高考数学一轮复习 课时规范练25　两角和与差的正弦、余弦和正切公式（北师大版）

课时规范练25两角和与差的正弦、余弦和正切公式(分值:76分)(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)基础巩固练1.sin81°cos51°-cos81°sin51°=()A.-32 B.32 C.-12 2.若cosα+sinαcosα=3,则tan(α-πA.-1 B.13 C.1 D.3.(2025·河北石家庄模拟)已知sin4θ-cos4θ=m,则cos4θ=()A.2m-1 B.1-2mC.1-2m2 D.2m2-14.(2025·河北保定模拟)若cos(α+π3)=32sinα-32cosα,则cos2α=A.-637 BC.-17 D.5.(2026·河北百师联盟高三月考)在平面直角坐标系xOy中,已知锐角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆的交点的纵坐标为23.若cos2θ=msin(π2-θ),则实数m的值为(A.53 B.C.-515 D.-6.(2025·广东江门一模)已知sin(α-π6)+cosα=13,则cos(2α+π3)=A.-79 B.C.-429 D7.(多选题)(2025·四川南充模拟)下列式子运算正确的有()A.sin40°(tan10°-3)=-1B.cos75°=6C.1+tan15D.tan22°+tan23°+tan22°tan23°=18.(2025·江苏扬州模拟)若sin(θ-π4)=14,则sin2θ=.9.(2025·浙江台州二模)已知cosα+cosβ=13,sinα+sinβ=12,则cos(α-β)=.10.(2024·新高考Ⅱ,13)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tanα+tanβ=4,tanαtanβ=2+1,则sin(α+β)=.

综合提升练11.(2025·安徽合肥二模)已知tanθtan2θtanθ-tan2θ=45,则A.925 B.35 C.1725 12.(2026·浙江ZDB联盟高三月考)已知α∈(0,π2),且mcosα+ncosα2=m,msinα-nsinα2=n(mn≠0),则cosα=A.13 B.12 C.23 13.(2025·湖南岳阳二模)已知圆锥的侧面展开图为半圆,其轴截面是以A为顶点的等腰三角形,若A,B,C分别是该三角形的三个内角,则tanB3+tan2B3+tanB+tanB3tan2B3A.3 B.23 C.0 D.1创新应用练14.(2026·北京十一实验中学高三月考)1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题:在地球表面的什么地方,一根竖直的悬杆看上去最长(即可见角最大).后人将其称为“米勒问题”,该问题是数学史上最早的极值问题之一.我们把地球表面视为平面α,悬杆视为直线l上两点A,B间的连线,则上述问题可以转化为以下的数学问题:如图1所示,直线l垂直于平面α,直线l上有两点A,B位于平面α的同侧,求平面上一点C,使得∠ACB最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A,B两点的坐标分别为(0,a),(0,b),0<b<a,点C的坐标为(c,0),当∠ACB最大时,c=()图1图2A.2ab B.ab C.2ab D.ab15.在平面直角坐标系中,O(0,0),A(sinα,cosα),B(cos(α+π6),sin(α+π6)),当∠AOB=2π3时,写出α的一个值为

参考答案1.D解析sin81°cos51°-cos81°sin51°=sin(81°-51°)=sin30°=12.故选2.B解析因为cosα+sinαcosα=3,所以1+tanα=3,即tanα=2,所以tan(α-π43.D解析由sin4θ-cos4θ=m,得-m=(cos2θ+sin2θ)(cos2θ-sin2θ)=cos2θ,所以cos4θ=2cos22θ-1=2m2-1.故选D.4.C解析依题意,12cosα-32sinα=32sinα-32cosα,整理得2cosα=3sinα,易知cosα≠0,所以tanα=233,所以cos2α=cos2α-sin2α=5.B解析由题意,得sinθ=23,cosθ=由cos2θ=msin(π2-θ),得2cos2θ-1=mcosθ,即2×59-1=53m,解得m=6.B解析由sin(α-π6)+cosα=13,得32sinα-12cosα+cosα=13,即32sinα+1因此sin(α+π6)=13,所以cos(2α+π3)=cos[2(α+π6)]=1-2sin2(α+π6)7.ACD解析sin40°(tan10°-3)=sin40°(sin10°-=2sin40°1=-2sin40°·=-sin80°cos10°=-cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=6-241+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15因为tan45°=tan(22°+23°)=tan22°+tan23所以tan22°+tan23°+tan22°tan23°=1,D正确.故选ACD.8.78解析由题意,sin(θ-π4)=14=22(sinθ-cosθ),即sinθ-cosθ=24,两边平方可得1-sin2θ=19.-5972解析由cosα+cosβ=13,sinα+sinβ=12,两式左、右两边同时平方可得cos2α+2cosαcosβ+cos2β=19,sin2α+2sinαsinβ+sin2两式相加得2+2cosαcosβ+2sinαsinβ=1336⇒cos(α-β)10.-223解析(方法一)tan(α+β)=4-又2kπ+π<α+β<2kπ+2π,k∈Z,所以α+β为第四象限角.由sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,得sin2(α+β)+18sin2(α+β)=1,所以sin2(α+β)=又sin(α+β)<0,所以sin(α+β)=-2(方法二)设tanα=m,tanβ=n,m>0,n>0,则m+n=4,mn=2+1,sinα=mm2+1,cosα=1m2+1,sinβ=-nn2+1,cosβ=-1n2+1,∴11.C解析因为tanθtan2θtan所以sinθsin2θsinθcos2θ-cosθsin2θ=45,所以sinθsin2θsin所以sinθcosθ=-25所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×425=12.B解析由mcosα+ncosα2=m,得m2cos2α+n2cos2α2+2mncosαcosα2=m2,同理可得m2sin2α+n2sin2α2-2mnsinαsinα2=n2,两式相加得m2+n2+2mn(cosαcosα2-sinαsinα2)=m2+n2,又mn≠0,即cosαcosα2-sinαsinα2=cos(α+α2)=0,所以cos3α2=0.因为3α2∈(0,3π4),13.B解析设圆锥的底面圆半径以及圆锥的母线分别为r,l,由题意可得2πr=12×2πl,故l=2因此△ABC为等边三角形,故A=B=C=60°,故tanB3+tan2B3+tanB+tanB3tan2B3tanB=tanB3+tan2B3+tanB(1+tanB3tan2B3)=tan(B3+2B3)(1-tanB3tan2B3)+tanB(14.D解析由题意,知∠ACB是锐角,且∠ACB=∠OCA-∠OCB,而tan∠OCA=ac,tan∠OCB=b所以tan∠ACB=tan(∠OCA-∠OCB)=ac-bc1+abc2=a-bc+abc,而c+abc≥2ab,所以tan∠ACB=a15.-π6(答案不唯一,满足α=-π6+kπ(k∈Z)或α=π2+kπ(k∈Z)的其中一值即可)解析由题意可得OA=(