分式的除法.解题的关键在于明确所求的量的等量关系.

【变式7-3]（24-25七年级•新疆乌鲁木齐•期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次

面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800kg,乙每次用去600元，设两次购

买的面粉单价分别为。元/kg和〃元/kg（a,〃是正数，且QHb）,那么甲所购面粉的平均单价是

元/kg,乙所购面粉的平均单价是元/kg；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单

价与低的平均单价的差值为元/kg.（结果用含小〃的代数式表示，需化为最简形式）

a+b2ab(a-b)2

【答案】

2a+b2(a+b)

【分析】根据题意可用含a,b的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价

减去乙的单价进而求得其差值.

【详解】解.：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是：

800a+800b_a+b

800+800-2

乙购买面粉的平均单价是:

600+600_2ub

在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为:

a+bZab_(a-tb)2-4ab_(a-b)2

2a+b-2(a+b)-2(a+b)'

•••高的平均单价与低的平均单价的差值为：竺竺

【点睛】本题考查了列代数式，分式的减法运算，理解题意列出弋数式是解题的关键.

【考点3分式方程】

审：指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间的等量关系；

设：指设元，也就就是设出未知数；

列：列方程，这就是关键步骤.一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这

个相等关系中的各个量，就的到含有未知数的等式，即方程；

解：解方程，求出未知数的值；

验：检验方程的解就是否保证实际问题有意义，符合题意：

答：写出答案.

【题型8解分式方程】

【方法总结】解分式方程的基本思珞是将分式方程转化为整式方程，若直接去分母，出现未知数的次数高于

三次的话,可将方程两边分别通分，再去分母，解方程。

【例8】(24-25七年级•江苏南京・期末)定义两种新运算“△”和“吃，其运算规则为。团匕=等:,

若x△1=工团2,则％=.

【答案】，0.25

4

【分析】本题考查实数新定义运算，解分式方程，根据题意列得分式方程，解方程即可.

【详解】解：由题意可得W二兰，

X+lX-4

去分母得：(%-1)(%-4)=(%+1)(%+2),

整理得：-5x+4=3x+2,

解得：”=；，

4

检验：当％=；时，(x+1)(%-4)/0,

4

故原方程的解为％=

4

故答案为：

x="4

【变式8-1](24-25七年级•安徽安庆・期末)解方程三-3二2,两边同乘(4-1)后得到的式子为()

X—11-X

A.2—3=—xB.2—3(x—1)=-x

C.2-3(x-l)=xD.2+3(x-l)=-x

【答案】B

【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤去分母进行求解即可.

【详解】解：三一3=看，

x-l1-X

两边同乘(％—1)后得：2—3(x—1)=—x,

故选：B.

【变式8-2](24-25・河北保定•一模)若分式三;与白的值相等，则机的值不可能是()

X-l1-X••♦

A.-3B.0C.-1D.-2

【答案】C

【分析】本题考查解分式方程及分式有意义的条件，考查学生的溶算能力、推理能力.

根据题意得二7=4,解得工=-加，再根据分式有意义的条件，得出工工1,即一加工1,求解即可.

x-l1-X

【详解】解：由题得：二7=广~，

x-l1-X

解得x=-m.

又*”工1,

.*.-znH1,则mH—1.

故选：C.

【变式8-3](24-25七年级・四川绢阳・期末)分式方程二—-一^=1的解为

x-l(x-l)(x+2)--------

【答案】x=3

【分析】本题考杳了解分式方程，先去分母，再去括号，然后移斯、合并同类项，最后检验即可得出答案,

熟练掌握运算步骤是解此题的关键.

【详解】解：去分母得：x(x+2)-5=(x-l)(x+2),

去括号得：X24-2x-5=x2+2x-x-2,

移项、合并同类项得：x=3,

检验，当％=3时，(％-1)(%+2)00,

•••原分式方程的解为：x=3,

故答案为：x=3.

【题型9利用分式方程的解的情况确定字母的值或取值范围】

【方法总结】分式方程无解的原因有两种：(1)去分母后化成的整式方程无解；(2)整式方程有解，但这个解使

原方程的最简公分母为0.将分式方程的解用字母系数表示出来，再利用限制条件确定关于字母系数的不等

式(组)是解此类问题的关键.

【例9】（24-25•黑龙江•三模）若关于x的方程言一三=瑞片无解,则〃的值为（）

A.2B.-1C.2或2D.2或-1或，

【答案】D

【分析】本题考查了分式方程无解的情况求参数，先将分式方程去分母化简，再根据原方程无解求出x=1或

x=2,Q=2,代入化简后的方程即可得出最后结果.

x+1xOX+2

【详解】解:——,

x-2x-1(x-l)(x-2)

方程两边同时乘以(％-l)(x-2),得(x+1)(%-1)-x(x-2)=QX+2,

整理得：（2—a）x=3,

•.•原方程无解，

•••2—a=0或％—2=。或%—1=0,

•••x=1或;v=2,a=2,

将x=1或％=2代入(2-a)x=3.

得：Q=-1或Q=5

综上可知Q=2或一1或5

故选:D.

【变式9-1]（24-25七年级•安徽合肥・期末）已知关丁x的分式方程2-々=0的解是整数，则整数/〃的值

XX-1

是.

【答案】1或3或4

【分析】本题考查分式方程的解，先将，〃当作已知解方程，根据方程的解为整数可得〃，的取值，再结合分母

不为0舍去不符合的〃?的值即可求解.

【详解】解：---^=0

Xx-1

2x-2=mx

解得：.会

・•・关于工的分式方程:一券二°的解是整数'

，加的取值为1,0,3或的

•/X工0,%H1,

・•・加的取值为1或3或4,

故答案为：1或3或4.

【变式9-2](24-25七年级•湖北武汉・期末)关于x的方程二；-/■=-1的解大于：，求机的取值范围.

X-22-X2

【答案】m<一1且m0-2

【分析】本题考查了解分式方程，先化简分式方程，得出用含m的代数式表示》,再结合关于x的方程£-

/_=一1的解大于j进行列式计算，即可作答.

Z-X2

【详解】解：•・•丘—公=一1，

:・x+m=2—x,

则无=乎

4

・•・美于X的方程2—鼻=-1的解大于去

•2—m3

•="T->:，

22

解得m<-1,

,工2

解得771*—2

m的取值范围为m<—1且?n工—2.

【变式9-3](24-25七年级•山东威海・期末)学习”分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关

于无的分式方程£=1的解为正数，求a的取值范围.经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思

路，小明说：解这个关于工的方程，得到方程的解为x=a+4,由题目可得Q+4>0,所以Q>—4,问题

解决.小聪说：你考虑的不全面，还必须QWO才行.

(I)请回答：的说法是正确的，正确的理由是；

(2)已知关于%的方程二+誓=3的解为非负数，求m的取值范围；

X—33-X

(3)若关于无的方程当+啊?=-1无解，求n的值.

X-3戈一3

【答案】(1)小聪，分式的分母不能为零(分式方程的解不能是增根)

(2)TH<g且血*|

（3）当九=1或n=:时原方程无解

【分析】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分

母化成整式方程；再解整式方程；验根.理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况.

（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0,即可知道小聪说得对；

（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出m的取值范围；

（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可

求出〃的范围.

【详解】（1）解：•・•分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0

・•・小聪说得对，分式的分母不能为0.

故答案为：小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根）：

（2）解方程，得％=g-m,

••・方程的解为非负数，

-m>0,

aWp

vx3,

,3

:.m<洱m牛*

（3）原方程化简为：（八一1）%=2

•••原方程无解，

•••n-1=0或x=3

①当n-l=0时，解得n=1；

②当％=3时，解得71=|

•・•当九=1或九=京时原方程无解.

【题型10利用分式方程解决实际问题】

【例10】（24-25七年级•山西临汾•期末）某新建高铁站站前广场需要绿化的面积为66000m2,甲施工队在绿

化了22000012后，由于赶工期，临时调乙施工队加入施工，乙施工队每天的工作量是甲施工队的1.2倍，结

果提前12天完成了该项绿化工程.

（I）甲施工队每天完成多少n??

（2）高铁站给付工程款的标准是15元/m2,求甲、乙施工队分别可得多少工程款.

【答案】（I）甲施工队每天完成的绿化面积为2000m2；

⑵甲施工队可得工程款630000元，乙施工队可得工程款360000元.

【分析】本题考查了分式方程的应用.注意解分式方程时•定要险验.

（1）可设甲施工队每天完成的绿亿面积为％n?,利用等量关系列出分式方程求解即可;

（2）先求得乙施工队施工的时间，再求得两施工队完成的任务数，即可求解.

【详解】（1）解：设甲施工队每天完成的绿化面积为％n^,

66000-2200066000-22000。

根据题意得:---------------------------------=142,

X+1.2X

解得：x=2000,

经检验，无=2000是原方程的解.

答：甲施T队每天完成的绿化面积为2000m2；

(2)解：Vx=2000.

66000-22000

A1.2x=2400,=10.

X+1.2X

・•・甲施工队完成了任务22000+2000x10=42000m2,

乙施工队完成了任务2400x10=24000m2,

工甲施工队可得工程款42000x15=630000（元），

乙施工队可得工程款24000x15=360000（元），

答：甲施工队可得工程款630000元，乙施工队可得工程款360000元.

【变式10-1］（24-25七年级•广东清远•期末）某中学在开学前去商场购进人，B两款书包奖励班级表现优秀

的学生，购买4款书包共花费6000元，购买4款书包共花费3200元，且购买A款书包数量是购买8款

书包数量的3倍，已知购买一个8款书包比购买一个A款书包多花3（）元.求购买一个A款书包、一个

B款书包各需多少元？

【答案】购买一个A款书包需50元，则购买一个8款书包需80元

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设购买一个4款书包需x元，则购买一个8款书包需（X+30）

元，再根据购买A款书包共花费6000元，购买3款书包共花费3200元，且购买A款书包数量是购买8

款书包数量的3倍列出方程求解即可.

【详解】解：设购买一个A款书包需x元，则购买一个8款书包需Q+30）元，

由题意得,等=3、鬻,

解得％=5。，

经检验，无=50是原方程的解，且符合题意,

；・x+30=80,

答：购买一个A款书包需50元，则购买一个8款书包需80元.

【变式10-2］（24-25七年级•北京•期末）甲乙两城市相距800千米，乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时

间缩短了4小时，已知