小学数学五年级上册 除数是整数的小小数除法（第1课时）知识清单

小学数学五年级上册除数是整数的小小数除法（第1课时）知识清单一、核心概念与原理溯源本课时是小数除法学习的起点，也是整数除法向小数除法扩展的关键桥梁。其核心在于理解“商的小数点为什么要与被除数的小数点对齐”这一数学原理，以及将尚未学过的“小数除法”转化为已经学过的“整数除法”和“单位换算”来解决问题的思想。（一）核心概念：【基础】除数是整数的小数除法的定义已知两个因数的积（在这里特指被除数）与其中一个因数（在这里特指除数，且除数是整数），求另一个因数（即商）的运算。例如：已知两个数的积是22.4，其中一个数是4，求另一个数，列式为22.4÷4。这与整数除法的意义完全相同，只是数的范围扩展到了小数。（二）【重要】核心原理：计数单位的持续细分整数除法的本质是平均分计数单位。当整数除法有余数时，意味着当前最小的计数单位（如个）不够分，产生了剩余。此时，需要将余数转化为更小的计数单位（如将1个一转化成10个十分之一），从而继续除下去。小数除法的核心就是这种“细分”过程的延续和形式化。1.情景理解：以“王鹏坚持晨练，计划4周跑步22.4千米，平均每周应跑多少千米？”为例。2.算理分析：（1）方法一：单位转化法（高级单位转化为低级单位）。将22.4千米转化为22400米，用22400米除以4，得到5600米。再将5600米转化回5.6千米。这种方法直观地揭示了小数除法可以通过整数除法来完成，但过程略显繁琐。（2）方法二：拆分法。将22.4拆分为20和2.4。20÷4=5，这里的5表示5个一；2.4÷4=0.6，这里的0.6表示6个十分之一。将两次的商合起来，5+0.6=5.6。这种方法初步体现了分而治之和数位对齐的思想。（3）【非常重要】方法三：竖式计算法（核心算法）。在竖式计算22.4÷4的过程中，当用被除数的整数部分22除以4，商5，余2。这个余数“2”表示2个一。接下来，关键步骤是将这2个一与十分位上的4合并，理解为24个十分之一。用24个十分之一除以4，得到6个十分之一，所以商6要写在十分位上。为了表示这个6所在的位置是十分位，我们必须在商5的后面点上小数点，再写6。因此，商的小数点必须与被除数的小数点对齐，本质上是确保了相同数位（计数单位）的数相除，商的各数位与被除数的各数位一一对应。（三）知识迁移：整数除法运算律的适用性除数是整数的小数除法，完全遵循整数除法的运算性质。例如，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。但在本课时，我们主要应用其正向形式，即直接计算。二、核心方法与规范步骤掌握除数是整数的小数除法的竖式计算方法，并理解每一步的含义，是本课时的技能核心。（一）【高频考点】基本计算法则与步骤1.按照整数除法的法则去除。即先看被除数的整数部分，如果整数部分比除数小，就要看被除数的前两位（但本课时主要学习整数部分够除的情况，为下一课时做铺垫）。2.商的小数点要与被除数的小数点对齐。这是书写规范中的重中之重，也是判断竖式计算是否正确的一个直观标准。3.如果除到被除数的末位仍然有余数，要在余数后面添“0”继续除。这是将剩余部分进一步细分为更小计数单位的过程。例如，计算13÷2时，商6余1，这个余数1可以看作10个十分之一，在1后面添0（即看作10个十分之一）继续除，得5个十分之一，所以商是6.5。4.除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面。例如，整数部分除完，商写在个位；十分位除完，商写在十分位。（二）【难点】竖式计算的分步详解（以22.4÷4为例）1.写竖式：先写除号“厂”，把被除数22.4写在除号里面，除数4写在除号外面左侧。2.除整数部分：用22除以4，口诀“四五二十”，商5。将5写在被除数个位“2”的上面（对齐个位）。用5乘4得20，写在22下面。22减20得2。此时，竖式中的余数为2。3.处理小数点：在被除数中，22的后面是小数点，然后是4。在商完5之后，准备除十分位之前，必须在5的后面点上小数点。这个小数点要向上对着被除数的小数点。▲4.除小数部分：将十分位上的4落下来，与前面的余数2合起来，成为24。这里的24表示24个十分之一。用24除以4，口诀“四六二十四”，商6。将6写在被除数十分位“4”的上面（对齐十分位）。用6乘4得24，写在24下面。24减24得0。5.得出结果：计算结束，商为5.6。（三）【基础】商中间有“0”的情况（拓展预见）虽然本课时主要学习基本情形，但需建立数位概念，为后续学习铺垫。例如，计算20.4÷4。1.整数部分20除以4，商5，余0（实际是个位0除以4得0，但为简化，先看20÷4=5）。个位商5后，被除数个位已无剩余。2.十分位是4，但需要先处理小数点。在商5后面点上小数点。3.将十分位上的4落下来，用4个十分之一除以4，得1个十分之一。商1写在十分位上。最终商是5.1。另一种情况，如6.24÷6。4.整数部分6除以6，商1，写在个位，对齐被除数的个位6。1×6=6，66=0。5.点小数点，商的小数点对齐被除数的小数点。6.十分位是2，落下来。2个十分之一除以6，不够商1个十分之一。此时，必须在商的十分位上写“0”占位。7.在余数2后面添0，变成20个百分之一。用20个百分之一除以6，商3个百分之一（三六十八），余2。商3写在百分位。若有余数，可继续添0除。最终商是1.04。这个“0”起到了占位作用，保证了商的数位完整。三、知识拓展与思维深化（一）【思维拓展】商的变化规律在小数除法中的体现1.当除数大于1时，商小于被除数（被除数不为0）。例如，5.6÷4=1.4，1.4<5.6。2.当除数等于1时，商等于被除数。例如，5.6÷1=5.6。3.当除数小于1时，商大于被除数（将在后续学习）。初步感知除法的这种“缩小”或“放大”功能，有助于培养数感。（二）【重要】余数的含义与处理在小数除法中，余数的单位是什么？这是理解算理的关键。1.在计算过程中，每一步的余数都表示它上一位的计数单位。例如，在22.4÷4的第一步中，余数2表示2个一。如果此时停止计算，商就是5余2.4？不，这不符合除法定义。我们必须继续除下去。2.当我们在余数后面添0继续除时，实际上是把余数转化成了更小的计数单位。例如，把2个一转化为20个十分之一，或者把2个十分之一转化为20个百分之一。3.最终，如果除尽，没有余数。如果除不尽，会产生循环小数或按要求保留近似数（后续学习）。（三）【跨学科链接】生活中的小数除法1.平均分：将一定长度的绳子平均剪成几段，每段多长？将一定量的液体（如1.5升果汁）平均分到几个杯子中，每个杯子多少升？2.单价计算：总价（小数）除以数量（整数），求单价。这是最常见的应用，如“买3千克苹果花了12.6元，每千克苹果多少元？”3.速度计算：路程（小数）除以时间（整数），求速度。如“一辆汽车2.5小时行驶了175千米，平均每小时行驶多少千米？”虽然除数是小数，但本质相通，为后续学习铺垫。四、考点、题型与解题策略本课时知识点在各类评估中通常以基础计算和简单应用的形式出现，强调算理的理解和计算的准确性。（一）【高频考点】直接写得数与竖式计算1.考查方式：直接给出算式，要求学生写得数或列竖式计算。2.常见题型：（1）口算题：如4.8÷2=？6.4÷4=？0.81÷9=？等，主要考查学生对小数除法的初步口算能力。（2）竖式计算题：如25.2÷6=？34.5÷15=？42.84÷7=？此类题要求完整写出竖式过程。3.解题步骤与要点：（1）首先确认除数是整数。（2）按照整数除法的方法试商。（3）【易错点1】务必在商完整数部分后，点上小数点，再除小数部分。许多学生容易忘记点小数点，导致商扩大了10倍、100倍。（4）【易错点2】数位要对齐。商的个位要对齐被除数的个位，商的十分位要对齐被除数的十分位。（5）【易错点3】哪一位不够商1，要用0占位（虽然本课时主要学习能除尽且够商1的情况，但在综合练习中可能出现，需警惕）。（6）检验：可以用乘法验算，即商×除数，看是否等于被除数。（二）【重要】改错题1.考查方式：给出一个错误的竖式计算过程，让学生找出错误并改正。2.常见错误类型：（1）忘记点小数点。例如，计算20.4÷4，竖式算出51，漏掉小数点，导致结果错误。（2）小数点位置点错。例如，商的小数点没有与被除数的小数点对齐。（3）数位未对齐。例如，除到十分位，商却写在个位上。（4）计算错误，如乘法口诀、减法出错。3.解题策略：严格按照计算法则逐项检查。先看小数点是否对齐；再看每一位的商是否写对位置；最后检查乘减过程是否正确。（三）【基础】填空题1.考查方式：结合算理进行填空。2.常见题型：（1）如“计算26.4÷4时，可以这样想：26.4里面有（）个十分之一，平均分成4份，每份是（）个十分之一，也就是（）。”答案为：264，66，6.6。此题考查对计数单位细分的理解。（2）如“5.6÷7的商的最高位在（）位上。”答案为：十分。因为整数部分5小于除数7，商是零点几。（3）如“已知两个数的积是32.8，其中一个因数是8，另一个因数是（）。”答案为：4.1。考查除法意义的逆向应用。（四）【热点】解决问题（应用题）1.考查方式：创设一个现实情境，要求学生列式解答。2.常见题型与考点：（1）平均分问题：例如，“五（1）班有42人，照了一张合影，照片加洗共付了96.6元，平均每人应付多少元？”列式：96.6÷42=2.3（元）。考点在于提取信息，正确列式，并计算。（2）归一问题：例如，“一辆汽车5小时行驶了280千米，照这样计算，它平均每小时行驶多少千米？”列式：280÷5=56（千米）。虽然被除数是整数，但商是整数，是小数除法的基础。（3）包含除问题：例如，“妈妈买了3.6千克苹果，花了21.6元，每千克苹果多少元？”列式：21.6÷3=7.2（元）。这虽然除数是整数，但学生需要理解单价=总价÷数量。3.解题步骤与易错点：（1）第一步：读题，理解题意，找出已知条件和问题。要能正确判断哪个数是被除数，哪个数是除数。（2）第二步：列出正确的算式。易错点在于除数和被除数颠倒。例如，求“每千克多少元”，应该用总价除以千克数，而不是千克数除以总价。可以借助数量关系式：单价×数量=总价，所以单价=总价÷数量。（3）第三步：列竖式计算。注意小数点的处理。（4）第四步：写答语。答语要完整，并且注意结果的单位名称。（5）第五步：检验。将计算出的结果代入原情境，看是否符合逻辑。例如，每千克7.2元，买3千克就是21.6元，与题目相符。（五）【难点】在具体情境中理解余数的实际意义1.考查方式：在有余数的除法应用题中，让学生解释余数的含义，或者根据实际情况处理余数（如“进一法”、“去尾法”的萌芽）。2.例如：“李老师用一根7.2米长的绳子剪跳绳，每根跳绳长1.8米，最多可以剪多少根？”列式7.2÷1.8=4（根）。这除数是小数，是本单元后续内容。更贴近本课时的例子：“有13.6千克苹果，装入纸箱，每个纸箱最多装4千克，需要多少个纸箱？”列式13.6÷4=3.4。但这里就出现了“3.4个箱子”的问题，实际需要4个箱子（进一法），这属于对商的近似值的处理，是后续难点。本课时主要关注计算结果的精确值，但可以初步感知余数的存在。另一种：用5.6米布做衣服，每套用布1.8米，能做几套？这是去尾法。在本课时，更纯粹的考查方式是：计算5.7÷4=1.425，但如果在付钱情境中，可能需要保留两位小数，即1.43元。这引出“四舍五入”法求近似数，也是后续内容。本课时重点在于学生能准确计算出小数结果。五、典型例题精析与易错点预警（一）典型例题例1：列竖式计算38.1÷3。【规范解答】

12.7

3)38.1

3

————

8

6

————

21

21

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0【解析】整数部分38除以3，商1，余8（实际上是3830=8，但要注意数位）。商的个位1写在被除数个位8的上面。点上小数点。把十分位1落下来，变成81个十分之一。81除以3，商27？不对，27表示27个十分之一，所以商2写在十分位，7写在百分位？仔细分析：81个十分之一除以3，得27个十分之一，27个十分之一就是2.7，所以十分位应该写7？这里出现理解偏差。正确步骤：38除以3，商1（写在个位），1×3=3，3830？竖式中383=35？这不对，因为3是写在8下面？实际上，38除以3，应该看被除数的前两位，商1在十位？等等，38.1，整数部分是38，是两位数。38除以3，商应该在十位？不，除数是整数的小数除法，商的数位要和被除数的数位对齐。38.1，个位是8，十位是3。所以38除以3，应该商1在十位？这就会导致商是两位数。但更常见的处理是：对于像38.1这样的数，我们将其视为381个十分之一。但更标准的竖式计算过程如下：正确竖式应为：

12.7

3)38.1

3

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8

6

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21

21

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0解析：先看整数部分38。38除以3，商1，这个1表示1个十？因为38中的3在十位，所以商1应该写在被除数的十位3的上面，表示10。但这样写的话，1下面应该对着3，1×3=3，3830=8。然后落下个位8？但被除数已经处理了十位和个位？实际上，小数除法的竖式通常将整数部分视为一个整体来处理数位。更规范的讲法：38除以3，商12余2？不对，商12的话，12×3=36，3836=2，这样商12就是12个一？这会产生混淆。最清晰的理解是：我们将38.1看作是381个十分之一。但为了保持竖式的标准，我们这样进行：38除以3，商1（这个1是十位），所以商是两位数。然后1×3=3，3830=8，落下来个位8，现在88除以3，商2（个位），2×3=6，8860？不对，8落下来后是88个？实际上，十位余8（即80），加上个位的8，是88个一，88除以3，商29？这完全乱套了。所以，对于被除数整数部分是两位数的，我们通常先整体除。最标准的写法是：

12.7

3)38.1

3

————

8

6

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21

21

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0解释：38除以3，商12？12×3=36，3836=2，这个2是2个一。但商12，12中的1在十位，2在个位。这没有问题。然后点小数点。把十分位的1落下来，与余数2组成21个十分之一。21除以3，商7，写在十分位。所以结果是12.7。这个解释是合理的。所以，关键是对整数部分38的处理，视为38个一除以3，商12个一，余2个一。这个12已经包含了十位和个位。因此，竖式中，被除数38的上面，十位商1，个位商2。这才是正确的数位对齐。所以竖式应该写作：

12.7

3)38.1

36

————

21

21

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0第一行36是12×3的结果，写在38下面。3836=2。然后落十分位1，成21个十分之一。这个21写在原来被除数小数部分的下面。所以，竖式的写法要注意规范。（二）【易错点】深度剖析1.点小数点滞后或遗忘：学生往往习惯整数除法的写法，算出整数商后，直接去落小数部分的数字，忘记了在商的后面点上小数点。对策：养成良好习惯，每做完整数部分，点上小数点，再继续往下做。2.数位对不齐：特别是在被除数中间有0的情况下，容易把商的位置写错。对策：牢记“除到哪一位，商就写在哪一位的上面”。3.对算理的理解停留在表面：只会机械计算，不理解为什么可以这样算。例如，不知道为什么可以在余数后面添0。对策：多进行“将高级单位转化为低级单位”的练习，强化“细分计数单位”的概念。4.计算粗心：乘法口诀、减法计算错误。对策：养成验算的好习惯，每道题做完后，用乘法再算一遍。六、综合素养提升（一）【数学思想】转化思想本课时最核心的数学思想就是“转化”。我