2025-2026学年山东青岛第九中学高一下学期期中质量检测数学试卷-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则的虚部为（）A.2 B.1 C.i D.2.设向量，且，则（）A.0 B.1 C.2 D.33.给出下列四个命题：①若平面平面，直线，直线，则；②若直线直线，直线平面，直线平面，则；③若平面平面，直线，则；④若直线平面，平面平面，则．其中真命题的个数为（）A. B. C. D.4.已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（）A. B. C. D.5.如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列说法不正确的是（）A.直线与NM是异面直线 B.C.平面 D.直线CP，，AM相交于一点6.在中，，且的面积为，则外接圆的半径为（）A. B. C.2 D.47.柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为，其底面边长是3，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且平面，则点N的轨迹长为（）A.27 B. C.12 D.68.如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（）A.，间的距离为B.为纯虚数C.在复平面内对应的点位于第一象限D.若，则10.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为1，则下列命题正确的是（）A.的外接圆半径为1 B.C. D.可能为钝角三角形11.如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积随着点的运动而变化B.异面直线与所成角的取值范围是C.直线平面D.三棱锥的外接球表面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知非零向量，满足，且在向量方向上的投影向量为，则，的夹角为_____.13.如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______14.如图，在中，∠BAC＝，，P为CD上一点，且满足AP⃗=mAC⃗+12AB⃗四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，．（1）求证平面AEF；（2）若，求多面体的体积16.如图，四边形中，，，，且为锐角．（1）求；（2）求的面积．17.如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面．（1）求证：点是的中点；（2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由．18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）如图，的角平分线交于点D，且，，（i）求的长度；（ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值．19.人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度．非零向量，之间的相似度的一种定义为．（1）菱形中，，点在直线上．若，求；（2）在信息处理的过程中，有时为了增加，的相似度，会选取合适的正实数，调整为后再纳入模型计算．（i）对于任意不共线的向量，证明：；（ii）设，夹角为锐角．若，且，讨论和的大小关系，并说明理由．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则的虚部为（）A.2 B.1 C.i D.答案：B解析：思路：由复数的除法运算及虚部的概念可得结果.解答过程：由，可得，所以的虚部为1.故选：B.2.设向量，且，则（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：A解析：解答过程：向量，且，所以，，得，则.3.给出下列四个命题：①若平面平面，直线，直线，则；②若直线直线，直线平面，直线平面，则；③若平面平面，直线，则；④若直线平面，平面平面，则．其中真命题的个数为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用空间中线线、线面、面面位置关系和性质逐项判断即可得出结论.解答过程：对于①，若平面平面，直线，直线，则直线与直线无公共点，故直线与直线平行或异面，①错；对于②，若直线直线，直线平面，直线平面，则平面、平行或相交，②错；对于③，若平面平面，直线，则，③对；对于④，若直线平面，平面平面，则或，④错.故选：A.4.已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先利用圆台体积公式求出高，再根据外接球球心在上下底面圆心连线上，由球心到两底面圆周的距离相等列方程求出外接球半径，代入球的体积公式计算结果.解答过程：设该圆台的上､下底面的圆心分别为，高为，则圆台的体积为，求解可得，设该圆台外接球的球心为，则在上，设，所以，设该圆台外接球的半径为，所以，求解可得，所以该圆台外接球的体积为.5.如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列说法不正确的是（）A.直线与NM是异面直线 B.C.平面 D.直线CP，，AM相交于一点答案：C解析：思路：对于A，由异面直线判定定理可判断，对于B，由平行传递性可判断，对于C，由CM与不平行，可判断，对于D，连接，由，，可判断.解答过程：连接，点，，均在平面上，点不在平面上，所以与是异面直线，A正确．连接，因为，所以，B正确．平面，平面平面，因为CM与不平行，所以CM不平行于平面，C错误．连接，由，知共面，且平面平面，如图1，因为，所以.如图2，因为，所以，则两点重合，所以，，相交于一点，D正确．故选：C6.在中，，且的面积为，则外接圆的半径为（）A. B. C.2 D.4答案：C解析：思路：先由三角形的面积公式可求出AC的长，再由余弦定理求出BC的长，然后利用正弦定理可求出的外接圆半径.解答过程：由题意，，解得，由余弦定理得：，故，设外接圆的半径为R，由正弦定理得：，故R=2.故答案为C.方法提示：本题考查了三角形的面积公式，考查了正弦定理和余弦定理的运用，考查了计算能力，属于基础题.7.柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为，其底面边长是3，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且平面，则点N的轨迹长为（）A.27 B. C.12 D.6答案：B解析：思路：分别取，的中点，，连接，，利用线面平行证明平面平面，从而可得即为点的轨迹，即可求解.解答过程：分别取，的中点，，连接，.因为，，所以，平面，平面.所以平面.又，平面，平面.所以平面，平面，所以平面平面.所以当点在线段上运动时，有平面，所以点的轨迹长为.故B正确.故选：B.8.如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果.解答过程：如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，因为“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，所以六边形为边长为的正六边形，，所以，所以，设，则，所以，因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界），所以，所以，所以.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（）A.，间的距离为B.为纯虚数C.在复平面内对应的点位于第一象限D.若，则答案：ABD解析：思路：利用两点距离公式判断A，根据复数对应点坐标写出复数，再由乘除运算及复数的性质判断B、C，由的几何表示，利用的几何意义求最值判断D.解答过程：由图知，则，A对，由题意，，则为纯虚数，B对，，对应点坐标为不在第一象限，C错，令，，则，即圆心为原点且半径为，而表示点到圆上的点的距离，由点到圆心的距离为，所以点到圆上的点的距离最大值为，即，D对.10.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为1，则下列命题正确的是（）A.的外接圆半径为1 B.C. D.可能为钝角三角形答案：ABC解析：思路：由正弦定理有结合面积公式计算判断A；由正弦定理结合判断B；由面积公式及基本不等式判断C；利用余弦定理及正弦定理判断D.解答过程：A：设的外接圆半径为，因为的面积为，所以，故A正确；B：由，即，B选项正确；C：由，则，当时取，所以，当且仅当且时取等号，C选项正确；D：若为钝角三角形，设为钝角，，即得，由C选项知，所以，即，又因为，所以，所以与矛盾，假设不成立，同理B，C也不可能为钝角，D选项错误.11.如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积随着点的运动而变化B.异面直线与所成角的取值范围是C.直线平面D.三棱锥的外接球表面积的最小值为答案：BC解析：思路：对于A选项，连接，由平面，即直线上任意点到平面的距离相等；对于B选项，为正三角形，则当且仅当在中点时，，即可判断；对于C选项，证明平面即可，对于D选项，当为中点时，外接球半径最小，计算即可.解答过程：对于A选项，因为，所以平面，所以，为定值，即A错误；对于B选项，因为为正三角形，与所成角的范围为，即B正确；对于C选项，易知，，，，，则平面平面，可知平面，平面，即C正确；对于D选项，易知当为中点时，外接球半径最小，此时设的中心为，的中心为，的中点为，则，，，则易知，所以最小球即为以为球心，半径，表面积，即D错误．故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知非零向量，满足，且在向量方向上的投影向量为，则，的夹角为_____.答案：解析：思路：先根据向量垂直性质得到与的关系，再由投影向量得出与的关系，进而求出与的关系，最后根据向量夹角公式求出夹角.解答过程：因为，所以，即，因为在方向上的投影向量为，所以，联立，可得，所以，又因为，所以，所以，的夹角为.13.如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______答案：##解析：思路：取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG，找到异面直线所成的角或其补角即，然后找线面位置关系，求相关线段长，再利用余弦定理求解即可.解答过程：如图，取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG，则，且，，则就是异面直线与所成的角或其补角．易知平面，所以平面，所以.因为，，所以，所以由勾股定理得，又，，所以在△中，由余弦定理得，故异面直线与所成角的余弦值为．14.如图，在中，∠BAC＝，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是______答案：##解析：思路：设，，先由的面积求出，，再根据平面向量的线性运算求出，进而得到，求出，再利用基本不等式即可求出的最小值.解答过程：由S△ABC=所以AB⃗由，可得．因为P为CD上一点，所以设，，则AP=因为，所以λ=m23−2则|AP|当且仅当14AC=所以的最小值是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，．（1）求证平面AEF；（2）若，求多面体的体积答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）取的中点，连接；证明，根据线面平行判定定理证明平面.（2）求出四棱锥及三棱柱的体积，再利用割补法求出多面体的体积.（1）取AE的中点O，连接OF，OM，由O，M分别为AE，AC的中点，得，，而，且，则，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，所以平面．（2）在棱柱中，取BC中点G，连接AG，则AG为四棱锥的高，而AG=3,SBCEF由，得CC1=3，三棱柱的体积V所以多面体的体积为．16.如图，四边形中，，，，且为锐角．（1）求；（2）求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，分析可知BD是四边形外接圆的直径，再利用正弦定理可求解；（2）由面积公式即可得解.（1）由已知，∵是锐角，∴．由余弦定理可得，则．∵，∴BD是四边形外接圆的直径，∴BD是外接圆的直径，利用正弦定理知（2）由，，，，则,,又，则，因此，故的面积为．17.如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面．（1）求证：点是的中点；（2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明见解析（2）点为棱BC的中点时，平面平面，解析：思路：（1）根据线面平行的性质定理证得，再根据四边形是平行四边形得点是的中点，从而得结论；（2）若平面平面，根据面面平行的性质定理，得线面平面，再由线面平行的性质定理得，从而可确定点在棱上的位置.（1）因为平面，平面平面，又平面，所以，因为四边形是平行四边形，所以点是的中点，则点是的中点；（2）当点为棱BC的中点时，平面平面，理由如下：若平面平面，由于平面，所以平面，又平面平面，则，又点是的中点，所以点是的中点，故点为棱BC的中点时，平面平面，则.18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）如图，的角平分线交于点D，且，，（i）求的长度；（ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值．答案：（1）（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出即可得解.（2）（i）根据角平分线性质和三角形面积的分割关系列出等式，求解BD的长度.（ii）易知为向量的夹角，利用中线向量运算得，结合角平分线定理利用向量线性运算得，然后利用平面向量的夹角公式求解余弦值即可.（1）在中，由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）（i）已知的角平分线交于