2025-2026学年江苏省无锡市大桥实验学校高二下学期6月阶段检测数学试卷-含解析

/数学一、单选题1.已知集合，则（）A.[1，2] B.（1，2］ C.［1，3］ D.2.已知，，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.3.已知f'x是函数在R上的导函数，函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.4.从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，可以组成（）个没有重复数字的五位数.A.1440 B.1224 C.576 D.7925.已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（）3467204060A.2 B. C.4 D.6.若函数的最小值为，则正实数的值为（）A.12e3 B.12e27.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.甲盒中黑球与丙盒中黑球一样多 B.甲盒中红球与丙盒中红球一样多C.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多8.有5个集合：A1=1,2，A2=1,2,3，A3=1,2,3,4A. B.59120 C.61120 D.二、多选题9.下列结论正确的是（）A.若随机变量服从两点分布，，则B.若随机变量的方差，则C.若随机变量服从二项分布，则D.若随机变量服正态分布，，则10.若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（）A. B.当时，的值不唯一C.可能等于 D.当n=1时，的取值范围是11.若不相等正数a，b，满足aa＝bb，则（）A.a＞1 B.b＜1C. D.三、填空题12.已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在1，2，3号箱中分别占，，.从3个箱中随机选一个箱子，再从中随机取出一个球，若1，2，3号箱子被选中的概率为510，，，问在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为______.13.有根长度相同的绳子放置在桌面上，共有个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束，则当时，这4根绳子恰好能围成一个圈的概率为______.14.对于任意正实数，，都有，则实数的取值范围为______.四、解答题15.已知关于x的不等式的解集为不等式的解集为A（1）求集合A;（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.16.若二项式的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数的比是.（1）求n的值；（2）求展开式中所有的有理项.17.为了解某一地区纯电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为.（1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：购买非电动车购买电动车总计男性39645女性301545总计692190能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关？①参考数据：；②参考公式：（ⅰ）线性回归方程：，其中b=i=1n（ⅱ）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强.（ⅲ），其中.附表：0.100.050.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.82818.如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从A腔室出发，到达C腔室，从A腔室经过1号门进入B室后，等可能的变为上旋或下旋状态；粒子从B室经过2号门进入C室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为，粒子间的旋转状态相互独立，现有两个粒子从A室出发．（1）已知两个粒子通过1号门进入B室后，恰有1个上旋状态1个下旋状态．这两个粒子通过2号门进入C室后，仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率．（2）若两个粒子进入C室后，每个粒子再经过2号门返回B室的概率为，各粒子返回B室相互独立，求返回B室的粒子个数的分布列、期望与方差．（3）若实验装置出现故障，两个粒子进入C室后裂变成10个粒子，裂变后的每个粒子再经过2号门返回B室的概率变为，各粒子返回B室相互独立．有个粒子返回B室的概率为，则为何值时，取最大值．19.已知函数，.（1）求函数在区间上的值域；（2）若对任意的，都有，求实数的取值范围；（3）设，且，证明：.

数学一、单选题1.已知集合，则（）A.[1，2] B.（1，2］ C.［1，3］ D.答案：B解析：思路：根据对数性质和一元二次不等式化简集合，然后利用交集的定义运算即得.解答过程：由可得，即，故；由得，即，故.因此，故选：B.2.已知，，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：ABD利用不等式性质无法推出，都可举出反例进行否定；C可借助于指数函数的单调性，结合不等式的性质得到证明.解答过程：选项A：举反例：取a=1，，c=3，d=4，则

，，显然

不成立，因此A不恒成立；选项B：举反例：取

，，，，则

，，显然

不成立，故B不恒成立；选项C：由于指数函数

是严格递增函数，

和

分别推出

和

，因此

恒成立，因此C恒成立；选项D：举反例：取，，，，则

，，显然

不成立，因此D不恒成立.故选：C.3.已知f'x是函数在R上的导函数，函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根极值与导函数的关系确定在附近的正负，得的正负，从而确定正确选项．解答过程：由题意可得，而且在点的左侧附近，，此时，排除B、D；在点的右侧附近，，此时，排除A，所以函数的图象可能是C．故选：C4.从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，可以组成（）个没有重复数字的五位数.A.1440 B.1224 C.576 D.792答案：B解析：思路：根据给定条件，利用两个基本原理及排列、组合计数问题列式求解.解答过程：不含数字0的无重复数字的五位数，有个；含有数字0的无重复数字的五位数，有个，所以所求的五位数个数为.5.已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（）3467204060A.2 B. C.4 D.答案：A解析：思路：利用线性回归方程过点计算可得，再利用残差定义作差即可得.解答过程：由题设可得，故，故，即m=80，故残差为．6.若函数的最小值为，则正实数的值为（）A.12e3 B.12e2答案：A解析：思路：利用导数求出函数的单调性，根据单调性得到函数的最小值的表达式，结合题意即可求解.解答过程：已知函数，则，令f'x=0，由于ex>0令，则，由于ex>0，正实数，所以恒成立，所以是一个单调递增的函数，当x→−∞时，gx→−∞；当时，g因此方程gx=0有且仅有一个实数根，设为x0因为，当x0=0时，有，解得，矛盾，因此x0≠0当x<x0时，，即f'当x>x0时，，即f'所以函数在x=x由于函数的最小值为，即，则有，同时极值点x0满足，代入上式得，解得x0=−3则有，解得，故A正确.7.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.甲盒中黑球与丙盒中黑球一样多 B.甲盒中红球与丙盒中红球一样多C.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案：C解析：思路：由题意知，乙中放红球，则甲中也肯定是放红球，往丙中放球的前提是放入甲中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点，结合红球的数量与黑球数量相等进行分析．解答过程：由题意知，操作分为四种：①两个红球，甲放红，乙放红；②两个黑球，甲放黑，丙放黑；③一红一黑，甲放红，乙放黑；④一黑一红，甲放黑，丙放红；设取出两个红球的次数为，两个黑球的次数为，一红一黑，甲放红的次数为，一黑一红，甲放黑的次数为d，已知红球的数量与黑球数量相等，则，解得，乙盒中红球数量来自情况①，数量为；丙盒中黑球的数量来自情况②，数量为，由可得乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．8.有5个集合：A1=1,2，A2=1,2,3，A3=1,2,3,4A. B.59120 C.61120 D.答案：B解析：思路：利用古典概型的概率公式结合概率分布的对称性可求相应的概率.解答过程：设为选自中的数，则x1+x2+此时3−x而3−x显然事件X=a与事件X=25−a为等概率事件所以的概率分布关于X=12.5对称，则P5≤X≤12故P13≤二、多选题9.下列结论正确的是（）A.若随机变量服从两点分布，，则B.若随机变量的方差，则C.若随机变量服从二项分布，则D.若随机变量服正态分布，，则答案：CD解析：思路：根据方差公式即可判断A；根据方差的性质即可判断B；根据二项分布的概率公式即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D.解答过程：对于A，若随机变量服从两点分布，，则，故A错误；对于B，若随机变量的方差，则，故B错误；对于C，若随机变量服从二项分布，则，故C正确；对于D，若随机变量服正态分布，，则，故D正确.故选：CD.10.若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（）A. B.当时，的值不唯一C.可能等于 D.当时，的取值范围是答案：AC解析：思路：对函数求导，设切点为，利用导数的几何意义，进而求出切线方程，令，问题转化为直线与图象的交点个数，求导，分析函数单调性及极值点，作函数的大致图象，结合图象分析切线条数与的取值范围，再逐一分析判断各选项．解答过程：函数求导得，设切点为，则切线斜率，切线方程为，又切线过点，代入切线方程得，整理得，切线条数等价于方程的不同实根个数，令，问题转化为直线与图象的交点个数，求导得，令，解得或，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；则当时，取得极小值，极小值为，当时，取得极大值，极大值为，当时，；当时，；的大致图象如下图所示：由图象可知，当时，直线与的图象有0个交点，即过点且与函数的图象相切的切线有0条；同理，当时，过点且与函数的图象相切的切线有1条，；当时，过点且与函数的图象相切的切线有3条，n=3；当时，过点且与函数的图象相切的切线有2条，；当时，过点且与函数的图象相切的切线有1条，.选项A：当时，，满足；当时，，满足；当时，，满足；故A正确.选项B：当时，，是唯一值，故B错误.选项C：若时，，对应，此时，故存在这样的，故C正确.选项D：当时，的取值范围是，故D错误．11.若不相等正数a，b，满足aa＝bb，则（）A.a＞1 B.b＜1C. D.答案：BCD解析：思路：将，变为，再构造，然后研究其单调性可求解.解答过程：由，得，令，，解得x=1e而时，(1e,+∞)；所以在上单调递减，在(1e,+所以，故A不正确，B正确；要证明，即证明（），只须证，只须证.令，，所以在上单调递减，所以，所以，故C正确；由于在上单调递增，而，所以，所以，所以，故D正确.故选：BCD三、填空题12.已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在1，2，3号箱中分别占，，.从3个箱中随机选一个箱子，再从中随机取出一个球，若1，2，3号箱子被选中的概率为510，，，问在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为______.答案：2解析：思路：由题意，根据古典概型的概率公式以及条件概率计算公式，结合全概率公式和贝叶斯公式即可计算得解.解答过程：设事件为“取出的小球来自号箱”，事件为“取出的球为红球”，则构成了总的样本空间，且，，两两互斥，由题意有，，，，，，则由全概率公式得，则在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为.故答案为：213.有根长度相同的绳子放置在桌面上，共有个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束，则当时，这4根绳子恰好能围成一个圈的概率为______.答案：解析：解答过程：4根绳子，8个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，可转化为有8个绳头，每2个绳头一组，分为4组，共有种；其中恰好能围成一个圈，则以其中一根绳子为首，从6个绳头中选择一个与之打结，再从剩余4个绳头中选择一个与上一根剩余的绳头打结，依次进行，则打结方式有：种，所以4根绳子恰好能围成一个圈的概率为：.14.对于任意正实数，，都有，则实数的取值范围为______.答案：解析：思路：运用分离参数求最值，令，将原不等式化为，再构造函数，求其最大值，进而求得结果.解答过程：根据题意，对于任意正实数，，都有，即，令，则，移项可得，令，则，令，则，故，即在0,+∞单调递减，又因为，则当时，f't>0，函数当时，f't<0，函数因此，函数ft在处取最大值，最大值为，所以有，解得，即实数的取值范围为.四、解答题15.已知关于x的不等式的解集为不等式的解集为A（1）求集合A;（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.答案：（1）（2）或或，解析：思路：（1）根据一元二次不等式的解与二次方程根的关系可得，即可利用因式分解求解，（2）根据充分不必要条件转化为,即可求解.（1）由不等式的解集为可知是的两个实数根，故且，解得，所以为，变形为，解得，故不等式的解为，即（2）由于“”是“”的充分不必要条件，故,若，则，满足，若，则，则，则，解得或，综上可得或或16.若二项式的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数的比是.（1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项.答案：（1）（2）有理项为、、解析：思路：（1）通过二项式系数的比例关系求；（2）结合r的取值范围，利用通项判定指数为整数的有理项.（1）二项式第项的二项式系数为，由题意得，

即

，整理得，解得（负根舍去，因）.（2）时，展开式通项为，由，结合r的取值范围得，时：；时：；时：.即

有理项为、、

.17.为了解某一地区纯电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为.（1）求与的相关系数r，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：购买非电动车购买电动车总计男性39645女性301545总计692190能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关？①参考数据：；②参考公式：（ⅰ）线性回归方程：，其中b=i=1n（ⅱ）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强.（ⅲ），其中.附表：0.100.050.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828答案：（1），电动汽车销量与年份线性相关较强（2）能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关解析：（1）由与的线性回归方程为，得，因此相关系数，所以与线性相关较强（2）零假设：购买电动汽车与车主性别无关，，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与车主性别有关.18.如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，从腔室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态；粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为，粒子间的旋转状态相互独立，现有两个粒子从室出发．（1）已知两个粒子通过1号门进入室后，恰有1个上旋状态1个下旋状态．这两个粒子通过2号门进入室后，仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率．（2）若两个粒子进入室后，每个粒子再经过2号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立，求返回室的粒子个数的分布列、期望与方差．（3）若实验装置出现故障，两个粒子进入室后裂变成10个粒子，裂变后的每个粒子再经过2号门返回室的概率变为，各粒子返回室相互独立．有r个粒子返回室的概率为，则r为何值时，取最大值．答案：（1）（2），0123（3）解析：思路：（1）根据题意，把问题拆解为两个粒子状态不变和状态改变两种情况，再利用独立事件概率乘法分别计算两种情况概率，进而相加求解；