2025-2026学年山东东营神州天立高级中学高一下学期6月期末数学试卷-含解析

/数学考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数z满足（为z的共轭复数），则（）A. B.2 C. D.33.已知平面向量，满足，，，则与的夹角余弦值为（）A. B. C. D.4.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.6.已知等差数列的前n项和为，若，，则使得取得最大值的n的值为（）A.5 B.6 C.7 D.87.某班级开展研学活动，安排5名同学去3个不同场馆志愿服务，每个场馆至少安排1名同学，每名同学只去1个场馆，则不同的安排方案共有（）A.120种 B.150种 C.180种 D.240种8.已知函数，则函数在上的最小值为（）A. B. C. D.1二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知函数，其中，则下列说法正确的是（）A.当时，在上单调递增B.当时，存在极小值C.当时，在上无零点D.当时，在处取得最小值10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（）A.椭圆C的离心率为B.周长为C.点P到焦点的距离取值范围为D.椭圆上不存在点P，使得11.在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则下列说法错误的是（）A.直线与直线为异面直线B.直线与平面平行C.三棱锥的体积为D.直线与直线所成角的余弦值为三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知曲线，则该曲线在处的切线方程为______________.13.已知等比数列的各项均为正数，且，，则数列的通项公式为______________.14.已知随机变量，且，若随机变量，则______________.四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知数列为递增的等差数列，且，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.16.在长方体中，，，E为棱上一动点.（1）求证：；（2）当平面时，求线段的长度；（3）在（2）的条件下，求底面正方形的内切圆上点P到平面距离的最大值.17.已知函数.（1）求函数的单调区间与极值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围.18.某工厂生产一种精密零件，为把控产品质量，质检部门对生产的零件进行抽样检测，已知单个零件的合格率为0.8，每次抽检相互独立.（1）连续抽检4个零件，求至多有1个不合格零件的概率；（2）若每次抽检5个零件，记不合格零件数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；（3）为优化生产工艺，工厂改进设备后合格率提升至0.95，现抽检100个零件，估计不合格零件数的均值.19.已知椭圆，椭圆上一点到两焦点的距离之和为．（1）求椭圆的方程和离心率；（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为0，求直线的方程．

数学考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由得，即，故；由得，故，所以.2.已知复数z满足（为z的共轭复数），则（）A. B.2 C. D.3答案：C解析：解答过程：设，则，将，代入，两边同乘整理得，则，解得，于是，.3.已知平面向量，满足，，，则与的夹角余弦值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设，的夹角为，因为，，，，解得.4.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：对求导得：，由题意在恒成立，即在恒成立，时，，故.5.已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据弦长和半径求出弦心距，利用点到直线的距离公式得到的关系式，从而求离心率.解答过程：双曲线渐近线，即，因为渐近线被圆所截得的弦长为，则圆心到渐近线的距离，解得，则双曲线方程为，故，，则，故双曲线C的离心率为.6.已知等差数列的前n项和为，若，，则使得取得最大值的n的值为（）A.5 B.6 C.7 D.8答案：B解析：思路：利用等差数列的前n项和为的性质求解本题.解答过程：，，故，，所以，当时，最大.7.某班级开展研学活动，安排5名同学去3个不同场馆志愿服务，每个场馆至少安排1名同学，每名同学只去1个场馆，则不同的安排方案共有（）A.120种 B.150种 C.180种 D.240种答案：B解析：思路：先分类讨论5名同学的分组情况，分组之后将各组的同学分到3个场馆只需全排列即可.解答过程：依题意，5名同学有3，1，1和2，2，1两种分组方式，故方案数为.8.已知函数，则函数在上的最小值为（）A. B. C. D.1答案：A解析：思路：先使用二倍角公式化简，再使用辅助角公式合并为正弦型函数，最后求出函数在上的最小值.解答过程：所以，，由，得，故所以，函数在上的最小值为.二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知函数，其中，则下列说法正确的是（）A.当时，在上单调递增B.当时，存在极小值C.当时，在上无零点D.当时，在处取得最小值答案：ABD解析：思路：通过求导分析函数的单调性，从而得到函数的极值和最值来进行判断.解答过程：选项A：当时，，在上单调递增，故选项A正确；选项B：，求导可得，因为，所以当时，解得，因此当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以存在极小值，故选项B正确；选项C：当时，，在上单调递增，因为，，所以在上有零点，故选项C错误；选项D：当时，，求导可得，当时，解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，因此在处取得最小值.故选项D正确.10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（）A.椭圆C的离心率为B.周长为C.点P到焦点的距离取值范围为D.椭圆上不存在点P，使得答案：ABC解析：解答过程：，则，椭圆C的离心率为，故A正确；周长为，故B正确；点P到焦点的距离取值范围为，即，故C正确；当点位于短轴顶点时最大，此时，则，此时，故D错误.11.在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则下列说法错误的是（）A.直线与直线为异面直线B.直线与平面平行C.三棱锥的体积为D.直线与直线所成角的余弦值为答案：BCD解析：思路：利用异面直线的判定方法可判断A，由点和到平面的距离不相等可判断B，由三棱锥的体积公式可判断C，将平移并结合余弦定理可判断D.解答过程：A选项，直线平面，而与平面相交，且交点不在直线上，所以直线与直线为异面直线，故A正确；B选项，点到平面的距离为1，而点到平面的距离为2，所以直线与平面不平行，故B错误；C选项，三棱锥的体积，故C错误；D选项，连接，交于点，连接，由是的中点，是的中点，所以，则直线与直线所成角为或其补角，，，，，所以直线与直线所成角的余弦值为，故D错误.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知曲线，则该曲线在处的切线方程为______________.答案：解析：思路：由题可得切线斜率及切线所过点，然后由点斜式可得切线方程.解答过程：设，则.由题可得切线斜率为，切线过点，则切线方程为：.13.已知等比数列的各项均为正数，且，，则数列的通项公式为______________.答案：解析：解答过程：由等比性质可得：，结合得，即，解得，又数列各项均为正数，故，，故数列的通项公式为.14.已知随机变量，且，若随机变量，则______________.答案：0.2##解析：思路：由正态分布密度曲线对称性结合题设可得答案.解答过程：因随机变量，则随机变量对应正态分布密度曲线对称轴为，从而，又，则.又，从而.四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知数列为递增的等差数列，且，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）设出等差数列的公差，再根据等比中项列式求解即可.（2）根据（1）得到的通项公式，以及裂项相消法求解即可.（1）设公差为，由题意，即，解得，故.（2）已知，则，所以.16.在长方体中，，，E为棱上一动点.（1）求证：；（2）当平面时，求线段的长度；（3）在（2）的条件下，求底面正方形的内切圆上点P到平面距离的最大值.答案：（1）因为长方体，且，所以平面，且，因为平面，所以，因为平面，平面，且，所以平面，平面，所以.（2）1（3）解析：思路：（1）由长方体的结构特征及线面垂直的判定和性质定理证明结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，设（），标注相关点坐标，应用向量法求平面的法向量，结合线面平行有求参数值，即可得；（3）结合（2），设内切圆上的点，，确定相关向量的坐标，应用点面距离的向量求法得点P到平面距离，设，，应用三角恒等变换、正弦函数的性质求最大值.（1）略（2）以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则，，，，，设（），则，，，，设平面的法向量为，则，令，解得，，故，因为平面，所以，即，解得，所以线段的长度为1；（3）由（2）知，，，平面的法向量，底面正方形的内切圆圆心为，半径.设内切圆上的点，，则，所以.点P到平面距离，设，，则，其中，，当时，取最大值，为，所以点P到平面距离的最大值为.17.已知函数.（1）求函数的单调区间与极值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围.答案：（1）在上单调递增，无极值（2）解析：思路：（1）求导得到的单调性可得结果；（2）将恒成立问题转化为求在上的最小值，解不等式可得结果.（1）的定义域为，，故在上单调递增，无极值.（2），由恒成立可得，即.18.某工厂生产一种精密零件，为把控产品质量，质检部门对生产的零件进行抽样检测，已知单个零件的合格率为0.8，每次抽检相互独立.（1）连续抽检4个零件，求至多有1个不合格零件的概率；（2）若每次抽检5个零件，记不合格零件数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；（3）为优化生产工艺，工厂改进设备后合格率提升至0.95，现抽检100个零件，估计不合格零件数的均值.答案：（1）（2）X的分布列为：X012345P0.327680.40960.20480.05120.00640.00032数学期望为1，方差为0.8（3）5解析：思路：（1）先求得单个零件的不合格率，再利用独立重复试验的概率求解；（2）由不合格零件数X服从二项分布求解；（3）由不合格零件数服从二项分布求解.（1）单个零件的不合格率为,P（0个不合格）,P（1个不合格）,所以连续抽检4个零件，至多有1个不合格零件的概率为：；（2）因为每次抽检的5个零件相互独立，故不合格零件数X服从二项分布，X的可能取值为0，1，2，3，4，5，相应的概率为：，则，，，，，，所以X的分布列为：X012345P0.327680.40960.20480.05120.00640.00032数学期望为，方差为；（3）因为工厂改进设备后合格率提升至0.95，所以单个零件的不合格率为：，因为每次抽检的100个零件相互独立，故不合格零件数Y服从二项分布，所以不合格零件数的均值.19.