中考数学-辅助圆问题（3种题型12个重难点）学生版

圆的综合问题

重难点一利用到定点距离等于定长建

立辅助圆

四点共圆问题重难点二由定角定线确定隐圆

重难点三由四边形对角互补确定隐圆

重难点四利用同侧等角建立隐圆

重难点一圆的翻折

重难点二圆的旋转

圆的综合问题1圆与图形变换问题

重难点_圆的覆盖

重难点四圆的截取

_____________________Z

重难点一圆与四边形综合

重难点二圆与三角形综合

圆的综合问题

重难点三圆与函数综合问题

［重难点四圆与具它问题

题型1四点共圆问题

判定方法1:如图1,若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（圆的定义）.

适用范围：题目出现共端点，等线段时，可利用圆的定义构造辅助圆.

判定方法2：如图2,同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆.

判定方法3：如图3,若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆.

判定方法4：如图4,共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆.

适用范围：双直角三角形共斜边模型.

图1图2图3图4

重难点二利用到定点距离等于定长建立辅助圆

1.（23-24九年级上•湖北武汉•期中）如图，在四边形力BCD中，AD//BC,AB=1,AD=BD=CD=2,则

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AC=()

2.（2D22九年级上•全国•专题练习）如图，四边形48co中，AB=AC=AD,^ZCAD=3ZBAC,若

3.（2D21•四川攀枝花•中考真题）如图，在矩形?!a刀中，已知仍=3,应?=4,点P是比?边上一动点（点尸不

与8C重合），连接4月作点方关于直线〃的对称点机则线段比的最小值为（）

A.2B.-C.3D.V10

2

4.（河北省石家庄市2017届中考数学二模试卷）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,NA=63°,点F在边

AC上，并且CF=2,点E为边BC上的动点，将ACEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，贝U点P至U边AB距离的最小

5.（2D22•广西柳州•中考真题）如图，在正方形力及刀中，AB=A,G是眩的中点，点£是正方形内一个动点,

且用=2,连接龙，将线段应'绕点〃逆时针旋转90°得到线段连接6E则线段6F长的最小值为.

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6.(江苏省苏州市西安交通大学苏州附属初级中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题)在Rt△月仇？中,

N44俏90°,/阳占30°,将△/1比绕点力顺时针旋转一定的角度a得到△/1/为，点/人。的对应点分别是以I).

(1)如图1,当点£'恰好在力。上时，求NO9F的度数；

图1

⑵如图2,若a=60°时，点尸是边4。中点，求证：四边形质必是平行四边形;

(3)当"、=2时，连接CD,设'的面积为S.在旋转过程中，S是否存在最大值？若存在，请直接写出S

的最大值；若不存在，请说明理由.

重难点二由定角定线确定隐圆

7.(2A21九年级上•江西新余•阶段练习)如图，在△ABC中，ZBAC=90",AC=5,48=4,〃是AC上一

个动点，以力。为直径的圆。交80于万则线段CE的最小值是.

8.(21-22九年级上•湖北孝感•阶段练习)如图，正方形48co的边长为4,点E是CO边上一点，连接力E,过点

B作BG_L4E于点G,连接CG并延长交4。于点尸，则4尸的最大值是

9.(22-23九年级上•浙江宁波•阶段练习)在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),8(-6,0),点C是

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y轴上一个动点，当NBC4=45°时.点C的坐标为()

A.(0,2)B.(0,2)或(0,-2)

C.(0,12)D.(0,12)或(0,-12)

10.(2023九年级-江苏泰州・专题练习)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格

点.如图，在6x6的正方形网格图形A8CO中，M,N分别是45,BC上的格点，BM=4,BN=2.若点P是这个网

格图形中的格点，连接PM,PN,则所有满足/MPN=45°的中，边PM的长的最大值是

11.(2022•广西•中考真题)已知“MON=a,点力，6分别在射线OM,ON上运动，AB=6.

图⑶

(1)如图①，若a=90°,取49中点〃，点4«运动时，点〃也随之运动，点力，&〃的对应点分别为4',8，

D，连接。。,。0’.判断如与00,有什么数量关系?证明你的结论：

(2)如图②，若a=60°,以力〃为斜边在其右侧作等腰直角三角形"乙求点。与点C的最大距离：

(3)如图③，若a=45°,当点儿4运动到什么位置时，A/lOB的面积最大?请说明理由，并求出△力。8面积的最

大值.

12.(河南省信阳市罗山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题)(1)【学习心得】学习完“圆”这

一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易.我们把这个过程称为“亿隐圆为显

圆”.这类题目主要是两种类型.

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ffll图2

①类型一，“定点+定长”.如图1,在△力8c中，AB=AC,NBA。=56°,〃是△48C外一点，且40=4C,

求/B0C的度数.

解：若以点力（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆04（请你在图1上画圆），则点£〃必在。力上，

/BAC是OA的圆心角，而/BDC是圆周角，从而可容易得到ZBDC=_.

②类型二，“定角+定弦”.如图2,RtA4BC中，AB1BC,48=12,BC=8,〃是△48C内部的一个动点，且

满足NPAB=48C,求线段CP长的最小值.

解：'：/ABC=90°,

:.NABP+ZPBC=90".

VZPAB=/PBC,

:./BAP+ZABP=90°.

AZAPB=_.（定角）

・••点〃在以48（定弦）为直径的。0上.易求得PC的最小值为

（2）【问题解决】如图3,在矩形力8CD中，已知48=6,8c=8,点〃是8c边上一动点（点?不与反。重

合），连接/1P，作点8关于直线力P的对称点M则线段MC的最小值为_____.

图3

（3）【问题拓展】如图4,在正方形ABC。中，AD=10,动点区“分别在边OC,C8上移动，且满足DE二

CF.连接4E和0/，交于点只

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图4

①请你写出AE与。尸的数量关系和位置关系，并说明理由：

②点，从点〃开始运动到点。时，点夕也随之运动，请求出点尸的运动路径长.

重难点三由四边形对角互补确定隐圆

13.（21-22九年级上•山东德州•期末）如图，在四边形/厉（T中，ZABC=ZADC=W,NABD=68°,则一

。〃的度数为.

14.如图，在.UABO）中,/胡〃为钝帝，且AFLCD.

（1）求证：力、E、a尸四点共圆；

（2）设线段做与（】）中的圆交于，伙At求证：Hif=ND

15.（24-25九年级上•湖南长沙•阶段练习）定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共

圆，简称“四点共圆”.以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？

I.若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图1、2）；

II.若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图3）；

III.若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）.

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D

DD

【结论证明】（1）在图1、2中，取AC的中点。，根据_____得OA-0B—0C—0D,即力，B,C,。共圆;

（2）在图3中，画0。经过点4,B,。（图5）.假设点。落在。。外，BC交于点E,连接0E,可得

4+—=180°,与已知条件—得出矛盾；同理点C也不会落在。0内，即A,B,C,。共圆.结论III同理可

证.

［理解应用】利用四点共圆解决下述两个问题：

（3）证明锐角三角形的三条高交于一点.

已知：如图6,锐角三角形48（；的高HO,.相交于点”，射线人〃交8C于点£求证：力尸是△A4C的高.

（4）如图7,若二次函数y=-/+2x+3的图象与％轴交于力、B两点,与y轴交于点C,P为第二象限上的点，在

直线力C上，旦N0PB=45°；若Q为x轴上方抛物线上的一动点，令Q点横坐标为加（0＜机＜3）,当m为何值时，

△PBQ的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积.

16.在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2）,aABC和△08C中，N%=ND=

90°.试证明月、B、a〃四点在同一圆上.

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A

图Ml)图1(2)

图2图3

小明想到了如下证法：在图1(1)、1(2)中取BC中点机连接则有力M=BM=CM及DM==

CM,即AM=BM=CM=DM,所以月、B、C、〃四点在以必为圆心，M8为半径得圆上，根据以上探究问题得出

的结论，解决下列问题：

(1)如图2,在△/18C中，三条高力0、BE、C"相交于点"若/84。=64。，则尸二

⑵如图3,己知力B是。0的直径，CD是。。的弦，G为的中点，CE上AB于£,DFJ.AB于尸〔£、尸不重

合)，若NEGF求证：CD=-AB.

=60",2

17.(25-26九年级上•广西南宁-阶段练习)阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件

我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实

践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程：

图3图4

已知：在四边形4BCD中，NB+/D=180°.

求证：过点A、8、C、。可作一个圆.

证明：假设过点4、B、C、。四点不能作一个圆，过4、B、C三点作圆.如图1,若点。在圆外，设40与圆相交于

点E,连接CE,则，而已知NB+N0=180°,所以/4EC=N0,而4EC是△CEO的外角，ZAEC>

/D,出现矛盾，故假设不成立，因此点。在过4、B、C三点的圆上.

如图2,若点。在圆内，……(请同学们补充完成省略的部分证明过程)

因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆.

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学习任务：

(1)材料中划线部分的结论是，依据是;

(2)请将图2的证明过程补全；

(3)如图3,在四边形力BCD中，ZABC=ZADC=90",ZCAD=160,AD=BD,则408的大小为

⑷如图4,已知正方形力BCD的边长为6,点P是48边上的一个动点，连接CP,过点P作PC的垂线交40于点E,以

PE为边作正方形PEFG,顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点。.当点P从小运动到8时，点。也随之运动，

求。经过的路径长.

18.(2025•山西吕梁・二模)阅读与思考

阅读下面的材料，并完成相应的任务.

探究四点共圆的条件我们知道，过任亲会一个三角形的三个顶点能径一个圆.过任意一个

四边形的四个顶点能作一个圆吗？

下面给出］「一些圆内接四边形.

0S

CC

图1图2图3分别用量角器测量上面

各四边形的内角，得出结论：/4+NC@180°.(填或“=")

•・•四边形内角和为360°,

・•・NB+ZD®180°.(填“>”“V”或“=”)

如果四边形4BCD的四个顶点不在同一个圆上，那么+N0与180°之间还有上面的

关系吗？试结合下图中的两种情况进行:证明.

图4图5••••••

(2)请你在图4与图5中选择其中一个图.探究//?+/D与180°之间的关系.

(3)如图6,点£在四边形/以⑺的边/心的延长线上，ZCBE=ZD,BC=CD,/BCD=130°,请在图6中作

一个过力，B,〃三点的。。(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并直接写出44?的度数.

图6

19.(24-25九年级上•江苏徐州•期中)【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共

圆，简称“四点共圆”.在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想

“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证.

【验证猜想】

已知：四边形48CD中，N%+NC=180°

求证：.4、B、C、〃四点共圆

证明：过点力、B、〃作O。，假设点C不在O。上，则点C在0。外或。。内

若点。在。0外，如图1,设8C交。0于C',连接DC',则N0C

•.•四边形力8C。是O。的内接四边形,

•••ZA+NDCB=180。.

•••4+4=180°,

•••NDCB=NC

与/DC矛盾，故点。不可能在圆外;

若点。在圆内，

(1)在图2中，用直尺和圆规作出过点力，8〃的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明;

【深入探究】

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得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基

础上展开探究：

(2)如图3,在线段同侧有两点C,D,连接AC,BC,AD,BD.如果NC=ND,那么力、8、C、〃四点共

圆，请完成证明(如需辅助圆，画出示意图即可)：

【结论应用】

应用以上结论，解决下列问题：

(3)如图4,在四边形/BCD中，/I=/4,N2=30°,则N3=°；

(4)如图5,aABC中4L4B=NCB4=50°,点£在48上，连接CE,作点8关于CE的对称点B,连接

BC,BE,/B'CE=18°求NBEA的度数；

【拓展延伸】

(5)如图6,AB=BC=5,/4BC=60°,点〃为平面内一动点，连接D4、DB,若始终有Z4DB=60°,当

四边形48。。周长最大时，DC与BD的数量关系是多少？(直接写出答案).

重难点四利用同侧等角建立隐圆

20.如图，正方形ABCD的中心为0,面积为1856cm\P为正方形内的一点，且/0PB=45°,连结PA、PB,若

21.(2020九年级•云南昆明•学业考试)如图，在等腰Rt△力6。中，ZJ^=90°,AB=BC=^〃是%中点,

题型2圆与图形变换问题

重难点一圆的翻折

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22.（24-25九年级上•湖北武汉•期末）如图，在。。中，弦48=6=24,将脑沿翻折，恰好与弦CD相

切于点N,若。。的半径是13,则切线长CN的值是（）

A.13.5B.15C.16.5D.18

23.（24-25九年级上•浙江杭州•期中）如图，718为。。的直径，点C为圆上一点，ZDCA=44°,若将劣弧

4C沿弦力C翻折交力3于点。，连接CD,则N84C的度数为（）

24.（24-25九年级上•河北沧州•期末）如图，。。的半径为5,四边形4BCD是。。的内接四边形，AD||BC

（AD,8c位于圆心。的两侧），AD=6,BC=8,将和，6分别沿48,6翻折得至IjA的，CfDM为向8上

点，过点必作MN交仃7）于点A；则MN的最小值为（）

A.4B.4V2C.|D..

25.（23-24九年级上•安徽合肥•期末）如图，△48。为。。的内接三角形，AB=8.CO为42边上的中线，将

品•沿BC翻折后刚好经过点D,若已知0。的半径为2遍，则8c的长是（）

A.4百B.6V2C.质D.5V3

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26.（21-22九年级卜•云南保山•期末）如图.在长方形中.AR=4,AD=6,夕点是人/?的中点,点尸是

4D边上的一个动点，将△AE9沿EF所在的直线翻折，得AGE/,贝IJGC长的最小值是.

27.（2023•吉林长春•一模）如图，为。。直径，点。是。。上的一点，连接/C、BC,以。为圆心，/C长

为半径画圆弧，使点夕在该圆弧上，再将。。分别沿AC、8c向内翻折.若AB=2,则图中阴影部分图形的面积和

为.（结果保留人）

28.（24-25九年级上•江苏无锡•期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点4（5,0）,以原点。为圆心、3为半径

作圆.P从点。出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t（s）.连接4P,将AOAP沿AP翻折，得

到△4PQ.当亡=时，直线力P与。。相切；当七=时，直线AQ与O。相切.

29.（24-25九年级上•山西长治•期末）如图，在Rt△ABC中，4BC=90°,AB=BC=2,将△4BC绕点力

逆时针旋转30。后得到Rt^/OE,则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（）.

30.（23-24九年级下•河南周口・开学考试）如图，CO为等边三角形4BC的高，点0在OC的延长线上，旦

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00=11（0=6.0。的半杼为l,若将绕点C按顺时针方向旋转360°,在旋转的过程中.0。与等边三

角形4EC的边只有一个公共点的情况一共出现（）

31.（23-24九年级上•广东广州•期末）在AABC中，4=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕A8所在直线

旋转一周.所得几何体的表面积为（）.

A.15nB.£4C.207rD.357r

32.（23-24九年级上•河南周口•阶段练习）如图，正方形力BCO中和RtA/MN中，AB=10,ZNAM=90°

tAM=AN=8,连接8N,DM.若AAMN绕点力旋转，当Z48N最大时，ShADM=（）

A.6B.12C.18I）.24

33.（2023•山东济南•一模）如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆

心。是AB的中点，且扇形CF7）绕着点。旋转，半径4E、CF交于点&半径BE、CD交于点、H,则图中阴影面积等

于（）

71—2

A.—2—1B.—2—-2C.7T—1D.

34.（24-25九年级上•江苏南京•期末）如图，。0经过A0的中点8,0B=1,点P为。。上动点，过点8作AP的

垂线，垂足为Q.当点P旋转一周时，点Q运动的峰程为.

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Q

35.（24-25九年级上•河南郑州•期末）如图，在RtA/lBC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,把△718。绕

点力逆时针旋转，得△ABC',点AC旋转后的对应点为B',C',连接C8’,若点P为线段C8'的中点，则

C'P的最大值为,最小值为

重难点三圆的覆盖

36.（2024•河北石家庄・二模）在数学综合实践课上，李老师拿出了如图1所示的三个边长都为1cm的正方形硬

纸板，并提出问题：“若将这三个正方形硬纸板互不重叠平放在桌面上，用一个圆形纸片将其完全覆盖，怎样摆

放才能使这个圆形纸片的直径最小呢？”全班同学经过讨论后，得出如图2所示的三种方案，则下列说法正确的是

（）

1cm

□

IcmIcm

□□

方案一方案二方案

图I图2

A.方案一中圆形纸片的直径最小，直径是同cm

B.方案二中圆形纸片的直径最小，直径是2acm.

C.方案二和方案三中圆形纸片的直径都最小，直径都是2戊cm

D.方案一、方案二和方案三中圆形纸片的直径都不是最小的

37.（2022•湖北武汉-模拟预测）如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点4

8之间的距离为5.现用•个等边三隹形纸片将其完全覆盖，当此等边三角形面积最小时，则它的外接圆半径是

)

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-----------B

A.1V3B.^V3+1C.D.^V3+1

38.（22-23七年级下•福建龙岩•期中）如图，平面直角坐标系wy被一块圆形铁皮覆盖了一部分.下列有序实

数对表示的点中，被这块圆形铁皮覆盖的是（

4

3

34”

A.（椒-同）B.（-VT0,-V3）C.（-平,次）D.（孚,2恒）

39.（2022•湖北武汉•一模）如图，在平面内。。1，。。2,0。3两两外切，其中。。1的半径为8,0O2,O

。3的半径都为5.用一张半径为"的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则〃的最小值为（）

40.（21-22九年级下•湖北武汉•阶段练习）如图，矩形/灰力是中边长为1的五个小正方形拼成，。是第2个

小正方形的中心，将矩形力筋绕。点逆时针旋转90°得矩形4,B'C'O',现用一个最小的圆覆盖这个图形，则

这个圆的半径是（

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A.V17B.V34

41.（23-24九年级上•江苏无锡•期末）如果存在两个或两个以上的圆，使图形力上的任意一点到其中某个圆的

圆心的弗离都不大于这个圆的半径，则称图形力被这些圆所覆盖.若存在一个边长为4的正方形被两个半径为二

的等圆所覆盖，此时r的最小值为;若存在一个边长为4的正方形被三个半径为二的等圆所覆盖，此时不

的最小值为.

42.（2425九年级下•福建福州•期中）在绿化公园时，需要安装•定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草

坪.某公司准备在一块边长为20m的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置.，为了既节约安装成本，又尽可能提

高喷洒甚盖率，需要设计合适的安装方案.

说明：•个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为rm的圆面，喷洒覆盖率p=Ls为待喷洒区域面积，k为待喷洒区

S

域中的实际喷洒面积.

这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题.

图1图2图3

图6

（1）如图2,在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为10m的自动喷洒装置.，该方案的实际喷洒面积

,实际喷洒覆盖率p=

（2）如图3,在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为5m的自动喷洒装置；如图4,设计安装9个喷洒半径均为三m

的自动喷泗装置.•・以此类推，如图5,设计安装M个喷洒半径均为"m的自动喷洒装置，与（1）中的方案相

n

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比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒獴盖率？请判断并给出理由.

（3）如图6,该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率.p=l.已知正方形

ABC。各边上依次取点凡G,H,E,使得AE=8尸=CG=DH,设4E=xm,。。1的面积为ym2,求y关于3的

函数表达式，并求当y取得最小值时r的值.

43.（22-23九年级上-天津河西-期末）要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少

为.

重难点四圆的截取

44.（2023•山西晋城-一-模）如图，阴影部分是从一块直径为40cm的圆形铁板中截出的一个工件示意图，其中

△力BC是等边三角形，则阴影部分的面积是（）

A.lOOTrcm2B.2007Tcm2

C.+200V3)cm2D•(等尸+200v5)cn)2

45.（23-24九年级上-山东淄博・期末）如图，在直角三角形材料小凤:中，NC=90°,AB=10,AC=6,现

用此材料裁出•个面积最大的半圆形模板，则该半圆形模板的半径是（)

46.（2025•甘肃张掖・三模）问题提出

（1）如图1,在四边形/18C0中，AD||8C,."为的中点，猜想△OMC与四边形4BC0的面积关系，并说明理

由.

问题解决

（2）如图2,现有一块半径为50cm的圆形材料，工人师傅需要在材料中裁剪出一个内接四边形力8CD.四边形

ABCD需要满足A8=CD=80cm,且面积最大.请探究四边形4BCD面积最大的实施方案，并求出面积的最大值.

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题型3圆的综合问题

重难点一圆与四边形综合

47.（2023•广东佛山•一模）（1）如图1,的半径为1,48=2.5,点q为上任意一点，贝ijBP的最小

值为；

（2）如图2,已知矩形A8CD,点£'为上方一点，连接4E,8E,作1AB于点孔点2是△8Er的内心，求

与PE的度数:

（3）如图3,在（2）的条件下，连接力P,CP,若矩形的边长AB=6,8c=4,BE=BA,求此时CP的最小值.

48.（22-23九年级上•安徽•期末）已知4c是。。的直径，DE148于点2连接4。，DC,BC.

（1）如图1,延长DE交。。于点月连接FB并延长交。。的延长线于点只求证：PB=PC；

⑵如图2,过点6作8GJ.40,垂足为点G,8G交DE于点"连接且点。和点力均在0E的左侧.若

ZACB=60°,DH=2,/DH0=84°.

①求。。的半径；

②求NB0E的度数.

49.（21-22九年级上•河北保定•期末）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙

四边形”，如图1,四边形/以刀中，若4?=80,ACYBD,则称四边形/I成刀为奇妙四边形，根据“奇妙四边形”

对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一

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（1）写出一种你所知道的特殊四边形中是“奇妙四边形”的图形名称.

（2）如图2,已知四边形/山⑦是“奇妙四边形”，且儿B,C,〃在O0上，若。。的半径为6,ZBCD=60°,

求“奇妙四边形”川蹒的面积，

⑶如图3,已知四边形力比力是“奇妙四边形”，且4B,C,〃在上，作〃归_6。于M请猜测〃〃与49的数

量关系，并证明你的结论.

50.（2020•湖南永州--模）（1）【学习心得】

于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题

变得非常容易.

图1图2图3

例如：如图1,在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D是△ABC外一点，且AD=AC,求NBDC的度数.若以点A为

圆心，AB为半径作辅助（DA,则点C、D必在0A上，NBAC是。A的圆心角，而NBDC是圆周角，从而可容易得到

ZBDC=°.

（2）【问题解决】

如图2,在四边形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求NBAC的度数.

（3）【问题拓展】

如图3,如图，E,F是正方形ABCD的边A1）上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BI）于点G,连接BE交AG于点

H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.

重难点二圆与三角形综合

51.（2023•吉林长春•中考真题）【感知】如图①，点力、B、尸均在O0_L,=90°,则锐角的

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大小为.度.

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，。。是等边三角形4BC的外接圆，点夕在此上(点夕不与点儿。重

合)，连结P4PB、PC.求证：PB=PA+PC.小明发现，延长PA至点区使AE=PC,连结BE,通过证明4

PBCWAEBA,可推得P8E是等边三角形，进而得证.

卜面是小明的部分证明过程：

证明：延长PA至点£使4E=PC,连结BE,

•••四边形"CP是。。的内接四边形，

ZBAP+/BCP=180°.

•••ZBAP+ZBAE=180°,

:.ZBCP=ZBAE.

•••△ABC是等边三角形.

BA=BC♦

PBC=△E44(SAS)

请你补全余下的证明过程.

【应用】如图③，。。是的外接圆，48c=90°,A8=8C,点，在。0上，且点尸与点8在AC的两

侧，连结24、PB、PC.若PB=2&PA,则案的值为__________.

52.(20-21九年级上•湖北宜昌•期末)已知：。。是AABC的外接圆，且蜴=优，ZABC=60°,〃为。。

上一动点.

(1)如图1,若点〃是脑的中点，ND84等于多少？

(2)过点8作直线力。的垂线，垂足为点£

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①如图2,若点〃在脑上，求证：CD=DE+AE.

②若点〃在加上，当它从点力向点。运动且满足CZ)=DE+4E时，求48。的最大值.

53.(2021•山东德州•中考真题)已知。0为△4:。的外接圆，AD=CD.

(1)如图1,延长4。至点延使BD=AD,连接CB.

②若O。的半径为4,AD=5,求BC的值；

⑵如图2,若Z4DC=90°,E为。0上的一点，且点D,E位于AC两侧，作△/WE关于AD对称的图形八HOQ,

连接QC,试猜想Q4QC,Q。三者之间的数量关系并给予证明.

D

(1)【学习心得】

小赵同学在学习完'‘圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问

题变得非常容易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是两种类型.

①类型一，“定点+定长”：如图1,在△48C中，=NB/C=44°，。是。外一点，且40=4C,求

Z60C的度数.

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解：若以点力(定点)为圆心.AR(定长)为半杼作辅助圆04.:请你在图1卜画圆)则点。、D必在。力卜.

NBAC是OA的圆心角，而N3DC是圆周角，从而可容易得到NBDC=_°.

②类型二，“定角+定弦”：如图，Rt△48c中，1,808=6田。=4,。是448。内部的一个动点，且满足

/PAB=NPBC,求线段CP长的最小值.

解：•••^ABC=90",

:.“ABP+/PBC=90°,•••ZPAB=/PBC,:.ZBAP+"ABP=90",

N八PB=_,(定角)

.•.点P在以力B(定弦)为直径的。。上，请完成后面的过程.

(2)【问题解决】

如图3,在矩形力BCD中，已知力8=3,8。=4,点「是8。边上一动点(点P不与B,C重合)，连接AP,作点8关

于直线AP的对称点M,则线段MC的最小值为一.

(3)【问题拓展】

如图4,在正方形/1SCO中，AD-4,动点分别在边0C,CS上移动，且满足OE-CF.连接/1E和OF,交于点

P.

①请你写出4E与。尸的数量关系和位置关系，并说明理由；

②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长.

重难点三圆与函数综合问题

55.(20-21九年级上•北京西城•阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，若将点〃沿x轴折叠得到点匕，再将点

Pi绕点1顺时针旋转90°得到P',贝！称点P'是点尸关丁/轴一点灯的折旋点.

例如：点Q(0,l)关于x轴-点0的折旋点是点Q’(-1,0).

(1)如图L点4(0,—1).

①若点〃是点4关于X轴-点c(V5,o)的折旋点，则点8的坐标为一

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②若点D(-4,1)是点力关于*轴-点夕的折旋点.则点E的坐标为：

(2)如图2,。。的半径为2,若。。上存在点M使得点M是点W关于x轴-点S(4,0)的折旋点，且点M'在直线

y=x+b上，求b的取值范围；

(3)F(0,t)是y轴上的动点，。尸的半径为2,若OF上存在点M使得点N'是点N关于x轴-点S(4,0)的折旋点，

且点N'在直线y=g》上，宜接写出？的取值范围.

56.(24-25九年级上•江苏宿迁•期末)二次函数、=。/+6工+8的图像与*轴分别交于点4(2,0),9(4,0),

与y轴交于点心点。是这个函数图像的一个动点.

图1图2

(1)求这个二次函数的表达式：

(2)如图1,当点尸在直线BC下方时，过点尸作PM18C,垂足为M求PM的最大值；

(3)如图2,当点〃在x轴上方时，连接PA、PB,直线/是二次函数图像的对称轴，过点P作PN_LZ,垂足为M

以点A'为圆心作圆，尸丁与ON相切，切点为T.若以PT的长为边长的正方形的面积与AP/IB的面积相等，试说明

ON的半径是常量.

57.(21-22九年级上•贵州安顺•期末)如图，抛物线y=一+c与％轴相交于点力，8(点A在点8的左

侧)，与y轴相交于点C,点B的坐标为(2,0),OM经过4,8,。三点，且圆心M在％轴上.

⑴求c的值.

(2)求OM的半径.

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（3）过点C作