2025-2026学年江西赣州立德虔州高级中学高一下学期6月素养训练数学试卷-含解析

/数学一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数满足，则的虚部为（）A.1 B. C. D.2.已知向量，，若与共线，则实数（）A. B.－2 C. D.23.函数的最小正周期是（）A.2π B.π C. D.4.在中，，，，则（）A. B. C. D.5.已知，则（）A. B. C. D.6.设甲：，乙：，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7.如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（）A. B. C. D.8.设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，的平分线交边于点D，则线段的长度为（）A. B. C. D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数，则（）A.的实部是 B.C. D.在复平面内对应的点位于第四象限10.已知向量，，其中，则下列说法正确的是（）A.若，则的值为 B.若，则与的夹角为锐角C.若，则的值为 D.若，则11.已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（）A.B.C.的图象关于点中心对称D.在上的值域为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______.13.已知，复数，则___________.14.如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，从点测得.已知楼高，则大厦的高__________.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求;（2）设函数，求的值域和单调区间．16.如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点P．（1）求的值；（2）求证：．17.记的内角，B，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，的面积为，求边上的高.18.已知的内角的对边为，且（1）求;（2）若的面积为①已知为的中点，且，求底边上中线的长;②求内角的角平分线长的最大值.19.已知函数.（1）求的零点；（2）设函数的最大值为，求的解析式；（3）若任意，存在，使，求实数的取值范围.

数学一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数满足，则的虚部为（）A.1 B. C. D.答案：B解析：思路：由复数的除法结合复数的虚部计算可得.解答过程：由，得的虚部为.故选：B2.已知向量，，若与共线，则实数（）A. B.－2 C. D.2答案：D解析：思路：先求得向量的坐标，再根据与共线求解.解答过程：解：因为向量，，所以向量，因为与共线，所以，解得，故选：D3.函数的最小正周期是（）A.2π B.π C. D.答案：C解析：思路：对于正切函数，其最小正周期公式为.解答过程：由题意可得.故选：C4.在中，，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由余弦定理直接计算求解即可.解答过程：由题意得，又，所以.故选：A5.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.解答过程：因为，所以，，所以，故选：B.6.设甲：，乙：，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B解析：思路：根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.解答过程：当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B7.如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可解答过程：因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，所以,故选：A8.设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，的平分线交边于点D，则线段的长度为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意利用等面积法结合面积公式运算求解即可.解答过程：由题意可知：，因为，则，即，解得.故选：A.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数，则（）A.的实部是 B.C. D.在复平面内对应的点位于第四象限答案：AD解析：思路：由复数的四则运算得到，进而逐项判断即可.解答过程：，则，所以的实部是，，，在复平面内对应的点坐标为，第四象限，所以AD正确，BC错误，故选：AD10.已知向量，，其中，则下列说法正确的是（）A.若，则的值为 B.若，则与的夹角为锐角C.若，则的值为 D.若，则答案：AC解析：思路：由向量垂直的坐标表示直接计算即可判断A；由向量夹角为锐角得且与不共线，列式求解即可判断B；由向量平行的坐标表示直接计算即可判断C；先由向量垂直的坐标表示直接计算求解t，再依次计算相应向量模长即可判断D.解答过程：对于A，因为，所以，解得，故A正确；对于B，若与的夹角为锐角，则，且与不共线，所以，解得且，所以当且时与的夹角为锐角，故B错误；对于C，因为，所以，解得，故C正确；对于D，由题意得，.因为，所以，解得，当时，，，此时，，，故D错误.故选：AC.11.已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（）A.B.C.的图象关于点中心对称D.在上的值域为答案：ABD解析：思路：根据函数经过的特殊点，结合正弦型函数的对称性和最值性质逐一判断即可.解答过程：A：由函数图象可知该函数过点，且最低点坐标为，于是有，设该函数的最小正周期为，则有，因为，所以由，所以本选项正确；B：由上可得，，即，因为该函数过，所以有，又因为，所以令，，即，所以本选项正确；C：因为，所以的图象不关于点中心对称，因此本选项不正确；D：当时，令，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，因此在上的值域为，故本选项正确，故选：ABD三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______.答案：解析：思路：设该扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，根据扇形的弧长和面积公式可得出关于、的方程组，即可求解.解答过程：设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为，由题意可得，解得，因此，这个扇形的圆心角的弧度数为.故答案为：.13.已知，复数，则___________.答案：5解析：思路：根据复数的乘法运算及复数相等求得，再根据复数模的公式求解即可.解答过程：由，则，解得，所以.故答案为：5.14.如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，从点测得.已知楼高，则大厦的高__________.答案：解析：思路：在中根据正弦定理可得，即可利用锐角三角函数求解.解答过程：如图，在中，，所以.在中，因为，所以.由正弦定理得,故，故，在中，易得.故答案为：60.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求;（2）设函数，求的值域和单调区间．答案：（1）（2）值域为，单调递减区间为，单调递增区间为.解析：思路：（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解；（2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间.（1）由题意，所以；（2）由（1）可知，所以，所以函数的值域为，令，解得，令，解得，所以函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为.16.如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点P．（1）求的值；（2）求证：．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得；（2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证.（1）因为，所以，所以，所以；（2）因为，所以，所以，所以，即，所以．17.记的内角，B，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，的面积为，求边上的高.答案：（1）（2）2解析：思路：（1）利用正弦定理，可把转化成，再借助辅助角公式和三角形内角的取值范围，可求角.（2）借助，可得，再利用余弦定理可求边，再利用三角形面积公式可求边上的高.（1）由正弦定理，得，又，所以，所以，整理，得，即，又，所以，所以，故.（2）由的面积为，得，所以.由余弦定理，得，所以，设边上的高h，由，解得.18.已知的内角的对边为，且（1）求;（2）若的面积为①已知为的中点，且，求底边上中线的长;②求内角的角平分线长的最大值.答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可.（2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可.（1）由正弦定理得，即，故，因为，所以，所以.（2）①由（1）知，因为的面积为，所以，解得，且，解得，由于，所以，所以，即.②因为为角的角平分线，所以，由于，得到，由于，所以，由二倍角公式得，则，解得，又，所以，由于，当且仅当时，等号取得到，故，故.19.已知函数.（1）求的零点；（2）设函数的最大值为，求的解析式；（3）若任意，存在，使，求实数的取值范围.答案：（1）；