几何证明举例（学案）-2026-2027学年青岛版八年级数学上册

1.3几何证明举例学案

青岛版八年级上册

一、学习目标

数学抽象

□从实际问题中抽象出几何证明的基本概念，理解基本事实、定理、推论、逆

定理的定义及关系

□理解反证法的概念和证明思路，认识间接证明的数学思想

逻辑推理

□通过观察、比较、归纳，概括平行线性质定理和判定定理的证明方法，体会

互逆命题的内在联系

□能根据三角形内角和定理，推导出外角推论和直角三角形性质定理、判定定

理

□掌握反证法三步骤，能正确地提出反设并推导矛盾，证明简单命题

数学建模

□能根据几何问题的条件建立证明路径，选择合适的证明方法，合理添加辅助

线

□体会从特殊到一般、从直接证明到间接证明的数学思想方法

数学运算

□能准确写出几何证明的已知、求证和证明过程，规范标注每一步推理的依据

□能正确运用等式的性质和等量代换进行推理运算

二、课前预习

支架1：KWL预习表

K（我已知道）

请回顾已学过的平行线性质和判定方法，以及三角形相关知识。

■（我想知道）

如何用已学知识证明几何结论？反证法是什么？

L（我学到了）

上完课后，你学到了哪些证明方法?

预习任务

预习任务1

回顾已学过的平行线性质和判定方法

预习任务2

阅读教材中关于三角形内角和定理的证明方法

预习任务3

思考：什么是反证法？它与直接证明有什么不同？

三、我的疑问

预习中存在的疑问：

四、课堂探究

课堂探究

探究1

证明平行线的性质定理2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。要求:

①指出定理的条件和结论，画出图形；②写出已知、求证；③完成证明过程。

探究2

证明三角形内角和定理。要求：用至少一种方法（辅助线法）进行证明。

探究3

用反证法证明：平行于同一条直线的两条直线平行。要求：按反证法三步骤写出

完整证明。

支架2：对比归纳表

二、对比归纳表一平行线的性质定理与判定定理

项目条件结论符号衰示地位

性质定理1两直线平行同位角相等a〃b-*Z1=Z2基本结论，不证明

（同位角）

性质定理2两直线平行内错角相等a〃b-Z1=Z2由性质定理1证明

（内错角）

性质定理3两直线平行同旁内角互补a〃b—*由性质定理2证明

Z2+Z4=180°

判定定理1内错角相等两直线平行Z1=Z2（内错由基本事实证明

角）一a〃b

判定定理2同旁内角互补两直线平行Z2+Z4=180°-由判定定理1证明

a〃b

基本事实同位角相等两直线平行Z1=Z2（同位不需证明

角）一a〃b

支架3：三、实验观察记录表——三角形内角拼接

三、实验观察记录表一三角形内角拼接

五、例题学习

证明平行线的性质定理2

已知：直线a〃b,ZkN2是内错角。

求证：Zl=Z2o

证明：因为a〃b（已知），所以N3=N2（两直线平行，同位角相等）。因为

Z1=Z3（对顶角相等），所以N『N2（等量代换）。

证明三角形内角和定理

法1：延长BC到D,过C作CE〃BA,则（内错角），ZB=Z2（同位

角），因为N1+N2+/ACB=180°（平角定义），所以NA+NB+NACB=180°（等量

代换）。

反证法证明

已知：a/7c,b〃c。

求证：a/7bo

证明：假设a与b不平行，则相交于P,过P有两条直线a、b都与c平行，与

基本事实矛盾，故2〃八

支架4,四、解题脚手架——反证法三步法

四、解题脚手架一反证法三步法

第一步：否定结论（反设）

指引：1.找出命题的结论

2.将结论否定（注意否定词的准确使用）

・，至少有一个，一，一个都没有，

•'至多有一个‘一'至少有两个‘

•，都是，一，不都是，

•，存在，一，不存在，

3.写出反设：’假设

自查：检查依据是否完整

第二步：推出矛盾（归谬）

指引：1.从反设出发，结合已知条件进行推理

2.推导出的矛盾可以是：

•与已知条件矛盾

•与基本事实（公理）矛盾

•与己证定理矛盾

•与定义矛盾

•自相矛盾

3.写出推导过程，明确矛盾点

自查：检查依据是否完整

第三步：肯定结论

指引：1.因为反设导致矛盾，所以反设不成立

2.因此原命题的结论成立

3.写出：'所以假设不成立，因此

自查：检查依据是否完整

七、课堂小结

请用你自己的语言总结本节课学习的主要内容:

支架5：自我评价表

五、自我评价表

评价内容权重自评

能证明平行线的性质定理2和性课时1掌握/基本掌握/需加强

质定理3

能证明平行线的判定定理1课时1掌握/基本掌握/需加强

能判断互逆命题的真假，理解逆课时1掌握/基本掌握/需加强

定理的概念

能运用两种辅助线方法证明三角课时2掌握/基本掌握/需加强

形内角和定理

能推导和应用外角推论（推论1课时2掌握/基本掌握/需加强

和推论2）

能推导和应用直角三角形的性质课时2掌握/基本掌握/需加强

定理和判定定理

理解反证法的定义，能说出反证课时3掌握/基本掌握/需加强

法的三步骤

能正确提出反设，并用反证法证课时3掌握/基本掌握/需加强

明简单命题

能规范书写几何证明的已知、求综合掌握/基本掌握/需加强

证和证明过程

总分：分我的收获与反思：—

八、课后作业

1.教材习题1.3第1题：证明”同旁内角互补，两直线平行“。

2.教材习题1.3第2题；用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角大于或

等于60。

3.教材习题1.3第3题：证明"直角三角形的两个锐角互余”。

参考答案

课前预习

一、平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直

线平行，同旁内角互补。

判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两

直线平行。

二、性质定理1（同位角）作为基本事实；性质定理2（内错角）和性质定理3

（同旁内角）需要证明。

三、互逆命题：交换条件和结论得到的新命题。原命题是真命题，逆命题不一定

是真命题。

课堂探究

探究1：性质定理2证明---已知a〃b,Nl、N2是内错角。求证N1=N2。证

明：因为a〃b（已知），所以N3=N2（两直线平行，同位角相等）。因为

（对顶角相等），所以N1=N2（等量代换）。

探究2：三角形内角和定理证明一一法1：延长BC到D,过C作CE〃BA,则

ZA=Z1（内错角），ZB=Z2（同位角），因为N1+N2+NACB=180°（平角定义），

所以NA+NB+NACB=180°（等量代换）。

探究3：反证法三步骤：①否定结论一一假设命题的结论不成立；②推出矛盾一

一从假设出发，经过推理，得出与已知条件、定义、基本事实、定理等相矛盾的结

果；③肯定结论一一由矛盾判定假