余弦定理、正弦定理的应用-2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026苏教版高中数学必修第二册

11.3余弦定理、正弦定理的应用

基础过关练

题组一距离问题

1.（2025福建厦门大学附属科技中学阶段性测试）圭表是我国古代一种通过测量正午日影

长度来推定节气的天文仪器，它包括一根水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称

为“表”）.如图，利用圭表测得南京市在夏至日的早上6:00和中午12:00的太阳高度角约为

10o（NABC）和80o（NADC）.设表AC高为1米,则影差BD约为（参考数据:tan70°~2.747）

()

A.2.747米B.5.494米

C.8.241米D.10.988米

2.（教材习题改编）如图所示，为了测量河对岸A,B两点之间的距离，在河岸这边取相距4km

的C,D两点，测得NACB=75o,/BCD=45o,NADC=30o,NADB=45o（A,B,C,D在同一平面

内），则A,B两点间的距离为（）

A86.4715.

A-kmBD.——km

3

C平kmD.2V5km

3.（2025江苏淮安期中）在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示,A,B,C

为某山脚两侧共线的三点,在山顶P处测得三点的俯角分别为a=60。,0=45。,尸30。,现需要沿

直线AC开通穿山隧道DE,已知BC=5®AD=^,EB=0,则隧道DE的长为（）

A.5V2+5V6B.2V2-H4V6

C.10D.4V2+2V6

4.(2025江苏连云港期中)如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛

A、小岛C之间的距离都为5海里,与小岛D相距36海里,NBAD为钝角，且sinA=|.

⑴求小岛A与小岛D之间的距离；

(2)求四个小岛所形成的四边形的面积；

(3)记NBDC=a,NCBD邛，求sin(2a+B的值.

题组二高度问题

5.(2025河南信阳高级中学月考)如图，在C处(点C在水平地面ABO下方)进行某仪器的垂

直弹射测试，水平地面上的两个观察点A,B相距100米,NBAC=60。,其中A到C的距离比

B到C的距离远40米.在A处测得最高点H的仰角ZHAO-30°(O为CH与水平地面ABO

的交点)，在A处测得该仪器在C处的俯角NOAC=15。,则该仪器的垂直弹射高度CH为

()

A.210（遥+式）米B.140几米

C.210V5米D.20(加一物米

6.(2024江苏无锡第一中学期中)如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B

在同一水平面内的两个观测点C与D,现测得NCDB=37o,NBCD=68o,CD=37.9米，在点C

处测得塔顶A的仰角为64。,则该铁塔的高度约为(参考数据:V5=L4,V^2.4,tan640-2.0,cos

37°~0.8)()

c

A.40米B.14米C.48米D.52米

7.（2025江苏无锡辅仁高级中学期中）南昌双子塔坐落于红谷滩区赣江北岸,是南昌标志性

建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（双子塔中的两座塔的高度相同）,

在地面上选择了一座高为tm的大楼CD,在大楼顶部D处测得其中一座塔顶部B的仰角

为叫底部A的俯角为0,则双子塔的高度为（）

8.（2025江苏无锡锡东高级中学检测）鼎湖峰嘉立于浙江省缙云县仙都风景名胜区,形状如

春笋，拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择

测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为45。,沿

倾斜角为15。的斜坡向上走了90米到达B点（A,B,C,P,Q在同一个平面内），在B处测得山

顶P的仰角为60。,则鼎湖峰的山高PQ=________米.

题组三角度问题

9.（2025浙江温州十校联合体期中联考）一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东30°

方向，距离为6海里，灯塔C在A的北偏东60。方向,距离为66海里，该渔船由A沿正东方

向继续航行到D处时，灯塔B在其南偏西30。方向，则此时灯塔C位于渔船的（）

A.北偏东60。方向B.北偏西30。方向

C.北偏西60。方向D.北偏东30。方向

10.（2025江苏连云港期中）一艘船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北

偏东a,前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东。，已知该岛周围n千米范围内（包

括边界）有暗礁，该船继续向东航行，若该船没有触礁危险，则a,0满足的条件为（）

①mcosacosp>nsin(a-p);

②mcosacos[3<nsin(a-p);

@^<tana-tanp;

®^>tana-tanB.

n

A.①③B.②③C.①④D.②④

11.（2024江苏淮安马坝高级中学质检）《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期的画家莱昂纳

多•达•芬奇创作的油画，现收藏于法国卢浮宫博物馆.该油画规格为纵77cm,横53cm.油画

挂在墙壁上时，其最低点处B离地面237cm（如图所示）.有一身高为175cm的游客从正面

观赏它（该游客头顶T到眼睛C的距离为15cm）,设该游客与墙的距离为xcm,视角为仇为

使观赏视角。最大,x应为（）

12.（2025湖北武汉第六中学月考）如图所示,A,B是在沿海海面上相距（15+56）海里的两个

哨所,B位于A的正南方向.A哨所在凌晨1点时发现其南偏东30。方向的点C处有一艘走

私船,同时,B哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇

位于A点南偏西30。的D点，且A与D相距206海里.

⑴求刚发现走私船时，走私船与哨所A的距离；

（2）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里?在缉私艇的北偏东多少度方向上？

⑶若缉私艇得知走私船以10百海里/时的速度从C向北偏东15。方向逃窜,立即以30海里

/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？

答案与分层梯度式解析

11.3余弦定理、正弦定理的应用

基础过关练

1B在RtAACD中,AD="^；.

$m80

在AABD中，由正弦定理得』4D

sir1()。'

所以BDU黑T常=*2tan70』94(米).

AD

2.B在4ACD中,由正弦定理得—

sinZJCD,

CDsinZACD4xinl20°

即AD=S=4V3,

sinZCADsin30°

在ABCD中，由正弦定理得号=

sin/8C。'

即Q、_a>sinN8C。_4sin45。_4«

'-sinZC5Dsin600一~~

在4ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2・2AD・BD・cos/ADB=M所以AB=^.

所以A,B两点间的距离为半km.

3D因为(1=60。,。=45。,尸30。，

所以NPAC=a=60°,ZPBA邛=45。,NPCA=y=30°,ZBPC=P-y=15°,

sinZBPC=sin15o=sin05°-3O°)=sin45°cos300-cos45°sin3O0=yX^-2^x1=1^2.

在3PC中，由正弦定理得为PB

sinNPCE'

则PB与*=要=5逐+5,

4

易得NAPB=75。，

所以sinZAPB=sin75o=sin(45°+30°)=sin45°cos300+cos45°sin30°=^XY+~TX7=V

在4APB中,由正弦定理得一^^=」^应

sinZAPBsinZPAB

PBstn/APB(5G+5"竿IPV6

所以AB=1-5V2,

ainZPAB~T~

所以DE=AB-AD-EB=^+5V2--V2=2V6+4V2.

4.解析⑴〈sinA=|,且A为钝角,・・・cosA=-J1-目=-*

在ZXABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2ADAB-cosA,即

(3VJ)2=AD2+52-2AD*5X(-g),即AD2+8AD-20=0,解得AD=2或AD=-10(舍去)，

・・・小岛A与小岛D之间的距离为2海里.

(2)VA,B,C,D四点共圆,JA与C互补，则sinC=|,

4

cosC=cos(180°-A)=-cosA=^.

ffiABDC中,由余弦定理得CD2+CB2-2CDCBcosC=BD23PCD2+52-2CDx5x|=(3>/5)2,^

ctyxcDioo,

解得CD=-2(舍去)或CD=10.

/.S四边影ABCD=S“BD+S4BCDWAB'AD.sinA+^CBCDsinC=1x5x2x|+1x5xi0x1=3+15=18,

・・・四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里.

(3)解法一:在aBDC中，由正弦定理得竺二>、即工=¥■，解得sina建.

sinasinesinax5

5

DC2+DB2>BC2,a为锐角，cosa卷，

又Vsin(a+P)=sin(l80°-C)=sinC=|,

4

cos(a+p)=cos(180°-C)=-cosC=—,

/.sin(2a+p)=sin[a+(a+p)]=sinacos(a+p)+cosasin(a+0)邛x(・：)+手乂：=誓

J\J/J，

CJ+BZABC?_6+(3百)2_52_2百

解法二:在ABCD中,由余弦定理得cosZCDB=cosa

7CDRD7.x1()xS'

*/a£(0,7t),sina=Vl-cos2a=

又Vsin(a+p)=sin(l800-C)=sinC=|,

4

cos(a+p)=cos(180°-C)=-cosC=--,

sin(2a+p)=sin[a+(a+p)]=sinacos(a+p)+cosasin(a+p)=^x仁)+答'±=孝.

5.B设AC=x米，则BC=(x-4。)米.

在△ABC中，由余弦定理得BC1AC2+AB2・2ACABcosZBAC,即(x-40)2=x2+1002-1OOx,

解得x=420.

在AACH中,AC=420米,NCAH=15o+30o=45°,NCHA=900-300=60。，

由正弦定理得T7rTT7即与二号、解得CH=140佩米).

sinZC4//sinZCHAsin450sin60

6.C在4CDB中,NCBD=180O・37O・680=75。，

贝ijsinZCBD=sin75o=sin(45o+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30。-声;

sinZCDB-sin370-V1-COS237°^0.6,

由正弦定理得CDBC；，可得BC飞震

sinZC5Dsin/COB

CDsinZCDBlanZACB37.9x0.6x2.0

在RtAABC中,AB=BCtanNACB=-48,

sinZCTO

-4-

所以该铁塔的高度约为48米.

7D由题意可得CD=tm,ZDAC=P，ZBDA=a+p,

则在RtAADC中，可得AD—

sin/;

ABADABAD

在4ABD中,NABDga,由正弦定理得股，即

sin-4sk#sin俘a1

ADs\n(a+fl)/sinSQ

所以AB.(m).

cosacos<zsin/?

8.答案45(V6+V2)

解析依题意得,NPAB=450-15o=30°,NAPQ=45。，

因为NPBC=60。,所以/BPC=30。,贝ljZAPB=15°,ZABP=135°.

在八BP中,AB=90,由正弦定理得高AB

sin4/W

乂sin15°=sin(60o-45°)=sin60°cos45°-cos60°sin45°=宁,所以

./2

A、ABsinZABP90sinl35°90xT18072

AP—..........................=-----------------=-「二=-------

sxnZAPBsin15°瓜*V6-V2"

4

在RtAPAQ,PQ=APsin45°=^x=45(V6+V2),ffiWilli®PQ=45(VS+a)米.

9D如图，

因为/口庆8=/人》8=60。小8=6,所以AD=6,

在4ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2ACXADXCOS30°=(6V3)2+62-2X6V3X6X^=36,

所以CD=6,

由正弦定理得鼻=—^■，所以sinNCDAW^=?，易知NCDA为钝角，故NCDA=120。,

sin30°smZCDA62

此时灯塔C位于渔船的北偏东30。方向.

10.C如图,

由题意知ZMAB=^-a,ZAMB=a-p,

过M作MC±AB交AB的延长线于C,

mBMBMuli、I<wcosa

设CM=x千米，在4ABM中，根据正弦定理得:，所以BM、^,

sin(a/)sin(1_a)cosa

又因为x=BMcos时没有触礁危险,

所以mcosacos[3>nsin(a・[3),故①正确，

->sin(a-^~tana-tan0,故④正确.

ncosacos/>

ll.D如图所示，作CD_LAB,交AB的延长线于点D.

VTC=15cm,

・・・C到地面的距离为175-15=160(cm),

ABD=237-160=77(cm),AD=AB+BD=77+77=l54(cm).

由图易得,BC=V3+B£>2=\/x2+772(cm),

AC=V^D2+CZ)2=Vx2+4x772(cm),

人6A/

在4ABC中,由余弦定理得cos0=

2BCAC

_/+2x772

4x2+772.42+4x7