浙教版初升高一数学暑假预习练习题：二次根式（原卷版+解析）

专题03：二次根式

1.二次根式的定义：一般地，形如，Z(Q、0)的式子叫做二次根式.

2.二次根式的性质

(1)口20(。20)；

(2)(，^)?=0(a20)；

G(a(fl.^0)

⑶4=®={_Q(fl<0)：

(4)y/ab=y/a.•y/b(a0.60)；

(5)占=今(。20心。).

3.无理式的定义：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式，如，公一1是无理式，而，02

不是无理式.

4.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

方法：分子、分母同时乘分母的有理化因式，或通过约分的方法达到分母有理化的目的.

5.有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理

化因式，常用的有理化因式有：

(1)\fa与y/a,(a20)；

(2)，^土与干;

(3)ay/b±cy/a与ay/b干cy/a-.

4.分子有理化：把分子中的根号化去，叫做分母有理化.

方法：分子、分母同时乘分子的有理化因式.

5.二次根式的大小比较：二次杖式比较大小的方法有平方比较法、作差比较法、求商比较法、求倒数比

较法等，其中，比较常用的是平方比较法.

6.二次根式的运算：二次根式的加减类似于多项式的加减，光化成最简二次根式，再对同类二次根式进

行合并；二次根式的乘法类似于多项式的乘法；二次根式的除法，通常写成分数的形式，再进行分母有理

化.

例I：二次根式的意义

2

已知实数Q满足V(2018-a)2+，Q-2019=Q,求Q—2018的值是多少？

【解答】2019

【解析】•・•二次根式有意义,

」.a—201920,即a22019,

.\2018-a^-l<0,

c,—2018+yja—2019—a»

解得，。-2019=2018,

等式两边平方，整理得a—20182=2019.

例2：二次根式的性质与化简

若实数I、g满足（£一，22-2016）.金一，》一2016）=2016,求］、沙之间的数量关系？

【解答】x=y

【解析】•「（x-一2016）•（"-vV-2016）=2016，

20162016(/+，/―2016)

x—y/x2—2016==y+，：/2-2016①,

沙一，犷一20寸?/2-G2-2016)

同理可得2+y心-2016=y—一2016②，

①+②口1得27=2），"

例3：分母有理化

已知，=2+，3/=2—，9,求卑士，一卑二^的值.

7x—7UVX+y/y

2^/3

［解答］q一

行十4_―

【解析】

\［x-yfyy/x+y/y

(«+«)2(«-«)2

(於-4)(於+Vy)(v^+4)(近-Vy)

(近+4)2_(--

X—yx—y

LU

当,=2+退,〃=2-退时，原式=2+代，2+仆=表=竽.

例4：比较大小

试比较VF—，正与A—v怎的大小.

【解答】vl7-V15<715-^

【解析】

］

VTZ-AAS

_________yTF+y!K_______

_(vTz-V^15)(VTZ+AAS)

_沟+走

1

\/15-A/13

_________yl^+y!^_______

一(^/15-713)(^/15+A/13)

化简后分母相同，分子不同，所以倒数大的反而小，所以，百一，TKv〃记一，记.

例5：双重二次根式化简

已知，a+4+—1=5,则\/6—2y/a=.

【解答】A/5-I

［解析］将，申+，□=5的左边分子有理化得t-----八,、-----^=5

1(,a+4—〃.-1)

化简得，a+4—7a—\=1,

两式相加得，^不％=3,

解得a=5,

/.-；/6—2y/a=\/6—2-\/5=弋(-\/5—1)2=\/5—1.

巩固练习

一.选择题

1.若/+)2=1,则—2x+1+V3/—2/+g—2的值为()

A.0B.1C.2D.3

2.已知x=/-2,丁+8尸+]6『的值为（）

A.ll-y/7B.，7+3C.3D.9

3.若二次根式，^7有意义，且关于工的分式方程小一+2=3•有正数解，则符合条件的整数机

的和是（）

A.-7B.-6C.-5D.-4

4.设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，"（沙一①尸+一冷3=—,

则/+）0+z3-3xyz的值是（）

A.0B.1

C.3D.条件不足，无法计算

5.设s=Ji+=+,+Ji+§+^—H，则s最接近的整数是（）

A.2015B.2016C.2017D.2018

二.填空题

6.已知“、h满足y/(2—a)2=Q+3,，。-b+1=Q—6+1,则ah的值为

V

7.已知/=2&

则4X2+4X-2017=

8.若,(a—3+2v^)2+1—3—2y^|=0,则420Mx庐理=

那么，出+”后的俏是

9.已知xy=3,

，2+1++1

10.当X=2+，5,y=2一质时的值为__________

+i—vV+i

三.解答题

11.已知2=2通一通，求代数式（17+4，1^）/2一（2，5+/）/一2的值.

12.己知x,），都是有理数，并且满足/+2”+，^—17—4收，求斤三的值.

13.已知：2N=-y/2--y/3,求J-—~工+J---——的值.

I"已知，=2^恚出:

y/n-il+y/n.且197+123.xyH9），2=1985.试求正整数儿

W，+]—y/n.

15.已知矩形的周长为（v^+，^）c〃b一边长为（避+，叵）。力求此矩形的另一边长和它的面积？

述T_2遂_2_2内—3_2

16.观察下列格式"2g一1'_20-2'2旧一3

国7_2

F\/20-4

（1）化简以上各式，并计算出结果；

（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果

（3）用含〃（〃21的整数）的式子写出第〃个式子及结果，并给出证明的过程.

17.先阅读下面的解题过程，然后再解答:

形如&?工2近的化简，只要我们找到两个数a,b,使a+b=m,ab=〃,即（近尸+（述）2=TT,

y/a.•\f\)=y/n.,那么便有：y/m±2\/n=±\/6)2="G土(a>b)

根据上述方法化简：

⑵《7+4代.

18.阅读下列解题过程:

1_IX(7,5-V4)_(A/5-A/4)

=——2；

行+6=(g+E)(3一次)二(样)2-(E)2

1_1乂（述-逐）_述一遍

=y/6—%/5-

7TTW=（述+⑸（通-佝:（通尸-（佝2

请回答下列问题:

1

（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子

6+通

]

（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子

y/n+y/n+l

（3）利用上面所提供的解法请求

TT+T+x/3+72+74+73+石：6+…+再；频的值.

19.阅读材料：像=3,=a(Q2()),(队+1)(队-1)=力-1

0)两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如

通与V”，V%+1与，5—1，+与等都是互为有理化因式.

在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.

2

1v行6+i(72+1)Q,o/-

例如：—/=•=-7=---『——7-,―/=---=/J-----------、/厂---r=3+2,2.

/

2\/32v3X-/36遇—1(^/2-1)(A/2+I)

解答下列问题：

(I)3—，7与______互为有理化因式，将品分母有理化得:

⑵计臬—

(3)已知有理数4、人满足一~r=~----11=-1+2，^,求4、〃的值.

V2-F1v2

20.某同学在解答题目：“化简并求值;+J[+Q2—2,其中时:

解答过程是:

(1)请判断他的解答是否正确；如果不正确，请写出正确的解答过程.

(2)

设s:/+]+]+/+]+]+/+]+[+…+J1+4+

(〃为正整数),

考察所求式子的结构特征：

①先化简通项公式Jl+J+(」i)2：

②求出与S最接近的整数是多少?

1IXL1

21.阅读下面计算过程：—7=—-=z--/-——=>/2—1；-7=----/=-=

V2+1(6r+1x)z(,2—1)V3+V2

IX(y3-\/2)

=—^/2,—7^---=-7—p----，/、=y/b—2.

(通+A/2)(#3-6)g+2(1+2)(，5-2)

请解决下列问题

1

(1)根据上面的规律，请直接写出

\7n-i-T+y/n

2)利用上面的解法请化简

1十—,1—十111

十…十

1+避避+避避+通\/98+^/99+项+

1

(3)你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程.

y/n4-1—y/n.

专题03：二次根式

1.二次根式的定义：一般地，形如，Z(Q20)的式子叫做二次根式.

2.二次根式的性质

(1)收20(。20)；

(2))2=0(Q,力0)；

/、।।/Q(。20)

⑶=⑷=<、；

I-a(a<0)

(4)y/ab=y/a.•y/b(a0,60)；

(5)

3.无理式的定义：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式，如二T是无理式，而，滔

不是无理式.

4.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

方法：分子、分母同时乘分母的有理化因式，或通过约分的方法达到分母有理化的目的.

5.有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理

化因式，常用的有理化因式有：

(1)yfa与y/a.(aN0)；

(2)土与千;

(3)ay/b±cy/aay/bcy/a..

4.分子有理化：把分子中的根号化去，叫做分母有理化.

方法：分子、分母同时乘分子的有理化因式.

5.二次根式的大小比较：二次杈式比较大小的方法有平方比较法、作差比较法、求商比较法、求倒数比

较法等，其中，比较常用的是平方比较法.

6.二次根式的运算：二次根式的加减类似于多项式的加减，光化成最简二次根式，再对同类二次根式进

行合并；二次根式的乘法类似于多项式的乘法；二次根式的除法，通常写成分数的形式，再进行分母有理

化.

例I:二次根式的意义

已知实数Q满足，（2018—Q）2+-2019=Q,求Q—20182的值是多少？

【解答】2019

【解析】•・•二次根式有意义，

.,.。一201920,即a22019,

2018IVO,

c,—2018+-2019=a,

解得，。一2019=2018,

等式两边平方，整理得a—20182=2019.

例2：二次根式的性质与化简

若实数1、,满足（2—“/2一2016）•（“一，〉一2016）=2016,求1、："之间的数量关系？

【解答】x=y

【解析】:（工一“一2016）•（9——一2016）=2016,

20162016（"+'：/-2016）

x—\X2—2016==y+2016①,

y—y/y2—2016一―（/一2016）

同理可得/+7心-2016=y_W-2016②，

①+②可得2%=2y,.,.i=g.

例3：分母有理化

已知/=2+通用=2—避，求的值.

V^-y/y於十«

2\/3

［解答］-^―

［解析］五一6

7H-y/yV^+A/?/

_（□+4）2（於一4）2

（五-V^）（AA+Vy）（於+«）（於-V^）

（口+）{yx-y/y}2

=--------&----2---------------

X—yx—y

=

一^-y

当,=2+退,〃=2-退时，原式=2+心：2+，5=,=挈.

例4：比较大小

试比较A—，正与A—v怎的大小.

【解答】vl7-V15<715-^

【解析】

］

VTZ-AAS

_________yTF+y!K_______

_(vTz-V^15)(VTZ+AAS)

_沟+走

1

\/15-A/13

_________yl^+y!^_______

一(^/15-713)(^/15+A/13)

化简后分母相同，分子不同，所以倒数大的反而小，所以，百一，TKv〃记一，记.

例5：双重二次根式化简

已知，a+4+y/a—1=5,则/6_2v^=.

【解答】A/5-I

［解析］将，申+，□=5的左边分子有理化得t------八,、----^=5

(1,a+4—〃.-1)

化简得，a+4—7a—\=1,

两式相加得，^不％=3,

解得a=5,

/.-；/6—2y/a=\/6—2-\/5=弋(-\/5—1)2=\/5—1.

巩固练习

一.选择题

1.若/+)2=1,则—2x+1+V3/—2/+g—2的值为()

A.0B.1C.2D.3

【解答】C

【解析】因为

所以-1W彳W1,-IWyWI*

因为，n3一2N+1-2==+1)(y—2),

其中)，-2<(),所以x+IWO,

又因为-IWxWl,

所以x+1=0,x=-\,

所以y=0,

所以原式=+1)S-2)

=2+0

=2.

2.已知x=/-2,丁+8尸+16./的值为()

A.ll-y/7B.，？+3C.3D.9

【解答】D

【解析】Vx=y/7-2,

22/2

・,・,=(A/7-2)=(y/7)-2Xv7X2+2=7-4/^+4=II-4/7,

则原式=/(X2+8X+16)

=,(x+4)2

=(11-4\/7)(V7-2+4)2

=(11-4/)(2+/7)2

=(11-4\/7)(114-4^/7)

=ll2-(4\/7)2

=121-112

=9

3.若二次根式有意义，且关于x的分式方程2+2=—17T有正数解，则符合条件的整数〃?

1JbJbJL

的和是（）

A.-7B.-6C.-5D.-4

【解答】D

【解析】去分母得，-〃i+2<A-1）=3,

••・关于X的分式方程7更一+2=有正数解，

Y—xX—1

・•・卡>0,

.*./«>-5>

又・.”=1是增根，当x=l时，然口=1,BPm=-3

,廿-3,

•・・，2—7T有意义,

，2-520,

因此-5V，〃S2且〃#-3,

••加为整数,

・•・加可以为-4,-2,-L0,1,2,其和为-4.

4.设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：皆笆斫不+工汽尸—

则/+/+Z3-3xyz的值是()

A.0B.1

C.3D.条件不足，无法计算

【解答】A

【解析】依题意得：

\e-z20

|y\y-xy^0,

x3(z-x)3>0

解得x=0,

■:x:i(y—x)3+y/x3(^z—x)3=\/y—x—y/x—z,

:.y/y—yfz—0,

・,•把x=0,y=-z代入A?+^+Z3-3xyz得：原式=(-z)3+z3=O.

5.设S=Jl+*+*+Jl+/+*H----yl+2Q1g2+20172,则S最接近的整数是()

A.2015B.2016C.2017D.2018

【解答】C

【解析】

Ji+滔+5+i)2

="(〃+1)2+.〃2(72+1)2

-Vmm+i)]2

/+1)]2+2n(n+1)+1

=V[n(n+l)]2

=/(722+.+l)2

V[n(ri+l)]2

_九2+%+1

n(n+1)

一11

=1H--------r-r

nn+1

s=』+»£+Ji+E-++…+J+焉+篇

=j+i_g+(i+A.+…+,+嬴-嬴)

=2016+(1—[++…+壶一土)

1

=2017-

2017

所以5最接近的整数是2017.

二.填空题

6.已知〃、b满足\/(2—d)~=。+3,—b+1=Q—b+1,则ab的值为

【解答】i4

4

[解析]r,(2_a)2=。+3,

若.22,则a-2=〃+3,不成立，

故。V2,

.*.2-4=4+3,

・•・〃=・丁

*.*-b+1=a-b+\,

••a-b+\=1或0,

・，」=一：或，

乙乙

:•ab=土工.

7.已知N=厅，则4f+4x-2017=

【解答】-2015

【解析】•・・/=

；・41+4.2017

=(2v+l)2-2018

=[2x+1)2-2018

=(^4-273+1)2-2018

=(\/3-1+1)2-2018

=3-2018

=-2015.

8.若,(61-3+2&)2+3-3-27^|=(),则〃2。2乂6005

【解答】3+2/5

【解析】•:,(a—3+2\/^)2+1匕一3—2\/21=0>

-3+2^/2=0,8-3-2y/2=0,

・二。=3-2\/2,8=3+2，^,

：.ab=(3-2^2)(3+2优)=9-8=1,

・•・/期x产°5=(加2期x/?=|X(3+2e)=3+2^2.

9.已知孙=3,那么+的值是.

【解答】±2e

【解析】因为盯=3,所以r），同号,

于是原式=，楞+"楞=向1+前国，

当工＞0,）＞0时，原式=；

当工VO,yVO时，原式=一〃^+（-，^）=一.

故原式=±2心.

10.当％=2+仆),=2—通时，彳M的值为•

Vi+1-Vg+1

【解答】收+口

【解析】由题意，知：x+y=4,x-y=2y/3»(x+l)(y+1)=6；

原式:(RT+，7『)2

(，.+1—，g+1)(订+]++1)

=c+g+2Vz(C+DG/+D+2

x—y

_4+2/+2

2x/3

二3+述

A/3

=y/3+y/2

三.解答题

II.己知N=2，5—①，求代数式(17+4/lK)——(2仆+述)]—2的值.

【解答】40

【解析】当/=2，5—/时，

原式=(17+4A)(2/—巡)2―(2^/3+^/5)(2\/3-A/5)-2

=(17+4^/15)(17-4^15)-(12-5)-2

=172-(4-/15)2-7-2

=289-240-9

=40

12.己知■)，都是有理数，并且满足/+2〃+，5〃=17—46,求的值•

【解答】3

【解析】•..，2+2沙+避4=17—46，

•••02+20一17)+口0/+4)=0.

••・/,y都是有理数，

+2)，・17与y+4也是有理数，

./+2,一17-0

••S9

g+4=0

解心土］

［"=-4

y/x—y有意义的条件是x^y,

，取x=5,y=-4,

—g=，5—(-4)=3.

13.已知：2x=\/2—\/3，求J1£①；+月的值.

243'-5松+，375+5调

［1-JJ2

［解析］：2c=，2—=

…始代_1),

.-」--恃(心-1)卜*,

r¥停ef

_/术一a,I2+^/3-

―V2+A/3VV^-V^

='(Q6)(2_Q)+/I⑸I⑸

_2、3仆一5松+，3西+用

=2

，男+1—\/n，九+]+y/n

14.已知t二且19f+123冲冲19)，2=1985.试求正整数儿

+1+\/n，■+1-y/n

【解答】2

［解析］化简X与y得出=(，〃+1—，^)2=2n4-1—2，〃［」+1),

y=(，〃+1+2=2zi+1+2\/7I(TZ+1),

•\x+y=4n+2,

xy=(，冷+1--y/n)2+1+y/n^2=几+1+(，〃+1—y/n+1)]?=1.,.将xy=I代入

方程，化简得：.，+)?=98,

:.(x+)，)2=X2+/+ZO'=98+2X1=10(),

，x+y=10.

.*.4/2+2=10,

解得n=2.

13.已知矩形的周长为(，^+，75)c〃?，一边长为求此矩形的另一边长和它的面积？

【解答】另一边长是3，5一/0小矩形的面积是9V为一9c常

【解析】矩形的另一边长是：

(-/48+^/72)4-2-(>/34-\/12)

=(4^/3+6-/2)4-2-(73+2^)

=2-/3+3\/2-3^

=3\/2—y/^(cm)

矩形的面枳是:

(A/3+\/12)X(3\/2-A/3)

=3-/3X(3-72-^/3)

=9\/6—9(cm)

述T_2述_2_2g_3_2

观察下列格式

16.-2y/^-1"-2y/8-2"-2旧一3

y/20-42

F^/20-4

（1）化简以上各式，并计算出结果；

（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果

（3）用含〃（〃21的整数）的式子写出第〃个式子及结果，并给出证明的过程.

【解答】(1)—1,一2,-3,/：⑵-—512

=-5；⑶'不i~/•)-----—n

\/29-52y/n2+4—几

【解析】

\/5-12v^-12(避+1)^/5-10+1

2A/5-I2(75-1)(^/5+1)22

/-2_2=遂一2_/+2

『I2~

阳_3_2=g-3_g+3

-2y/13-3~-22~

720-42_\/20-4^/20+4

==2

V-2+4—nvn2+4+n

⑴--------'-二2----------------------2=f

17.先阅读下面的解题过程，然后再解答：

形如，7〃，土2，添的化简,只要我们找到两个数a，b,使a+b=m,ab=n,即（，Z）之+（\A）?=?r,

y/（i.-yjb=y/n,那么便有：，7n士士通）?=y/a.iy/b（a>6）

根据上述方法化简:

（1）711-2^/30；

（2），7+4样.

【解答】⑴仙-湘；⑵2+^/3

【解析】（I）V11-2\/30=《（述一/尸=屏一次,

（2）17+4&=,（2+何2=2+心.

18.阅读下列解题过程：

1=1X（75-V4）=（湘一通）

仃+/一（g+/）（溷―/）一（0）―（小尸

1_1x（述-,5）_VG-A/5

WW5=（76+75）（^-^）=（76）2-（^）2

请回答下列问题：

（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子u1L=一

A/T+A/6

1

（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子,〃+,〃十］=；

（3）利用上面所提供的解法，请求

^^+收:6+6:同+仆:代+…+9］项的值.

【解答】（1）一通；（2）x^n-y/n-1；（3）9

y/7-y/G

=y/7—y/6；

【解析】（1），7+g一（/+西（，7—付｝

=y/n—y/n—l；

(3)-3=---13=-----;=-\7=-----;=+一，-|,-----7=

<2+1V3+V2V4+V3V100+V99

=\/2—1+\/3—\/2+—y/3+\/5—+…+，100—y/99•

=10-1

=9

19.阅读材料：像(遂+，5)(述一，5)=3,口・V^=a(a20),(，K+l)(v^—l)="1

0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如

心与心，+1与6一1,2，5+3巡与2，5—3，^等都是互为有理化因式.

在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.

制如1_不_V行俏+1_（6+1）2一…内

例如k^7^一丁力一（小1）（⑶1厂3+2班.

解答下列问题：

（1）3—，7与______互为有理化因式，将不昌分母有理化得;

⑵计算：鼻一浓

（3）已知有理数。、b满足—7=----1—[=-1+2，历，求〃、/?的值.

V211V2

【解答】（1）3+。，卑；（2）2-^/3：（3）a=\,b=2

J

2_2X，2_2,2_火

【解析】（1）3—，7与3+/互为有理化因式,

3-/2-3、历X-/2-6~~T

⑷(2)-2----.通......心—

=24-73-2^/3

=2-g

⑶,-'vfa+V2=-1+2A

:.-1)+b=-1+2,\/2,

:.-a+(a+=-1+2\/2>

；•-a=T,a+：=2,

解得，a=\,b=2.

20.某同学在解答题目：“化简并求值RJ[+Q2—2,其中a=!，”时：解答过程是:

（1）请判断他的解答是否正确；如果不正确，请写出正确的解答过程.

(2)