2025-2026学年江苏省盐城市大丰区高一下学期6月期末考试数学试卷-含解析

/数学考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知向量，，满足，则的值为（）A. B. C. D.3.某高中调研学生对苏超的关注程度，已知该校高一有600人，高二有650人，高三有750人，现采用分层抽样的方法抽取80人进行调研，则高一应抽取的人数是（）A.24 B.26 C.30 D.364.若，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.5.已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的侧面积为（）A. B. C. D.6.已知，表示两条不重合的直线，，，表示三个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则7.已知为第二象限角，，则（）A. B. C. D.8.已知为定义在上的偶函数，且，当时，，则（）A.， B.，C.， D.，二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9.已知一组数据分别为-1，1，2，2，3，按照规则生成一组新数据-1，5，8，8，11，则（）A.新数据的极差与原数据的极差相等B.新数据的中位数比原数据的中位数大C.新数据的平均数与原数据的平均数相等D.新数据的标准差是原数据的标准差的3倍10.已知函数，则下列命题正确的有（）A.B.当时，C.D.若，则的最小值为211.在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则（）A.平面B.的最小值为C.直线与平面所成角余弦值的取值范围为D.若为的中点，则三棱锥外接球的表面积为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知为函数的一个零点，则_________．13.甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________．14.已知满足，且其外接圆半径为2，则面积的最大值为___________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知复数（为正实数），且满足．（1）求正实数的值；（2）在复平面内，若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围．16.已知，，且．（1）求函数的最小正周期；（2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域．17.记的内角，，的对边分别为，，，已知，．（1）求；（2）若的面积为5，点在边上，且，求．18.如图，等腰梯形中，，且，，为的中点，为的中点，将沿着翻折到．（1）若平面平面．（ⅰ）求证：；（ⅱ）求三棱锥的体积；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值．19.设，，定义，．若函数满足恒成立，则称函数具有性质．（1）判断是否具有性质，并说明理由；（2）已知函数，，若函数具有性质，求实数的取值范围；（3）已知函数具有性质，求证：．

数学考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：集合，即，又，所以.2.已知向量，，满足，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据向量共线坐标化表示即可得到方程，解出即可.解答过程：因为，，，所以，所以.3.某高中调研学生对苏超的关注程度，已知该校高一有600人，高二有650人，高三有750人，现采用分层抽样的方法抽取80人进行调研，则高一应抽取的人数是（）A.24 B.26 C.30 D.36答案：A解析：思路：根据分层抽样的性质列方程求解.解答过程：设高一应抽取的人数为，则，所以，所以高一应抽取的人数是.4.若，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：首先可以判断出，，.又因为，，所以.5.已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的侧面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求出底面圆的半径，再利用圆锥侧面积的公式求解.解答过程：由题得底面圆的半径为2，所以圆锥的侧面积为.故选：B6.已知，表示两条不重合的直线，，，表示三个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：D解析：解答过程：选项A：若，，则与可能平行，也可能相交，故A错误；选项B：若，，则与可能平行，也可能相交，当平行于与的交线时，可满足同时平行于两个相交平面，故B错误；选项C：若，，则与的位置关系为平行或异面，故C错误；选项D：根据线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条不重合直线互相平行，可知若，，是两条不重合的直线，则，故D正确.7.已知为第二象限角，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，为第二象限角，，可知，将等式两边同时除以：，，.由同角三角函数基本关系可得，，.将代入得：，C正确.8.已知为定义在上的偶函数，且，当时，，则（）A.， B.，C.， D.，答案：C解析：思路：利用已知条件可得函数为周期函数，从而可得，，再代入所给函数解析式即可求解.解答过程：因为为定义在上的偶函数，，所以，.令，则因为.所以是以4为周期的周期函数.所以.所以.则，.又因为当时，，所以解得，则，解得.所以，得.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9.已知一组数据分别为-1，1，2，2，3，按照规则生成一组新数据-1，5，8，8，11，则（）A.新数据的极差与原数据的极差相等B.新数据的中位数比原数据的中位数大C.新数据的平均数与原数据的平均数相等D.新数据的标准差是原数据的标准差的3倍答案：BD解析：解答过程：选项A，新数据极差为，原数据极差为，错误.选项B，新数据中位数为，原数据中位数为，正确.选项C，新数据平均数为，原数据平均数为，错误.选项D，由数据可知该规则为，通过标准差的性质可知新数据标准差是原数据的倍，正确.10.已知函数，则下列命题正确的有（）A.B.当时，C.D.若，则的最小值为2答案：ACD解析：思路：代入法求出判断选项A；利用特殊值法判断选项B；代入法判断选项C；分析函数单调性，结合函数的性质得出关联，进而利用基本不等式求最小值．解答过程：函数定义域为，，故A正确；当时，，取，则，，不满足，故B错误；，故C正确；，均在单调递增，故在上单调递增，若，则，由于，则，即，，当且仅当时等号成立，故D正确．11.在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则（）A.平面B.的最小值为C.直线与平面所成角余弦值的取值范围为D.若为的中点，则三棱锥外接球的表面积为答案：ABD解析：思路：对于A，根据线线平行证明线面平行即可判断；对于B，先将平面和平面沿着展开至同一平面，再根据两点之间的距离最短求解即可判断；对于C，根据点从点向移动时，直线与平面所成角逐渐减小，进而根据线面角的余弦值即可求解；对于D，先根据直角三角形的性质确定的外接圆的圆心为，再求，从而确定外接球的球心及半径，进而利用球的表面积求解即可判断．解答过程：对于A，连接，由，分别为棱，的中点，则，又在正方体中，有，且，则四边形是平行四边形，则，所以，又平面，而平面，所以平面，故A正确；对于B，将平面和平面沿着展开至同一平面，则当，，三点共线时，取得最小值，由，，且，则，则，又，则，所以的最小值为，故B正确；对于C，连接，，由在平面内的投影为，在平面内的投影为，又，，则，，又，平面，则平面，则当点与点重合时，平面，此时直线与平面所成角的余弦值为0；点从点向移动时，直线与平面所成角逐渐减小，当点与点重合时，直线与平面所成角最小，为的余角，又，所以是直角三角形，所以当点与点重合时，直线与平面所成角与相等，又，，此时直线与平面所成角的余弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值的范围为，故C错误；对于D，连接，交于，则是线段的中点，又是直角三角形，且，则的外接圆的圆心为，所以，又为的中点，则，即到三棱锥各顶点的距离相等，所以三棱锥外接球的球心为，半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，故D正确．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知为函数的一个零点，则_________．答案：解析：思路：利用零点的定义即可.解答过程：由已知可得，所以.13.甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________．答案：解析：解答过程：甲写错了，但是正确的，由的解为，则1和2是方程的两个根，得；乙写错了，但是正确的，由的解为，则和1是方程的两个根，得，即.由，得，即，解得.不等式的解为.14.已知满足，且其外接圆半径为2，则面积的最大值为___________．答案：2解析：思路：先利用三角恒等变换和正弦定理，由推出角的关系，再结合外接圆半径，用正弦定理和三角形面积公式将面积表示为，最后根据角的范围即可求出面积的最大值.解答过程：因为，由积化和差：，又，所以，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，即，所以.由正弦定理：，所以，所以，由，得，即，所以，所以当，即时，取到最大值为1，此时.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知复数（为正实数），且满足．（1）求正实数的值；（2）在复平面内，若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用复数模的公式列方程求解正实数；（2）先化简复数，再结合第四象限点的坐标特征列不等式组求的取值范围.（1）因为，所以，即，又，所以.（2）由（1）得，故，所以，复数在复平面内对应的点为，因为该点在第四象限，所以，解得，所以实数的取值范围为.16.已知，，且．（1）求函数的最小正周期；（2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域．答案：（1）（2）解析：（1），，.函数的最小正周期.（2）由（1）得.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，.，.；，即.函数的值域为.17.记的内角，，的对边分别为，，，已知，．（1）求；（2）若的面积为5，点在边上，且，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由余弦定理及换元法求解即可；（2）根据面积公式及（1），可求得，进而得，在中，由余弦定理求解即可.（1）因为，，所以，由余弦定理可得，即，令，则有，所以，解得（负值舍去），即；（2）因为，所以，且．又因为，即，解得，由（1）可知，所以，所以，又因为，所以，在中，由余弦定理可得：，所以.18.如图，等腰梯形中，，且，，为的中点，为的中点，将沿着翻折到．（1）若平面平面．（ⅰ）求证：；（ⅱ）求三棱锥的体积；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值．答案：（1）（ⅰ）取中点，连接，根据翻折性质，为边长是2的等边三角形，故，平面平面，交线为，平面，由面面垂直的性质定理得：平面，又平面，故，等腰梯形中，，故四边形为平行四边形，又，故四边形为菱形，则其对角线互相垂直，即，分别是中点，故是的中位线，，故，又，且平面，故平面，又平面，故．（ⅱ）1（2）解析：思路：（1）（ⅰ）根据等腰梯形翻折前后的性质，利用面面垂直推出线线垂直；（ⅱ）利用等体积法结合三棱锥的体积公式计算求解；（2）利用四棱锥的几何性质，找出二面角的平面角，进而求出，结合余弦定理求出，进而求出直线与平面所成角的正切值．（1）（ⅰ）略；（ⅱ）由（ⅰ）知平面，故到平面的距离为等边的高，，在菱形中，，与菱形同底、等高，故；则．（2）取中点，连接，由等边三角形的性质知，在平面内，，则为二面角的平面角，即，过点作平面，垂足为，则位于上，则，故投影到的距离，在平面中，是的中位线，故，，故是等边三角形，，在中，由余弦定理：，故，直线与平面所成角为，．19.设，，定义，．若函数满足恒成立，则称函数具有性质．（1）判断是否具有性质，并说明理由；（2）已知函数，，若函数具有性质，求实数的取值范围；（3）已知函数具有性质，求证：．答案：（1）具有性质，理由见解析