中考数学复习二次函数教案1

中考数学专题复习五二次函数

【教学笔记】

考点一：求二次函数的解析式

1、用待定系数法求二次函数的解析式，要根据给定点的特性选择适宜的式子来求解.

2、已知顶点坐标或对称轴或最大值时，可设顶点式y=a(x・h)2+k.

3、已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴，可通过设交点式

y=a(x-x1)(x-X2)来求解；

4、所给的三个条件是任意三点时，可设一般式y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解.

考点二：根据二次函数图象及性质判断代数式的符号

1、二次函数图象与系数的关系.

2、注意二次函数的系数与其图象的形状、对称轴、特殊点的关系.

3、二次函数与x、y轴的交点问题，根据题意得出抛物线对称轴.

考点三：二次函数与实际问题

1、如物体的运动规律问题、销售利润问题、几何图形的变更问题、存在性问题等.

2、最值问题

3、函数与方程结合

考点四：二次函数的综合应用

1、动点问题

2、数形结合

3、分类讨论

4、与几何图形结合、勾股定理等

【典型例题】

考点一：求二次函数的解析式

【例1】例1：（2016•四川攀枝花）将抛物线y=-2X2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长

度所得的抛物线解析式为（C）

A.y=-2(x+1)2B.y=-2(x+l)2+2

C.y=-2(x-1)2+2D.y=-2(x-1)2+l

【例2】（2016•资阳）已知抛物线与x轴交于A（6,0）、B（-苴，0）两点，与y轴交

4

于点C,过抛物线上点M（1,3）作MN_Lx轴于点N,连接OM.

（1）求此抛物线的解析式;

（2）如图1,将^OMN沿x轴向右平移t个单位（0RW5）到^的位置，MN\MO

与直线AC分别交于点E、F.

①当点F为MQ，的中点时，求t的值；

②如图2,若直线M，N，与抛物线相交于点G,过点G作GH〃M，O,交AC于点H,试确定线

段EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t的值：若不存在，请说明理由.

【分析】（1）设抛物线解析式为y=a（x-6）（x+l）,把点M（1,3）代入即可求出a,

4

进而解决问题.

（2））①如图1中，AC与OM交丁点G.连接EOZ首先证明^AOC-AMNO,HlOM±AC,

在RTAEOW中，利用勾股定理列出方程即可解决问题.

②由△GHE^AAOC得旦色=空=内，所以EG最大时，EH最大，构建二次函数求出EG的

HECO

最大值即可解决问题.

【解答】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+旦),把点M(1,3)代入得a;

4

_4

15

・•・抛物线解析式为y=-工-(x-6)(x+立)，

154

:.\=--1-X2+-^-X+2.

1515

(2)①如图1中，AC与OM交于点G.连接EO"

VAO=6,OC=2,MN=3,ON=1,AMN=3,:.二℃

OCONMNON

*/ZAOC=ZMON=90°,/.AAOC^AMNO,ZOAC=ZNMO,

VZNMO+ZMON=90°,AZMON+ZOAC=90°,AZAGO=90°,AOM±AC,

•••△乂4，0，是由4MNO平移所得，，CTM，〃OM,AO'M'XAC,

VM,F=FO,,・・・EM'=EO',

.ENZ_5-t.•・EN』L(5-t),

・・—・•・*端263

，，

在RTAEON，中，•・・O'N'=1,EN'=L(5-t)EO=EM=—+—t,

333

(A+lt)2=1+(苴--It)2,At=i.

3333

②如图2中，

•・・GH〃O'M',O'M'_LAC,AGH±AC,AZGHE=90°,

•?ZEGH+ZHEG=90°,ZAEN,+ZOAC=90°,/HEG=/AEN',

・•・ZOAC=ZHGE,•・•ZGHE=ZAOC=90°,/.△GHE^AAOC,

...5G_AC=^]^,JEG最大时，EH最大，

HECO

Z2

VEG=GN-EN'=--£(t+1)+H(t+1)+2-[(5-t)4t2+16l+4__4

151531515315

2+丝.・・・t=2时，EG最大值=卫，・・・EH最大值二12任

5595

・•・t=2时，EH最大值为I2岳.

95

【例3】（2013•资阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线y=ax2+bK+c（a^O）,

与K轴的另一交点为E,连结CE,点A、B、D的坐标分别为（-2,0）>（3,0）、（0,4）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知抛物线的对称轴1交x轴于点F,交线段CD于点K,点M、N分别是直线1和x轴上的动点，连

结MN,当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；

（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为3：4的两部分，求出

该直线的解析式.

考点：二次函数综合题

分析：（1）根据平行四边形的性质可求点C的坐标，由待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）连结BD交对称轴于G,过G作GN_LBC于H,交x轴『N,根据待定系数法即可求

出直线BD的解析式，根据抛物线对称轴公式可求对称轴，由此即可求出点N的坐标；

（3）过点M作直线交x轴于点Pi,分点P在对称轴的左侧，点P在对称轴的右侧，两种情

况讨论即可求出直线的解析式.

解答：解：（1）•・•点A、B、D的坐标分别为（・2,0）、（3,0）、（0,4）,且四边形ABCD

是平行四边形，・・・AB=CD=5,・••点C的坐标为（5,4）,

4a-2b+c=0

•・•过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a#））,25a+5b+c=4，

c=4

故抛物线的解析式为y=-&2+^x+4.

37

(2)连结BD交对称轴于G,在RSOBD中,易求BD=5,ACD=BD,则NDCB=NDBC,

XVZDCB=ZCBE,AZDBC=ZCBE,过G作GN_LBC于H,交x轴于N,

易证GH=HN,工点G与点M重合，故直线BD的解析式y=-a+4

根据抛物线可知对称轴方程为x=2则点M的坐标为（至，2）,即GF=ZBF=2,

22332

又,.,MN被BC垂直平分，•••BMnBNq,・,•点N的坐标为（吊,0）；

（3）过点M作直线交x轴于点Pi,易求四边形AECDi勺面积为28,四边形ABCD的面积

为20,由“四边形AECD的面积分为3：4”可知直线PiM必与线段CD相交，设交点为Qi,

四边形AP1Q1D的面枳为Si,四边形PIECQI的面积为S2,点PI的坐标为（a,0）,

假设点P在对称轴的左侧，则PiF=&-a,PiE=7-a,

2

由△MKQisaMFPi,得MK-FM,

Q1KFPi

易求QIK=5PIF=5（，・a）,ACQ1=--5（至-a）=5a-10,AS2=（5a-10+7-a），

222

根据Pi（J,0）,M（总4可求直线PiM的解析式为y-Bx-6,

4233

若点P在对称轴的右侧，则直线P2M的解析式为y=-A+-22.

33

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：平行四边形的性质，待定系数法求抛物线的解析

式，待定系数法求直线的解析式，抛物线对称轴公式，分类思想的运用，综合性较强，有一

定的难度.

【课后练习】

1、（2016•四川成都）将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的

函数表达式为（A）

A.y=（x+2）2-3B.y=（x+2）2+3C.y=（x-2）2+3D.y=（x-2）2-3

2、（2014年四川资阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3,0）,与y轴的交点为B

（0,3）,其顶点为C,对称轴为x=l.

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰二角形时，求由M的坐标；

（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0VmV3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC

重叠部分的面积记为S,用m的代数式表示S.

分析：（1）根据对称轴可知，抛物线产ax?+bx+c与x轴的另一个交点为（7,0）,根据待定系数法可

得抛物线的解析式为y=-X2+2X+3.

（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB二AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标.

（3）平移后的三角形记为aPEF.根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=・x+3.易得直线EF的解析

式为y=・x+3+m.根据待定系数法可得直线AC的解析式.连结BE,直线BE交AC于G,则G（1,3）.在

△AOB沿x轴向右平移的过程中.分二种情况：①当OVmW乜时；②当《VmV3时；讨论可得用m的代数

22

式表示S.

解答：解：（1）由题意可知，抛物线产ax?+bx+c与X轴的另一个交点为（-1,0）,则

'9a+3b+c=0（d=~l

<a-b+c=O,解得<b=2.故抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

Lc=3c=3

（2）①当MA=MB时，M（0,0）:

②当AB=AM时，M（0,-3）；

③当AB=BM时，M（0,3+3加）或M（0,3-3沈）.

所以点M的坐标为：（0,0）、（0,-3）、（0,3+3亚）、（0,3-3加）.

（3）平移后的三角形记为△PEF.

设直线AB的解析式为y=kx+b,则|3k+b=0，解得Jk=~.

b=3b=3

则直线AB的解析式为y=-x+3.

△AOB沿x釉向右平移m个单位长度（0<m<3）得到△PEF,

易得直线EF的解析式为y=-x+3+m.

设宜线AC的解析式为y=k，x+b'则俨'+b'=0,解得尸二一2.

W+b，=4lb7=6

则直线AC的解析式为y=-2x+6.连结BE,直线BE交AC于G,则G（怖，3）.

在△AOB沿x轴向右平移的过程中.

①当OVmW时，如图1所示.设PE交AB于K,EF交AC于M.则BE=EK=m,

2

PK=PA=3-m,

‘尸一2x+6fx=3-m

联立.，解得《，即点M(3-m,2m).故S=SAPEF-SAPAK

y=-x+3+m[y=2m

-SAAFM=-ipE2-1PK2-工AF・h

222

=--—(3-m)2--in*2m=--m2+3m.

2222

②当乜VmV3时，如图2所示.设PE交AB于K,交AC于H.

2

因为BE=m,所以PK=PA=3-m,又因为直线AC的解析式为y=-2x+6,所以当

x=m时，得y=6-2m,所以点H(m,6-2m).

故S=SAPAH-SAPAK=—PA*PH--PA2=-—(3-m)*(6-2m)--(3-m)2=—m2

22222

-3m+2

2

综上所述，当0Vms乜时，S=--in2+3m；当至VmV3时，S=-in2-3m+—.

~22222

3、（2015年四川资阳）已知抛物线p：尸M+fex+c的顶点为C,与x轴相交于A、8两点（点A在点8左侧），

点C关于x轴的对称点为C,我们称以A为顶点且过点C,对称轴与），轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之

星”抛物线，直线力。为抛物线〃的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是），

=r+2.v+l和y=2t+2,则这条抛物线的解析式为.

解析：先求出y=x?+2x+l和y=2x+2的交点C的坐标为（1,4），再求出“梦之星”抛物线y=x?+2x+l的顶点

A坐标（-1,0）,接着利用点C和点C关于x轴对称得到C（1,-4）,则可设顶点式y=a（x-I）9-4,

然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式.

解答：W：Vy=x2+2x+l=（x+1）2,・・.A点坐标为（-1.0）,解方程组［尸X、2x+1得,二一1或（、二1

y=2x+2Iy=o尸4

，点C的坐标为（1,4）,丁点C和点C关于x轴对称，・・・C-4）,

设原抛物线解析式为y=a（x-1）2-4,把人（-1,0）代入得42-4=0,解得a=l,

・•・原抛物线解析式为y=（x-I>2-4=X2-2X-3.故答案为y=x2-2x-3.

4、（2014年四川成都）将二次函数）'工厂2-2*+3化为），=*一力）’~+47的形式，结果为（）

（A）y=（1+1尸+4（B））=（x+1）2+2

22

（c）j=（x-l）+4（D）y=（x-1）+2

解：y=x2-2x+3=x2-2x+l+2=（x-l）2+2故选D。

考点二：根据二次函数图象及性质判断代数式的符号

【例1】（2014年四川资阳）二次函数y=ax2+bx+c（a#））的图象如图,给出下列四个结论:

©4ac-b2<0；②4a+cV2b；③3b+2c<0：@m（am+b）+b<a（-1）,

其中正确结论的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

解：•・•抛物线和x轴有两个交点，・・・b2-4ac>0,.\4ac-b2<0..•・①正确；

•・•对称轴是直线x=-1,和x轴的一个交点在点（0,0）和点（1,0）之间,

・••抛物线和x轴的另一个交点在（-3,0）和（-2,0）之间，

，把（-2,0）代入抛物线得：y=4a-2b+c>0,.・.4a+c>2b,.••②错误;

•・,把(1,0)代入抛物线得：y=a+b+c<0,.,.2a+2b+2c<0,Vb=2a,A3b,2c<0,.••③正确;

,抛物线的对称轴是直线x=-1,/.y=a-b+c的值最大,

即把(m,0)(mRO)代入得：y=am2+bm+c<a-b+c,am2+bm+b<a,

即m(am+b)+bVa,・••④正确;

即正确的有3个，故选B.

【例2】（2013•资阳）如图，抛物线丫=2*2+6*+©（a和）过点（1,0）和点（0,-2）,且顶点在第三象限,

设P=a-b+c,则P的取值范围是（）

A.-4<P<0B.-4<P<-2C.-2<P<0D.-1<P<O

分析：求出a>0,b>0»把x=l代入求出a=2-b,b=2-a,把x=-1代入得出y=a-b+c=2a-4,

求出2a・4的范围即可.

解答：解：•・•二次函数的图象开口向上，，a>0,

:对称轴在y轴的左边，，■券VO,，b>0,

•・•图象与y轴的交点坐标是(0，-2),过(1,0)点，代入得：a+b-2=0,

.*.a=2-b,b=2-a,/.y=ax2+(2-a)x-2,

把x=-l代入得：y=a-(2-a)-2=2a-4,

Vb>0,Ab=2-a>0,Aa<2,

Va>0,A0<a<2,

A0<2a<4,A-4<2a-4<0,即-4VPV0,故选A.

【课后练习】

1、(2016•资阳)已知二次函数y=x?+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A(xi,m)、

B(xi+n,m)两点，则m、n的关系为()

A.m=—nB.m=iiC.m=—n2D.m=—n2

2424

【分析】由“抛物线y=x?+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=-2•时，y=0.且b?-4c=0,

2

即b2=4c,其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关丁对称轴对称，故A(-k-2，

22

in),B(-KU,m)；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论.

22

【辞答】解：「抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，，当x=・上时，y=0.且b2-4c=0,

2

即b2=4c.又，・,点A(xi,m),B(xi+n,m),・••点A、B关于直线x:-也•对称，

・・.A(-上-匚，m),B(-上+匚，m),将A点坐标代入抛物线解析式，得m=(-k-2)

222222

2+(---—)b+c,即m=-3^—--^―+c,Vb2=4c,/.m=—n2,故选D.

22444

2、函数y=at+b和>=。工2+6+。(。，())在同一直角坐标系内的图象大致是()

【答案】C；

【解析】•・•a/）,・•・分a>0,aVO两种情况来讨论两函数图象的分布情况.

若a>0,则y=ax+b的图象必经过第一、三象限，y=如二+/zx+c的图象开口向上，可排除D.

若a>0,b>0,则y=ax+b的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，y=ad+/?x+c的图象的对称轴

在y轴的左侧，故B不正确.

若a>0,b<0,则y=ax+b的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，y=ad+历；的图象的对称轴

在y轴的右侧，故C正确.

若a<0,则y=ax+b的图象必经过第二、四象限，y=+/zr+c的图象开口向下，故A不正确.

考点三：二次函数与实际问题

【例1】（2014年四川资阳）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价yi（元/

台）与采购数量Xi（台）满足yi=-20x1+1500（0<xi<20,xi为整数）；冰箱的采购单价y21元/台）与米

购数量X2（台）满足y2=-10x2+1300（0<X2<20,X2为整数）.

（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的工，且空调采购单价不低于1200元，问该商

9

家共有几种进货方案？

（2）该商家分别以176（）元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完.在（1）的条件下，

问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润.

解答：解：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20-x）台,

x>y(20-x)①

由寇意得,

-20x+1500>1200②

解不等式①得，x>ll,解不等式②得，x<15,

所以，不等式组的解集是110x05,

•・・x为正整数，・・・x可取的值为II、12、13、14、15,所以，该商家共有5种进货方案;

(2)设总利润为W元，y2=-10x2+1300=-10(20-x)+1300=10x+l100,

贝ijW=(1760-yi)xi+(l700-y2)x2=1760x-(-20x+1500)x+(1700-lOx-1100)(20-x),

=1760x+20x2-l500x+10x2-800x+12(X)0=30x2-540x+12000=30(x-9)2+9570,

当x>9时，W随x的增大而增大，:11夕515,

・•.当x=15时，W此大值=30(15-9)2+9570=10650(元)，

答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元.

【例2】（2014年四川成都）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），

用长为28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB二x米。

（1）若花园的面积为192平方米，求x的值；

（2）若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15米和6米，要将这

棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值。

【解析】AB+AC=28m,6<x;28-x>15

解：（1）由题意可知：x（28-x）=192,解得x=12或16；Ax的值为12

米或16米;

（2）VS=X28-x）=-x2+28x（6<x<13）；.•・当x=13米时，=i95rn~

【课后练习】

1、（2016年四川成都）某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高.果园

产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵

树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种x棵橙子树.

（1）直接写出平均每棵树结的橙子数y（个）与x之间的关系式；

（2）果园多种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？最大为多少个？

解：（1）y=6OO-5x；

（2）设果园多种x棵橙子树时，橙子的总产量为z个.由题知：

Z=（100+x；y=（100+x）（600-5x）=-5（x-/0）2+6O5OO

Va=-5<l）:.当x=l（）时，Z隶大=60500.

・•・果园多种10棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大，最大为60500个.

2、某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根

据俏售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套.设箱售

单价为x（xM60）兀，销售量为y套.

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？

（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？

解：（1）销售单价为x元，则销售量减少上网X20,

5

故销售量为y=240-土£2X20=-4X+480（X>60）；

(2)根据题意可得，x(-4x+480)=14(X)0,解得xi=70,X2=5O(不合题意舍去)，

故当销售价为70元时，月销售额为14000元;

(3)设一个月内获得的利润为w元，根据题意得:

w=(x-40)(-4x+480)=-4X2+640X-19200=-4(x-80)-+6400.

当K=80时，w的最大值为6400.

故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元.

考点四：二次函数的综合应用

【例1】(2015四川资阳)已知直线产去+。(写0)过点F(0,1),与抛物线产上/相交于B、C两点.

4

(1)如图13-1,当点C的横坐标为1时，求直线8C的解析式;

(2)在(1)的条件下，点”是直线4c上一动点，过点M作)，轴的平行线，与抛物线交于点。，是

否存在这样的点M,使得以M、0、0、尸为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不

存在，请说明理由;

(3)如图13-2,设过点£(0,-1)的直线/〃x轴，BRL于R,CS_L/于S,连接FR、

E

图13-2

分析：(1)首先求出C的坐标，然后由C、F两点用待定系数法求解析式即可;

(2)因为DM〃OF,要使以M、D、0、F为顶点的四边形为平行四边形，则DM=OF,设M(x,-A+1),

4

则D(x,lx2),表示出DM,分类讨论列方程求解;

4

(3)根据勾股定理求出BR=BF,再由BR〃EF得至i」NRFE=NBFR,同理可得NEFS=/CFS,所以

NRFS」NBFC=90。，所以△RFS是直角三角形.

2

解答：解：(1)因为点C在抛物线上，所以C(1,1)，乂•・•直线BC过C、F两点,

4

%二13

故得方程组：1解之，得＜4,所以直线BC的解析式为：y=--5x+l；

k+b=N4

b=l

（2）要使以M、D、0、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=0F,如图1所示,

设M(x,-2x+l),则D(x,-lx2),

44

•；MD〃y轴，

・・.MD=-gx+l-h,

44

由MD=OF,可得|一2x+1-lx2|=l,

44

①当-&+1-工2=1时，

解得xi=0(舍)或xi=-3,

所以M(・3,玛，

4

②当-&+1-工2,=-］时，

44

解得，乂=二3±®,

2

所以M(二1一恒17+3何或M二+回17-3河)

282

综上所述，存在这样的点M,使以M、D、0、F为顶点的四边形为平行四边形,

M点坐标为7孕或哼L或（一垣二叵；

（3）过点F作FT_LBR于点T,如图2所示，

•・,点B（m,n）在抛物线上，/.m2=4n,

在RfBTF中，22

BF=^BT2+TF^+m

Vn>0,ABF=n+l,又・.・BR=n+1,ABF=BR.AZBRF=ZBFR,

又EF_L1,・・・BR〃EF,AZBRF=ZRFE,ZRFE=ZBFR,

同理可得NEFS二NCFS,/.ZRFS=1ZBFC=9O°,，ARFS是直角三角形.

【课后练习】

1、（2016四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线），=。（工+1『-3与X轴交于A、B两点（点A

在点B左侧），与），轴交于点C（0,-|）,顶点为D,对称轴与X轴交于点H.过点H的直线/交抛物线

于P，Q两点，点Q在y轴右侧.

（1）求a的值及点A、B的坐标;

(2)当直线/将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线/的函数表达式；

(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M,点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN

能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由.

Q

解析：(1)•••抛物线)，=〃您+1)2-3与与y轴交于点C(0,1.

/.«—3=—1|>解得：〃=；，；・J=；(x+1)2—3

当y=o时，有如+1)2—3=0,AX|=2,X2=-4/.A(-4,0),B(2,0).

J

Q

(2)VA(-4,0),B(2,0),C(0,-j),D(-L-3)

；•S四边形ABCD=SAAHD+S梯形OCDH+SABOC=；x3x3+/(g+3)xl+(x2xa=10.

从面积分析知，直线/只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：

①当直线/边AD相交与点Mi时，则SAAHMI=^X10=3,/.1X3X(-yMI)=3

工YMI=-2,点Mi(-2,-2),过点H(-1,0)和Mi(—2,-2)的直线/的解析式为

y=2x+2.

②当直线/边BC相交与点M2时，同理可得点M2(1-2),过点H(—1,0；和M2

-2)的直线/的解析式为尸一营4—4东

综上：直线/的函数表达式为y=2x+2或尸一条4一泰4

(3)设P(xi,yi)、Q(x2,y2)且过点H(—1,0)的直线PQ的解析式为y=kr+b,

:.—k+b=O,/.y=kx4-k.

y=kx+k

・・・xdx2=-2+3k,"“=kx〃k+kx2ik=3k2,・・」《^M是线段PQ的中点，”山中点坐标公式的点M

假设存在这样的N点如下图，直线DN〃PQ,设直线DN的解析式为y=kx+k-3

y=kx-\-k-3

由《128，解得：x\=—\,X2=3k—1,

y=—x2+—x——

333

AN(3k-l,3k2-3)

,/四边形DMPN是菱形，

1.L7

(38)2+(3公)2=(丁)2+(9火2+3)2

22

整理得:3/—4=0,(公+1)(32

A3k2-4=0,

k

解得攵=±2二一,・.・k<0,・・・攵

3

/.P(—3^/3—1,6)>M(—V3—1，2),N(—2V3—1»28题第3小题图

1）

・・・PM=DN=2由，，四边形DMPN为菱形/.以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时

点N的坐标为（-2/5—1,1）.

2、（2016四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中,y=ax2-2ax-3a（a<0）与x轴交于A、8两

点（点4在点8的左侧），经过点4的直线/：y=Ax+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为

。，且CD=44C.

（1）直接写出点八的坐标，并求直线/的函数表达式（其中k、b用含。的式子表示）；

（2）点E是直线/上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为V，求。的值；

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点小O、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？

若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

备用图

【答案】：(1)4(一1，0),y=ax+a；

(2)a=--1；

(3)P的坐标为(1,一独费)或(1,-4)

【解析】：

(1)A(-1,0)

•・•直线/经过点4，0=-k+b,b=k

：.y=kx+k

令。x2—2ax—3a=kx+k,即ax?—(2a+k)x—3a—k=0

VCD=4AC,：.点D的横坐标为4

k

**•-3—~=—1x4,/.k=a

・•・直线/的函数表达式为y=ax+。

(2)过点£作£F〃y轴，交直线/于点F

设E(x,ax2—2ax—3a),则F(x,ax+a)

EF=ox2-2ax—3a—(ax+a)=ax2-3ax—4o

S/.A2E=SAAFE~5acF£=y(ax2—3ax—4a)(x+l)(ax2—3ax—4a)x

=7(ax2-3Gx-4a)=7a(x-y)2--^a/.A4CE的面积的最大值为一卷a

LZZOO

,.•△ACE的面枳的最大值为搭，・,•一失=)，解得(7=一/

(3)ox2—2ax—3a=ax+a,§Pax2—3ax—4a=0

解得Xi=-1，/2=4；:.D(4,5a)

•・・y=ax2-2ax-3a,J抛物线的对称轴为x=l

设P(1,m)

①若AD是矩形的条边，则Q(—4,21a)

m=21a+5a=26a,则P(l,26a)

,/四边形ADPQ为矩形，，ZADP=90°

:,AD2-^-PD2=AP2

.•.52+(5a)2+(l-4)2+(26a-5a)2=(-l-l)2+(26a)2

即。2=/,Va<0,—/.Pi(1,)

②若4。是矩形的一条对角线,

则线段4。的中点坐标为y),Q(2,-3a)

m=5a-(-3a)=8o,贝8a)

•・•四边形4PDQ为矩形，.••Napongo。

：,AP2-^-PD2=AD?

(—1—1)2+(8a)②十(1—4)2+(8a—5a)2=5之+(5a)2

即。2=(，Va<0,/.a=-y,/.P2(1»-4)

_26^,)或(1,-4)

综上所述，以点4D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1,

3、（2014年四川自贡）如图，已知抛物线产加-/+c与x轴相交于A、8两点，并与直线产上-2交于

B、C两点，其中点C是直线-2与），轴的交点,连接AC.

（1）求抛物线的解析式;

（2）证明：△ABC为直角三角形；

（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形。EFG?（顶点。、E、F、G在△A8C各边上）若能，求出最大

面枳：若不能，请说明理由.

分析：（I）由直线尸产2交x轴、），轴于乐C两点，则B、C坐标可求.进而代入抛物线产加-寺七

即得。、c的值，从而有抛物线解析式.

（2）求证三角形为直角三角形，我们通常考虑证明一角为90。或勾股定理.本题中未提及特殊角度，而已

经A、B、C坐标，即可知A3、AC.BC,则显然可用勾股定理证明.

（3）在直角三角形中截出矩形，面积最大，我们易得两种情形，①一点为C,A3、AC.8c边上各有一点,

②A8边上有两点，AC.边上各有一点.讨论时可设矩形一边长x,利用三角形相似等性质表示另一边,

进而描述面积函数.利用二次函数最值性质可求得最大面积.

解答：(1)解：•・•直线产1-2交x轴、y轴于B、C两点，，B(4,0),C(0,-2),

2

0=16a-6+c

V}=ar--x+c过8、C两点,

2-2=c

(2)证明：如图1,连接AC,

••・尸L2-4-2与x负半轴交于A点，

'22

・•*(-1,0),在心△AOC中，

*0=1,OC=2,・•・心加，

在R/ZSBOC中，VBO=4,OG2,:.BC=2近

・73=40+80=1+4=5,・・."2=4。2+4。2,

・•・△八BC为直角三角形.

(3)解：△ABC内部可截出面积最大的矩形OEFG,面积为工,理由如下:

2

①一点为C,AB.AC.BC边上各有一点，如图2,此时

△AGFsAACBsAFEB.设GC=x,AG=屈-x,

vAG_GF?AV5J2__GFf:.GF=2^-2x,

ACCBV5275

2。一•「

••・5=GC・GF=x・(2V5-2x)=-2A+2V&V=-2[(x-亚)2-月=-2

24

G-返2+3即当尸近时，$最大，为王.

2222

②48边上有两点，AC,8c边上各有一点，如图3,此时

△CDEsMABsAGAD,设G/Xr,

・・AD_GD.ADx•人〜巫、.

ABCB5颂2

・•・CD=CA-AD=V5-苧，

Vsx

..CDDE-夸迈，；・OE=5-刍,

・林宝――西一二52

••・S=GQ・OE=x・(5-&)=-冬+5产-3(X-1)2-1]=--^

2222

(A-1)2+9即产I时，S最大，为国

22

综上所述，△相(?内部可截出面积最大的矩形Q"G,面积为m

2

【课后作业】

一、选择题

1.已知抛物线C:y=f+3x-l（）,将抛物线C平移得到抛物线C.若两条抛物线C、。'关于直线x=l

对称.则下列平移方法中，正确的是（）.

A.将抛物线C向右平移』个单位B.将抛物线C向右立移3个单位

2

C.将抛的线C向右平移5个单位D,