2025-2026学年江西宜春赣西学校高二下学期5月素养测试数学试卷-含解析

/数学一、单选题（共40分）1.已知集合，，则（

）A. B. C. D.2.已知是等差数列，且，，此数列的首项与公差依次为（）A.19， B.21， C.15， D.16，3.函数的导函数（）A. B. C. D.4.定义在上的函数，则（）A. B. C.2 D.45.已知为等差数列，为等比数列，，则（）A.4 B.7 C.8 D.156.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（）．A.781万元，60万元 B.525万元，200万元C.781万元，200万元 D.1122万元，270万元7.若函数在区间有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、多选题（共18分）9.已知正项等比数列的公比为，是其前项和，若，且，则（）A. B.是数列中的项C. D.，，成等差数列10.（多选）在数列中，若，则称数列为“凸数列”．已知数列为“凸数列”，且，，设数列的前项和为，则（）A. B. C. D.11.设函数，则（）A.有三个零点B.是的极小值点C.当时，D.曲线上存在无数多对互相平行的切线三、填空题（共15分）12.用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，当长方体的体积最大时，该长方体的长为______m．13.设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________.14.若直线与曲线相切，则的最小值为________．四、解答题（共77分）15.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程;（2）求函数的单调区间.16.已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）．（1）求该物体在内的平均速度；（2）求该物体的初速度；（3）求该物体在时的瞬时速度．17.已知数列满足．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18.已知函数，且．（1）求的值；（2）若．（ⅰ）求在上的最大值和最小值；（ⅱ）若使得成立，求实数m的取值范围．19.已知函数，若存在数列满足．称是的“伴随数列”，称为数列的“伴随函数”．（1）若数列的“伴随函数”，求最小的正数的值，使得数列为等比数列．（2）若某数列的“伴随函数”，证明：；（3）若某数列的“伴随函数”，证明：．

数学一、单选题（共40分）1.已知集合，，则（

）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以或，所以.2.已知是等差数列，且，，此数列的首项与公差依次为（）A.19， B.21， C.15， D.16，答案：A解析：解答过程：设等差数列的公差为，由，，可得，解得，所以数列的首项与公差依次为.3.函数的导函数（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，，所以函数的导函数.4.定义在上的函数，则（）A. B. C.2 D.4答案：A解析：思路：根据导数的定义求解.解答过程：5.已知为等差数列，为等比数列，，则（）A.4 B.7 C.8 D.15答案：B解析：思路：设出公差与公比，由题中所给条件列方程组即可求出公差与公比，即可得解.解答过程：设的公差为，的公比为，则由题可知，有，解得或（舍去），则，因此.故选：B.6.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（）．A.781万元，60万元 B.525万元，200万元C.781万元，200万元 D.1122万元，270万元答案：C解析：思路：根据等差数列和等比数列前项和求解即可.解答过程：由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为，项数为5的等比数列，所以这五年投入的资金总额是（万元）．由题意知这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5的等差数列，所以这五年的旅游收入总额是（万元）．故选：C．7.若函数在区间有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：对函数求导后，由题意可知导函数在有2个不同的零点，从而可得方程有两个不同的实根，再结合二次函数的性质可求得结果.解答过程：函数的定义域为，，在有两个不同极值点.分母恒成立，令在上有两个不同的正实根.函数，两个不同根都在需满足：①判别式，结合得；②对称轴，解得.③区间端点，解得​；恒成立.综上，.8.已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：设，求导并利用导数结合的单调性和奇偶性分析的单调性和奇偶性，从而转化不等式为，进而求出实数的取值范围．解答过程：设，则，又在上，，则，函数在上单调递减，又是定义在上的奇函数，则，，即，函数为上的奇函数，在上单调递减，又，，即，，解得．二、多选题（共18分）9.已知正项等比数列的公比为，是其前项和，若，且，则（）A. B.是数列中的项C. D.，，成等差数列答案：ABD解析：思路：由已知结合等比数列的通项公式求出，然后结合等比数列与等差数列的性质及求和公式即可求解．解答过程：正项等比数列的公比为，，且，则，即，即或舍，A正确；因为，则，，令，则，是数列的第项，B正确；，C错误；因为，，则，所以，，成等差数列，D正确．10.（多选）在数列中，若，则称数列为“凸数列”．已知数列为“凸数列”，且，，设数列的前项和为，则（）A. B. C. D.答案：AC解析：思路：首先根据“凸数列”的定义推导递推关系，计算数列前几项确定周期，结合周期性质判断各项值与前项和即可.解答过程：由“凸数列”定义，移项得递推公式：，，则，已知，则，，，，可得数列是周期为6的周期数列，且一个周期的和。选项A：由计算得，正确；选项B：由计算得，错误；选项C：，故，正确；选项D：，错误.11.设函数，则（）A.有三个零点B.是的极小值点C.当时，D.曲线上存在无数多对互相平行的切线答案：BCD解析：解答过程：对于A，令，解得或，所以有两个零点，A错误；对于B，，所以当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，B正确；对于C，，当时，，所以，所以当时，，C正确；对于D，，所以对于任意的实数，都有两个解，所以曲线上存在无数多对互相平行的切线，D正确.三、填空题（共15分）12.用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，当长方体的体积最大时，该长方体的长为______m．答案：2解析：思路：设长方体的宽为，体积为，则，利用导数求出的最大值即可求解.解答过程：设长方体的宽为，则长方体的长为，故长方体的高为，则解得，设长方体的体积为，所以，则，令，解得，令，解得，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，此时长为．故答案为：213.设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________.答案：解析：思路：根据等差数列下标和的性质以及前项和公式求得正确答案.解答过程：因为为等差数列，所以.14.若直线与曲线相切，则的最小值为________．答案：##解析：思路：利用相切构造方程①，利用导数的几何意义构造方程②，联立①②得出关系，一元化，求最小值．解答过程：已知直线与曲线相切，设切点横坐标为，则①，曲线求导得，则②，解得，代入①得，，故，，当时，取得最小值，最小值为．四、解答题（共77分）15.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程;（2）求函数的单调区间.答案：（1）（2）单调递增区间为和，单调递减区间为.解析：（1），由得曲线在点处的切线方程为；（2）由得或；得；故的单调递增区间为和，单调递减区间为.16.已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）．（1）求该物体在内的平均速度；（2）求该物体的初速度；（3）求该物体在时的瞬时速度．答案：（1）（2）（3）．解析：思路：（1）根据平均速度的概念求平均速度.（2）根据求初速度.（3）根据求该物体在时的瞬时速度.（1）因为该物体在内的时间变化量，该物体在内的位移变化量，所以该物体在内的平均速度为．（2）求该物体的初速度即求该物体在时的瞬时速度．因为该物体的位移在附近的平均变化率．当无限趋近于0时，无限趋近于，所以该物体的初速度为．（3）该物体在时的瞬时速度即为位移在处的瞬时变化率．因为该物体的位移在附近的平均变化率，当无限趋近于0时，无限趋近于，所以该物体在时的瞬时速度为．17.已知数列满足．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．答案：（1）证明见解析，（2）解析：思路：（1）根据递推公式和等差数列定义以及等差数列通项公式证明、求解即可；（2）表示出数列的通项公式，然后利用裂项相消法求解即可.（1）证明：显然，对两边同时取倒数，得，即，所以数列是公差为2的等差数列，又，所以，所以．（2）因为，所以，则数列的前项和所以.18.已知函数，且．（1）求的值；（2）若．（ⅰ）求在上的最大值和最小值；（ⅱ）若使得成立，求实数m的取值范围．答案：（1）（2）（ⅰ）最大值为，最小值为；（ⅱ）解析：思路：（1）对函数求导，代入求出的关系，进而求解；（2）（ⅰ）求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合端点值得出在上的最大值和最小值；（ⅱ）把存在性问题转化成在上的最大值，进而构造不等式求出实数m的取值范围．（1）函数求导得，已知，则，．（2）（ⅰ），则，求导得：，，在上恒成立，导数符号由决定：当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；在处取得极大值，即为最大值，，，，，在上的最小值为，最大值为；（ⅱ）已知使得成立，则在上的最大值，在上的最大值为，，解得，又，，的取值范围为．19.已知函数，若存在数列满足．称是的“伴随数列”，称为数列的“伴随函数”．（1）若数列的“伴随函数”，求最小的正数的值，使得数列为等比数列．（2）若某数列的“伴随函数”，证明：；（3）若某数列的“伴随函数”，证明：．答案：（1）（2）证明见解析（3）证明见解析解析：思路：（1）求出前3项，利用等比中项的性质得出A的表达式求最值；（2）构造函数，利用导数判断单调性求最值证明不等式