高考数学一轮复习 课后习题 课时规范练18　利用导数研究函数的单调性（黑龙江版）

课时规范练18利用导数研究函数的单调性(分值:81分)(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)基础巩固练1.(2025·广西南宁模拟)函数f(x)=(x+1)e2x的单调递增区间是()A.(-32,+∞) B.(-2,+∞C.(-1,+∞) D.(0,+∞)2.(2025·广东潮州模拟)若函数f(x)=ax+cosx在(-∞,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围是()A.[1,+∞) B.(1,+∞)C.[-1,+∞) D.(-1,+∞)3.(2025·四川遂宁模拟)已知函数f(x)=x+cosx,若f(lnx)<f(1),则实数x的取值范围是()A.(0,e) B.(0,1)C.(e,+∞) D.(1,+∞)4.(2025·河南驻马店模拟)已知奇函数f(x)在R上单调递增,且f(x)是可导函数,g(x)=xf(x).若a=g(e1π),b=g(-12),c=g(π1eA.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a5.(2026·河南商丘模拟)已知函数f(x)=ax-tanx在[0,π4]上单调递增,则实数a的最小值为(A.4 B.3 C.2 D.16.(多选题)(2025·湖北武汉模拟)若函数f(x)=lnx+ax2-2在区间(12,2)内存在单调递增区间,则实数a的取值可以为(A.-3 B.-2C.-1 D.07.(2025·甘肃平凉模拟)函数f(x)=x+2cosx(-π<x<π)的单调递减区间是.

8.(15分)(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)=ex+ax+a(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)的图象在(0,f(0))处的切线方程;(2)讨论f(x)的单调性,并求最值.综合提升练9.已知函数f(x)=e|x|-x2,若a=f(-2),b=f(e1e),c=f(π1π),则a,b,c的大小关系为A.b>a>c B.a>c>bC.c>a>b D.b>c>a10.(多选题)(2025·河南南阳一模)若函数f(x)=-13x3+12x2+2x+1是区间(m-1,m+4)内的单调函数,则实数m的值可以是(A.-5 B.-3 C.3 D.411.(13分)(2025·山东九五高中协作体二模节选)已知函数f(x)=x+1ex+12ax2+a,讨论f创新应用练12.(多选题)(2025·八省联考,10)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinhx=ex-e-x2,双曲余弦函数coshx=ex+e-A.双曲正弦函数是增函数B.双曲余弦函数是增函数C.双曲正切函数是增函数D.tanh(x+y)=tanh参考答案1.A解析函数f(x)=(x+1)e2x的定义域为R,f'(x)=e2x+2(x+1)e2x=(2x+3)e2x,令f'(x)>0,解得x>-32,所以函数f(x)=(x+1)e2x的单调递增区间是(-32,+∞).故选2.A解析由f(x)=ax+cosx,则f'(x)=a-sinx.因为函数f(x)=ax+cosx在(-∞,+∞)内单调递增,所以f'(x)=a-sinx≥0在(-∞,+∞)内恒成立,则a≥sinx在(-∞,+∞)内恒成立.因为y=sinx在(-∞,+∞)内的最大值为1,所以a≥1.故选A.3.A解析因为f(x)=x+cosx,所以f'(x)=1-sinx≥0,所以函数y=f(x)在R上单调递增,所以f(1)>f(lnx),等价于ln解得0<x<e,故实数x的取值范围是(0,e).故选A.4.C解析因为奇函数f(x)在R上单调递增,所以当x>0时,f(x)>0,且f'(x)≥0,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)是偶函数,g(-12)=g(12当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)内单调递增.因为0<12<1<e1π<e1e<π1e,所以g(12)<g5.C解析函数f(x)=ax-tanx,求导得f'(x)=a-cos2x由函数f(x)在[0,π4]上单调递增,得当x∈[0,π4]时,f'(x)≥0,即a≥而当x∈[0,π4]时,12≤cos2x≤1,即1≤1所以实数a的最小值为2.故选C.6.CD解析f'(x)=1x+2ax=2因为函数f(x)=lnx+ax2-2在区间(12,2)内存在单调递增区间所以2ax2+1>0在(12,2)内有解所以a>-12x由于x∈(12,2),所以x2∈(14,4),故-12x2∈(-2,-18),则实数a的取值范围是(-2,+∞),结合选项可知a=-1,7.[π6,5π6](写成(π6,5π6),(π6,5π6],[π6,5π6)同样正确)解析因为f(x)=x+2cosx(-π<x<π),f'(x)=1-所以f(x)的单调递减区间是[π6,8.解(1)当a=1时,f(x)=ex+x+1,则f'(x)=ex+1,则f(0)=2,f'(0)=2,则f(x)的图象在(0,f(0))处的切线方程为y-2=2(x-0),即y=2x+2.(2)由f(x)=ex+ax+a得f'(x)=ex+a,①当a≥0时,f'(x)>0在R上恒成立,故f(x)在R上单调递增,无最值;②当a<0时,由f'(x)=0,解得x=ln(-a),当x<ln(-a)时,f'(x)<0,则f(x)在(-∞,ln(-a))上单调递减;当x>ln(-a)时,f'(x)>0,则f(x)在(ln(-a),+∞)上单调递增,所以f(x)的最小值为f(ln(-a))=eln(-a)+aln(-a)+a=aln(-a),无最大值.综上,当a≥0时,f(x)在R上单调递增,无最值;当a<0时,f(x)在(-∞,ln(-a))上单调递减,在(ln(-a),+∞)上单调递增,最小值为aln(-a),无最大值.9.D解析函数f(x)的定义域为R.因为f(-x)=e|-x|-(-x)2=e|x|-x2=f(x),所以f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=ex-x2,所以f'(x)=ex-2x.令φ(x)=f'(x),则φ'(x)=ex-2,令φ'(x)<0,解得0≤x<ln2;令φ'(x)>0,解得x>ln2,所以φ(x)在[0,ln2)内单调递减,在(ln2,+∞)内单调递增,可得φ(x)≥φ(ln2)=2(1-ln2)>0,即f'(x)>0在[0,+∞)内恒成立,所以f(x)在[0,+∞)内单调递增.令g(x)=lnxx,则g'(x)=1-lnxx2,所以当x>e时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,当0<x<e时,g'(x)>0,又e<π<4,所以g(e)>g(π)>g(4),即lnee>lnππ>ln44=ln22,所以e1e>π1π>2,所以10.ACD解析f'(x)=-x2+x+2,令f'(x)=0,即-x2+x+2=0,解得x=2或x=-1.当f'(x)>0时,有-1<x<2,函数f(x)单调递增;当f'(x)<0时,有x<-1或x>2,函数f(x)单调递减.因为函数f(x)在区间(m-1,m+4)内是单调函数,所以有以下两种情况:当(m-1,m+4)⊆(-∞,-1)时,有m+4≤-1,m-1<m+4,解得当(m-1,m+4)⊆(2,+∞)时,有m-1≥2,m-1<m故选ACD.11.解函数f(x)的定义域为R,f'(x)=-xex+ax=x(a-若a≤0,则a-1ex<0恒成立,当x<0时,f'(x)>0,当x>0时,f'(x)所以f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,+∞)内单调递减.若a>0,令f'(x)=0,解得x=0或x=-lna.若0<a<1,当x<0时,f'(x)>0,当0<x<-lna时,f'(x)<0,当x>-lna时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,-lna)内单调递减,在(-lna,+∞)内单调递增;若a=1,f'(x)=x(1-1ex当x∈(-∞,0)时,1-1ex<0,f'(x)=x(1-1e当x∈(0,+∞)时,1-1ex>0,f'(x)=x(1-1ex)>0,所以f'(x)≥0恒成立,f(x)在R上单调递增;若a>1,当x∈(-∞,-lna)时,f'(x)>0,当x∈(-lna,0)时,f'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-lna)内单调递增,在(-lna,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,+∞)内单调递减;当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,-lna)内单调递减,在(-lna,+∞)内单调递增;当a=1时,f(x)在R上单调递增;当a>1时,f(x)在(-∞,-lna)内单调递增,在(-lna,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.12.ACD解析对于A,令f(x)=sinhx=ex-e-x2,则f'(x)=ex+e-x2>0恒成立,故双曲正弦函数是增函数,故A正确;对于B,令g(x)=coshx=ex+e-x2,则g'(x