用公式法解一元二次方程（对标课时练）-2026-2027学年青岛版九年级数学上册

1.2.3用公式法解一元二次方程

知识点1一元二次方程的求根公式

1.如果一元二次方程。/+/次+。=0（。。0）能用公式法求解.，那么必须满足的条件是（

A.h2-4ac>0B.b2-4ac<0C.h2-4ac>0D.b2-4ac<0

2.用公式法解方程3/+4=12%,下列代人公式正确的是（）

22

12±712-3X4-12±A/12-3X4

A.B.x=------------------

22

-12±^-(-12)2-3X4

C.

22x3

知识点2用公式法解一兀二次方程

3.用公式法解一元二次方程

(I)x2+4x+2=0(2)3/+21=0

(3)+5(2x+l)=0(4)3f+l=2底

(5)(x+l)(x-l)=2/2x(6)2(X-1)2-(X+I)(1-X)=(X+2)2

4.用公式法解一丁+31=1时次求出凡b,c,的值，则。，4c依次为（）

A.-1,3,1B.1,3,1C.-1,3,—1D.1,-3,—1

-3+h2-4x(-2)xl

5.若一元二次方程的根为x二一一一一，则该一元二次方程为()

2x(-2)

A.2X2+3X+\=0B.-2X2-3X+1=0

C.—2x?+3x-1=0D.—2A*~+3x+1=0

6.小明在解方程f-5尤二-3的过程中出现了错误，其解答如下;

解：Z?=-5,c=-3,(第一步).

/.b2-4ac=(-5)2-4x1x(-3)=37,(第二步)

：・工二5±芦,（第三步）

・"=5+声,&=,(第四步)

（I）问：小明的解答是从第步开始出错的;

<2）清写出本题正确的解答.

联叨达标练---------------------

7.己知。是一元二次方程为2-3了-5=0的较小的根，则下面对。的估计正确的是()

A.-2<a<-\B.2<a<3C.-4<a<-3D.4<a<5

8.若关于x的一元二次方程x2+Z?x+4=0的两个实数根中较小的一个根是m(mw0),则入业-16=

()

A.mB.-mC.2mD.-2m

9.已知大=一"也_4c2―4C,N0),则/+/次+。的值为_______.

2

10.若代数式2f+3x-3的值等于代数式f+5x+2的值，贝Jx=.

II.关于x的方程/_(3%+1)1=一2二一23若等腰三角形ABC一边长为。=6,另两边长仇。为方程

两个根•则人从/?。的周长为.

12.(教材P138习题T8变式)已知一个三角形的两边长为6和8,第三边长是方程/-16x+60=0的一

个根，则这个三角形的面积为.

13.解下列方程：

〉B31

(l)x2H---x——；(2)(/—3)(x+3)=2x.

336

提升练

-Z?±^Z?2-4ac

14.一元二次方程of+加;+。=0（。¥0）的根为x,方程）3+Z?y+〃c=O的根为

2a

-b±y]h2-4ac

y,显然x=',因此要求。储+/?式+。=0（。工0）的根，只要求出），2+》y+ac=0的

2

根，再除以。就可以了.

范例：解方程72/+8工+，=0.

6

解：先解方程y2+8y+72x4=（）,

6

由求根公式解得y=-2,%=-6,

・•・方程72/+8工+,=0的两根为玉=二2=一'_,x.=—=-—

6,7236~7212

按上述提供的方法及范例解方程49/十6x-L=0

7

解析:

知识点1一元二次方程的求根公式

1.如果一元二次方程。V+加;+c=0（〃。0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（

A.b2-4ac>0B.b2-4ac<0C.b2-4ac>0D.b2-4ac<0

答案：A

解析：公式法解方程一元二次方程必须满足。2—4ac20

故选A选项.

2.用公式法解方程3d+4=12x,下列代人公式正确的是（）

12±J122-3X4-12±J122-3X4

B.

-12±h-12)2-3x4

C.x=----

答案：D

解析：将方程化为一般形式，得3f-12x+4=0

a=3,Z?=-12,c=4

VZ?2-4tzc=(-l2)2-4x3x4=96>0

r2

._-b±y/b^_12±J(-I2)-4X3X4

••X-=""

la2x3

故选D选项.

知识点2用公式法解一元二次方程

3.用公式法解一元二次方程

（I）x2+4x+2=0

解析：这里。=1,/?=4,c=2

Vb2-4ac=(4)2-4x1x2=8>0

“=-力±技4比「4±楙=_2±.

2a2x1”

AX)=-2—y[2,x,=-24-^2

2

(2)3x+2x-\=0

解析：这里a=3,b=2,c=-\

Vb2-4ac=(2)2-4x3x(-1)=16>0

._+-4ac_-2±^l6_12

2a2x333

.12121

••A?i———19一十——

33~333

(3)3/+5(2尤+1)=0

解析：将方程化为一般形式，得3d+10x+5=0

・、。=3,b=10,c=5

22

Z?-4ac=10-4x3x5=40>0

._-b±yjb2-4ac_-\0+^_-5±yf\0

••X——=

2a2x33

.丫--5-炳「-5+师

,.凡――—，”―—

(4)3f+1=2后

解析：将方程化为一般形式，得3工2-2正工+1=()

/.a=3,b=-2^3,c=1

Vb2-4ac=(-273)2-4x3x1=0

-b±yjb2-4ac_25/3±70_#

X~ia2x3--3-

(5)(x+l)(x-l)=2^/2x

解析：将方程化为一般形式，得/一2/1丫-1=0

；・a=1,b=-2y2,

•••/-—增了-4xlx(-l)=12

._-b±yjb2-4ac_272±712

=企士

2x14

(6)2(x-1)2-(x+1)(1-x)=(X+2)2

解析：将方程化为一般形式，得2/一81一3=0

a=2,b=-8,c=-3

•・•〃_4ac=(S)2-4x2x(-3)=88

._-b±ylh2-4ac_8±7»8_8±2^

••X———

2a2x24

\_4-屁_4+厄

.•人।一2，人2―

4.用公式法解72+3工=1时冼求出〃，b,c的值，则a,〃，c•依次为()

A.—1,3,1B.1,3,1C.—1,3,—1D.1,-3,

答案:C

解析：将方程化为一般形式，得-/+3元-1=0

a=-l,b=3、c=-i

故选C选项.

-3±l32-4x(-2)xl

5.若一元二次方程的根为/=—三-----------,则该一元二次方程为()

2x(-2)

A.2x2++1=0B.-2x2-3x+\=0

C.-2X2+3X-1=0D.-2X2+3X+1=0

答案：D

22

破K1八t、土-b±ylb-4ac-3±^3-4x(-2)xl

解析：由公式法，x=----Y-------=------------------

2a2x(-2)

a=-2,b=3,c=1

・••一元二次方程为-2/+3K+1=0

故选D选项.

6.小明在解方程f-5/=-3的过程中出现了错误，其解答如下;

解：Z?=-5,c=-3,(第一步).

/.b2-4ac=(-5)2-4x1x(-3)=37,(第二步)

：・工二5±芦,（第三步）

，（第四步）

:.x]

（I）问：小明的解答是从第步开始出错的;

<2）清写出本题正确的解答.

解析：（1）小明的解答是从第一步开始出错的；

（2）解：将方程化为一般形式，得f-5x+3=0

a=\,b=-5,c=3

Vb2-4/7c=(-5)2-4x1x3=13

-b±yjl^4ac5士护_5±A/13

..X

2

脸达标练---------------------

7.己知。是一元二次方程/一版-5=0的较小的根，则下面对。的估计正确的是()

A.—2<a<—lB.2V4V3C.—4VnV—3D.4<^6/<C5

答案:A

解析：这里。=1,b=-3,c=-5

•・•b2-4ac=(-3)2-4xlx(-5)=29

._-b±ylb2-4ac_3±yf29

••X——

2a2x1

3+J293-J29

・•・X=-—，X2=­g—

•・•。是一元二次方程的较小的根

,3-729

,・a=y—

2

・•・5<729<6

.\-6<-729<-5

.3-63-729.3-5

•*-***''-

222

即一3<匕回〈一1

22

；•-2<aV—1

故选A选项.

8.若关于x的一元二次方程Y+H+4=0的两个实数根中较小的一个根是m（m。0）,则〃+一]6=

()

A.inB.-niC.2〃zD.-2m

答案：D

解析：这里4=1,c=-5

b2-4ac=/j2-4xlx4=/j2-16

.-b±yjb2-4ac-b±y]b2-]6

••X——

2a2

,_-b+yjb2-\6_-b-ylb2-16

••X=~，X2=~

Vm(mw0)是一元二次方程的较小的根

-b-Jb2-[6

in=-------------------

2

•**b+J-16=—2〃z

故选D选项.

9.已知x=匕N；_—02-4C>O),则d+/?x+c的值为

答案：0

-b±Jb2-4ac

解析：由公式法,x=-------z----------知其中一个解为不

,,」-b-Jb2-4c

当4=1时，x=-------N----------

2

x=b4"，是方程f+H+cn。的一个解

2a

-b-yjb2-4c

・••当x(b2-4(?>0),则工2+汝+。=0

2

10.若代数式2f+3x-3的值等于代数式V+5X+2的值，贝］x=.

答案：1+小）或1-

解析：由题，得2/+3工一3=丁+5工+2

移项合并同类项，得f—2x=5

配方，方程两边同时加上1,得f—2x+l=5+l

即（1）2=6

由平方根的意义，得x—i=±Jd

，当x=l+新，Xy=1-^/6

11.关于x的方程/一（3%+1»=-242-2%，若等腰三角形4BC一边长为。=6,另两边长仇c为方程

两个根，则△ABC的周长为.

答案：16或22

解析：当等腰三角形A8C腰长是6时，则方程/一（3攵+1*=-2二—2攵一个根是工=6

将x=6代入方程x2-（3k+l）x=-2k2-2k

得62-6（3八1）=-2/-2&

整理得，/一8k+15=0

配方得，（&-4>=1

解得k、=3,k2=5

①当攵=3H寸，方程为/一10工+24=0

解得％=4,X2=6

・•・等腰三角形的三边分别为6,6,4,周长为6+6+4=16

②当攵=5时，方程为9-16工+60=0

解得西=6,x2=10

・•・等腰三角形的三边分别为6,6,10,周长为6+6+10=22

当等腰三角形4/3C底长是6时，则方程/一(32+1)工=一2公一2攵有两个等根

/.h2-4ac=0

:.(32+1)2-4(2%2+2%)=0

整理得，二一2女+1=0

配方得，供-1)2=0

解得k、=&=1

当女=1时，方程为丁一4工+4=0

解得西二士=2

・••等腰三角形的三边分别为2,2,6,不成立；

工等腰三角形的周长为16或22

12.(教材PI38习题T8变式)已知一个三角形的两边长为6和8,第三边长是方程f-16x+60=0的一

个根，则这个三角形的面积为.

解析：将方程f-16%+60=0配方得，。-8)2=4

解得％=6,x2=1()

当式=6时，三角形是等腰三角形，腰长6,底长8

如图，等腰△48C,AB=AC=6,808,过4点作A”_LBC交BC于点〃

：,CH=BH=-BC=4

2

在RlZXACH中，由勾股定理，^AH=yfAC2-CH2=^2-42=275

**•SAABL—BCXAH=—X8X2、号—8-^5

当x=10时，三角形是等的三边分别为6,8,10

V62+82=1O2

•••△ABC是直角三角形，直角边为6与8

.••Sw—X6X8=24

2

综上：/XABC的面积为24或8而

13.解下列方程:

431

(1»2+X=—