2027届高三数学一轮复习：基本不等式及其应用【20个核心题型归纳】原卷版

第4讲基本不等式及其应用

题型总览核心题型归纳（目录）

【题型1】基本不等式的直接使用2

【题型2】掌规凝配法求最值

【题型3】T的妙用（1）：乘T法

【题型4】T的妙用（2）：T的代换

【题型5】二次比一次空

【斐型6】分离常数型

【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题

厂模块一：核心题型•重点突破

【建型8】利用对勾函数

【题型9】判断不等式是否能成立（一正二定三

相等）

基

本【题型】0】换元法（整体思想）

不

【超型11】基本不等式的实际应用问还

等

【题型12】与a*b、平方和、ab有关问题的最

式

值（和，积，平方和互相转化）

及

【题型】3】基本不等式恒成立与能成立问题

其

应

［【题型14】消元法

用

（【遨空15】因式分解型

［【题型16】同除型（构造齐次式）

【教型17】万能2•法

模块二：核心方法拓展提升

【题型18】三角换元法（利用三角函数

【题型19】基本不等式与其他知识交汇的最值问

［【蒙空20】多次运用基本不等式

模块一核心题型-重点突破

【题型1]基本不等式的直接使用

基础知识

如果那么向《丝2当且仅当“二b时，等号成立.其中，竺2叫作4,8的算

22

术平均数，踊叫作々，〃的几何平均数.即正数。的算术平均数不小于它们的几何平均数.

常用不等式：若a,bwR,则/+/22必，当且仅当〃二〃计取等号；

基本不等式：若。，匕€*,则"2'N（^,a+b>ijcib）»当且仅当。二方时取等号.

常用结论

1对正数〃a+A22\[ab当且仅当a=Z?时取等号

2ab<[^-^\当且仅当a=6时取等号

3。2+〃22。/?当且仅当4=6时取等号

解题方法

1先判断变量是否为正数满足“一正”

2看和或积是否为定值满足“二定”

3脸证等号成立条件是否存在满足“三相等”

4直接套用公式求最值

[经典例题1】（25-26高一上•福建莆田•期末）设a、匕为正数，且Q+2b=1,则好的最大值为

【经典例题2】（25-26高一上•福建三明•阶段检测）若x>0,则工+：的最小值为（）

A.1B.3C.6D.10

【巩固练习1】（25-26高一上•北京・月考）已知Q>0,则a+±+l的最小值为________,此时

a

a=.

【巩固练习2】（25-26高一上•广西桂林•期中）已知实数m,九满足血2+彦=8,则mn的最大值为

)

A.IB.2C.3D.4

【巩固练习3】（25-26而三上,上海•阶段检测）已知正实数内匕满足a+3b=1,则ab的最大值为

【题型2】常规凑配法求最值

基础知识

配凑法：加上一个数或减去一个数使和（积）为定值，然后利用基本不等式求解.

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.

2、注意脸证取得条件.

常见的配凑法求最值模型

（1）模型一：nix+—>2y[mn（m>0,/?>0）,当且仅当x=时等号成立；

（2）模型二：ntx+——=m（x-a）+——+ma>2y[mn+ma（m>0.n>0）

x-ax-a

【经典例题1】（25-26高一下•贵州毕节•月考）函数/（幻二力+'a>1）的最小值为（）

X—71

A.1B.2C.3D.2或+2

【经典例题2】（25-26高二上•河北秦皇岛•阶段检测）函数fW=2x+^（x>1）的最小值为（）

A.1B.2C.3D.2或+2

【巩固练习1】（25-26高一上•天津宝垠;•月考）已知f（%）=入+三+1,若%>1,/（%）的最小值为

【巩固练习2]（25-26高一上•海南•期中）己知%>1,则4%+工的最小值为（）

X-1

A.4B.6C.8D.10

【巩固练习3]（25-26高一上天津河东・月考）》（1-]（其中0<%<2）的最大值是（）

A.B.D.2

4C.1

【题型3】“1”的妙用（1）:爽“1”法

基础知识

方法总结：乘“1”法就是指凑出1,利用乘'T'后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运

用基本不等式的条件，即积为定值.

主要解决形如“已知1+产々为常数），求巴+-的最值”的问题，先将g+-转化为（巴十

入y，y\xy/

再用基本不等式求最值

注意：验证取得条件.

常用结论

I1（11、

1已知a+〃=l则一+:=（。+份一+:>4

abb）

2通用形式；若+〃〃一1a,b>0W'j"I?=（ma\nb}\P\

ab\ab

解题方法

1找到题目中等于1的表达式

2将目标式乘以该等于1的表达式

3展开后交叉项用基本不等式求最值

4险证等号成立条件

【经典例题1】（2026高三•全国・专题练习）设％>0,y>0,且工+y=1,则％+彳的最小值为（）

A.3B.3+2V2C.2V2D.3或+2

12

【经典例题21（24-25高二下•福建漳州•期末）若%>0,y>0,2x+9y=1,+三的最小值为（）

A.24B.26C.32D.92

【巩固练习1】（24-25高一下•安徽合肥•期末）己知x+y=4,且x>0,y>0,则?十三的最小值是

xy

（）

A.1B.V2C.2D.2\[2

【巩固练习2】（25-26高一下♦广东江门•期中）已知x>0,y>0,且3x+y=1,则7+的最小值

**✓

为,此时％=.

【巩固练习3】（2026•浙江•二模）已知O<avl,则二-十三的最小值为（）

2-2aa

A.-B.-C.5D.9

22

【题型4】“1”的妙用（2）:“1”的代换

基础知识

方法总结：通过第数•的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题目的.

常用结论

1用等于1的式子替换目标式中的常数1

2常见替换：1=5而。+（：05%1=】。8/1=4°等

解题方法

1分析目标式中的常数1选择合适的替换形式

2用等于1的式子替换常数1,奏出可使用基本不等式的结构

3套用基本不等式求最值

4险证替换后变量的取值范围和等号条件

【经典例题1]（2026・天津南开•二模）已知xHkn时，'的最小值为（）

sinx2+cosx

AfB.3C"D.-

4

【经典例题2】（2026•山西临汾•二模）已知m>0,n>0,且m+3九=1,则乙+工的最小值为（）

mn

A.yB.5C.4D.3

4。+8=1,则2+：的最小值为（）

【巩固练习1】（2025•江西萍乡•二模）已知a>0,b>0,ab

A.5B.6C.7D.8

【巩固练习2】（2026.广东清远.二模）已知实数Q>0,b>0,且Q+b=L则*的最小值为（）

ab

A.5B.4c.2V2-2D.2V2+2

【巩固练习3】（2026•河北邢台•二模）设a>0,b>0,且4+£=Q,贝心+匕的最小值为（）

A.12B.9C.8D.4

【题型5]二次比一次型

基础知识

基本模型；”'十零十「〃一人c,2后当且仅当不、£时等号成立

CIA~vU~v-w（t

X

常用结论

1形如）,二竺*土（〃?=o）的函数可换元或分离常数后用基本不等式

tnx+n

2换元后常转化为1+彳的对勾函数形式

解题方法

I换元：令，=〃2T+〃用，表示X代入原式化简

2或用多项式除法分离常数得到整式加分式的形式

k

3凑出/+—结构用基本不等式求最值

t

4脸证，的取值范围确保一正二定三相等

【经典例题1]（25-26高一上•河北承德・期末）已知x>l,则3/-5乂+5的最小值为（）

X-1

A.4B.5C.6D.7

【经典例题2】（2025高一上•全国•专题练习）已知”>1,求立空二的最小值；

X-1

【巩固练习1】（25-26高一上・江西・月考）已知％V-1,则立*的最大值是（）.

A.-11B.-8C.5D・8

【巩固练习2】（25-26高三上•北京•月考）若%>1,则函数/（幻=三匕的最小值为______,此时

X—1

X=.

【巩固练习3】（24-25高一上•广东江门・期末）若x>0,则z-x+i的最小值是________

X

【题型6】分离常数型

基础知识

方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数

常用结论

axhA

I形如y=--------（c关0）可分离常数为y=--------+B

cx-^-dcx-\-d

2分离后分式的分子为常数分母为一次式可直接判断范围或结合基本不等式

解题方法

1对分子进行凑配使其包含分母的因式

2分离常数得到常数加分式的形式

3分析分式的取值范围结合常数得到原式的最值

4险证变量的取值范围确保分母不为零

【经典例题1】（25-26高一上•上海•期中）若实数a,b满足ab>0,a+2b=6,则下列结论中错误的

是（）

A.ad<|B.a2+4b2>18

C.工+：的最小值为=D.且+乎的最小值为：

ab4a+12b+l2

【经典例题2】（25-26高一下湖南衡阳•月考）已知正数m〃满足a+b=l,则金+与的最小值

l+a1+b

为（）

A.-B.-C.-D.-

4352

【巩固练习1】（202&湖南怀化・一模）已知力>0,且3。・9〉=3,则察+士的最小值为__________.

2bQ+3。

【巩固练习2】（2025高三•全国•）若x,y>0且％+y=1,则2”+土”的最小值为.

【巩固练习3】（25-26高一上•新疆乌鲁木齐•期末）已知均为正实数，月.a+b=l,则尤+上

的最小值为.

【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题

基础知识

方法总结：结合指数对数的计笄公式变形得出积为定值或和为定值的形式，再利用基本不等式求解

常用结论

\a>0,b>0a+b>2y/ab指数对数形式：/+e~A>2当且仅当x=0时取等号

21nx+->l（jr>0）x+lnx的最值可结合导数或不等式求解

x

解题方法

1利用指数对数的运算性质化简式子

k

2凑出/H--或4+Z?的形式

t

3套用基本不等式求最值

4验证变量的取值范围（如对数的真数大于0）

【经典例题1]（25-26高一下•贵州毕节•阶段检测）己知a=log4S»b=log34,c=logis3,则（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【经典例题21（25-26高二下•广东深圳•期中）己知点Q（2,3）在函数fG-）-nix十八的图象上，则4m十

2n的最小值为（）

A.2\[2B.8C.4D.4企

【巩固练习1]（重庆市2026届高三下学期5月联合诊断检测数学试题）（多选）已知a,b均为正实

数，且a+2b=2,M（）

A.a2+4h2<2R.2a+#24

C.唾2。+iog2》&TD.（tana-l）（tan2ZJ-1）<2

【巩固练习2】（25-26高三下重庆•阶段检测）设Q>0且Q于1,8>0且8。1,若±+々=1,

logo5k>gb3

则a+9b的最小值是（）

A.3B.66C.9D.18

【巩固练习3】(2026•辽宁朝阳•三模)(多选)已知正实数a,b满足4+b=1,则下列说法正确的是

()

A.Ina<0B.2。+2b>2y/2

C.yja+y[b<>/2D-十三3+2企

【题型8】利用对勾函数

基础知识

当无法取等时需要结合对勾函数图像，利用单调性来得出最值

常用结论

b

1对勾函数y=at+-(6z>0,/?>0,x>0)的最小值为2〃^当且仅当ax=—即尤=时取等

号

2单调区间：4-CO)递增

解题方法

1将目标式变形为4X+2的标准形式

X

2确定人>0满足一正条件

3结合定义域判断极值点是否在取值范围内

4若极值点在定义域内直接取最小值：若不在取区间端点的最值

【经典例题I】(25-26高一下,浙江杭州•期中)若关于工的不等式以一6工1解集为［3,+8),其中a、

bER,则2Q+A的取值范围为________.

D-2

［经典例题2)(25-26高一上•安徽合肥•期末)已知关于无的不等式/-ax+b>0的解集为(—8,1)u

(TH,4-oo)(a,bER,m>1"),则g+4b的最小值为()

A.8B.12C.-yD.y

【巩固练习I]（25-26高一上•新疆•阶段检测）下列函数中最小值为4的是（）

A.y-Linxl+B.y=Inx+C.y=x2+2x+4D.=

lsinx>Inxyv

2X+22-X

【巩固练习2】（25-26高一上•河南驻马店•期中）已知函数y=x+：有如下性质：如果常数I>0,那

么该函数在（0,近]上单调递减，在[”,+8）上单调递增.

（1）求函数/（%）=%+言,%€[0,2]的值域；

（2）已知函数g（x）="+：+2,h（%）=2%+a,若对任意巧€[1,3],总存在小€口,3],使得gOJ=

九（0）成立，求a的取值范围；

⑶若关于％的不等式/+妥一7n（X+：）+血+5工0对任意的工€[1,2]恒成立，求m的取值范围.

【巩固练习3]（25-26高一上•安徽阜阳•期中）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）

2

AA.y=X+3Bn.y=cosx+,--1-（/0c<,x<,-立）、

JVx7+2'cos八2,

41

C.y=ex+--2D.y=x+-

zexJx

【题型9】判断不等式是否能成立

基础知识

（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为

定值，“三相等”指满足等号成立的条件.

（2）连续使用不等式要注意取得一致.

常用结论

1基本不等式使用的三个必要条件：一正（变量为正）二定（和或积为定值）三相等（等号能取到）

2三个条件缺一不可缺少任何一个不等式都不能成立

解题方法

1检查变量是否为正数不满足则不等式不成立

2检查和或积是否为定值不满足则无法直接用基本不等式求最值

3检查等号成立条件是否存在（如变量取值是否在定义域内：

4三个条件均满足则不等式成立否则不成立

【经典例题I]（2027高二下•全国・专题练习）下列儿个不等式中，不能取到等号的是（）

A.Vx+-^=>2(x>0)B.|%|+^>2>/2(%^0)

C•-：公l（xvO）D・+占1(D

【经典例题2】（25-26高一上•全国•期末）下列结论表述正确的是（）

A.若a,b6R,则a?+b2>2ab恒成立

B.若a,°ER,则力卜2恒成立

C.若Q>0,b>0,则手式器手成立

D.若x<0,则-2口|=一4

【巩固练习I】（25-26高三上•北京昌平•期末）若a,bwR,且ab>0,则下列不等式中恒成立的是

()

A.a+b>2y^bB.abV亨C.:+/品D.^+^>1

【巩固练习2】（25-26高一上•四川眉山・期中）（多选）对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是

()

A.ab<^B.

C.ab<（^）2D.亨乂手丫

【巩固练习3】（2025•陕西•模拟预测）（多选）下列不等式一定成立的是（）

A.>[x+&N2B-sinx+~h-2

sinA

C./+日3D-In(x2+1)>Inx

【题型10]换元法（整体思想）

基础知识

对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑

整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值.

单分母换元：当2个分母的和为定值，可以把其中一个分母进行换元

双分母换元：当2个分母均为字母加减常数时，可以把2个分母都换元

常用结论

I设整体变量简化复杂结构凑出可使用基本不等式的形式

2常见换元：令，=ar+b/，=x+，等

x

解题方法

1观察式子的整体结构选择合适的整体作为新变量

2用新变量表示原变量代入原式化简

3对化简后的式子套用基本不等式求最值

4回代得■到原变量的最优险证双信范围

【经典例题1】（2026・天津红桥•一模）已知a>0,匕>0,若a+b=2,则三+士的最小值为（）

1+a1+D

A.2B.-C.-D.2+V2

44

【经典例题2】（25-26高二下浙江宁波•期中）已知a>0,3>0,2+：=2,则工+工的最大值

aba+1b+1

为一.

【巩固练习1】若a>0,b>0,c>0,a+8+c=2,则二+i的最小值为_____

4+0C

【题型11］基本不等式的实际应用问题

基础知识

不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及

不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素券.

调和平均数W几何平均数W算术平均数W平方平均数：

若a,bwR一则金4号S沪甘~（当且仅当。=%时取"=”）

--1--

ab

【经典例题1】（25-26高一下江苏扬州•期中）如图1所示，一直角走廊的宽度分别为m和

n（m>0,n>0）.

图1图2图3

（I）若一根铁棒水平通过直角走廊上P点与两墙分别交于4B点（图2）,其中点P,。分别为直角走廊内

侧、外侧直角拐点，且m=2,»=M

（i）设|。川=Q,|OB|=b,求a,b之间满足的等量关系；

（ii）求。力+。8的最小值；

（2）若直角走廊的宽度均设计为t=2（图3）,现有•车宽0E为1,长EF为I（车高忽略），转动灵活

的矩形平板车CDEF,求该平板车能通过此直角走廊时，的最大值.

【经典例题2】（25-26高三上安徽淮北•期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为15米，底

面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工

程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙•沐的报价

为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为*6WXW

12）米，原有墙体足够长.

（1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？

（2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为48。,1+幻（。>（））元，若无论

左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求a的取

值范围.

【巩固练习1】（25-26高一上河北邢台•期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租

%（单位：万元）与仓库到超市的距离x（x>0,单位：千米）的函数关系式为力=言，每月货物

运输费力（单位：万元）与加勺函数关系式为%二|%，则该超市应该把仓库建在距离超市千

米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元.

【巩固练习2]（25-26高一上陕西西安•期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体

平面图是由两个相同的矩形助CD和“GH构成的面积为200m2的十字形地域•计划在正方形MNPQ

上建•座花坛，造价为4200元/m?；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为

210元/m2;在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为S（单位：元），

则当总造价S最小时，4。的长度为：

【巩固练习3]（24-25高一上•安徽黄山•月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代

数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够

通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆。上，点C在直径48上，且。尸1

AB,设4C=a,8C=b，则该图形可以完成的无字证明为（）

A.a2-\~b2>2ab^a>0力>0)

B.>7abe>0匕>0)

C.Vab>—(a>0,b>0)

a+o

D.再宁(―

【题型12】与a+b、平方和、"有关问题的最值（和，积，平方和互相转化）

基础知识

利用基本不等式变形求解

常用不等式链：ab£（a+b）1一+从（主要用于和积转换）

4~2

常用结论

\a2+b2=（a+b）2-lab

（。+方

^(a+b^^^aba1+b2>

2

a2+b2（q+

2I2）

解题方法

1根据已知条件选择合适的转化公式（和转积、积转和、平方和转和/积）

2用基本不等式对转化后的式子进行放缩

3求目标式的最值

4脸证等号成立条件（〃=/?）

【经典例题1】（2026•安徽合肥•模拟预测）（多选）已知不相等的实数Q,b满足Qb=Q+b+3,则

下面说法正确的是（）

A.存在实数t使得a,b是方程无2一仪+£+3=0的两根

B.若Q,b>0,则ab的取值范围是（9,+8）

C.a+b的取值范围是（6,+8）

D.a2+炉的取值范围是⑵+8）

【经典例题2】（2026・贵州贵阳•二模）若a>0,b>0,且ab=a+b,则"的最小值是_____.

【巩固练习1】（2026•内蒙古赤峰•一模）正数加，〃满足m+n+2nm=4,则m+九的最小值为

【巩固练习2】（2026•河北张家口•一模）已知实数第>|,y>1,且满足2孙-2x-y-3=0,则2x+y

的最小值为（）

A.4B.6C.8D.10

【巩固练习3】（25-26高二下•浙江.开学考试）（多选）已知正实数m〃满足ab=Q+b+3,则下

列结论正确的有（）

A.ab>9B.a+b<6

]12

C.-a+-b>-3D.a+>3+4>/2

【题型13]基本不等式恒成立与能成立问题

基础知识

VXW”,使得/（X）..4,等价于/（©mm",VxGM,使得/*）,,々，等价于/（初…

HreM.使得/(x)..4.等价于/。人…〃.3xeM,使得/(x),,a.等价于/(x)min„a

常用结论

1恒成立：/(X)>k恒成立等价于/(x)min>k;f(X)<k恒成立等价于/(x)nm<k

2能成立：人能成立等价于/(X)maxNZ；/*)«%能成立等价于

解题方法

1用基本不等式求出目标函数的最值

2根据恒成立或能成立的条件列不等式求解参数范围

3险证参数范围是否满足变量的取值条件

4注意区分恒成立与能成立的最值方向

【经典例题1】(25-26高一下,贵州毕节•期中)若正实数x、y满足5+5=1，且t+号之-3a恒成

xy4

立，则实数a的取值范围是()

A.{a|-l<a<4}B.{a|-l<a<4}C.{a|-4<a<1}

D.{a|-4<a<1}

【经典例题2】(25-26高一上•浙江杭州•期中)若正实数”,y满足％+2y=4,不等式而+/<：+

木恒成立，则m的取值范围是.

【巩固练习1】(25-26高一上•浙江杭州•期中)若正数X,y满足2%+y=2xy,且不等式x+2y>m2-

恒成立，则实数，〃的取值范围是_________.

【巩固练习2](25-26高•上广东深圳•期末)若％,y满足M4-y2-xy=1且％+y>k2-3々恒成立，

则k的取值范围是.

【巩固练习3】(25-26高一上•上海浦东新•期末)已知正实数X,1y满足2x+3y=%y,若3%+2yNt

恒成立，则实数t的范围是.

模块二卜核心方法.

【题型14]消元法

基础知识

消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和

为常数''或"积为常数''的形式，最后利用基本不等式求最值.

常用结论

1利用已知条件消去一个变量转化为单变量函数求最值

2消元后需注意剩余变量的取值范围

解题方法

1从已知等式中解出一个变量用其他变量表示

2代入目标式消去该变量得到单变量函数

3分析轲余变量的取值范围

4用基本不等式或对勾函数求单变量函数的最值

【经典例题1】（2026•广东江门•二模）己知a>l,b>1,且。匕=。+8+3,则4a+b的最小值为

（）

A.IIB.12C.13D.14

【经典例题2】（25-26高三下,安徽合肥・月考）已知正数x,y满足（l-x）（l+y）=l,则:y+：的最

小值为（）.

A.4B.3C.2D.1

【巩固练习I]（2026•河南南阳•模拟预测）已知正数居y满足:+y=?,则!+y的最小值为（）

A.7B.9C.10D.12

【巩固练习2】（2026•西藏日喀则•模拟预测）若2Qb=4-3n,则。+b的值可能是（）

A.0B.-4C.2D.1

【巩固练习3】（25-26高一上•上海•期中）若正实数〃，人满足a+2km则心+嬴的最小

值是.

【题型15】因式分解型

基础知识

含有次y这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成（at+1）（2），+1）的结构，再结合整

体思想来求最值

常用结论

1通过因式分解凑出和或积为定值的形式再用基本不等式

2常见因式分解：a2-b2=（a+b）（a-b）a3±b3=（a±b）（a2lab+b2）

解题方法

I对目标式或已知条件进行因式分解

2分解后凑出可使用基本不等式的结构（如两个正数的和或枳）

3套用基本不等式求最值

4脸证因式分解的正确性和变量的取值范围

【经典例题”（2026・贵州贵阳•模拟预测）已知n>l,K3znn-3m-n=1,则七+三

的最小值是（）

A.2B.4C.2V3D.2V2

【经典例题2】（25-26高一上•河南周口•期末）已知a,d>0,且ab=Q+b+3,则下列结论正确

的有（）

A.a+b<6B.log3a+log3b>2

C.2a+2b>16D,W+42

【巩固练习1】（25-26高一上•辽宁丹东•期末）已知实数%,〉满足/+72+肛=1,则（）

A.孙有最大值为1B.%+、有最小值为一?

C.x2+y2有最小值为|D./+y2有最大值为2

【巩固练习2】（25-26高一上•福建厦门•期末）已知a>0,b>0,且ab=3a+b+l,则下列结论正

确的有（）

A.帅的最小值是2+6B.a+6的最小值为8

C.-三+的最小值为2D.此方程有且仅有3组整数解

a-1b—3

【巩固练习3】（2026.辽宁沈阳•三模）己知正数X,），满足工+y=1,则出+总的最小值为______.

/人"iy人"T"y

【题型16】同除型（构造齐次式）

基础知识

齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式

进行求解.

常用结论

1分子分母同除以某个变量的最高次繇构造齐次式转化为可使用基本不等式的形式

2形如"十〃同除以a"得色+^22

abba

解题方法

1观察式子的次数选择合适的变量进行同除

2同除后构造出处+^等可使用基本不等式的结构

ba

3套用基本不等式求最值

4脸证变量不为零确保同除有意义

【经典例题1］（江苏南通市2026届高三下学期二模数学试题）对任意正实数无、y,记m二

mi4％16/；9y2}•当血取得最大值时，孙的值为（）

【经典例题2］（24-25高一上•上海•阶段检测）设止实数x、y、z满足产-3孙+4y2-z=0,则当手取

得最大值时，的最大值为（）

A.9B.1C.-D.4

4

【巩固练习1】（23-24高三上•河南漂河・期末）设正实数%、：八2满足/一；0，+72-2=0,则?的

最大值为（）

A.4B.2C.3D.1

【巩固练习2】（24-25高三上・河南•月考）已知a>b>0,则牛鸟的最小值为______.

ab-b2

【巩固练习3】（22-23高三上•天津和平•阶段检测）已知正数居y满足+三薪=1,则xy的

最小值是_________.

【题型17］万能“A”法

基础知识

求啥设啥，利用一元二次方程有实数根时△NO.

常用结论

1设比值&=0将二元问题转化为关于人的一元问题

b

2形如"设女=3转化为"二"+1求最值

a2+b2b公+i

解题方法

1设目标比值为女用女表示变量的关系

2代入目标式转化为关于左的一元函数

3化简后用基本不等式或导数求攵的范围或最值

4回代得到原目标式的最值

【经典例题1】（25-26高一上•山西忻州•期末）已知正实数a,万满足4a2+3帅=l+X,则lOa2+

3ab—块的最小值为.

【经典例题2】已知实数“，。满足片+4/-必=1，则的最小值为

【题型18]三角换元法（利用三角函数）

基础知识

出现平方和结构3病mA）形式，引入三角函数表示〃和。

常用结论

I利用sin?a+cos2a=1l+【an?a=sec之。等公式进行换元

2适用于含Y+）/=]冗2+y2（r2等形式的问题

解题方法

1根据已知条件选择合适的三南换元形式（如x=〃cosay=rsincr）

2代入目标式转化为三角函数形式

3利用三角恒等变换化简再用基本不等式或三角函数性质求最值

4脸证变量的取值范围确保换元等价

【经典例题1】（25-26高一•全国•寒假作业）已知产—2g4+5/=1,GR,则/+y2的最

小值为.

【经典例题2]（2026•河北沧州•模拟预测）己知实数m,九满足m2+n2=8m-12,则营粤的最大

V8m-12

值为.

【巩固练习1】若X,），满足/+）,2=1,则&x+y的最大值为

【巩固绦习2】（多选题）若My满足盯=1,则（）.

A.x+y<----B.x+y>-\

3

C.x2+y2<-D.x2+y2>-

2-3

【巩固练习3】若X,），满足彳+y2=],则JL：+），的最大值为

【题型19]基本不等式与其他知识交汇的最值问题

基础知识

利用基本不等式求最值往往交汇考查，多涉及数列、三角、向量、解析几何、立体几何等问题中有

关最值的求法.

常用结论

1与函数、数列、解析几何、立体几何等知识结合利用基本不等式求最值

2核心仍是一正二定三相等结合其他知识的性质确定变量范困

解题方法

I结合交汇知识的性质建立目标函数

2利用交汇知识的约束条件确定变量的取值范围

3套用基本不等式求最值

4险证结果是否满足交汇知识的约束条件

【经典例题1]（25-26高一下重庆.期中）已知点4在线段上（不含端点），。是直线8C外一点，

.H.^4=2xOB+yOC»则自一黄^的最小值是（）

A.4B.-C.-D.2

55

【经典例题2】（25-26高一下.广东深圳•期中）半径为定值的球0中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最

大时，圆柱的高和球。的半径之比为（）

A.y[2