第2章 综合与实践 进位制的认识与探究（第21课时）学案-2026-2027学年人教版七年级数学上册

综合与实践

进位制的认识与探究

（第21课时）导学案

2026—2027学年人教版七年级数学上册

班级：________姓名：__________日期：__________

一、学习目标

【知识技能】

1.理解进位制的概念，知道十进制与二进制的区别与联系

2.掌握十进制数与二进制数相互转化的方法（短除法、按权展开法）

3.了解八进制、十六进制及其在计算机中的应用

【核心素养】

1.数学抽象：从生活中提炼进位制的数学模型

2.运算能力：掌握不同进位制之间的转换技能

3.应用意识：体会进位制在计算机科学中的实际应用

4.数据分析：解读进位制对照表，归纳转换规律

二、学习重难点

【重点】十进制与二进制之间的相互转化

【难点】理解位值制原理，掌握短除法竖式的规范书写

三、情境导入

【情境1】计算机只认识。和1

你知道吗？世界上所有的电了•设备一一手机、电脑、计算器一一它们内部都只认识两个数字：

0和1!

问题1：为什么计算机要用二进制？它和我们的十进制有什么关系？

【情境2］古代的计数方式

在没有数字的远古时代，人们用结绳记事来计数。每打一个结代表一个事物，这就是最原始的

〃满一进一〃思想。

问题2：算盘是中国占代的伟大发明，它用什么来表示数？它和进位制有什么关系？

【情境3】密码与编码

在计算机中，每一个英文字母、汉字、标点符号都可以用一串0和1表示，这就是编码。

问题3：你知道“Hell。”在计算机中是怎么表示的吗？为什么要学习进位制？

学法提示:本课是“综合与实践”活动课,重在探究与实践!让我们一起探索数字王国的奥秘。

四、合作探究

探究点1：进位制的概念

【自主学习】阅读课本，完成以下问题：

问题1:什么是进位制？什么叫〃满十进一〃？你能举出一个生活中的例子吗？

问题2：十进制的基数是，基本数字有个，分别是—

问题3：二进制的基数是，基本数字有个，分别是一

【探究】观察进位制对照表，归纳规律:

.......1____..._____1__________1___________

0000

1111

21022

31133

410044

510155

611066

711177

81000108

91001119

10101012A

11101113B

12110014C

13110115D

14111016E

表1:第用进位脾照表(0-15)ini17F

说明：二道制用0KH表示；八进制用07表示；十六透制用69知AF表示(A=10.B=ll.C=12,D=13.E=14F=15)

IS1：常用逸任制对照表(0-15)

问题4：在二进制中，为什么没有数字〃2〃？当满了〃2〃时该怎么办?

问题5：观察二进制数，从右往左，每一位上的代表十进制的多少？(提示：1,2,4,8,

16...)

探究点2：十进制转二进制(短除法)

【例题】将十进制数13转换为二进制数。

十进制数13转二进制

132：十进制转二进制——短除法流程图

【方法总结】

短除法步骤：

①用2连续去除十进制数；

②记录每一次的余数（0或1）；

③一直除到商为。为止；

④余数从下往上读取，就是二进制结果。

形象记忆:短除法就像“剥洋葱”,一层一层剥开,每次留下一个数字（余数）!

【练习】用短除法将下列十进制数转为二进制：

(1)10=______2：(2)25=2：(3)42=

探究点3:二进制转十进制(按权展开法)

【例题】将二进制数1101转换为十进制数。

二进制数1101转十进制

1101

1II(•右边位)

22

1X23+1X22+OX2,+1X2^

8+4+0+1

图3:二进制转十进制一一按权展开法

图3：二进制转十进制—按反展开法

【方法总结】

按权展开法步骤：

①写出二进制数的每一位；

②标出每位数字的权值(从右往左：2。，2',22,23...)；

③每位数字乘以对应的权值；

④把所有乘积相加，得到十进制结果。

【练习】用按权展开法将下列二进制数转为十进制：

(1)1012=______;(2)11112=_______;(3)100102=_

探究点4：其他进位制简介

【八进制】

基数为8,使用0-7八个数字。满8进1。

问题1:观察对照表，十六进制的A、B、C、I）、E、F分别代表十进制的多少？

【十六进制】

基数为16,使用0-9和A-F共16个符号。满16进1。

问题2：十六进制数1A对应的十进制数是多少？（提示：1X161+10X16°=?）

进位制的历史与发展

■>0的六十道立0«01f•多沮也却

计数方式计*航遢害卬R桥索

图4:进位耕的历史演曲

图4：进位制的历义演变

【应用拓展】

•二进制：计算机内部、逻辑电路

•八进制：Un八/Linux文件权限

•十六进制：网页颜色代码（如#FF0000表示红色）

五、典型例题

例1将卜进制数37转换为二进制数。

思廨；使用短除法,用2连续除37,记录余数,直到商为0。

解：

374-2=18............1

18+2=9............0

9+2=4............1

44-2=2............0

24-2=1............0

14-2=0............1

余数从下往上：上0101,所以37=1001012

例2将二进制数10110转换为十进制数。

思期:按权展开,从右往左标权值:2。，？，Z,?,2"…

42

解：101102=1X2+0X23+1X2+1X2,+0X2°

=16+0+4+2+0

=22

例3计算二进制加法：10k+112=2

思路:按二进制加法规则:0十0:0,0+1=1,11-1=10（遗性）

解:

101

+Oil

1OOO

所以1012+112=10002

【变式训练】

1.将十进制数19转换为二进制：19=___

2.将二进制数1001转换为十进制：10012=

3.计算：1102+1012=2

六、实践探究

r活动1：进制转换器发计】

小组合作，设计一个简易的十进制转二进制流程图（或程序框图）。

步骤：①输入一个十进制数N②判断N是否为0③用2除N,记录余数④更新N⑤

输出二进制结果

【活动2：密码破译挑战】

卜面是•些字符的二进制编码，尝试破译它们（提示：查阅ASCII码表）：

・01001000=H(对应十进制72)

•01100101=

・01101100=______

【活动3：趣味计算】

计算下列二进制算式的结果:

(1)1+1=

(2)10+1=_

(3)11+1=

(4)111+1=______

学法提示:二进制加法和十迸制加法类似,只是"满2进1",而不是"满10进1”!

七、达标检测

A组基础巩固（必做）

1.下列进位制中，基数最小的是（）

A.二进制B.八进制C.十进制D.十六进制

2.十进制数13用二进制表示为（）

A.1101B.1011C.1110D.1001

3.二进制数101加十进制表示为（）

A.3B.4C.5D.6

4.在二进制中，1+1的结果是（）

A.2B.10C.11D.1

5.完成进制转换：2710=2

B组能力提升（选做）

6.计算二进制加法：11012+1012=:

7.十六进制数1F对应的十进制数是____o（提示：1X161+15X16°）

8.若一个二进制数末尾是0,将它乘以2后，末尾会变成____。

9.观察规律：1广1,1163,1112=7,你能发现什么规律？

C组拓展探究（挑战）

10.某同学设计了一个密码：用出生年份（2010年）的二进制编码作为密码的一部分。（1）2010

的二进制表示是什么？（2）如果密码的二进制最后四位是“0101”,对应的十进制是多少？

11.在计算机中，一个字节（Byte）由8个二进制位（bit）组成，能表示0-255的数。3）一个

字节最多能表示多少个不同的数？（2）如果用2个字节（16位），最多能表示多少个数？

中考链接

1.（2024•北京）将二进制数1011晶化为十进制数，正确的是（）

A.A.8B.B.10C.C.11D.D.12

2.（2024•上海）十进制数25用二进制表示为2。

3.（2025•模拟）阅读理解：计算机中的颜色常用十六进制表示，如#FF0000表示红色，#00FF00

表示绿色。如果#0000FF表示蓝色，那么邺FFF00表示什么颜色？

学法提示:FF在十六进制中苓于255,表示该颜色取最大值。

八、课堂小结

【知识结构图】

转换类型方法关键点

十进制f二进制短除法除以2,取余数

从下往上读

二进制f十进制按权展开法每位数字X权值

求和

二进制加法竖式计算满2进1

借1当2

其他进位制类比迁移八进制满8进1

十六进制满16进1

【我的收获】

1.进位制的核心是:

2.十进制转二进制的方法：

3.二进制转十进制的方法：

4.本节课让我最感兴趣的是：

九、课后反思

1.本甘课我学会了________________________________________________

2.我还不明白的地方是

3.我想进一步探究的问题是：

4.给本节课打个分（上10分）：，分、我的收获是

参考答案

合作探究要点归纳答案

探究点1:进位制的概念

问题1:

-什么是进位制：进位制是一种计数规则，用一组固定的数字符号和“逢基数进位”的规则来表示数。

-“满十进一”：指在十进制中，当某一位的数达到10时，就向前一位进1,本位变为0。

-生活例子：数数时，个位从0数到9,再加1个位满10,向十位进1（即9+1=10）；或者人民币10

个1角换成1元。

问题2：

-基数：10

-基本数字个数：10个

-分别是：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

问题3：

-基数：2

-基本数字个数：2个

-分别是：0,1

问题4：

-原因：二进制只有0和1两个基本数字，最大数字就是1,因此没有“2”o

-满2处理：当某一位满2时，向前一位进1,本位变为0,称为“满二进一”。例如：1+1=102。

问题5：

-从右往左（最低位开始），每一位上的“1”依次代表十进制的：1,2,4,8,16,…

即第1位（右1）是2°=1,第2位是2=第3位是22=4,第4位是2《8,以此类推。

探究点2：

(1)10=10102

(2)25=110012

(3)42=1010102

探究点3：

21

(1)1012=1X2+0X2+1X2°=4+0+1=5

(2)1111?=8+4+2+1=15

4321

(3)100102=1X2+0X2+0X2+1X2+0X2°=16+0+0+2+0=18

探究点4：其他进位制简介

问题1：观察对照表，十六进制的A、B、C、D、E、F分别代表十进制的多少？

-A=10

-B=11

-C=12

-D=13

-E=14

-F=15

问题2：

1

-1AI6=1X16+10X16°=16+10=26

探究L进位制是按进位方式计数的制度，“满十进一”是指在十进制中，当某一位的数达到10时就向高

位进1。例如：10个苹果装一箱,满10箱就进一位。

探究2.十进制基数是10,基本数字有10个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

探究3.二进制基数是2,基本数字有2个：0、1。

探究4.二进制中只有0和1两个数字，没有数字"2"。当满2时，就像十进制满10进1一样，二进制

要“满2进1”。