江苏省苏州市虎丘区苏州高新某中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷（含答案）

2025・2026学年江苏省苏州市高新实验中学八年级(上)期中数学试

卷

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是()

A.9,6,15B.8,10,20C,14,7,6D.3,4,5

2.我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示意图，AE=

AF,GE=GF,则△AEGgaAFG的依据是()

A.SASB.4SAC.AASD.555

3.下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.x(x24-1)=%3+xB.x3+x=x(x2+1)

C.x3+x=x2(x+^)D.x3+%+1=x(x2+1)+1

4.把分式高中的小)，都扩大3倍，则分式的值()

x十y

A.扩大3倍B.扩大6倍C.缩小为原来的＜D.不变

5.小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的

等式，此等式是()

A.a2+2ab+炉=(a+b)(a+b)b

B.a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)

C.a2—b2=(a+b)(a—b)

D.2Q2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)

6.如图，在△ABC中，力E是人C的垂直平分线，4c=8cm,月.△ABD

的周长为14c利，则△48C的周长为（）

A.15cm

B.18C/M

C.22cm

D.25cm

7.如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为aS"的部分饮料，若将瓶盖

拧紧倒置，饮料高为〃”〃，空置部分高为人。小则瓶内剩余饮料的体积约占饮料

瓶容积的（）

B•3

a+b

D•提

8.如图，在△48。中，ZC=90°,将△48。沿。£折叠，使点5落在边AC上

的点尸处，若4CFO=63。，且为等腰三角形，则NA是度数为（）

A.51°

B.54°

C.54°或45°

D.51°或42°

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.若代数式占有意义，则实数x的取值范围为

10.如图，在RtZk/lBC中，C。是斜边A8上的中线，若48=4,贝北0=—.

U.分式看和苏的最简公分母为

12.若多项式/+2（机-l）x+9可分解因式为。-3）2的形式，则m的值为

13.若xy=-3,x-y=5,则/y-%y2的值是_

14.定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”，若一个等

腰三角形恰好是“倍角三角形”，则它的顶角度数为______.

15.如图，在△ABC中，CD=5BD,C7平分乙4cB与AD相交于点/,IH1

AC于点H,若BC=6,AC=8,ShABD=4,则〃7的长为—.

16.如图，在△力BC中，AB=AC=2g484c=120。，。为线段边上的动点，以8D为边向上作等

边公BED,连接CE、AD,则40+CE的最小值为.

三、解答题：本题共11小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题4分）

因式分解:

(l)m2—9；

(2)2。2-4ab+2b2.

18.（木小题6分）

计算:

⑴黑.妥

x1

(2)-5----T-7Z----.

%2-42-x

19.(木小题4分)

先化简（1-系）+胃卢，再从-1,1,2三个数字中选择一个合适的数代入上式求值.

20.（本小题4分）

已知：如图，点E、尸在CO上，且凡AE=BF,AE//BF.

求证：^AEC^LBFD.

c

21.（本小题4分）

要在两个城镇A、月的附近修建一个加油站.如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、8的距离必须相

等，到两条高速公路〃?和〃的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留

作图痕迹）

22.（本小题5分）

如图，中，LBAC=90°,4c=30°,AD1BC^D,B尸平分乙力8C,交AD于E,交AC于尸.

（1）求证：尸是等边三角形;

(2)求证:BE=EF.

23.（本小题5分）

定义：若两个分式的和为九s为正整数），则称这两个分式互为“〃阶分式”，例如：4r+rr=nr£2=

人IAAI^I人

3,则分式言与总互为“3阶分式”.

（1）分式卷与翡互为“一一阶分式”：

（2）分式标与分式A互为“5阶分式”，求分式4

24.(本小题5分)

如图，NBAC的平分线与8c的垂直平分线相交于点。，DELAB,DFLAC,垂足分别为E、F.

(1)求证：BE=CF；

(2)若NF=6,BC=10,求4ABC的周长.

25.(本小题7分)

阅读与思考：“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全

平方式的和的形式.巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解.

例如：+4x-5=+4x+22-27-5

=(X+27一9

=(x+2)2-32

=Q+2+3)(%4-2-3)

=(x+5)(%-1).

(1)【解决问题】运用配方法将多项式进行因式分解：X2-8X-9；

(2)【深入研究】试说明多项式/-6%+12的值总是一个正数；

(3)【拓展运用】已知a,4c分别是△48C的三边，Ka2-2ab+2b2-2bc+c2=0,试判断△力BC的

形状，并说明理由.

26.(本小题7分)

将两个全等的直角三角形4BC和。BE按图1方式摆放，其中上4c8=NZ)EB=90°,/力==30°,点

备用图

(1)求证：AF+EF=DE；

(2)若将图I中的△DBE绕点8按顺时针方向旋转角a,且0。＜。＜180。，其他条件不变，请在备用图中画

出变换后的图形，并直接写出AF、七尺。E之间的数量关系.

27.(本小题9分)

2

如图，在△A8C中，AB=AC=10cm,BC=12cm,S„ABC=48cm,AD1BC,垂足为。.动点。以

2cm/s的速度从点4出发沿三角形的顶点4tBtC匀速运动，同时动点。以lcm/s的速度从点。出发沿

CA向点A方向匀速运动.当点。停止运动时，点P也随之停止.设点P运动的时间为ts.

(1)如图1,若点P在线段人区上运动，连接CP,交AD于点七，连接石(2.当亡=_____s时，Z.APE=

Z-AQEx

(2)如图1,当亡=______s时，点P恰好落在△ABC的角平分线上.

(3)如图2,当£=6s时，连接P。，交A。于点尸，求翳^的值.

参考答案

一、选择题:

1.D

2.D

3.B

4.0

5.B

6.C

7.A

8.0

二、填空题：

9.XN3

10.2

11.6x2y2

12.-2

13.-15

14.36°或90°

15*2

*13

16.4C

三、解答题：

17.解:(1)原式=(m+3)(m-3)：

(2)原式=2(a2-2ab+b2)

=2(a—/?产

18解:(1)原式=笨.箸

_8a2c3

一27b4

(2)原式=a+2)a-2)+(x+2)(x-2)

_2x+2

=^4-

19.解：原式

I1XIXI1

_x—1X+1

才+1(%-l)2

1

二口’

•••X+1HORx-1*0,

•••x工一1且xw1,

当x=2时，原式=4=1.

Z-1

20.证明：•••4E//BF*,

:.Z.AEC=Z-BFD.

在Zi/EC和△8F7)中，

(CE=DF

\z-AEC=乙BFD,

(AE=BF

:小AEC£xRFD(SAS).

21.解：如图所示,P点即为所求.

22.证明：(1)v^BAC=90°,ZC=30°,

Z.ABC=60°,

vBF平分41BC,

:./.ABF=乙CBF=30°,

vAD1BC,

£ADB=90°,

:•乙AEF=乙BED=90°一乙CBF=60°,

-/.AFB=90°-^ABF=30°,

:.Z.AFE=Z.AEF=60°,

.••△4EF是等边三角形；

(2),.・z4DB=90°,Z-ABC=60%

A£BAE=乙4BF=30°,

•••AE=BE,

由(1)知是等边三角形,

AE=EF,

:.BE=EF.

”包,1、12x,1812x+lB.

23・解：（1A.赤+赤=^TF=6,

••份式照与弱互为"阶分式”；

故答案为：6；

（2）；分式蒜与分式人互为“5阶分式”，

15x，A

/+A—5R

4+3x

20

解得A

4+3"

24/1）证明：连接CO,BD,如图所示:

••♦AD是NB4c的平分线，DELAB,DF1AC,

：.DE=DF,4DEA=zF=乙DEB=90°,

：.LADE,^ADF,&BDE,△力DF都是直角三角形,

・•・CG是3c边的垂直平分线，

BD—CD,

^£Rt△BDE^Rt△ADF^t

(DE=DF

(BD=CD'

:.Rt△BDE三R£△ADF(HL),

:.BE=CF；

(2)解：设BE=CF=Q,

•:AF=6,BC=10,

AC=AF—CE=6—a,

在Rt/iADE和RtzMDF中,

(DE=DF

lAD=AD'

：•RtAADE三RtAADF(HL),

•••AE=AF=6,

:.AB=AE+BE=6+Q,

AB。的周长为：AC+AB+BC=6-a+6+a+10=22.

25.®：(l)x2-8x-9=x2-8%+42-42-9

=(%-4)2-25

=(x-4)2-52

=(x-4+5)(%-4-5)

=(%4-l)(x-9).

(2)/-6x+12=x2-6x4-94-3

=(x-3)2+3.

•••Q-3)2>0,

(r-3)2+3>0.

••・多项式/一6x+12的值总是一个正数.

(3)A48C为等边三角形.理由如下：

a2,-2ab+2b2-2bc+c2=0.

(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)=0.

(a-b)2+(b—c)2=0.

a-b=0,b—c=0.

a=b=c.

••.△ABC为等边三角形.

26.[1)证明：如图1中，连接8F,

•••BC=BE,

在股△8。"和RtZkBEF中，

(BF=BF

IBC=BE'

：♦Rt△BCF三Rt△BEF(HL),

图I

EF=CF,

­.AF+EF=AC=DE；

(2)解：当0。＜。＜60。，中的结论仍然成立；理由如下：如图2-1所示：延长

DE交AC与点F,连接8R

在AM8CF和RtZkB"中,

(BF=BF

(BC=BE'

图24

Rt△BCF三Rt△FFF(WL),

EF=CF,

：.AF+EF=AC=DE；

如图2—2中，当60。＜/?＜180。，(1)中的结论不成立，AF-EF=DE.理由如下；如图③所示：连接

BF,

在At△BCF^Rt△8EF中，"

(BF=BF\z/_________

\BC=BE'fVTc

Rt△BCF三R£△BEF(HL),\/

:.EF=CF,。图2~2

AF-FC=AC=DEt

AF-EF=DE；

当a=60°时，C,E,尸重合，EF=0,力r=DE结论成立.

27.解:⑴•••AB=AC,4。IBC,

:./.BAD=Z.CAD,

vZ.APE=Z.AQE,AE=AEt

.••△APE丝△4QE(44S),

AP=AQ,

由题可知，当点P在AB上H寸，AP=2t,CQ=t,

：.AQ=AC-CQ=10-t,

2t=10-t,

解得”?

故答案为：与；

(2)根据题意可知0<t<10,BD=CD=；BC=6cm,

当点P在乙4cB的平分线上时，如图,

过P分别作AC和的垂线段，垂