图形的旋转【十大考点】-北师大版数学八年级下册重难点突破（含答案）

专题3.2图形的旋转【十大考点】一【重难突破】北师大版数学八年级下册考点强化

讲与练

模块一4考点类型

模块二q知识点一遍过

(一)旋转的定义

(1)旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋

转.这个定点叫做旋转中心.转动的角叫做旋转角

如图所示，AA'OB'是ZL40B绕定点。逆时针旋转45。得到的，其中点4与点/叫作对应点，线段。8与线段。夕

叫作对应线段，4OAB与叫作对应角，点。叫作旋转中心，乙4。4(或48。夕)的度数叫作旋转的角度.

(2)【注意】旋转中心可以是图形内,也可以是图形外。

(3)【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.

(-)旋转的性质

(1)对应点到旋转中心的距离相等；

旋转的

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

性质

(3)旋转前、后的图形全等

(1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度；

重点

(2)对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等,对应角相等；

解读

(3)图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置

第1页

(三)旋转作图

旋转作图(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

的依据(2)对应点到旋转中心的距离相等

作图要素(1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点

(1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心.

(2)转:根据旋转方向与旋转角度,以⑴中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋

转角.

(3)截:在该旋转角的另一边上，从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度，得

作图步骤

到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关键点的对应点.

(4)接:按原图形顺次连接所得到的各点.

注意:为了避免作图时的混乱，以上连、转、截这三步每个点独立完成后，再进行下一

个点的旋转

模块三、卜考点一遍过o

考点1、

1旋转的定义

典例1:

1.如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90。而形成的是()

【变式2】

3.下列现象中属于旋转的有.(填序号)

①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆.

第2页

【变式3】

4.我们在日常生活中有许多行为动作：如①拉抽屉；②拧水龙头；③划小船；④调钟表；⑤推动推拉

门；⑥转动方向盘；⑦乘电梯.我们用数学的眼光来看，其中属于旋转的有.(填序号)

考点2旋转的性质一旋转中心、旋转角

典例2：

5.如图，已知点4(2,0),B(0,4),C(2,4),。(6,6),连接4B,CD,将线段48绕着某一点旋转一定角度，使

【变式1】

6.将两块全等的含30。角的直角三角板按图1的方式放置，已知乙=48通传=30。，固定三角板

4B1C,然后将三角板48c绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，A8与4道、①/分别交于点。，E,4c与

【变式2】

7.如图，在正方形网格中，△A8C凫某点旋转一定的角度得到△&8]G，则旋转中心是点.(填

“P”或“Q”)

第3页

4

8.如图，一块含30。角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△〃夕C,当8,C,4'在一条直线上时，三角

板力BC的旋转角度为

典例3：

9.如图，在△4BC中，/4=50。，将△48C绕点8逆时针旋转，得到△BDE,点。恰好落在AC的延长线

上，则旋转角的度数是()

A.90°B.80°C.70°D.60°

【变式1】

10.如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转24。得△AB'C.若A,B'_LAC于点则〃=()

【变式2】

11.如图，将A绕点八逆时针方向旋转一定角度得到八40/?,使点。落在。。上，4c与07?相交于点心若

4c=40°,DELAC,则4DAC的大小为.

第4页

E

A

【变式3】

12.如图，在中，N84c=52。，点。在斜边4B上.如果△ABC经过旋转后马△E8。完全重合，则

乙4E0的度数是

考点4I旋转的性质——求线段

典例4：

13.如图，在等腰中，乙48c=90。，AB=BC,以点6为旋转中心，将BC逆时针旋转60。得到线

段连接CD,AD.若4C=4,则AD的长为()

A.2B.3C.2A/3-2D.473-3

【变式1】

14.如图，将RtA/BC绕直角顶点。按顺时针方向旋转90。，得到点4,落在8c的延长线上.若

力C=8,BC=6,点、M,M,是48,4‘8’的中点，则MM'的长是()

A.5V2B.4C.3D.5

【变式2】

15.如图，在ZkABC中，LBAC=150°,A8=2,BC=2位,将△A8C绕点力逆时针旋转60。得到△A8'。',

连接8乙则8'C的长度是.

第5页

c

B'

【变式3】

16.如图，在A48C中，乙4c8=90。，AC=6,BC=8,将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在力8边上

的点E处，点8落在点。处，连接BD.

(1)40的长为;

(2)80的长为.

考点5旋转中的坐标与图形变换

典例5：

17.在平面直角坐标系中，将点A(-4,2)绕原点。顺时针旋转90。，则点A的对应点/的坐标是()

A.(2,4)B.(4,2)C.(-4,-2)D.(-4,2)

【变式1】

18.在平面直角坐标系中,4ABC的三个顶点的坐标分别是A(T,3),5(-3,0),C(一2,-2),将△4BC绕原点

按顺时针方向旋转90。，得到△&*广，其中4与4对应，8与8,对应，则了的坐标是()

A.(1,3)B.(3,1)C.(1,-3)D.(-1,-3)

【变式2】

19.如图，在平面直角坐标系中，点8在x轴上，08=48=5，点A到x轴的距离为4,将△。48绕点。

逆时针旋转90。，得到△OAZT,则点/的坐标是.

20.如图，正比例函数的图象经过力(-1,-2),8(2,m)两点，现将线段48绕点8顺时针旋转90。得到线段

RC,则点。的坐标为.

第6页

典例6：

21.在图中网格上按要求画出图形，并回答问题:

(I)如果将三角形力BC绕点。向逆时针方向旋转90。，使得点4、点B、点C的对应点分别为点E、点F、点

G,请画出三角形EFG；

(2)画出三角形48c关于点O成中心对称的三角形4避13；

(3)三角形EFG与三角形AiB£上(填“是”或“否”)关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出

这个对称中心；如果不是，请描述通过怎样的运动可以使三角形EFG与三角形4181cl重合.

【变式1】

22.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为I,三个顶点的坐标分别为力(1,1),5(4,2),

。(3,4)

第7页

(2)请画出把△ABC向左平移2个单位得△48传1，并写出点为的坐标；

(3)请画出把△/WC绕原点。旋转180。得到△&。2。2，并写巴点Q的坐标.

【变式2】

23.如图，在平面直角坐标系xoy中，点A,B,C的坐标分别为(一2,1),(1,2),(2,1),将△/IBC绕点P逆时

针方向旋转得到^A'B'C',点A的对应点/的坐标为，点。的对应点B,的坐标为(-3,2).

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,-1)

(2)画出旋转后的△AB'C',并写出C'的坐标是______________________________________________

(3)线段84的延长线与线段力为'交于点M，直接写出的度数.

【变式3】

24.如图，在平面直角坐标系中，△力8。的三个顶点的坐标分别是4(3,-1),8(0,-3),。(4,一4).

(2)平移△A8C,若A的对应点心的坐标为(3,3),画出平移后的△&82C2；

(3)若将△4B2G绕某一点旋转可以得到△力18C],请直接写出旋转中心的坐标.

考点7旋转的综合应用——最值

典例7：

25.如图，RtAARC^,AAC.R=90%Z/l=30°.RC=S.点E是边4C上一点，将。月绕点片顺时针旋转

60。到8/，连接CF,贝北尸长的最小值是()

第8页

A

B.2.5C.V5D匹

T

【变式1】

26.如图，在RRABC中，NA8O90。，AB=BC,点、P在AABC内一点、,连接％,PB,PC,若

NBAP=NCBP,且AP=6,则PC的最小值是（）

A.2V2B.3C.375-3D.3企

【变式2】

27.如图，将线段8c绕点8逆时针旋转120。得到线段84点。是平面内一动点，且。、8两点之间的距离

【变式3】

28.如图，在矩形4BCD中，AB=4,BC=3,CE=2BE,EF=2,连接AF,将线段4F绕看点4顺时针旋

转90。得到AP,则线段PE的最小值为.

考点8旋转的综合应用一周期

典例8：

第9页

29.如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋

转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第2022次旋转后得到的图形与图①一④中

D.图④

【变式1】

30.如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是

()

第一次第二次第三次第四次

【变式2】

31.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子按如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90。算一次，则滚动

第2019次后骰子朝下一面的点数是

第一次第二次第三次

【变式3】

32.如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走5m,然后逆时针转动一个角度，每次

转动的角度增加10°.第一次直走57n后转动10。，第二次直走5?n后转动20。，第三次直走57n后转动30。，如此

下去.那么它在移动过程中第一次面向西方时一共走了米.

第10页

北

考点9旋转的综合应用一规律探究

典例9：

33.将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xO.v中，其中乙084=90。，乙4=30。，顶点4的坐标为

(1.V3),将△OB/1绕原点逆时针旋转，每次旋转60。，则第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为

B.(-1,73)C.(-2,0)D.(-1,-73)

34.如图，把正方形铁片04BC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标(3,0),点P(l,2)在正方形铁片上，将

正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90。，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位

置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，则点P的坐标为()

A.(6058,1)B.(6058,2)C.(6037,1)D.(6037,2)

【变式2】

35.如图，在平面直角坐标系中，等边△408顶点4的坐标为(-2,0),将△40B绕点。顺时针方向旋转60。,

同时边扩大为原来的2倍，得到△力1OB],再将△&O当作相同变换得到△^。巳，…，依次类推，则点

从2025的坐标为•

第11页

36.如图,在顶点4在％轴的负半轴上，8(0,2),C(代,2),AB=BC,将△48C绕点4逆时针旋

转，每次旋转90。，则第6次旋转结束时点8的坐标是

典例10：

37.如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架4BC走底边为8c的等腰直角三角形，摆动臂4。可

绕点力旋转，摆动臂OM可绕点。旋转，AD=30,DM=10.

(1)在旋转过程中，

①当A,D,M三点在同一直线上时，求AM的长.

②当力，D,M三点为同一直角三角形的顶点时，求4M的长.

(2)若摆动臂4D顺时针旋转90。，点。的位置由△ABC外的点外转到其内的点外处，连结。1。2，如图2,

此时/AO2c=135°,CD2=60,求的长.

【变式1】

38.如图1,在R/AA8C中，N4=90。，AB=AC,点、D,£分别在边A8,AC上，AD=AE,连接。C,点M,

P,N分别为。E,DC,8c的中点.

第12页

（1）观察猜想：图1中，请判断线段PM与PN的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）探究证明：把AAOE绕点八逆时针方向旋转到图2的位置，连接MMBD,CE,判断AEWN的形

状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把△AOE绕点A在平面内自由旋转，若AZ>3,AB=7,请直接写出△PMN面积的最大

值.

【变式2】

39.如图1,在△ABC中，41=90。，AB=AC=\f2^点。、E分别在边48、4c上，G.AD=AE=2-

混，连接。E.现将△AOE绕点人顺时针方向旋转，旋转角为a（0。Va<360。），分别连接CE、BD.

C

图1图2图3

（1）如图2,当0。<1<90。时，求证：CE=BD；

（2）如图3,当a=90。时，延长CE交8。于点尸，求证：CF垂直平分8D；

（3）连接CD,在旋转过程中，求△8CD的面积的最大值，并写出此时旋转角a的度数.

【变式3】

40.已知：如图1,△48C中，AB=AC^BAC=60°,。、E分别是AB、4c上的点，AD=AE,不

难发现BD、CE的关系.

第13页

AAE、

图3

(1)将绕A点旋转到图2位置时，写出BD、CE的数量关系

(2)当484。=90。时，将2M0E绕A点旋转到图3位置.

①清想8。与CE有什么数量关系和位置关系?请就图3的情形进行证明;

②当点C,D,E在同一直线上时，直接写出乙408的度数上.

第14页

答案解析部分

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】②④⑤

【解析】【解答】解：根据平移、旋转的定义即可得：①火车在笔直行驶是平移，③地下水位下降是平移，

②荡秋千运动，④钟摆的运动，⑤圆规画圆，属于旋转.

故答案为：②④⑤.

【分析】根据平移、旋转的定义对各个进行判断即可.

4.【答案】②④⑥

【解析】【解答】解：①拉抽屉，平移运动；②拧水龙头，旋转运动；③划小船，不是旋转运动；④调钟

表，旋转运动；⑤推动推拉门，平移运动；⑥转动方向盘，旋转运动；⑦乘电梯，平移运动，

故答案为②④⑥.

【分析】旋转是指把一个图形绕某一点沿一定的方向转动一定的角度，它包括三要素，一是旋转中心，二是

旋转角度，三是旋转方向.

5.【答案】D

6.【答案】A

【解析】【解答】解：由题意得到,乙BAC=乙BiAiC=30°,

则乙B=90°-ABAC=60°,

FB_&Bi，

=90°,

:•乙BDC=MOE=90°-30°=60。，

：.Z-BCD=180°-乙BDC一乙B=60°,

所以乙=90°-乙BCD=30°,

即旋转角是30。.

故答案为：A

【分析】旋转角是指对应线段的夹角，即4&C/1的度数，当时，由直角三角形两锐角互余可得

乙4F4=60。，再由三角形外角的性质可得乙4。4=30°.

7.【答案】P

8.【答案】150。

【解析】【解答】解：•・•将一块含30。角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△力'8'C,

.・./?。与炉。是对应边，

工旋转角乙BCB'=180°-30°=150°.

第15页

故答案为：150°.

【分析】旋转前后对应线段的夹角即旋转角，即求乙S'CS的度数，由旋转的性质结合邻补角的概念即可得

Z-BCB1=150°.

9.【答案】B

10.【答案】A

11.【答案】25。

【解析】【解答】解：...将△A8C绕点A逆时针方向旋转一定角度得到△ADE,

：.Z-BAC=LDAE,LE=Z.C=40°,AB=ADf

'：DELACt

：.Z-CAE=90°-Z-E=50°,

'：/.BAD=^BAC-£.DACfZ-CAE=匕DAE-^DAC,

：.Z-BAD=/-CAE=50°,

=AD,

.A0180。一i440一

••Z.ADB=/.ABC=---------------=65，

*：Z-ADB=/C+乙。AC,

・・・65°=40°+/OAC,解得：^DAC=25°.

故答案为：25°.

【分析】由旋转的性质结合直角三角形两锐角互余可得N/MO=乙二4七=50。，再由等边对等角结合三角形内

角和定理可得44DB=65°,再由三角形外角的性质可得=/-ADB-"即可.

12.【答案】19°

【解析】【解答】解：由题意可知，将△48C顺时针旋转得到△E8O,点:。落在斜边48上，

...EB=AB,Z-BDE=ZC=90°,乙BED=乙BAC=52°,

LABE=90°-乙BED=38°

Z.AEB=Z.EAB=|x(1800-LABE)=1X(180°-38°)=71',

:./-AED=Z-AEB-乙BED=71°-52°=19°,

故答案为:19°.

【分析】先由旋转的性质可得BA=BE、^DEB=^BAC=52°,再由直角三角形两锐角互余可得=

38°,再由等边对等角结合三角形内角和定理可得乙4EB=71。，再利用角的和差关系即可.

13.【答案】C

14.【答案】A

15.【答案】4

16.【答案】(I)10

第16页

⑵4V5

17.【答案】A

【解析】【解答】解：如图，过点4作力B1不轴于点B,/。，”轴于点。,

必

A

由旋转的性质可知，乙4。4=90。，0A=0A\

〃0B+"0C=90°,

vAB1%轴,轴，

:.4ABO=Z-A'CO=90°,

:.44+Z,AOB=90°,

:.Z.A=ZTI'OC,

在△408和4OAC中，

(LA=LAOC

1/.ABO=/.OCA^

(OA=OA

.•.△AOB三△。力'C(AAS),

AB=OC,OB=A'C,

•.T(-4,2),

•••OB=4,AB=2,

•••OC=2,AC=4>

•••4(2,4),

故选：A.

【分析】

本题考杳J'图形旋转的性质和全等三角形的判定和性质，通过作辅助线构造△408三△ONC(AAS),利用旋

转的性质和全等三角形的对应边相等求出旋转后的点的坐标.

18.【答案】B

19.【答案】(-4,8)

20.【答案】(一4,6)

21.【答案】(I)解：如图所示，二角形正用7即为所求：

第17页

（2）解：如图所示,三角形4B1G即为所求;

（3）解：否；三角形E/G与三角形公/Q不是关于某个点成中心对称，可把三角形EFG绕点。逆时针旋转

90。可与三角形4/1的重合

【解析】【解答］解：（3）解：三角形EFG与三角形4181cl不是关于某个点成中心对称，可把三角形EFG绕点

。逆时计旋转90。可与三角形451cl重合，

故答案为：否.

【分析】（1）如图分别取格点E、F、G,再顺次连接E、F、G三点，则由一线三垂直全等模型可得44OE二

Z.BDF=Z-CDG=AD=ED、BD=FD、CD=GD,即△EFG即为所求作；

（2）由中心对称的性质可分别连接AD、BD、CD并延长，使AD=AQ、BD=BiD.CD=GD,再顺次连

接Ai、Bi、Ci即可；

（3）由于成中心对称的两个图形对应点的连接经过同一点即对称中心，显然AEbG与△々BiG不可能成中

心对称；但由中心对称的性质可得△&8也1是把△4BC绕点口顺时针旋转180度得到的，则由旋转的性质可

知把△EFG绕点D逆时针旋转90度即可得到△&B1G.

22.【答案】（1）旧

（2）解:如图所示，△4aC1即为所求；

第18页

【解析】【解答】解:(1)・・・A(1,1),C(3,4)

-9-AC=V22+32=/13;

【分析】

(1)直接利用勾股定理计算即可；

(2)把A、B、C三点分别没水平方向向左移动2个单位长度即可得到点Ai、Bi、G,再顺次连接AH

BHCI即可；

(3)直接作点A、B、。关于原点。的对应点42、82、。2,再顺次连接即可.

23.【答案】(1)A

(2)解：如图，△AB'C'即为所求作，

第19页

ff

(3)解：由旋转的性质可得，^APA=/.BPB'=90°,AP=APtBP=B'P

A△APB三△4'PB'(S4S)

：.^ABP=^LA'B'P,又乙BAP=4B'AM,

：.LB'MA=^BPA=90°,

则48M4=180°-/8'MA=90°.

【解析】【解答］解：(I)解：如图，旋转中心P的坐标为(一1,0),

故答案为：A.

(2)解：如图，△A夕C'即为所求作，点C'坐标为(-2,3),

故答案为：(-2,3)；

【分析】此题考查了坐标与图形-旋转变换，旋转的性质，寻找旋转中心，全等三角形的判定与性质，解题的

关键是理解题意，画出图形，结合有关性质正确求解.

(1)线段力)，的垂直平分线的交点P即为所求；

(2)根据要求作出图形，根据图形可得C,坐标；

(3)根据旋转的性质，即可解决问题.

24•【答案】(1)解：如图，△48G即为所求；

(2)解：TA的对应点儿的坐标为(3,3),

故将A/IBC沿着y轴，向上平移4个单位得到△&B2C2；

如图，△&B2C2即为所求；

第20页

V

6

5

4

3

2

一6一5一4一

Ai

【解析】【分析】（1）由旋转的性质知旋转角为180度时，旋转前后两三角形关于点B成中心对称，即分别

倍长AB、CB到点Ai和Ci,再顺次连接Ai、G、B即可；

（2）由点A与A2的坐标可知，△4282c2是把△A8C沿竖直方向向上平移4个单位长度得到的，则点B、C

的对应点坐标可得，再顺次连接A2、B2、C2即可；

（3）由旋转的性质可得旋转中心是线段AiA?、B1B2、C1C2垂直平分线的交点，再结合坐标与图形性质即

可.

25.【答案】B

26.【答案】D

27.【答案】5V3

28.【答案】房一2/-2+回

【解析】【解答】解：如图，连接AE,过点A作/1G14E,截取=连接PG,GE,

•・•将线段4F绕着点A顺时针旋转90。得到AP,

：.AF=AP,^PAF=90°,

：.Z.FAE+4PAE=/-PAE+/-PAG=90°,

第21页

：.LFAE=^PAG.

又TAG=AE,

：.^AEF三△AGP(SAS),

：.PG=EF=2.

•:BC=3,CE=2BE,

:.BE=1.

・••在RMABE中，AE=>JAB2+BE2=717.

'：AG=AE.LGAE=90°,

:.GE=y[2AE=V34.

。：PENGE-PG,且当点G,P,E三点共线时取等号,

・•・PE的最小值为GE-PG=V34-2.

故答案为：V34-2.

【分析】连接4E,过点A作AGJL/E,截取/G=AE,连接PG,GE,通过SAS证明△AEF三△AGP,得

PG=EF=2,再求出GE的长.最后在aGPE中，利用三边关系即可得出答案.

29.【答案】B

【解析】【解答】解：观察图形可知每4次循环一次，2022+4=505…2,

・•・第2022次旋转后得到的图形应与图②相同，

故答案为：B.

【分析】由题意知每旋转4次一个循环，且每次的旋转角为45度，则用2022除以4取余即可得结果对应的

图形序号.

30.【答案】A

31.【答案】5

【解析】【解答】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且滚动四次一循环，

72019-4=504...3,

，滚动第2019次后与第三次相同，

・•・朝下的数字是2的对面5,

故答案为：5.

【分析】观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，则可用2019除以4取余

第22页

即可得正面朝上的数字，则底面数字也可得.

32.【答案】45

【解析】【解答】解：设第n次直走结束时机器人面向西方，即第二次面向西方时一共转了360。+90。=

450°,

10°+20°+30°…+九x10°=450°

当〃=9时第二次面向西方，

一共走了9x5=45（米）：

故答案为：45.

【分析】由题意知，第n次直走结束时一共转动的角度为5几（几+1）。，即一共转动了360。+90。=450。，再

解关于n的方程可得n=9,再由题意知每次向前移动5米，则第9次移动后共走了45米.

33.【答案】C

34.【答案】A

35.【答案】（22°26,o）

36.【答案】（-2,-2）

【解析】【解答】解：设点A的坐标为（m,0）,

-*-AB2=/+22=机2+4,BC=遍，

'：AB=BC,

；・巾2+4=5,

=-1（正值舍去），

0）,

•・•将△/IBC绕点A逆时针旋转，每次旋转90。，

・••每4次为一个循环，点8回到起始位置，

<6+4=

・•・第6次旋转结束时点8的坐标与第2次旋转点B的位置相同，即相当于把点B绕点A逆时针旋转180。，

・•・此时点B的对应点与点（0,2）关于犬-1,0）对称，

・•・此时点B的对应点坐标为（一2,-2）,

故答案为：（一2,-2）.

【分析】由于一个周角是360度，则由旋转角知每旋转4次点B回到原来位置，则第6次旋转结束时点B绕

点A逆时针旋转了180度，即点B与对应点关于点A中心对称，此时可利用两点距离公式结合已知求出点

A的坐标（注意点A在x轴的负半地上，即点A的横坐标为负），再利用中点坐标公式即可.

37•【答案】（1）解：①当4,D,M三点在同一直线上时，

第23页

若点M在40的延长线上，

则AM=OM+=10+30=40,

若点M在AD上,

则AM=AD-DM=30-10=20,

综上所述的长为40或20；

②当4D,M三点为同一直角三角形的顶点时，

若力。为直角边，

则AM=y/ADz-^-DM2=V3024-102=71000=lOVTU，

若40为斜边，

AM=\/AD2-DM2=V302-102=^00=205

综上所述当4D,M三点为同一直角三角形的顶点时，4M的长为log或20

(2)解:如图所示，连接DiC,

Z-DrAD2=90°,ADr=AD2=30.

0]。2=V302+302=30鱼,=44。2。1=45°,

v乙=136。，

Z-D1D2C=90°,

在2c中，D1C=J(30可+6()2=30后，

,:Z.BAC=Z.D2AD1=90°,

:.Z.BAC--Z-D2AC»

•••Z-BAD2=Z-CAD1>

(AD2=AD]

在448。2和4ACD^\Z.BAD2=4C40i,

(AB=AC

AB。2-△ACD],

:.BD2=CD[=30vs.

38.【答案】(1)解：PM=PN,PM1PN.理由：

丁点P,N是RC.的中点，

1

:.PN〃BD,PN=)B>

第24页'

・・•点P,M是CD,。£的中点,

1

PM//CE,PM=-^CE,

VAB=AC,AD=AE,

:・BD=CE,

:・PM;PN,

•••PN//BD,

：,/DPN=/ADC,

•••PM"CE,

:・/DPM=/DCA,

,/ZBAC=90°,

••・ZADC+ZACD=90°f

・•・NMPN=NDPM+NDPN=NDCA+NADC=9C,

PM1PNf

故答案为：PM=PN,PM1PN.

(2)解：是等腰直角三角形.

理由如下：

由旋转知，NBAD=NCAE,

VAB=AC,AD=AE,

•••△ABZWZXACE(SAS),

AZABD=ZACE,BD=CE,

利用三角形的中位线得，PN寺D,PM二gCE,

乙乙

:・PM二PN,

•••△PMN是等腰三角形，

同(1)的方法得，PM//CE,

:.4DPM=4DCE,

同(1)的方法得，PN〃BD,

:./PNC=NDBC,

•・,ZDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,

・•・ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC

=ZBCE+ZDBC=NACB+ZACE+/DBC

=ZACB+ZABD+ZDBC=Z