2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷01（人教A版范围：必修第二册第六章~第八章第三节）解析版

高一数学下学期期中模拟卷01（人教A版）

全解全析

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）已知向量a=（1,2）,3=（-3口）,若五_1■（五+2母，则工=（）

A.《B.C.-6D.\

【答案】A

【解题思路】由向量坐标的线性运算以及垂直向量的坐标表示，建立方程，可得答案.

【解答过程】由题意可得己+23=（-5,2x+2）,

由a1（a+2b）,则五•（a+2b）=-5+2（2x+2）=0,

解得％=*

故选：A.

2.（5分）若复数z满足z=手，则万的虚部为（）

A.1B.iC.-1D.-i

【答案】A

【解题思路】根据复数的四则运算求出更数z,再求共挽复数，即可判断其虚部.

【解答过程】由z=?=节早=l-i,

故5=1+i,所以万的虚部为1.

故选：A.

3.（5分）如图，四边形/BCO的斜二测画法的直观图为直角梯形A夕其中〃方||。匕，，^B'C'D'=

48=3,A,D,=V2,则四边形的周长为（）

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A.5+4百B.8+2百C.8+2V2D.5+472

【答案】C

【解题思路】根据给定条件，利用斜二测画法规则还原直角梯形ABO,进而求出四边形力的周长.

【解答过程】在直角梯形ABC。中，CD'=A'B'-A'D'cos^=2f

由斜二测画法规则，得直角梯形/BCD对应的四边形ABCD,如图，

在四边形ABCD中,CD//AB.ADLAB,AB=A'B'=3,CD=CD'=2,AD=2A'D'=272,

则8c=qAD?+（48-CD/=J12V2/+I2=3,

所以四边形/BCD的周长为84-2企.

故选:C.

4.（5分）己知平面向量五，B是两个单位向量，2在族上的投影向量为司，则五・0+励=（）

A.1B.3C.V2D.V3

【答案】B

【解题思路】根据投影向量的定义求出益i再根据向量数量积的运算律求出机位+».

【解答过程】已知语石上的投影向量为总h

\br

因为石是单位向量，所以历1=1,则（港行访=节，故鼠加=£

可得万­（a+d）=a-a+a-b.

因为五是单位向量，所以同=1,可得互4=同2=1.

将鼠G=1,a-h="弋入可得不.（元+B）=1+3=*

故选:B.

5.（5分）在△A8C中，角48,C所对的边分别为a,瓦c,且8=2,B=a△小凤?的面积S2X/18c=V3,则a+c=

)

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A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解题思路】利用三角形的面积公式和余弦定理计算易得.

【解答过程】由题意，=V3,可得ac=4；

由余弦定理，b2=dz+c2-2accosp

代入条件，可得4=(a+c)2—3ac=(a+c)2—12,解得a+c=4.

故选：B.

6.(5分)已知i为虚数单位,如果复数z满足|z+2i|+|z—2i|=4,那么忆一1|的最小值是()

A.1B.V2C.2D.V5

【答案】A

【解题思路】直接利用复数模的几何意义求出点Z的轨迹.然后作图求解即可.

【解答过程】设一2i,2i,l在复平面内对应的点分别为Zl,Z2，Z3，

因忆+2“+忆_2”=4,且|Z42|=4,则复数z对应的点Z的轨迹为线段Z1Z2,如图所示.

故忆一1|的最小值问题可理解为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求IZZ3I的最小值，

故只需作Z3Z0JLZ1Z2,交线段Z1Z2于点Zo,则IZ3Z0I即为所求的最小值1,故忆一1|的最小值是1.

7.(5分)如图，已知正四核台的高h=46，且力8=24邑=8,则此正四棱台的外

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A.807TB.91TTC.128TTD.182n

【答案】D

【解题思路】根据正四棱台的性质找到其外接球的球心，然后设球心为。，点。距离下底面的高度为乂

根据题意列出方程，求解即可.

【解答过程】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图

所示，设球心为。，点。距离下底面的高度为X.

因为h=4而，AB=8,4m1=4,又上、下底面均为正方形，所以AC=8VL4c1=4&.

设棱台的外接球的半径为凡根据勾股定理可得炉=(4连一%)2+(2&)2=/+(4或)2,解得第=乎，

则产=工2+(4-y2)2=y,所以正四棱台的外接球表面枳为4nR2=1821T.

故选：D.

8.(5分)在△48C中，/.ABC=y,。为边AC上一点，"BC屋且BD=1,则△4BC面积的最小值为

()

A.V3B.亭C.2V3D.乎

【答案】D

【解题思路】结合图形，根据三角形等面积可得百ac=2c+a；再根据基本不等式可得出ac2也进而可

求出。面积的最小值.

【解答过程】

所以乙480=y—^=7-

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又因为8。=1,

所以BDxAB=^c,S^=BDxBCxsin乙DBC=：b.

乙土4C[3Dt

根据等面积法可得：S&ABC=SfBD+SMBD，即、csi吟=f

整理得百ac=2c+a.

由基本不等式可得：2C+QN2后，当且仅当2c=a时等号成立.

则、gacN2加^,解得：QCN:此时Q=竽，c=¥时等号成立.

•533

故=*c之乎xg=竽.

故选:D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.（6分）已知复数21=总，z=（l+3i）（3-i）,则（）

J十I2

A.Zi的共规复数的虚部为：

B.|z2|=10

C.z?—12z1为纯虚数

D.在复平面内，复数20ZI+Z2所对应的点位于第一象限

【答案】ABC

【解题思路】利用复数的相关概念、模长公式、几何意义、运算法则一一分析选项即可.

【解答过程】易知为=就言=瞽=:加2=8i+6,

对干A,易知ZT=；+3,其虚部为《故A正确；

对于B,/2|=V82+62=10,故B正确；

对于C,z2-12zi=6+8i=14i,为纯虚数，故C正确；

对于D,20Z!+z2=20（l-1i）-6+8i=16-2i,对应的点为（16,—2）位于第四象限，

故D错误.

故选:ABC.

10.（6分）如图，已知圆台上，下底面的圆心分别为01，。2,半径分别为2和4,高为2百，四边形4BCD

为圆台。1。2的轴截面，则（）

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A.圆台的母线长为6B.圆台的体积为空

C.圆台的侧面积为24兀D.圆台外接球的半径为4

【答案】BCD

【解题思路】根据题意，利用圆台的几何结构特征，求得圆台的母线长，可得判定A错误；利用圆台的体

积公式，求得圆台的体积，可判定B正确；利用圆台的侧面积公式，求得圆台的侧面积，可判定C正确：

设圆台的外接球的球心到上底面的距离为工，利用球的截面圆的性质，求得％=2仃，进而的球的半径，可

判定D正确.

【解答过程】由题意知，圆台的上、下底面圆的半径分别为r=2和R=4,高九=2机，

则圆台的母线长为I=J(R—r)2+九2=J*-2)2+(2V3)2=4,所以A错误；

圆台的体积为，=1n(r2+Rr+产).九二泰x(2?+2x4+42)x273=丝普，所以B正确；

圆台的侧面积为S=7T•(R+r)♦Z=nx(4+2)x4=24m所以C正确；

设圆台的外接球的球心到上底面的距离为x，

由球的截面圆的性质，可得/+22=(2怖一%)2+42,解得％=28，

所以球的半径为R=收+22=4,所以D正确.

故选：BCD.

11.(6分)如图，在等边△力BC中，48=3,点。在边BC上,且反二2就.过点。的直线分别交射线

AB,AC于不同的两点M,N,AB=mAM,AC=nAN.则以卜选项正确的是()

A.A0=|48+，CB.cos（0A^0C）=

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C.m+n=3D.1+'的最小值是?

)nno

【答案】ABD

【解题思路】利用基底｛而，而｝表示向景而判断A；利用数最积的运算律及夹角公式求解判断B：利用共线

向量定理推论求解判断C：利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断D.

【解答过程】对于A,由沆^=2而，得前一瓶二2(而一而)，则而=押+；尼，A正确；

对于B,令丽二五,彳？二9，在等边△4BC中，a-d=3x3xcos60°=

由选项A得|4。|=gj(2五+1)2=五2+产+4d•3=x9+9+4x1=V7,

OC=1BC=l(AC-AB)=l(b-a)tO4=-1(2a+b),\0C\=2,

OA-OC=1(2a+b)-(a-b)=1(2a2-a-b-22)=|(2x9-1-9)=1,

因此cos协，的=激急=焉=奈B正确；

对于C,由选项A知，AO=^AB+^AC,而丽=m前，AC=nAN,

则刀=等而7+多而，而M,O,N共线，因此等+g=l,即2m+n=3,C错误；

对于D,由选项C知，1(2m+n)=l,m>0,n>0,'+：=g(2m+九)(、+：)

=1(4+^+^)>|(4+2当且仅当〃=2m时取等号，D正确.

故选:ABD.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)若复数z与(z+l)2+2i都是纯虚数，则复数z=.

【答案】i

【解题思路】首先设出复数z的一般形式，再根据纯虚数的定义得到实部和虚部的方程，进而求解.

【解答过程】•.,复数z为纯虚数，.•.设z=ai,则(z+1)2+2i=(ai+1)2+2i=1—a?+(2Q+2)i,

又(z+l)2+2i都是纯虚数，解得Q=l,

•••z=i.

故答案为：z=i.

13.(5分)某组合体如图所示，上半部分是正四棱维P-EFC/7,下半部分是长方体Z19CO—EFCH,正四

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棱锥P-E/GH的高为1,EF=2rAE=l,则该组合体的体积为

【答案】-

【解题思路】根据题意，利用锥体和柱体的体积公式，列式计算，即可求解.

【解答过程】因为该组合体得到上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体力

正四棱锥P-E9G/7的高为1,且EF=2,AE=1,

所以该组合体的体积为：V=VP_EFGH+VABCD_EFGH=1x2x2xl+2x2xl=^.

故答案为：号.

14.（5分）高原明珠又名浦宁之珠，于2008年10月13日在西宁市城西区西山山顶竣工，是集广播电视

发射、城市规划展览、旅游观光为一体的西宁市标志性建筑..某校一项FI学习小组开展数学建模活动，欲测

量明珠塔N8的高度.选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C,。.测得乙CBZ）=30°,CD=188m,在C,

D两观测点处测得明珠塔顶部A的仰角分别为45°,30",则明珠塔48的高约为m.

【答案】188

【解题思路】设48=%,在和中，用工表示出BC和BD,在△BCD中借助余弦定理求出工

的值,即48的值.

【解答过程】设AB=x,在Rt/XABC中，AACB=45°,则8C=48=x,

在中，LADB=30°,则80=7^：=后，

tan30

在aBCO中，Z,CBD=30%CD=188m,

由余弓玄定理得；CD2=BC2YBD2-2BC-BDcos^CBD,

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即1882=%2+(73x)2—7.x•V3x-=x2,解得x=188,

所以明珠塔48的高约为188m.

故答案为：188.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)已知复数z=(2+i)7n2-3(i+l)m-2(l-i),根据下列条件求实数m的值.

(l)z是实数；

(2)z是纯虚数；

(3)z在复平面内对应的点在第二象限.

【答案】(1)1或2

(2)-1

⑶(f)

【解题思路】(1)根据题意得z=(2m+l)(租-2)+(m-l)(m—2)i,根据复数的概念列式即可求解;

(2)根据复数的概念列式即可求解；

(3)根据复数的几何意义列式即可求解.

【解答过程】(I)由题意z=(2+i)7n2-3(i+i)m-2(l-i)=(27n2-3m—2)+(77i2—3m+2)i

=[2m+1)(7九—2)+(TH—1)(7H—2)i,

若z是实数，则(m-l)(m-2)=0,解得m=1或m=2

⑵若z是纯虚数，则｛(鸵毁之2卷3解得皿=—

(3)若z在复平面内对应的点在第二象限，则｛需广；))膘二端；解得一

16.(15分)已知向量不二(一1,一1)3=(0,1).

⑴求展b；

(2)求向量五与石的夹角。的大小；

(3)若向量2=(x,y)满足工=-ya+(1-x)b,求实数的值.

【答案】(1)一1

(2片

(3)x=l,y=1

【解题思路】(1)利用向量的数量积的坐标公式计算即得：

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(2)利用向量的夹角公式计算即得；

(3)利用向量相等构造方程求得居y,即得结果.

【解答过程】(I)由向量己=(一1,一1)%=(0,1),得限B=(-1)x0+(-1)x1=—1.

(2)由向量五=(-1,-1)5=(0,1),得向=75,历1=1,

又ai=_l,于是cos。=黑［=房=一亭

13|川V22

而owewm所以。=斗.

4

(3)依题意2=(y,y)+(0,1-x)=(y,l-x+y),即(x,y)=(>,1-x+y),

于是｛y=；W+y，解得｛；：；•

17.(15分)如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱

与圆锥的底面大小相同，圆柱的底而半径为6cm,高为20cm,圆锥母线为10cm.

(1)计算该模型的体积.(结果精确到lcm3)

(2)现需使用油漆对400个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？(结只精确到1元)

【答案】(l)1960cm3

(2)1267元

【解题思路】(1)设圆锥的高为阳，由条件求出圆锥的高，结合柱体体积公式和锥体体积公式求结论：

(2)结合圆柱的侧面积公式，圆锥的侧面积公式求出一个模型的表面积，再求总费用的值.

【解答过程】(1)设圆锥的高为历，

由题意得圆锥母线为10cm,圆锥的底面半径为6,

则41=V102-62=8cm,

设圆柱的底面半径为r,高为九，由已知可得r=6cm,h=20cm,

所以圆柱的体积，i=nr2h=nx62x20=720K(CITI3),

圆锥的体积匕=轲'2电=^xnx62x8=96-rr(cm3)

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V=720TT-96TT=624n«1960cm3；

（2）圆柱的侧面积为Si=2nr-20=240m圆柱的上底面的面枳为S2=36m

圆锥侧面积为S3=TIx6x10=601T.

一个模型的表面积S=240Tl+36r+60n=336ncm2,

所以总费用为受嘿警2=403.271=1267（元）.

18.（17分）如图，在等腰梯形48CD中，AB=2CD=4,^BAD=p•JE是BC边上一点（含端点），4E与

8。交于点F,设丽=入丽.

（\）^AF=xAD+yAD,证明：x+y=1：

（2）若入=；,AF=xAB+yAD,求10%—5y的值；

（3）求族•丽的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

（2）4

⑶蓝.而£

【解题思路】（1）由8,尸刀三点共线，可知存在实数m,使而:二小而，进而得出而=m而+（1—m）南,

根据平面向量基本定理即可证明：

（2）用而,而表示出荏，根据向量平行及x+y=1即可求解；

（3）用而，而表示出荏，丽，根据平面向量数量积的运算律即可求解.

【解答过程】（1）三点共线，可知存在实数相，使丽=m前，

即力/7—AB=m（AD—而）,化简得力尸=mAD4-（1—rri）AB

结合而=幻而+丫而，由平面向量基本定理得｛”；±7加，

所以％+y=1.

（2）在等腰梯形/BCD中，由通+近+而+E5=G,

可得前=-AB-CD-DA=-AB+DC+AD,

根据|而|=2|而可得玩=一瓶+冠+而=而一g而，

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又前二2而，所以诟二2而一:而，

所以荏=前+丽：=河+^AD,

因为4尸石三点共线，所以向量族,而互相平行，

xyx=—3

可得三=工，结合x+y=l,解得8，

42y=w

所以10x—5y=4.

（3）由（1）的结论，可得荏=而+丽=而+4丽=（1一乡而+/1而,

过D,C作4B的垂线，垂足分别为GH,

因为等腰梯形48CD中，|而|=2\CD\=4,

所以|同+2|福=\A§\,可得|祠=福一|可）=1,

乂乙8/1。=*得|而|=2.

所以48-AD=|J5||^4D|COS^=4,AB2=16,/ID2=4,

可得荏.而=[(i-0AS+XAD\^(AD-AB)

=-(1-。宿+AAD2+(I-IX)AB-AD

=-12+6/1,

结合4E[0,l],可得万•丽£—

19.（17分）在△力BC中，角力，B,C的对边分别为a,b,c且Q=l,—=^.

⑴求角小

（2）若。是线段8c的中点，且工。=1,求△ABC的面积；

（3）若△4BC为锐角三