七年级上册数学人教版 角讲练（原卷版）（人教版）

专题4.3角典例体系（39页）一、知识点1.角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。2.角的表示：①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。3.用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°4.角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。1°=60’，1’=60”5.角的性质（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。（2）角的大小可以度量，可以比较（3）角可以参与运算。6.角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。7.余角和补角①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。二、考点点拨与训练考点1：钟面上的角度计算典例：（2020·福建宁化·初一期末）上午时，钟表的时针与分针的夹角为（）A． B． C． D．方法或规律点拨此题考察的是求钟表的分针与时针的夹角问题，掌握钟表的特征和周角的定义是解决此题的关键．巩固练习1．（2020·全国单元测试）设时钟的时针与分针所成角是，则正确的说法是（）A．八点一刻时，是平角 B．十点五分时，是锐角C．十一点十分时，是钝角 D．十二点一刻时，是直角2．（2020·内蒙古额尔古纳·期末）在上午八点半钟的时候，时针和分针所夹的角度是（）A．85° B．75° C．65° D．55°3．（2021·湖南长沙·明达中学月考）若钟表分针走30分钟，则钟表的时针转（）A． B． C． D．4．（2020·浙江青田·初一期末）上午，时钟上分针与时针之间的夹角为（）A． B． C． D．5．（2020·福建宁化·期中）某校七年级在下午5：00开展“阳光体育”活动，下午5：00时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于_______度．6．（2020·浙江松阳·期末）上午8：25时，时钟的时针和分针的夹角(小于平角的角)度数是_______．7．（2020·全国单元测试）由2点30分到2点55分，时钟的时针旋转了________度，分针旋转了________度，此刻时针与分针的夹角是_________度8．（2020·全国单元测试）时钟的分针从4点整的位置起，顺时针方向转_______度时，分针才能第一次与时针重合．10．（2020·湖北黄石·初一期末）如图，上午6：30时，时针和分针所夹锐角的度数是_____．11．（2020·全国单元测试）钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成的角？分别是几点几分？考点2：方位角及其应用典例：（2020·全国单元测试）如图所示，点表示城，点表示城．（1）如果城在城的南偏西方向，请画出从城到城方向的射线；（2）如果城在城的北偏东方向，在城的南偏东方向，请确定城的位置．（用点表示）要求：不写画法，保留画图痕迹，写出结论．方法或规律点拨此题考查的是根据方位角画图，掌握方位角的定义是解决此题的关键．巩固练习1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）如图所示，射线OP表示的方向是（）A．东偏北65° B．北偏东25° C．北偏西65° D．北偏东65°2．（2019·河北涿鹿·期末）如图，点A位于点O的A．南偏东35°方向上 B．北偏西65°方向上C．南偏东65°方向上 D．南偏西65°方向上3．（2020·全国单元测试）射线位于北偏东方向，射线位于南偏东方向，则的度数是（）A． B． C． D．4．（2020·哈尔滨工业大学附属中学校初一开学考试）某人在点处看点在北偏东的方向上，看点在北偏西的方向上，则的度数为（）A． B． C． D．5．（2020·全国课时练习）如图所示，由点A测点B的方向是（）A．南偏东38° B．南偏东52°C．北偏西38° D．北偏西52°6．（2020·全国课时练习）若点B在点A北偏东30°处，点C在点A南偏东40°处，那么的度数是（）A．70° B．80°C．100° D．110°7．（2020·山东单县·初一期末）如图，是表示北偏东方向的一条射线，则的反向延长线表示的是（）A．北偏西方向上的一条射线 B．北偏西方向上的一条射线C．南偏西方向上的一条射线 D．南偏西方向上的一条射线8．（2020·全国单元测试）若从点看点的方向是南偏东，那么从点看点的方向是_______．9．（2020·全国单元测试）、两个城市的位置如图所示，那么城在城的_______方向．10．（2020·全国单元测试）根据图填空：点A在点O的______________方向，点C在点O的______________方向．11．（2020·辽宁北镇·期末）如图，直线与相交于点，，且平分，若，则的度数为_____．考点3：角的运算典例：（2020·巨野县育才实验学校初一月考）计算：（1）（2）180º-（34º55′+21º33′）方法或规律点拨本题考查了度分秒的换算：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．巩固练习1．（2020·全国初一课时练习）计算：的值为（）A． B． C． D．2．（2020·全国单元测试）（1）已知，，则_______；（2）已知，，则_______．3．（2020·全国单元测试）计算：________________；________________．4．（2020·湖南雨花·初一期末）计算：48°37'+53°35'＝_____．5．（2020·全国初一课时练习）计算：90°﹣18°35'＝__．6．（2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末）计算30°52′+43°50′=______7．（2020·全国单元测试）（1）；（2）；（3）；（4）．考点4：与三角板有关的角度计算典例：（2020·湖南天心·长郡中学初一期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠D＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分∠BOC．①此时t的值为；（直接填空）②此时OE是否平分∠AOC？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由．方法或规律点拨本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，关键是根据线的运动得到角的等量关系，然后根据题意列出式子计算即可．巩固练习1．（2020·全国单元测试）用两个三角板（一个是，一个是）不可能画出的角度是（）A． B． C． D．2．（2020·山东莘县·期末）如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合与点O，若∠DOC＝28°，则∠AOB的度数为（）A．62° B．152° C．118° D．无法确定3．（2020·湖北荆州·月考）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．30° B．25°C．20° D．15°4．（2020·山西浑源·初一期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=27°40′，∠2的大小是()A．27°40′ B．57°40′C．58°20′ D．62°20′5．（2020·全国初一课时练习）如图，将两块三角尺AOB与COD的直角顶点O重合在一起，若∠AOD=4∠BOC，OE为∠BOC的平分线，则∠DOE的度数为（）A．36° B．45° C．60° D．72°6．（2020·广西平桂·期末）如图，将一副三角板叠放一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOD+∠COB的度数为___________度．7．（2020·广东省汕头市潮阳区铜盂中学初三月考）如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，且∠AOB＝155°，则∠COD＝_____．8．（2020·全国单元测试）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若∠AOD=127°，则∠BOC=_______．9．（2020·全国单元测试）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝_____．10．（2019·广东郁南·初一期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；（2）若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；（3）猜想：∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系，并说明理由．11．（2020·全国初二课时练习）将一副三角尺叠放在一起：（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．12．（2019·河北涿鹿·期末）把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．（1）问题发现：如图①，当OB平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是；（2）拓展探究：如图②，当OB不平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是多少？（3）问题解决：当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD时，求∠BOC的度数．13．（2020·广东东莞·初一期末）直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．（1）在图1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝；（2）在图1中，若∠BCE＝α，∠ACF＝（用含α的式子表示）；（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，若∠BCE＝150°，试求∠ACF与∠ACE的度数．考点5：与角平分线有关的证明与计算典例：（2020·福建泉州五中月考）（问题提出）已知∠AOB＝80.5°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC（∠BOC＜50°），求∠BOC的度数．（问题思考）聪明的小明用分类讨论的方法解决．（1）当射线OC在∠AOB的内部时，①若射线OD在∠AOC内部，如图1，可求∠BOC＝16.1°；问：当射线OC在∠AOB的内部时，②若射线OD在∠AOB外部，如图2，请你求出∠BOC的度数（问题延伸）（2）当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数方法或规律点拨本题主要考查角的和差倍分关系，关键是根据题意得到角之间的等量关系，然后列出算式进行求解即可．巩固练习1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）如图所示，，，平分，则的度数为（）A． B． C． D．2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）在同一平面内，若∠AOB＝90º，∠BOC＝40º，则∠AOB的平分线与∠BOC的平分线的夹角等于()．A．65º B．25º C．65º或25º D．60º或20º3．（2020·福建宁化·期中）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于().A．35° B．70°C．110° D．145°4．（2020·湖南天心·长郡中学初一期末）如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∠MON等于（）A．90° B．135° C．150° D．120°5．（2020·山东莘县·期末）如图，OA⊥OB，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，则∠BOD＝_____度．6．（2020·全国单元测试）如图所示，已知，，成一直线，，且，，则_______．7．（2020·全国单元测试）如图所示，是的平分线，是的平分线，是的平分线，那么_______．8．（2020·陕西神木·初一期末）如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．（1）若∠AOC=120°，∠BOC=30°，求∠DOE的度数；（2）若∠AOB=90°，∠BOC=α，求∠DOE的度数．9．（2020·全国单元测试）如图所示，平分，、是的三等分线．（1）如果，求的度数；（2）如果，，求的度数．考点6：与余角（补角）有关的证明与计算典例：（2020·内蒙古海勃湾·初一期末）点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处．射线OC平分∠MOB．(1)如图1，若∠AOM=30°，求∠CON的度数；(2)在图1中，若∠AOM=a，直接写出∠CON的度数（用含a的代数式表示）；(3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在射线OB上方，另一边ON在直线AB的下方．①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②当∠AOC=3∠BON时，求∠AOM的度数．方法或规律点拨本题主要考查角度间的计算、余角补角的性质及角平分线的性质与一元一次方程的应用，综合性大，需综合运用所学知识求解.巩固练习1．（2020·湖北曾都·期末）如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD．如果∠1=35°，那么∠2的度数是（）A．35° B．45° C．55° D．65°2．（2020·山东莘县·期末）如图，直线BC与MN相交于点O，AO丄OC，OE平分∠BON，若∠EON=20°，求∠AOM的度数．3．（2020·福建宁化·期中）已知为直线上的一点，是直角，平分．（1）如图1，若=°，则=°，与的数量关系为．（2）当射线绕点逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中与的关系是否仍然成立？如成立，请说明理由．（3）在图3中，若=°，在的内部是否存在一条射线，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．4．（2020·广西陆川·期末）如图，OD、OC、OB、OA分别表示东西南北四个方向，OM的方向是西偏北50°，OE的方向是北偏东15°，OE是∠MOG的平分线，∠MOH=∠NOH=90°.(1)OH的方向是_______，ON的方向是________；(2)通过计算，判断出OG的方向；(3)求∠HOG的度数.5．（2020·广西陆川·期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角的余角和补角的度数．6．（2020·全国单元测试）如果一个角的余角是这个角的，求这个角的度数．7．（2020·全国单元测试）如图所示，已知、、在一直线上，、分别是和的角平分线．（1）求的度数；（2）分别写出的余角和补角．8．（2020·全国单元测试）如图所示，已知点A、O、E在同一直线上，，，．（1）写出图中的一对互余的角____________，一对互补的角______________．（2）画出的角平分线．（3）______________．9．（2020·