2026年高考数学一轮复习专练：对数与对数函数（学生版+解析）

专题2.5对数与对数函数（举一反三讲义）

【全国通用】

题型归纳

【题型1指数式与对数式的互化】......................................................................2

【题型2对数的运算】..................................................................................2

【题型3指数、对数函数模型的应用】..................................................................3

【题型4对数函数图象的识别及应用】..................................................................4

【题型5比较对数式的大小】...........................................................................5

【题型6解对数不等式】...............................................................................6

【题型7对数（型）函数的单调性问题】................................................................6

【题型8对数（型）函数的综合问题】..................................................................7

1、对数与对数函数

考点要求真题统计考情分析

⑴理解对数的概念及运

算性质，能用换底公式将

对数函数是常见的重要函数，对数

一般对数转化成自然对数

2023年北京卷：第4题，5分与对数函数是高考常考的热点内容，从

或常用对数

2024年新课标I卷：第6题，近几年的高考形势来看，对数函数往往

（2）通过实例，了解对数函

5分与幕函数、指数函数结合考查，主要以

数的概念，会画对数函数

2024年北京卷：第7题，4分基本函数的性质为依托，结合指、对数

的图象，理解对数函数的

2025年全国一卷：第8题，5运算性质，运用第函数与指、对数函数

单调性与特殊点

分的图象与性质解决具体的问题，包括比

⑶了解指数函数产出

2025年北京卷：第9题，4分较指对塞的大小、解不等式等题型，主

（。>0且存1）与对数函数

要以单选题的形式考察，难度不大.

y=log«x（«>0且时1）互

为反函数

知识梳理

知识点1对数运算的解题策略

1.对数运算的常用技巧

（1）在对数运算中，先利用塞的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数嘉的形式,使塞的底数最简，然

后用对数运算法则化简合并.

（2）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、

商、累再运算.

（3）指对互化:G=N—Z>=log.N（gO,且右1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意

互化.

知识点2对数函数的常见问题及解题思路

1.对数函数图象的识别及应用

⑴在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低

点等）排除不符合要求的选项.

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

2.对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：

一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系:三是复合函数的构成,即它是

由哪些基本初等函数更合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.

举一反三

【题型1指数式与对数式的互化】

【例1】（2025・四川乐山•三模）己知21g2=m,10"=3,则101—的值为（）

疗

A..—64B.-8C.-4Dc.—2

9333

【变式1-1]（2025•山东临沂•二模）已知实数x,y满足Iog2（log3%）=log3（log2V）=1，则为+y=（）

A.IIB.12C.16D.17

【变式1-2]（2025・全国•三模）若a>1,则小侬）-（也。）3的值是（）

A.零B.正数C.负数D.以上皆有可能

【变式1-3]（2025•吉林・模拟预测）满足条件*=无£=转，且[一：+==0的一组%1，%2，X3为（）

dbC

A.=4,x2=3,x3=2B.x1=4,x2=2,x3=3

C.Xi=3,%2=9,x3=2D.Xi=18,x2=12,x3=2

【题型2对数的运算】

【例2】（2025•天津河北•模拟预测）已知a=lg2,b=lg3,则lgl2可以表示为（）

A.a2bB.2abC.a+2bD.2a+b

【变式2-1]（2025•江苏苏州•模拟预测）对数log23的第一位小数的值为（）

A.4B.5C.6D.7

【变式2-2]（2025•山西临汾・三模）已知210g2a=3,log55b=2,则。一。=（）

A.3B.1C.-1D.-3

【变式2-3］（2025•宁夏吴忠・一模）若abcHO,且3。=4»=6。，则（）

【题型3指数、对数函数模型的应用】

【例J3】（2025•北京・高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=

/clog2/V（单位：h）,其中左为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024X109个单

位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024x109个单位增加到4.096x109个单位时,训练时间增

加（）

A.2hB.4hC.20hD.40h

【变式3-1］（2025•陕西咸阳・模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音

时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作生，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的

2

泉水越高.已知听到的声强m与标准声强tn。（m0约为IO”,单位：W/m）之比的常用对数称作声强的声强

级，记作乙（贝尔），=1g—,取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处，•喊泉”的声音

响度y（分贝）与喷出的泉水高度工（米）满足关系式y=40,现知4同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高

高度为2米，若4同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，贝必同学大喝一声激

起的涌泉最高高度约为（）

A.1.75米B.1.5米C.1.25米D.1米

【变式3-2】（2025♦甘肃平凉•模拟预测）我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730

年衰减为原来的一半），即经过£年后，碳14的含量N=NOG）A。（必为碳14的初始含量，k为常数），则

碳14含量由原来的80%衰减为60%大约需要经过（）

（参考数据：ln2y0.7,ln3kl.1）

A.2292年B.2456年C.2674年D.2838年

【变式3-3］（2025・浙江•二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，己经对地震有所

了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为：IgE=4.8+1.5M.若

记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为灯，2022年5月20日匹川雅安发生

里氏4.8级地震释放出来的能量为殳，则晟=（）

A.100B.200C.1000D.2000

【题型4对数函数图象的识别及应用】

【例4】（2024•全国•模拟预测）已知函数f（%）=（田一百）加2,则/（%）的图象大致为（）

【变式4-1]（2025•湖南长沙•一模）已知Iga+Igb=0（a>0,b〉0,且awl,bHl）,则函数/0）=。一”与

g&）=logb%的图象可能是（）

【变式4-3】（2025♦甘肃陇南•一模）函数/•（%）=就的图像大致为（）

【题型5比较对数式的大小】

【例5】（2025・天津南开•模拟预测）若2a=3=log》9,c=e,nl则实数a、b、c的大小顺序为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【变式5-1】（2025•河南许昌•模拟预测）已知。=3。234,b=91叫63巴。=（工）1畛0.3,则（）

3

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

【变式5-2]（2025•全国一卷•高考真题）若实数x,y,z满足2+log2%=3+log3y=5+logs/，则4,y,z

的大小关系不可能是（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.y>x>zD.y>z>x

|x|

【变式5-3]（2025•天津武清•模拟预测）已知定义在R上的函数/（%）=%-e,a=/（log3x/5）,b=

一f（log3：），c=f（ln3）,则a,b,c的大小关系为（）

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【题型6解对数不等式】

【例6】（24-25高一下•四川南充•阶段练习）"a＜b+e”是“ln（a—b）＜「的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2

【变式6-1]（2025・重庆•模拟预测）已知集合4={x|x-5%+6=0},B={x\log2x＞1}»则Ac\B=

（）

A.{3}B.{2}C.0D.{2,3}

【变式6-21（2025・广东汕头•一模）"log3a＞1%匕”是“3。＞3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【变式6-3】（2025•辽宁•模拟预测）已知函数[HGS'n则不等式的解集为（）

UORal%"Tij,xu,

A.[0,2]B.[0,1]C.（-oo,2]D.（-oo,l]

【题型7对数（型）函数的单调性问题】

【例7】（2025•黑龙江哈尔滨.二模）函数/（力=1。82。2-2、）的单调递增区间为（）

A.（2,+8）B.（1,+8）C.（-8,1）D.（-8,0）

【变式7-1]（2025•天津•模拟预测）已知函数/'（＞）=logax+】og（a+i产（。＞0且Q。1）在（0,+8）上单调递增,

则,7的取值范围为（）

A.（0,^^）U（1,+8）B.1）U（1,+8）C.1）D.（1,+8）

【变式7-2】（2025・广东•模拟预测）已知函数、=11!（/一2以一3M）在区间[1,+8）上单调递增，则实数a的

取值范围是（）

A.（-8,g]B.（—00,1）C.（一L，）D.（―l,O）U（O,g）

【变式7-3]（2025・吉林・三模）若函数/（切=1。8＜1（。%-3（。＞0且。61）在区间[1,2]上单调递减，则实

数G的取值范围是（）

A.Q.l）B.Q,l）C.（0,0D.（l,+8）

【题型8对数(型)函数的综合问题】

»X<0

[例J8](2025•内蒙古呼和浩特•二模)已知函数/(%)=22a(Q工0)在R上单调，且/'(loga%)<8在

扁？'心0

[2,4]上恒成立，则a的取值范围是()

A.0<aWlB.0<a<|C.0<a<^D.枭a<1

【变式8-1](2025・重庆•三模)已知函数y=+1)是R上的偶函数，对任意。，小£口，+8),且修装不

都有%5詈2>0,若。=/(1唯6),b=f(ln]),c=/(eT),则a,比c的大小关系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【变式8-2](2025•河北石家庄•一模)已知函数f(%)=/+]n(eX+er)-2,则不等式/'(%+2)Wf(2x-3)

的解集为()

A.[-5,—刍B.(-oo,-5]U

C.[p5]D.(-c»,l]u[5,4-oo)

【变式8-3](2025•陕西西安・一模)已知函数“X)为偶函数，满足f(x+2)=-六，且一2W%W0时，f(x)=

(yf-2,若关于%的方程/■(%)-1〃式%+1)=0至少有两解，则a的取值范围为().

A.&3)B.(04[3,+8)C.(0WU[3,+8)D.用

过关测试

一、单选题

1.(2025・北京大兴•三模)己知2。=3,log25=b,则2。一匕的值为()

A.15B.IC.D.-2

35

2.(2025•山东潍坊•一模)己知a>0且QH1,Q，与x成正比例关系，其图象如图所示，且y=]og〃x+l,

则a=()

A.1B.2C.3D.4

3.（2025・陕西汉中•三模）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最

小声强为=10-12（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中时于一个声音的声强/,用声强/与比值的常用对

数来表示声强/的“声强级数zT,即九=lg/则“声强级数8”的声强是“声强级数6”的声强的（）

A.2倍B.20倍C.100倍D.1000倍

4.（2025•吉林长春•模拟预测）已知/（无）=｛噂。，则/（/（—：））=（）

A.B.；C.；D.；

5.（2025•北京•三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量

和信噪比及信道带宽的关系，即。=Wlog2（l+§其中。是信道容量，单位bps；”为信道带宽，单位Hz；

点代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次

频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz,为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps

提高至593Mbps,依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（）倍.（参考数据：2346y11,

25g3«60.97）

A.5B.6C.7D.8

73

6.（2025•山东泰安・模拟预测）a=Q.3°-,b=0.70-,c=log0.70.3,则a,（c的大小关系为（）

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>b>cD.a>c>b

7.（2025•山东泰安・模拟预测）已知函数/（%）=lg（x2-ax-5）在（5,+8）上单调递增，则a的取值范围是（）

A.（—co,4）B.（—oo,4]

C.（4,4-co）D.[4,4-oo）

8.（2025•广东茂名•二模）已知函数/（%）=%>0,aHD，若/W工|，则a的取值

范围是()

A.(叫B.(。当C.阳D.［力)

二、多选题

9.(2025•江苏苏州•三模)若6a=2,6b=3,则下列判断正确的是()

A.a+b=lB.标+〃4C.ab<\D.«>!

10.(2025•河北保定•一模)下列不等式成立的有()

0203

A.log0.30.2>log0,20.3B.O.3>O.2

0203

C.log30.2<log20.2D.3<2

11.(2025・贵州安顺•模拟预测)已知函数/(%)=In|筌J,则()

A./(%)是奇函数B./(%)>0

C./@)在(-2,2)上单调递减D.f(%)在(2,+8)上单调递增

三、填空题

12.(2025.江西萍乡•三模)已知所/则、。+呜=一­

13.(2025•浙江•三模)已知函数f(x)=In言+Q(Q£R)为奇函数，则/'(：)=.

14.(2025・海南•模拟预测)已知函数/'a)=log式/一QX+6)在(-8,2］」二单调递增，则实数。的取值范围

7

是.

四、解答题

15.(24-25高一上•广东湛江•阶段练习)计算：

⑴臣+-2-(3—IT)。+(3：xa，'；

,02

(2)log327-(lg4+lg25)-log58log25+7^

16.(24-25高一上•全国•课后作业)已知对数函数/(x)=logax(a>0,且aH1)的图象过点(4,1).

⑴求f(16)；

(2)若函数g(x)=f(2—x)+f(2+x),求g(x)的定义域.

17.(2025•上海金山•二模)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当％>0时，/(x)=log2x.

⑴求f(-2)+f(0)的值;

(2)若g(x)=[1,8],求函数y=g(%)的值域.

18.(2025・上海•三模)设a>0且aH1,已知函数/'(x)=loga(x+2),g(x)=log0(2-x).

(1)判断/(%)+g(x)是否为偶函数.并说明理由；

(2)令函数九(工)=fW+g(x),解关于x的不等式h(2x-3)>h(3x-1).

19.(2025•江苏南通•一模)已知函数/(x)=log2i^.

(1)判断并证明/'(%)的奇偶性；

(2)若对任意入€卜/¥，t€[—2,2],不等式/(%)2£2+。1一6恒成立，求实数。的取值范围.

专题2.5对数与对数函数(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型1指数式与对数式的互化】......................................................................2

【题型2对数的运算】..................................................................................2

【题型3指数、对数函数模型的应用】..................................................................3

【题型4对数函数图象的识别及应用】..................................................................4

【题型5比较对数式的大小】...........................................................................5

【题型6解对数不等式】...............................................................................6

【题型7对数(型)函数的单调性问题】................................................................6

【题型8对数(型)函数的综合问题】..................................................................7

考情分析

1、对数与对数函数

考点要求真题统计考情分析

⑴理解对数的概念及运

算性质，能用换底公式将

对数函数是常见的重要函数，对数

一般对数转化成自然对数

2023年北京卷：第4题，5分与对数函数是高考常考的热点内容，从

或常用对数

2024年新课标I卷：第6题，近几年的高考形势来看，对数函数往往

(2)通过实例，了解对数函

5分与幕函数、指数函数结合考查，主要以

数的概念，会画对数函数

2024年北京卷：第7题，4分基本函数的性质为依托，结合指、对数

的图象，理解对数函数的

2025年全国一卷：第8题，5运算性质，运用器函数与指、对数函数

单调性与特殊点

分的图象与性质解决具体的问题，包括比

⑶了解指数函数尸^

2025年北京卷：第9题，4分较指对塞的大小、解不等式等题型，主

(心0且存1)与对数函数

要以单选题的形式考察，难度不大.

y=logoX(«>()且存1)互

为反函数

知识梳理

知识点1对数运算的解题策略

1.对数运算的常用技巧

(1)在对数运算中，先利用辕的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数基的形式,使辕的底数最简，然

后用对数运算法则化简合并.

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、

商、幕再运算.

⑶指对互化:"'=汽0〃=10纵7^（4>0,同时1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意

互化.

知识点2对数函数的常见问题及解题思路

1.对数函数图象的识别及应用

（1）在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低

点等）排除不符合要求的选项.

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

2.对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：

一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系:三是复合函数的构成,即它是

由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.

举一反三

【题型1指数式与对数式的互化】

【例1】（2025・四川乐山・三模）已知21g2=m,10n=3,则10^的值为（）

A.竺B.&C.1D.也

9333

【答案】B

【解题思路】根据指数式与对数式的互化以及指数基的运算性质计算即可.

m

【解答过程】由21g2=m可得105=2,又因为10"=3,

故选:B.

【变式1-1]（2025•山东临沂•二模）己知实数X,y满足Iog2（log3%）=Iog3（log2y）=L则%+y=（）

A.IIB.12C.16D.17

【答案】D

【解题思路】由指对互化公式即可求解.

【解答过程】因为log200g3%）=Iog3（log2y）=1，所以％+y=3?1+23'=9+8=17.

故选：D.

【变式1-2]（2025・全国•三模）若a>1,则小（旗）一（3）赖的值是（）

A.零B.正数C.负数D.以上皆有可能

【答案】A

【解题思路】力=Iga,则。=10匕，代入已知利用指数、对数运算化简求解即可.

【解答过程】令b=Iga,则a=10。，由a>l得b>0,

所以。取吆。）-（3泄。=（lOW-bb=103b一阴=o

故选：A.

【变式1-3]（2025・吉林•模拟预测）满足条件附=好=冷且::+”0的一组4孙/3为（）

A.=4,%2=3,%3=2B・无1—4,X?—2,x2=3

C.xx=3,x?=9,x3=2D.=18,x2=12,x3=2

【答案】D

【解题思路】由指数转对数，结合对数的运算逐个判断即可.

【解答过程】设道=X2==m,a=logjam，b=\ogX2m,c=log%m,

•••A/2*（誓）=。•・•誓=1,

结合选项，ABC不符合，D符合，

故选：D.

【题型2对数的运算】

【例2】（2025•天津河北•模拟预测）已知a=lg2,b=lg3,则lgl2可以表示为（）

A.a2bB.2abC.a+2bD.2a+b

【答案】D

【解题思路】结合对数运算性质即可得解.

【解答过程】由对数运算性质可得Igl2=lg（3x4）=lg3+Ig4=lg3+lg22=lg3+21g2=2Q+b,

故选：D.

【变式2-1]（2025•江苏苏州•模拟预测）对数log23的第一位小数的值为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解题思路】设对数10g23的第一位小数位b,第二位小数及以后的值为c,则k）g23-1=0.1b+0.01c,利用

对数的运算可得5Vb+0.1c<6,即得.

【解答过程】设对数log23的第一位小数位第二位小数及以后的值为c,则1脸3—1=0.1b+0.01c,

10

.,,nd3./3\i59049059049___

..b+0Ac=101og2-=log2

A32=25<里”<26=64,即5Vb+0.1c<6,

1024

所以b=5,

故选：B.

【变式2-2]（2025•山西临汾・三模）已知2a=3,log55b=2,则。一力=（）

A.3B.1C.-1D.-3

【答案】B

【解题思路】根据指数，对数的运算性质即可求解.

b

【解答过程】由210g2a=3,log55b=2可得2]og2a=a=3,log55=b=2,

则a—b=1,

故选：B.

【变式2-3]（2025•宁夏吴忠・一模）若a》cWO,且3。=4b=6。则（）

.11,1„12,2

A，c=a+bB.；=；+；

C.：D.：

cabcab

【答案】c

【解题思路】利用对数的运算性质及换底公式逐项判断可得答案.

【解答过程】设3。=4〃=6。=3则a=log3t,b=log4t,c=log6t,

・2=1_Jg3i_]_Ig4i_]_lg6

"alog3tIgt'blog4tIgt,Clog6tIgt'

A-+R詈+詈=*三，A错误.

abIgtIgtIgtc

8一+彳=誉+管=警工工，B错误.

abIgtIgtIgtc

_2lg3Ig4_.Ig（32*4）_Ig36_

C.-+y-■?岑=三，c正确.

abIgtIgtIgtIgrIgtC

D-+J_1g321g4_@3X42）_lg48工等=2,D错误.

abIgtIgtIgtIgtIgtc

故选:C.

【题型3指数、对数函数模型的应用】

【例3】（2025•北京・高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=

Ko&N（单位；h），其中A为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024x109个单

位时,训练时间增加20h；当训练数据最N从1.024x109个单位增加到4.096x1。9个单位时，训练时间增

加()

A.2hB.4hC.20hD.40h

【答案】B

【解题思路】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.

【解答过程】设当N取106个单位、1.024X109个单位、4.096x109个单位时所需时间分别为7门2,4

6

由题意,=fclog210=6/clog210,

9106

T2=/clog2(1.024x10)=^logz(2xIO)=k(10+61og210),

9126

T3=/clog2(4.096xIO)=/clog2(2x10)=k(12+61og210),

因为72-A=代为+610g2必-6fclog210=10k=20,所以k=2,

所以73-T2=k(12+610g210)-fc(10+61og210)=2k=4,

所以当训练数据量N从1.024KIO。个单位增加到4.096xIO。个单位时，训练时间增加4小时.

故选：B.

【变式3-1](2025•陕西咸阳・模拟预测)“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音

时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作生，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的

泉水越高.已知听到的声强m与标准声强(m0约为10一%单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强

级，记作L(贝尔)，即乙=也二，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音

响度y(分贝)与喷出的泉水高度%(米)满足关系式y=40x,现知A同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高

高度为2米，若力同学用喇叭大喝•声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则力同学大喝•声激

起的涌泉最高高度约为()

A.1.75米B.1.5米C.1.25米D.1米

【答案】A

【解题思路】设川司学不用喇叭时的声强为m,喷出泉水高度为％,贝ij川司学用喇叭时的声强为10m,喷出泉

水高度为2米.由题意知10x1g三二40x及10xlgW^=40x2=80,联立方程组，结合对数的运算性质即

m0°m0

可求解.

【解答过程】设71同学不用喇叭时的声强为小，喷出泉水高度为X，贝M同学用喇叭时的声强为10m,喷出泉

水高度为2米.

由题意知，10x1g—=40x»即Igm-Igm。=4%①.

又10xlg—=40x2=80,即lg—=IglO4-Igm-lgm0=1+Igm-lgm0=8,即Igzn-lg7n0=7②.

m0

由①②可得4x=7,解得x=：=1.75.

故选:A.

【变式3-2］（2025•甘肃平凉•模拟预测）我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730

年衰减为原来的一半），即经过t年后，碳14的含量N=No（》"（No为碳14的初始含量，k为常数），则

碳14含量由原来的80%衰减为60%大约需要经过（）

（参考数据：ln2«0.7,ln3«1.1）

A.2292年B.2456年C.2674年D.2838年

【答案】B

【解题思路】利用半衰期的意义求出k，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得.

【解答过程】依题意，当t=5730时，N=£N°，即2=G）573M,解得忆=心，

设经过t］年碳14含量衰减为原来的80%,经过垃年碳14含量衰减为原来的60%,

（-）5730=80%（'1=5730logi0.8

霏尚=60%，喉=573嗝0.6，

所以亡2—亡1=57301ogi0.6—57301ogi0.8

22

=57301ogi^=57301og2^=5730（log24-log23）=5730（2-震）=5730（2-y）为2456.

故选：B.

【变式3-3］（2025・浙江・二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所

了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为：lgE=4.8+1.5M.若

记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为4，2022年5月20日匹川雅安发生

里氏4.8级地震释放出来的能量为%,则称=（）

A.100B.200C.1000D.2000

【答案】C

【解题思路】根据对数的运算可得正确的选项.

【解答过程】由题设有IgJ=4.8+1.5x6.8,1g%=4.8+1.5x4.8,

故lgE]-lg%=3即£=1000,

故选：c.

【题型4对数函数图象的识别及应用】

【例4】（2024•全国♦模拟预测）已知函数f（x）=（|x|-七）加2,则/（%）的图象大致为（）

【解题思路】先判断函数奇偶性排除选项A,再根据函数值正负徘除B,C,即可得出答案.

【解答过程】因为/(幻的定义域为(一8,0)u(0,+oo),/(-x)=(l-x|-p^j)ln(-x)2=(|x|-^)lnx2=

/(x),所以/(%)是偶函数，则其图象关于y轴对称，排除A；

当x>lilt,|x|-Inx7>0,所以f(x)>0,当。<x<1时，|x|-<0,\nx7<0,所以/'(x)>0,

故排除B,C.

故选:D.

【变式4-1]（2025•湖南长沙•一模）已知Iga+Igb=0（a>0,b>0,且Q工LbHl）,则函数/（%）=。一”与

【解题思路】依题意可得;b,再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论.

【解答过程】由lga+lg8=0可知，：=b,

xx

故/(%)=a~=b,故函数/(x)=QT与函数g(x)=log匕无的单调性相同,

故选：B.

【变式4-2】(2025♦湖北•模拟预测)函数/(%)=眇-族一In/的图象大致为()

【解题思路】根据又V0时/"(X)的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.

工

ex-ex-21n(-x),x<0

【解答过程】/(x)=ex-e*-Inx2=I

ex—e*—2\nx,x>0

因为当x<0时，y=ex,y=-*y=-21n(-x)都为增函数,

所以，y=e*-良一21n(-%)在(-8,0)上单调递增，故B,C错误;

又因为/(-%)=e~x-e~-In%20-/(%),

所以/(均不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.

故选:A.

【变式4-3］（2025•甘肃陇南•一模）函数/（%）=疗f的图像大致为（）

4In।

【答案】C

【解题思路】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可.

【解答过程】/（%）=就的定义域为且X工±1｝，

因为/（一0=—/（》），所以f（x）为奇函数，排除A,D,

当仁《（0,1）时,/（X）<0,B错误,

故选:C.

【题型5比较对数式的大小】

【例5】（2025•天津南开•模拟预测）若2。=3=1呜,9,c=e喧则实数a、6、c的大小顺序为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

【解题思路】求出Q、b.c,利用对数函数、塞函数的单调性可得出a、b、c的大小顺序.

【解答过程】由题意可得Q=1唯3,川=9,可得匕=熄，c=|,

因为对数函数y=log2%为（0,+8）上的增函数，则2=log24>a=log23>log22=1,

哥函数y=必在（0,+8）上为增函数，则b=95>83=2,

故右>a>c.

故选：D.

【变式5-1］（2025•河南许昌•模拟预测）已知。=3］喻34,6=91吗63汽c=（l）iog2o.3）则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性结合指对数运算比较大小.

［解答过程］由题意知b=9啕633=3扣g23.3=3啮盘，C=G）iog&3=3一吨2。.3=3bg2与，

又函数y=log2%在（0,+8）上单调递增，而3.4>子>VT5,即log23.4>logz5>logzV5M，

又；y，=3x在R上单调递增，所以31哂3,4>3%2号>3^2百互，即a>c>b.

故选:D.

【变式5・2］（2025•全国一卷•高考真题）若实数x,y,z满足2+log2%=3+log3y=5+logsz,则x,yfz

的大小关系不可能是（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.y>x>z