高考数学 二项分布与超几何分布、正态分布 （学生版）

二项分布与超几何分布、正态分布

激活思维

1.(教材经典题)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”

出现的次数，则£(X)=,D(X)=.

2.(教材经典题)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布

M170,52),随机选择一名该市高二年级的男生，则P(165WX<175)=.

3.(教材经典题)学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4

名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同

学被选到的概率是.

4.(教材经典题)若某射手每次射击击中目标的概率为0.9,每次射击的结果

相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是.

5.(教材经典题)袋装食盐标准质量为40()g,规定误差的绝对值不超过4g

就认为合格.假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为

0,样本方差为4,可估计这批袋装食盐的合格率为.

聚焦知识

一、二项分布

1.伯努利试验

只包含可能结果的试验叫做伯努利试验.将一个伯努利试验独立地

重复进行〃次所组成的随机试验称为.

2.二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为〃(0Vp

VI),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为尸(X=Z)=C豺(l—p)"即女

=0,1,2,…，几.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X

服从二项分布，记作.

3.两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)=,D(X)=.

(2)若X〜B(m〃)，则£(X)=,D(X)=.

二、超几何分布

1.定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品

中随机抽取〃件(不放回)，用X表示抽取的〃件产品中的次品数，那么X的分布

列为P(X=Z)=,k=m,/n+l,小+2,…，r,其中小N,MRN",

MWN,〃WN,〃?=max{0,〃-N+M},r=min{/bM}.如果随机变量X的分布

列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

2.超几何分布的均值与方差(*)

(1)均值：根据均值的计算公式，当X〜HM,M,N)时，E(X)=EkPk=

k=m

,其中r=min{〃，M).

nM(N—M)(N—〃)

(2)方差：D(X)=

三、正态分布

1.定义：若随机变量X的概率分布密度函数为/(])=志-e-G裂，X

£R,其中〃£R,。>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为.

2.正态曲线的特点

(1)曲线是单峰的，它关于直线对称；

(2)曲线在处达到峰值忐；

(3)当因无限增大时，曲线无限接近x轴.

3.3。原则：假设X-N〃，/)，则

(1)P(〃一户().6827；

(2)P(〃一2<7WXW4+2O)Q0.9545；

(3)P(/i~+3rr)^0.9973.

4.正态分布的均值与方差

若X〜N@,则E(X)=,D(X)=.

题型突破思维拓展

举题说法

目帧口二项分布

例1（2026•南昌期初）某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡

脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个

应用问题.若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可

以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散.假设该小组在第

一阶段内解决每个基础问题的概率均为0.5,若该攻关研窕小组进入了第二阶段,

该攻关研究小组能解决每个应用问题的概率均为（）.4（假设各个阶段的每个问题

均相互独立）.

（1）求该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率；

（2）在该攻关研究小组进入第二阶段研究的前提下，记该攻关研究小组解决

应用问题的个数为X,求随机变量X的分布列和期望；

（3）第一阶段，该攻关研究小组能获得1亿元启动经费，第二阶段，每解决

一个应用问题，该攻关研究小组能获得5亿元费用.记该攻关研究小组在这两阶

段获得的总费用和为y（单位：亿元）.求随机变量y的期望值.

＜总结提燎〉

（1）在求〃次独立重复试验中事件恰好发生&次的概率时，首先要确定〃和

k的值，再准确利用公式求概率；（2）在根据独立重复试验求二项分布的有关问

题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数〃和变量的

概率，从而求得概率.

变式1（2025・宜春二模节选）某冰雪体验中心招募初学者进行滑雪培训，

对4个基本滑雪动作（站姿、滑行、转弯、刹车）进行指导.根据统计，每位初学

者对站姿、滑行、转弯、刹车这4个动作达到熟练的概率分别为2东*111最且

4个基本滑雪动作是否达到熟练相互独立,若这4个基本滑雪动作至少有3个达

到熟练，则可称为滑雪入门.

（1）求初学者滑雪入门的概率；

(2)现有一旅行团到宜春明月山冰雪体验中心游玩，其中有3()人参加滑雪

培训，且均为初学者，每个人滑雪条件相当，令＞为滑雪入门的人数，求E(X)及

这30人中滑雪入门概率最大的人数.

目帧日超几何分布

例2(2025•石家庄三模)某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的

“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名

志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如图所示的频率分布直方图.

(1)估计这100名志愿者年龄的中位数(结果精确到0.01)和平均数;

(2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法

从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人

群体，需要从参加座谈会的年龄在［25,45)的人中随机选出3人作为代表发言，

设随机变量X表示代表年龄在［25,35)的志愿者人数，求X的分布列及期望.

目帧©二项分布与超几何分布的识别

例3(2026•南京期初)袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球，5个

白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球.

(1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为X,求尸(X21)；

(2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为匕求丫的分布列和数学

期望.

＜总结暹炼A

在〃次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布.

①当这〃次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；

区别

②当〃次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布

在不放回〃次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数〃很小，此

联系

时超几何分布可近似转化成二项分布

目帧d正态分在

例4(1)(2025•青岛二测)(多选)若随机变量X服从正态分布N(0,2?),随

机变量丫服从正态分布M2,32),则()

A.E(2X+1)=1

B.D(2r+1)=12

C.P(XW—2)+P(XW2)=I

D.P([X]W2)>P(|HW2)

(2)(2025•湛江二模)某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量

。(单位：g)近似服从正态分布M50,4),现有该新品种草莓10000个,估计其中

单果质量超过52g的苴莓有()

附：见聚焦知识

A.228个B.456个

C.1587个D.3174个

＜总结提炼》

解决正态分布问题有三个关键点：(1)正态密度曲线的对称轴工=4；(2)标

准差不(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由〃，g分布区

间的特征进行转化，使分布区间转化为3。特殊区间，从而求出所求概率.注意

只有在〃=0时正态密度曲线的对称轴才为x=0.

变式4(2025•宣城期末)(多选)宣城市开展国家体育健康测试抽测工作，

某校高三年级甲、乙两个班级被抽中，甲班的成绩X与乙班的成绩丫均服从正

态分布，且X〜M120,100),y〜M140,160),则()

A.E(X)=120

B.£>(y)=40

C.P(X<80)+P(XW160)=1

D.P(X<160)>P(y<16())

随堂内化

1.(2025•九江一模)教育局准备了9个教育相关问题(含问题A)到某校调研

教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽

取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等.记X表示抽到问题A的

教师人数，则E(X)=()

4

A.§B.4

2

C.gD.2

2.根据现行国家标准，PM2.5日均值(单位：pg/rr?)在35以下,空气质量为

一级；在35〜75,空气质量为二级；在75以上，空气质量为超标.工作人员从

某自然保护区2024年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取1()天的数据作

为样本，监测值频数如下表所示：

PM2.5日均值(25,35](35,45](45,55]

频数311

PM2.5日均值(55,65J(65,75J(75,85J

频数113

从这10天的数据中任取3天数据-，i己X表示抽到PM2.5监测数据超标的天

数，则X的均值是()

10

A・ToB.~9

1

c-七D.9

3.(2026•蚌埠期初)(多选)己知随机变量X-M〃，/)，随机变量丫〜5(3,

〃)，若P(XWl)=0.5,E(X)=E(D，D(X)=D(Y),则下列说法正确的是()

4

A."=1B.。(2¥)=]

C.D.£>(3X)=6

4.(2026•潍坊期初)袋子中有3个红球，2个黄球，加个蓝球，现从中任取

两个球，记取出的红球个数为X,若取出的两个球都是红球的概率为§则E(X)

配套精练

练习1

一、单项选择题

1.(2025•福州三模)已知随机变量X〜；),若七(X)=2,则P(X=2)=

()

1B3

A.48

「1、5

c.2D.g

2.(2025•邵阳联考)为了推广一种新产品，某公司开展了有奖促销活动：将

6件这种产品装一箱，每箱中都放置2件能够中奖的产品.若从一箱中随机抽出

2件，能中奖的概率为()

23

--

A.5B.5

3

D.

c.l4

3.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，则正面朝上出现的频率在［0.4,

0.6］内的概率是()

4.一个不透明的袋子中装有3个黑球，〃个白球(〃£N*),这些球除颜色外

大小、质地完全相同.从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概

9

率为元，设X为取出白球的个数，则E(X)=()

A-2B-2

C.1D.2

5.一箱骄猴桃共有20个，其中有若干个为烂果(烂果率低于50%),从这一

箱舜猴桃中任取2个，恰有1个烂果的概率为4荒?，则这箱狮猴桃的烂果个数为

()

A.4B.5

C.6D.7

二、多项选择题

6.已知10件产晶中存在次晶，从中抽取2件，记次晶数为3午=1)=指

P(C=2)=1，则下列说法正确的是()

A.这10件产品的次品率为20%

B.次品有8件

C.七(。=0.4

D.=225

7.已知一袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正

确的有（）

A.从中任取3个球，恰有1个白球的概率是1

B.从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球的次数的方差为

4

-

3

C.现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后,

2

第二次再次取到红球的概率为5

4

-

D.从中有放回地取球3次，每次任取1个球,9

三、填空题

8.已知随机变量X〜伙6,〃），且凤X）=3,则P（X=1）=.

9.某人射击次击中目标的概率为0.6,经过三次射击，此人至少有两次击

中目标的概率为.

10.袋中有4个红球，加个黄球，〃个绿球.现从中任取两个球，记取出的

红球个数为却若取出的两个球都是红球的概率为3则E（J=.

四、解答题

II.（2026♦漳州一检）2025年某市创新创业大赛吸引了众多优质项目参与,

经评审，某领域有10个项目进入最终角逐，其中科技类项目6个，文创类项目

4个.

（1）为分析项目研发投入与最终得分的关系，收集了该领域5个项目的研发

投入x（单位：万元）和最终得分兴单位：分），数据如下表：

研发投入X2030405060

最终得分)，6669767984

AAA

请根据表中数据，建立)，关于X的经验回归方程尸法+公

(2)从上述10个项目中随机抽取3个进行路演展示，记抽中的科技类项目

个数为X,求X的分布列和数学期望.

A(Xi-x)(yi-y)A_A_5__

参考公式与数据：b=~二，a=y-hx,Z(»—x)(37—y)

2(H-x)2<=1

，=I

5_

=460,Z（H—x）2=1000.

12.(2026•唐山期初)甲、乙两人各有一个乒乓球袋，袋内均装有1()个规格

相同的乒乓球，其中4个黄球，6个白球，两人从各自袋中摸球.

(1)甲无放回摸出两个球，用X表示摸出黄球的个数，求X的分布列和数学

期望；

(2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：甲无放回摸球，乙有放回摸球，若两人

各自都摸两次，每次摸出一个球，谁摸出的黄球个数多谁就获胜，判断谁获胜的

概率较大，并说明理由.

练习2

一、单项选择题

C.24D.16

2.数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道

题才能及格.某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（）

4n2

A-53

C,5D,2

3.（2025•厦门一模）已知随机变量X服从正态分布Ml，『），若P（XWa）=

0.3,且尸（〃WXWa+2）=0.4,则a=（）

A.-1B.—

C.0D.z

4.某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲、乙、丙三种树木中选择一种

进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为今若从该地市民中随

机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（）

A,2727

cADi

5.（2025•清远二模）已知随机变量X服从正态分布M10,『），下列结论中

正确的是（）

A.P（X<9.9）+P（X^1O.1）>1

B.当b=0.1时，D（2X4-1）=0.4

C.E（x）=Vio

D.随机变量X落在（9.9,10.2）与落在（9.8,10.1）的概率相等

二、多项选择题

6.（2025•潍坊期末）为了解某地区推广新农业技术后的农作物亩产量（单位：

千克）情况，从该地区抽取样本，得到推广新技术后农作物的平均亩产量为510,

样本方差为4.已知该地区以往农作物的平均亩产量为5()(),样本方差为36,假

设以往农作物的亩产量X和推广新技术后的亩产量丫都服从正态分布，则()

A.X〜N(500,362)B.丫〜N(510,22)

C.P(X^510)>P(r^510)D.P(XW514)VP(YW514)

7.(2025•保定二模)若OVpVl,随机变量X〜3(6,p),Y〜N®p?),则

()

A.p(y>8)=p(r<4)

41

B.当O(X)=)时，D(y)=^

14

c.当。(r)=§时，D(x)=j

D.当〃在变化时，尸(X=l)的最大值为仅)5

三、填空题

8.(2025•徐州2月调研)某次调研测试中，考生成绩X服从正态分布N(75,

3

『).若P(6()WXW90)=《，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少

有2名考生的成绩高于90的概率为.

9.已知随机变量X〜