2025-2026学年辽宁省辽阳市第一高级中学高一下学期6月阶段检测数学试卷-含解析

/数学考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求）1.设复数满足，则（）A. B. C. D.2.函数图象的一条对称轴方程是A. B. C. D.3.已知平面向量，满足，，则向量在向量上投影数量为（）A. B.1 C. D.4.已知，则的值为（）A. B. C. D.5.在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰非等边三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形6.如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，，，且三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合要求，部分选对得部分分，错选不得分）9.下列说法正确的是（）A.若互为共轭复数，则为实数B.对于复数，若，则C.若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根D.复数z满足，则的最大值为10.在中，角的对边分别为，外接圆的半径为，且，则下列结论正确的是（

）A.B.C.面积的最大值为D.若，且D为BC上的中点，则11.已知函数，其图象的一个对称中心为，下列说法正确的有（）A.的最小正周期为B.若函数在区间上单调，则的最大值为C.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位可得到的图象D.若函数在区间上有唯一零点，则第II卷（主观题）三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）12.如图，已知矩形ABCD截圆A所得的劣弧（弧长小于半圆的弧）BE的长为，，则矩形在圆外部分的面积为________．13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半径为的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为__________.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_____；的最大值为_______.四、解答题（本题共5小题，共77分）15.已知向量与向量的夹角为，，，记向量，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．16.已知函数的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为．（1）求函数的对称轴方程（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域．17.如图是一个正四棱台的石料，上、下底面的边长分别为和，高．（1）求四棱台的表面积；（2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，求圆台的体积．18.在①；②；③向量与平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知内角的对边分别为,且满足______.（1）求角；（2）若为锐角三角形,且,求周长的取值范围；（3）在（2）条件下,若边中点为,求中线的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分）19.已知函数其图像的一个对称中心是将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像．(1)求函数的解析式；(2)若对任意当时，都有求实数的最大值；(3)若对任意实数在上与直线的交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围．

数学考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求）1.设复数满足，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先使用复数的除法法则化简计算，再求出模长.解答过程：由题可得，所以.故选：A.2.函数图象的一条对称轴方程是A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因由可得，对照各选项，只有C项在时可以得到.3.已知平面向量，满足，，则向量在向量上投影数量为（）A. B.1 C. D.答案：A解析：解答过程：由，得，而，则向量在向量上投影数量为.4.已知，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用二倍角的正弦公式结合同角三角函数的基本关系化简原式，最后代入求值即可.解答过程：由题意得，故C正确.故选：C5.在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰非等边三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形答案：C解析：解答过程：在中，，又可得，从而；利用余弦定理和面积公式可将化为，所以，从而，故是等边三角形.6.如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用数量积的几何意义可得点与点或点重合时，取最大，结合数量积公式计算即可得，再利用对称性可得其最小值，即可得其范围.解答过程：如图，作，则，由，为在上的投影，故当点与点或点重合时，取最大值，即，又,所以，由对称性可知.所以的取值范围是．7.已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：将看成一个整体，找出其范围，再根据正弦函数的图像和性质列出不等式求解.解答过程：，令，得.，.令，由的图象得：，化简得.故选：D.8.已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，，，且三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求出的外接圆半径，结合三棱锥体积的最大时，S到平面的距离最大，确定S的位置，从而在中，列式求解，求出外接球半径，即可求得答案.解答过程：设三棱锥的外接球球心为O，在中，，，则,而，故，设的外接圆半径为，其外心为，则，故为定值；故三棱锥体积的最大时，S到平面的距离最大，设此时S到平面的距离为h，则，即得；此时三点共线，且，由于平面，平面，故，设外接球半径为R，则在中，，则，解得，故外接球的表面积为，故选：C方法提示：关键点睛：解答本题的关键在于根据三棱锥体积的最大值，确定S的位置，从而求出外接球的半径.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合要求，部分选对得部分分，错选不得分）9.下列说法正确的是（）A.若互为共轭复数，则为实数B.对于复数，若，则C.若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根D.复数z满足，则的最大值为答案：ACD解析：思路：A选项，设，则，利用复数乘法法则得到，A正确；B选项，举出反例得到B错误；C选项，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），C正确；D选项，利用复数几何意义得到z对应的点的轨迹，从而得到的最大值为.解答过程：对于A选项，设，则，为实数，A对；对于B，若，例如，满足，但，，即，故B错误；对于C，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），所以为一元二次方程的两根，C对；对于D，由复数的几何意义，可知z对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，表示圆周上的点到点的距离，所以的最大值为，故D对．故选：ACD10.在中，角的对边分别为，外接圆的半径为，且，则下列结论正确的是（

）A.B.C.面积的最大值为D.若，且D为BC上的中点，则答案：ABD解析：思路：借助正弦定理将边化为角后借助诱导公式与三角形内角和关系计算即可得A；借助正弦定理可得B；借助余弦定理与基本不等式计算可得C；由结合余弦定理计算可得、，再借助向量线性运算法则与数量积公式计算即可得D.解答过程：对A：由正弦定理将边化为角可得，由，故，由，则，故，即，则，故A正确；对B：由外接圆的半径为，则，故，故B正确；对C：由余弦定理可得，即，当且仅当时，等号成立，故，则，故C错误；对D：由，则，又，则，，由，则，即，故，故D正确.11.已知函数，其图象的一个对称中心为，下列说法正确的有（）A.的最小正周期为B.若函数在区间上单调，则的最大值为C.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位可得到的图象D.若函数在区间上有唯一零点，则答案：AC解析：思路：利用辅助角公式结合条件求出的解析式，再根据各选项的要求，结合正弦型函数的性质与诱导公式，图象变换以及函数与方程的关系逐一判断即得.解答过程：因的图象的一个对称中心为,则，则得.对于A，的最小正周期为，故A正确；对于B，由，可得，因函数在区间上单调，则有，解得，故的最大值为，故B错误；对于C，将函数的图象向右平移个单位，得到，再向上平移1个单位可得到，而，故C正确；对于D，由可得，依题意，方程在上只有1个实根，也即直线与函数在上有唯一交点.因时，，则作出函数在上的图象，要使直线与函数在上有唯一交点，需使或，解得或，故D错误.第II卷（主观题）三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）12.如图，已知矩形ABCD截圆A所得的劣弧（弧长小于半圆的弧）BE的长为，，则矩形在圆外部分的面积为________．答案：解析：思路：由弧长公式求出，再由矩形面积减去扇形面积即可.解答过程：依题意，所以，又，,所以，所以，所以矩形在圆外部分的面积.13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半径为的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为__________.答案：解析：解答过程：连接相交于点.则点为球心,.设正方体的边长为,则.在中,由勾股定理可得，解得.则正方体的体积.故答案为：.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_____；的最大值为_______.答案：①.3②.解析：思路：根据题意利用余弦定理可得；利用余弦定理消去b结合基本不等式可得，进而分析的最大值.解答过程：由余弦定理和，可得，所以，则；由余弦定理，，当且仅当，即时，等号成立，而，由可得为锐角，且，则，故的最大值为.四、解答题（本题共5小题，共77分）15.已知向量与向量的夹角为，，，记向量，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）先根据平面向量数量积的运算公式将式子化简，进而求得答案；（2）根据平面向量基本定理即可求得答案.（1）因为，所以，即，解得：.（2），则存在实数，使，即，因为与不共线，所以，解得.16.已知函数的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为．（1）求函数的对称轴方程（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域．答案：（1）若，函数的对称轴方程为．若，函数的对称轴方程为．（2）.若，函数的值域为，若，函数的值域为.解析：思路：(1)化简，根据一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为即可求出，结合正弦函数的对称轴方程求解即可；(2)根据图形的变换得到，利用整体法即可求出函数的值域．（1）由已知因为函数的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为，所以若，则令，解得故函数的对称轴方程为．若，则，令，解得故函数的对称轴方程为．综上，若，函数的对称轴方程为．若，函数的对称轴方程为．（2）若，将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，所以故函数的值域为.若，将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，，所以，故函数的值域为综上，若，函数的值域为，若，函数的值域为.17.如图是一个正四棱台的石料，上、下底面的边长分别为和，高．（1）求四棱台的表面积；（2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，求圆台的体积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）求出侧面的斜高，得到侧面积，再与上下底面积求和得到表面积；（2）最大的圆台是上底面圆与棱台上底面正方形相切，高为棱台的高时，求其体积即可.（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取中点，连结.则，所以，所以四棱台的表面积.（2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高.则圆台上底面圆半径，下底面圆半径，高，则圆台的体积为．18.在①；②；③向量与平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知内角的对边分别为,且满足______.（1）求角；（2）若为锐角三角形,且,求周长的取值范围；（3）在（2）条件下,若边中点为,求中线的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分）答案：（1）条件选择见解析,（2）（3）解析：思路：（1）选①根据正弦定理化简，然后转化成余弦值即可；选②根据正弦定理化简即可求到余弦值，然后求出角度；选③先根据向量条件得到等式，然后根据正弦定理即可求到正切值，最后求出角度.（2）根据（1）中结果和，把周长转化成，然