2026届山东省泰安市高三下学期考前检测数学试卷-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，或，则（）A.或 B.C. D.或2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.已知函数，若，则（）A.1或3 B.或1 C.0或 D.1或4.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.65.已知，若，则（）A. B. C. D.6.已知数列，，则“数列为递增数列”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知函数为增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知圆与直线相切于点，与圆有三条公切线，若圆心的横坐标为自然数，则满足条件的所有圆的面积之和为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（）A.当样本相关系数的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强B.甲连续投篮两次，事件“恰好命中1次”与“两次均命中”互斥但不对立C.若一组数据“，，⋯，”的方差为3，则“，，⋯，”的方差为29D.若三名男生体测成绩的平均分为80，方差为6，两名女生的平均分为75，方差为4，则这五人的平均分为78，方差为10.已知在棱长为2的正方体中，点，分别为棱、的中点，点为线段上的动点，则下列选项正确的是（）A.存在点，使得平面B.三棱锥的体积为定值C.以为直径的球的表面积为D.若线段与平面交于点，则点的轨迹长度为11.双曲线的左，右焦点分别为，，渐近线为，，过作圆的切线，为切点，直线交双曲线右支于点、为线段的中点，则下列选项正确的是（）A.直线的倾斜角为或B.以为直径的圆与圆相交C.D.动点到的距离为，到的距离为，，则动点的轨迹为两条直线，且这两条直线的斜率之积为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则__________．13.将杨辉三角中的所有“1”去除，将剩下的数按从上到下，从左到右的顺序依次排列，构成一个数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则这个数列的前21项和__________．14.将1，2，3，4，5，6这6个数排在图中，，，，，六个位置，则任意相邻两数之积不超过20的概率为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，符合条件的有两个，求的取值范围．16.为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛．（1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为．（i）求的分布列及其数学期望；（ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率；（2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望．17.如图，在三棱锥中，，，且，，，．（1）求长；（2）求平面与平面夹角的余弦值．18.已知正项数列中，，．（1）证明：；（2）已知．（i）讨论函数的单调性；（ii）证明：时，．19.如图，已知椭圆的长轴．短轴分别为，，．，，，为线段上的动点（不含端点）．直线与轴交于点，直线与交于点．（1）求过点且与椭圆相切的一条直线的方程；（2）证明：点在椭圆上；（3）记，，求的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，或，则（）A.或 B.C. D.或答案：A解析：解答过程：或或2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：A解析：解答过程：因带量词的命题的否定为：改变量词，否定结论，故命题“，”的否定是“”.3.已知函数，若，则（）A.1或3 B.或1 C.0或 D.1或答案：D解析：解答过程：当时，，解得；当时，，解得.综上所述，或.4.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.6答案：A解析：思路：利用向量垂直的条件求出参数，再计算向量的模长.解答过程：已知，，且，因此：，解得：.所以，则5.已知，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意利用二倍角的余弦公式化为关于的一元二次方程，即可求得的值，结合角的象限从而求得．解答过程：因为，所以3(1−2sin2α化简得3sinα−2sinα因为，所以cosα=−6.已知数列，，则“数列为递增数列”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：若数列为递增数列，则成立，即充分性成立；若，又，当时，符合条件，但“数列不为递增数列”，故必要性不成立，综上，“数列为递增数列”是“”的充分不必要条件．7.已知函数为增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求出函数的导数，利用给定单调性建立不等式，分离参数并构造函数，再利用导数求出最小值即可.解答过程：函数的定义域为R，求导得，由函数是增函数，得，恒成立，令函数，求导得，令函数，求导得，函数，即在R上单调递增，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，则，所以的取值范围是.8.已知圆与直线相切于点，与圆有三条公切线，若圆心的横坐标为自然数，则满足条件的所有圆的面积之和为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由切线垂直于半径得圆心纵坐标与横坐标满足，整理已知圆方程得出圆心与半径，依据三条公切线推出两圆外切，利用点到直线距离表示圆半径，结合两点距离公式建立等式化简得到，结合为自然数且半径不为零确定取值，再代入面积公式求出面积相加得到结果.解答过程：圆与直线相切于点，切线斜率为.故圆心与连线垂直于切线，斜率为.设圆心，则，得，即.圆：化为标准式.圆心，半径.两圆有三条公切线，故两圆外切，即.设圆半径为，由相切得..由外切得，约去得.圆心横坐标为自然数，分情况讨论：时，，无解；时，，得，舍去；时，，恒成立.结合，为自然数，得.圆面积，时，；时，.故满足条件的所有圆的面积之和为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（）A.当样本相关系数的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强B.甲连续投篮两次，事件“恰好命中1次”与“两次均命中”互斥但不对立C.若一组数据“，，⋯，”的方差为3，则“，，⋯，”的方差为29D.若三名男生体测成绩的平均分为80，方差为6，两名女生的平均分为75，方差为4，则这五人的平均分为78，方差为答案：ABD解析：思路：对A：根据相关系数性质即可得；对B：得到所有可能事件，结合互斥事件与对立事件定义即可得；对C：根据方差性质计算即可得；对D：根据平均数与方差的公式计算即可得.解答过程：对A：当样本相关系数的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确；对B：甲连续投篮两次，可能事件有“两次均未命中”、“恰好命中1次”与“两次均命中”，故事件“恰好命中1次”与“两次均命中”互斥但不对立，故B正确；对C：若一组数据“，，⋯，”的方差为3，则“，，⋯，”的方差为，故C错误；对D：这五人的体测成绩的平均分为，这五人的体测成绩的方差为，故D正确.10.已知在棱长为2的正方体中，点，分别为棱、的中点，点为线段上的动点，则下列选项正确的是（）A.存在点，使得平面B.三棱锥的体积为定值C.以为直径的球的表面积为D.若线段与平面交于点，则点的轨迹长度为答案：BCD解析：思路：建立空间直角坐标系，利用空间向量共线判断A；利用空间向量证明平面，进而结合棱锥的体积公式求解判断B；利用空间向量求出，进而可得以为直径的球的半径为，进而结合球的表面积公式求解判断C；连接分别交平面于点，连接，易得，进而结合相似求解判断D.解答过程：如图，建立空间直角坐标系，则，则，设，，即，则，设平面的一个法向量为，则，取，得.对于A，若平面，则，即存在非零实数使得，则，无解，所以不存在点，使得平面，故A错误；对于B，由于，则，因为平面，所以平面，而点为线段上的动点，则点到平面的距离为定值，而为定值，则为定值，故B正确；对于C，因为，所以以为直径的球的半径为，则以为直径的球的表面积为，故C正确；对于D，由B知，平面，连接分别交平面于点，连接，由于平面平面，平面，则，由于，则，所以，由C知，，则，因此，若线段与平面交于点，则点的轨迹长度为，故D正确.11.双曲线的左，右焦点分别为，，渐近线为，，过作圆的切线，为切点，直线交双曲线右支于点、为线段的中点，则下列选项正确的是（）A.直线的倾斜角为或B.以为直径的圆与圆相交C.D.动点到的距离为，到的距离为，，则动点的轨迹为两条直线，且这两条直线的斜率之积为3答案：ACD解析：思路：根据双曲线方程确定基本参数，再逐一分析每个选项.解答过程：已知双曲线方程为，则，，，故，焦点，，渐近线方程：.选项A，过作圆的切线，设切线斜率为，切线方程为.圆心到切线的距离等于半径：，解得，故直线的倾斜角为或，A正确；选项B，是的中点，是的中点，故是的中位线，.根据双曲线定义：，即，故.以为直径的圆的圆心为（中点），半径，圆心距.圆心距与半径的关系：，故两圆位置关系为外切，而非相交，B错误；选项C，在中，，，故.又，因此：，C正确；选项D设动点，渐近线，，则：.由，得，去掉绝对值符号可得两条直线：和，整理得斜率分别为：，斜率之积：，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则__________．答案：1解析：解答过程：由可得，又，则.13.将杨辉三角中的所有“1”去除，将剩下的数按从上到下，从左到右的顺序依次排列，构成一个数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则这个数列的前21项和__________．答案：240解析：思路：利用次二项式系数对应杨辉三角形的第行，然后令得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．解答过程：次二项式系数对应杨辉三角形的第行，例如，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令，就可以求出该行的系数之和，第1行为，第2行为，第3行为，以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前项和为，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则，可得当，去除两端的“1”可得，则此数列前21项的和为．14.将1，2，3，4，5，6这6个数排在图中，，，，，六个位置，则任意相邻两数之积不超过20的概率为__________．答案：##0.3解析：思路：先得到6不能与4或5相邻，结合组合知识进行求解解答过程：任意相邻两数之积不超过20，则6不能与4或5相邻，故6的两侧可以为1，2，可以为1，3，也可以为2，3；又6的两侧共有种情况安排，综上，任意相邻两数之积不超过20的概率为；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，符合条件的有两个，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正弦定理及恒等变形化简得，结合三角形内角得到角；（2）法一：由正弦定理得，即有两解，且，进而得到，再求即可；法二：根据结论求解．（1）解：，，，又，则，，为的内角，；（2）法一：，，有两解，又，，，，法二：有两解，，即，．16.为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛．（1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为．（i）求的分布列及其数学期望；（ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率；（2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望．答案：（1）（i）分布列见解析，2；（ii）（2）244.8元解析：思路：（1）（i）分析可知的可能取值有1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望；（ii）根据题意结合条件概率公式运算求解；（2）的可能取值为0，100，200，600，结合二项分布求对应概率和期望.（1）（i）由题意可知：的可能取值有1，2，3，则；；；所以的分布列为X123P且的期望；（ii）由条件概率公式得.（2）设“选手乙获得的奖金”为随机变量Y，则的可能取值为0，100，200，600，则；；；；所以，所以乙获得的奖金的数学期望为244.8元.17.如图，在三棱锥中，，，且，，，．（1）求长；（2）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）2（2）解析：思路：（1）法一：构造矩形，再利用线面垂直的判定定理与性质定理结合勾股定理计算即可得；法二：借助空间向量线性运算及模长与数量积的关系计算即可得；（2）建立适当空间直角坐标系后，分别求出平面与平面的法向量，再用空间向量夹角公式计算即可得.（1）法一：过点作，且，连接，，，，在中，，即，且，，∴四边形为矩形，，，又，，平面，，平面，又，平面，平面，，∴在中，；法二：，，，，，，，，，；（2）法一：结合（1）法一，以为原点，，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，设平面的一个法向量，则，即，取，得，，，，，设平面的一个法向量，则，即，取，得，，，，平面与平面夹角的余弦值为.法二：以为原点，，所在直线为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，，，，，，又，∴y0又，，即−y02×1=−1，，又，设平面的一个法向量，则，即，取，得，，设平面的一个法向量，则，即，取，得，，∴平面与平面夹角的余弦值为.18.已知正项数列中，，．（1）证明：；（2）已知．（i）讨论函数的单调性；（ii）证明：时，．答案：（1）证明见解析；（2）（i）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（ii）证明见解析.解析：思路：（1）构造函数并利用导数确定单调性，进而证明不等式.（2）（i）求出函数的导数，按分类讨论的符号即可；（ii）利用单调性可得，再利用累加法推理得证.（1）设函数，求导得函数在上单调递减，，则当时，恒成立，由，得，而，因此，数列单调递减，所以（2）（i）函数的定义域为，求导得，设函数，，当，即时，，，函数在上单调递