2025-2026学年上海市宝山区某中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市宝山区吴淞中学高二(下)期中数学试卷

一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知|两=历|=1,无石=一1,则向量五与向量石的夹角为()

A.30°B.60°C.90°D.135°

2.设a>0,S>0,下列各项中，能推出的一项是()

A.Q>1,且5>1B.Q>1,且SVa

C.OVQ<1,且S<QD.OVQ<1,且SV1

3.已知点4(0,1),8(2,0),点C在由线r：竽+y|y|=一)上,则△48。的面积()

A.有最大值，但没有最小值B.没有最大值，但有最小值

C.既有最大值，也有最小值D.既没有最大值，也没有最小值

4若有穷整数列4n：a1,a2..0n(n>3),满足:ai+1—G{-1,2}.(i=1,2,...»n—1).日.01=%=0,

则称4具有性质T，则正确的是()

A.存在具有性质了的小

B,不存在具有性质T的心

C.若4。具有性质了,则Q],&，•，•，。9中至少有两项相同

D.对于任意正整数7123,对任意具有性质7的4,有4,。2,…，中任意两项均不相同

二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.已知集合A={1,2,3,4,5},8={2,368},则力n8=—.

6.1和3的等差中项是_.

7.不等式」7<0的解是____.

X-JL

8.双曲线卷-哈=1的渐近线方程是.

9.己知圆锥的高为4,底面半径为3,则圆锥的侧面积为一.

10.已知，ga+Ig(2d)=1,则a+b的最小值是.

11.设随机变量X服从正态分布N(2,O2),若P(XWl)=0.2,则P(X<3)=—.

12.若(无+1)〃的二项展开式中，第5项为常数项，则—.

13.已知函数/Q)=e3x,则曲线、=/(X)在点(o,/(0))处的切线方程为_.

14.已知力、8为互斥事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.2,则P(4n8)=—.

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15.已知i为虚数单位，若复数Zi和复数Z2满足忆1一1一i|WL22=z",忆1一Z2I的最大值为.

16.已知球。的半径为2,Z1B是球0的一条直径，点P是球面上一个定点，且PB=2.设点Q是球面上异于力、B、

P的动点，若点Q满足(而+而)•(可+而)=2|而产，则点Q运动所形成的曲线周长为一.

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题14分)

记等差数列｛%｝的前九项和为又，佝=9,S5=25.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)记%=4%求数列｛力｝的前n预和

18.(本小题14分)

如图，在三棱柱48。一4/6中，AAX1平面ABC,AB1AC,AB=AC=2AA｝=4,E,尸分别为棱AB,BC

的中点.

(1)证明：平面

(2)求平面AiEF与平面所成锐二面角的大小.

19.(本小题14分)

有两个罐子，A罐中放有3个白球和2个黑球，8罐中放有5个白球.

(1)若从A罐不放回地摸2个球，求恰好摸到一个白球一个黑球的概率：

(2)若从A罐不放回地摸2个球，求第二次摸到白球的概率；

(3)现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记4罐中黑球的个数为X,求X的分布列和期望.

20.(本小题18分)

已知双曲线C：%2一＜=1的右顶点为从左焦点为尸，过点尸.且斜率为2的直线。与双曲线C的左支交于

E两点，P为双曲线C右支上的一动点；

(1)求双曲线C的实轴长与离心率；

(2)求ADEP面积的最小值；

(3)设直线L与双曲线C交于M，N两点，且AM14M证明：直•线!2过定点：

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21.(本小题18分)

若对于函数y=f(%)和y=g(%)，存在常数兀，对任意实数x,使f'(%)>ng'(%)成立，则称函数y=/(x)

是函数y=g(x)的“九一控制函数"(已知y=/(%)和y=g(x)定义域均为R).

(1)证明：函数外乃=%+1是函数g(x)=cosx的“1一控制函数”：

(2)若函数/(%)=-x4-4x3-12x2-20%是函数g(x)=e”的"n-控制函数”，求九的取值范围：

(3)若p(x)=]oga(2*+1)+%,其中Q>0且QH1,函数y=q(x)为定义在R上的偶函数，函数y=p(x)是

函数y=q。)的“n—控制函数"，当n=—l时，求证“Q=年”的充要条件是“y=p(x)+q(x)为常值函

数”.

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1.【答案】。

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5•【答案】{2,3}

6.【答案】2

7.【答案】0vxv1(或(0,1))

8.【答案】y=±9

9.【答案】157r

10.【答案】2/5

11.【答案】0.8

12.【答案】8

13.【答案】y=3x+1

14.【答案】0.2

15.【答案】2+72

16.【答案】26九

17.【答案】an=2n-l,neN*Tn=±LL^zl)

18.【答案】因为zL4i_L平面48C,£~u平面力BC,

所以力为1EF,

因为E,尸分别为棱力从8c的中点，所以EF//AC,

又4814C,所以£T1A8,

而4Ale48=A,A力1，u平面力

所以EF_L平面

又BiEu平面488送1，

所以EF1/凡

因为48=4C=24&=4,

22

所以&E=BXE=V2+2=2V2,

又4出1=4,所以41肝=力1。+81。，即力/J.&E,

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又{iECEF=E,A}E,

所以J■平面

19.【答案】||X的分布列为:

X012

86453

P

125125125

34

E(X)=行

20.【答案】实轴长2,离心率215门证明：由⑴知4(1,0),没M,N的坐标分别为(右,为)，(%，%)•

当直线，2的斜率为。时,x4=-x3,y4=73»

则福=(x3-1,乃)，丽=(x4-l,y4)=(-^3-1，%)，

当4M1AN时，

AM-AN=(x3—1)(—x3-1)+y|=1—x|+y|=1—+1)4-y|=竽=0,解得月=。，

则M,N中一个点与力重合，此时AM_L4N不成立，所以直线%的斜率不为0；设直线%的方程为皿、=%+九，

{my=x+n

%2_光_]，消去x后整理，^(3m2-l)y2-6mny+3n2-3=0.

.i.6?nn3n2-3

则m为+y，=而』，乃九二赤』，

AM-AN=(X3-l,y3).("4-1，、4)=。3-1)(%4一1)+y3y4=x3x4-(x3+M)十1十y3y4

=(m、3-n)(my4-n)-[(my3-n)+(my4-n)]+1+y3y4

222

=(rn+l)y3y4—(mn+m)(y34-y4)+n+2n+1=(m+1)x*二：一(巾"+m)x+九？+

2n+l,

由4M14N,得奇.丽=0，

所以(rn2+1)x二:一(mn+m)x3黑:]+n2+2n4-1=0，

UP(TH24-1)x(3n2—3)—(inn+rn)x677m+(n2+2n+1)(3THZ-1)=0»

化简，得九2—n—2=0解得九=-1或2.

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当ri=-1时，直线。过点(1,0)，不合题意；当n=2时，直线，2的方程为my=x+2,所以直线，2过定点(一2,0).

21.【答案】证明如下,

由于函数/(%)=%+1,g(x)=cosx,因此/'(%)=1,gz(x)=-sinx,那么导函数g'(x)€[-1,1],

故/'(%)-g'(%)=1+sinx>0,即/'(x)Ng'0)恒成立，

因此/(乃=%+1是函数9(乃=85%的“1一控制函数”(一8,-与]证明如下，

必要性：若存在常数c使得y=p(%)+q(x)=c恒成立，

xx

因此q(x)=c-p(x)=c-loga(2+1)-x,因此q(-x)=c—loga(2~+1)+%,

xx

由于y=q(x)为偶函数，那么c-loga(2+1)-x=c-loga(2~+1)4-x,

x

所以log。；二;二2x,得到Zog[=2x=loga2~=2x=>-x-loga2=2%,

那么可得(2+logfl2)x=0,得a=苧，

那么函数pa)=，ogg(2x+l)+i,所以导函数p'(%)=表?+1,

因为q(x)=c-log^2x+1)—无，所以导函数q'(%)=1,

当n=-1时，p'-ziq'(%)=p'(%)+q'(%)=募;+