高二年级上册第一次月考数学试卷（提高篇）（解析版）

2024・2025学年高二上学期第一次月考数学试卷（提高篇）

参考答案与试题解析

第I卷（选择题）

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）（23-24高二下•江苏泰州•阶段练习）。为空间任意一点，若丽=一：65+：丽+t历，若A,B,

C,P四点共面，则亡=（）

A.1B.-C.-D.-

884

（解题思路】将m=-^OA+^OB+t无化简为：OP=^OA+^OB+tOC,利用四点共面定理可得:+^+

£=1,即可求解.

【解答过程】因为万=而-初，所以而=-：函+：而+t而，可化简为：OP-OA=-^OA+^OB+

tOC,即方=海+河+配，

由于4B,C,P四点共面，则升：+£=1,解得：t=3

488

故选：C.

2.（5分）（2024高三•全国•专题练习）已知点4（0,3）,8（3,2）,直线/过点P（l,l）且与线段A8有公共

点，则直线/的斜率的取值范围是（）

A.[-2,0）U（0,-]B.（-00,--JU[2,4-oo）

22

c.[-2,D.（-00,-2]U[1,+oo）

【解题思路】求出/QM和kps，数形结合观察满足直线/过点P（l,l）且与线段AB有公共点下斜率的变化情况

即可求出结果.

【解答过程】根据题意，作出图形如下图：

直线PA的斜率为心4=.=一2,直线PB的斜率为凝8=W=

所以由图可知过点P（l,l）且与线段4B有公共点时，直线/的斜率取值范围是（-8,-2]ut，+8）.

故选：D.

3.（5分）（23-24高二上.贵州毕节.期末）如图1,在四面体04BC中，点M,N分别为线段048c的中点,

若而=xOA+yOB+zOC,则x+y—z的值为（）

A.--B.-C.-D.1

242

【解题思路】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示丽，再借助空间向量基本定理求解即得.

【解答过程】在四面体。4BC中，由M,N分别为线段04BC的中点，

得标=丽-而=*丽+近）—那=-海+癖+辉,

而而=+y而+z0?,由空间向量基本定理得：x=-1,y=pz=1,

所以x+y_z=-g.

故选:A.

4.（5分）（23-24高二上•吉林长春•阶段练习）己知直线/的倾斜角等于120。，且/经过点（-1,2）,则下列

结论中不正确的是（）

A./的一个方向向量为正=（一/，5

B./在x轴上的截距等于苧

C./与直线75%-3〉+2=0垂直

D.点到直线/上的点的最短距离是I

【解题思路】根据倾斜角求出直线/的斜率，再判断其方向向最即可判断A；求出直线/的方程，再求出/

在工轴上的截距即可判断B：由两直线的斜率关系可判断C：求出点（-1,0）到直线/的距离即可判断D.

【解答过程】对于A,因为直线/的倾斜角等于120。，所以直线/的斜率k=tanl2（T=-百，

所以直线/的一个方向向量为范=（i,-V3）,又a=（-^^）==_=丸

所以正=（一23）是直线/的一个方向向量，故A正确；

对于B,由选项A可知直线/的斜率k=—V5,又/过点（一1,2）,

所以直线/的方程为y-2=-V3（x+1）,即+y+V3-2=0,

令y=0,得％=卓一1,

所以/在x轴上的截距等于当-1,故B错误；

对IC,直线V5x—3y+2=0的斜率为弓，因为—V^xJ=—1,

*5*5

所以/与直线83-3y+2=0垂直，故C正确；

对于D,点（—1,0）到直线/：百x+y+遍一2=0的距离为d=制?-2|=1,

所以点（-1,0）到直线/上的点的最短距离是1，故D正确.

故选：B.

5.（5分）（23-24高二下.江苏徐州•阶段练习）已知空间向量d=（-2,-l,l）,b=（3,4,5）,则下列结论正

确的是（）

A.（a+b）IIaB.d与5夹角的余弦值为当

C.2a1（5a+6b）D.4|d|=V3\b\

【解题思路】根据空间向量的坐标运算，即可判断选项.

【解答过程】对于A：G+3=（1,3,6）,因为?看三,g所以a+族与a不平行，故A错误；

136

对干B：d与碰角的余弦值为磊=若浅=一日，故B错误；

|a|-|b|v^xVSO6

对于C：2a=（-4,-2,2）,5a+6b=（8,19,35）,则2G（5a+6h）=-32-38+70=0,即2d1（5a+6b）,

故C正确；

对于D：4\a\=4>/6,V3\b\=V5xV50=5>/6,故D错误；

故选：C.

6.（5分）（23-24高二上.浙江•期末）已知圆C:/一2%+y2=o与直线/：y=巾》+27n（巾>0）,过［上任

意一点P向圆C引切线，切点为A和8,若线段长度的最小值为鱼，则实数771的值为（）

A.迫B.Cc.包D.四

7727

【解题思路】推导出PC垂直平分A8,分析可知，当|PC|取最小值时，/8|取最小值，此时，PCII,利用

点到直线的距离公式可得出关于m的等式，解之即可.

【解答过程】圆C的标准方程为（％-1）2+丫2=1,圆心为C（LO）,半径为1,如下图所示:

由圆的几何性质可知4c_LP4BC1PB,

因为|P*=|PB|,|AC|=|8C|,\PC\=\PC\,所以,△PAC三SBC,

所以，乙APC=cBPC,则PC147,

设ABClPC=E,则E为48的中点，

由勾股定理可得上川二J|PC|2—|4Q2=7lPC|2-l,

由等面积法可得伊用=2\AE\=卫零=纪需=25一系,

I尸5I尸5YIre|

所以，当俨C|取最小值时，|48|取最小值，由2J1-总=&,可得|PC|二&,

所以，|PC|的最小值为位,当PC与直线2垂直时,IPCI取最小值,

则粤^=或，因为m>0,解得血=”.

Vm2+17

故选:D.

7.（5分）（23-24高一下.重庆沙坪坝.期末）已知点P为直线!：彳+y-2=0上的动点，过点P作圆C：x2+

2%+y2=。的切线p4PB,切点为A,B,当|PC|•=B|最小时,直线4B的方程为（）

A.3%+3y+1=0B.3%4-3y-1=0

C.2x+2y+l=0D.2x4-2y-1=0

【解题思路】先利用圆切线的性质推得4P,8,。四点共圆，AB1CP,从而将|PC|“4B|转化为21P川，进而

确定PC1/时|PC|•|4B|取得最小值，再求得以PC为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可

得解.

【解答过程】因为圆C：」+2%-耳2=0可化为（%+1）2+*=1,

所以圆心。（一1,0）,半径为r=l,

因为巴4,"8是圆C的两条切线，1AC,PB1BC,

由圆的知识可知，AP,8（四点共圆，且48_LCP,PA=PB,

2

所以|PC|•|48|=4sNAC=4x^x\PA\x\AC\=2\PA\,又|PA|=V|PC|-1,

所以当|PC|最小，即尸C_L1时，仍C|“481取得最小值，此时PC的方程为y=x+1,

联立ma0，解得即尸（脑,

故以PC为直径的圆的方程为（无一3a+l）+y（y-]=0,即，x2+1x+y2-|y-1=0,

又圆C:/+2x+y2=。，

两圆的方程相减即为直线A8的方程：3x+3y+1=0.

故选：A.

8.（5分）（23-24高三下•北京•阶段练习）如图，从长、宽、高分别为。，6c的长方体力EBF—GCHO中

截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥A-BCD.下列四个结论中，所有正确结论的个数是（）.

①三极锥4-的体枳为：。儿；

«5

②三棱锥A-BCD的每个面都是锐角三角形；

③三棱锥A—BCD中，二面角力-CD-B不会是直二面角：

④三棱锥A-BCD中，三个侧面与底面所成的二面角分别记为a,P，y,则cosa+cos£+cosy=1.

【解题思路】三棱锥4-8C0的体积为长方体体枳减去4个三棱锥体枳；利用余弦定理判断每个面是否为锐

角三角形；建立空间直角坐标系判断平面的法向量是否垂直；结合线面夹角的定义求解即可.

【解答过程】对于①，三棱锥A-BCD的体积为V=abc-4x；x；abc=；abc,故①正确：

对于②，三棱锥A-88的每个面的边长分别为迎斗史,Vo阡谆

设a>b>c,则5/1+62是三边中最大边,设其对应角为。

则_（二返+⑻1介2+。2）2。2曲）2=2c20

7―2^/^*•信/_2Ga庇/

所以。为锐角，故每个面为锐角三角形，故②正确；

对于③，以产为原点建立空间直角坐标系如图所示:

不妨设尸B=a,AF=b,4D=c,则4(40,0),C(瓦a,c),D(0,0,c),B(0,a,0),

AC=(0,a,c),AD=(-b,0,c),DC=(b,a,0),DB=(0,a,—c),

设平面ACD的一个法向量为方=(MJ"),则［W,工=a%+”=0

{AD•%=-bxr+czi=0

取%i=c,则％=一.,Zi=b,则五=卜,一手,力)，

bX2

设平面BCO的一个法向量为底=(不必多),则".E=+物=0,

(DB-n2=ay2-cz2=0

取电=a,则为=­b,z2=-y»则荻=(a,一4一日)，

所以湿.浓=（c,一枭b）•（Q,-瓦一日）=ac十?一（=日由广―,

MXG=b=y/2,C=1,有ac+>“；-ab==0,则Ef•=0,

所以二面角4-CD-B可以是直二面角，故③错误；

对于④，不妨设4B与底面所成角为a,4c与底面所成角为£,AD与底面所成角为y,

由③可知，平面4CD的一个法向量为沆=（ac,-bc,ab'）,

平面BC。的一个法向量为话={ac,-bc,-ab）,

|示市|_a2c2+b2c2一02b2

则平面AC。与底面BCD的夹角余弦值为|cos〈沅，元）|=

|m||n|a2c2+a2b2+b2c2

同理，另两个侧面与底面"D的夹角余弦值分别为焉装^-a2c2+b2c2+a2b2

a2c2+a2b2+b2c2

z2z222一。2。2+方2。2+。2b2

所以cosa+cos?+cosyac+bc-ab故④正确.

a2c2+a2b2+b2c2a2c2+a2b2+b2c2+a2c2+a2b2+b2c2

故选:c.

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.(5分)(23-24高二上•广东深圳•期末)已知向量,二(2,—1,2)，5=(2,2,1),c=(4,1,3),PW()

A.\a\=\b\B.日在6上的投影向量为gA，g)

C.albD.向量d,3,2共面

【解题思路】根据向量模长、投影向量求法、向量垂宜的坐标表示、向量共面的判断方法依次判断各个选

项即可.

【解答过程】对于A,0=心+(-1¥+22=3,|b|=VFT2rTl7=3,A|a|=|5|,A止确；

对于B,,••|日|cos(五㈤=普=匕詈=%

•••d在方上的投影向量为为|cos值方・者=/=信黑)，B正确；

对于C»va-b=2x2+(―1)x2+2X1=4H0,二方与石不垂直，C错误；

对于D,1=(4,1,3)=乙日,石,5共面,D正确.

故选：ADD.

10.(5分)(23-24高二上•四川眉山•阶段练习)直线，1：mx-y-2=0和直线%：(2m+l)x-y+3=0,

下列说法正确的是()

A.当'I。时，血=-3或租=0；

B.当匕〃。时，m=-li

C.当m=1时，过直线h与％的交点且平行于y=X的直线方程为：x-y+2=0

D.当m=l时，直线。关于&对称的直线方程为：7x+y+22=0

【解题思路】

对于A、B选项，根据两条直线互相平行和垂直的充要条件即可判断；对于C选项，求出直线的点斜式方

程即可判断；对于D选项，先求巴两条直线的交点，再求出直线。关于，2的对称点，根据直线上的两点即可

求出直线方程，进一步判断即可.

【解答过程】对于A：当4_L。时，有m(2m+l)+l=0,此方程无解，故A错误；

：—x—

对于B：令—m=—(2m+1),解得m=-1,此时匕:一%—y—2=0,Z27+3=0>Z1//Z2»故B正

确；

：

对于C：当m=1时，L：x-y-2=0,/23x-y+3=0,联立鼠得直线。与，2的交点为

(一|,一①平行于y=x的直线斜率为I,

故过直线。与，2的交点且平行于y=%的直线方程为：%-y-2=o,故C错误;

对于D：当m=l时，直线，i与。的交点为—易知点(0,-2)在直线x—y—2=0上，

设该点关于直线。的对称点为QOm)，

n+2x3——1

F_2+："，解得｛加=_?，

3x---+3=05=-1

22

所以1Q(—3,—1),因为P(—3，—所以kpQ=-7,

所以所求直线方程为丁+日=一71+习，即7x+y+22=0,故D正确.

故选:BD.

11.(5分)(23-24高三下•安徽•阶段练习)己知直线，:(a+2)%-(a+l)y-1=0与圆A:/+=4交

于点4B,点P(L1),/B中点为Q,则()

A.|4B|的最小值为2位

B.|40|的最大值为4

C.囱丽为定值

D.存在定点M,使得|MQ|为定值

【解题思路】利用直线过定点P(l,l)进行逐项分析，对于A,根据CP和直线!垂直时，|48|取最小值求解即

可；对于B，验证直线!能否过圆心即可；对于C,联立直线和圆的方程，将万•丽表示出来求解即可；

对于D,利用CQJ.PQ,结合直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可.

【解答过程】直线Z:(a+2)x-(a+l)y-1=0,即a(x-y)+2%-y-1=0,

故直线过定点P(L1),且圆C:/+严=4的圆心为(0,0),半径为2,

vI24-l2<4,故P(l,l)在圆C内，

对于A,当CP和直线I垂直时，圆心到直线的距离最大，距离d=|CP|=&,

此时|4B|最小，\AB\=2yj4-d2=2y/2,故A正确；

对于B,当|力8|=4时，48为圆的直径,此时直线过圆心,

•••(Q+2)x0-(Q+1)x0-1=。方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误；

对干C,设4(3力),8(%2，、2)，则园•丽=(□-l)(x2-1)+(%-1)(72-1)=》1必一(%1+%2)+力力一

(71+、2)+2，

当直线/斜率不存在时，l:x=1,联立圆C:/+y2=4得，y=±>/3,

此时同•丽=1-3-2+2=-2

当直线，斜率存在时，设直线y-1=-1),联立圆C:/+y2=4,

得/+\k(x-1)+I]2=4,即(〃2+i)x2+(2k-2k2)x+k2-2/c-3=0,

2k-2k2

勺+上=一不丁

k2-2k-3'

(、途2=工]

22

yr+丫2=。(%1+%2)+2-2k,yty2=[k(xt-1)+1]x[k(x2-1)+l]=kx1x2+(k-k)(xt+x2)+

(1-

222

:.PA•PB=X1X2—Qi+%2)+当兔一(yi+y?)+2=(k+1)X1A2—(Zc+1)CQ+x2)+k+1.

带入得：PA-~PB=k2-2/c-3+2/c-2/c24-/c2+1=-2,

故万5•而为定值-2,故C正确；

对于D,48中点为Q,故CQJ.4①且P(l,l)在48上,

所以CQ1。(2.故4PQC是直角三角形，

当M为PC中点时，|MQ|=：|PC|二苧为定值，故D正确.

故选：ACD.

12.(5分)(23-24高一下•吉林延边•阶段练习)如图，在棱长为6的正方体4BCD—&BiGDi上，点M为

体对角线8劣靠近5点的三等分点，点E,F为棱48、CG的中点，点P在平面ME"上，且在该平面与正方体

表面的交线所组成的封闭图形中(含边界)，则下列说法正确的是()

A.平面MEF与底面/18CD的夹角余弦值为等；

B.点。到平面MEF的距离为空；

C.点。到点P的距离最大值为第：

D

D.设平面MEF与正方体楂的交点为A、…、%，则九边形A…〃最长的对角线的长度大于厚.

【解题思路】建立空间直角坐标系，即可利用法向量的夹角求解A,根据点面距离的向量法即可求解B,根

据面面平行的性质可得截面为六边形EQFNKT,即可根据点点距离公式求解CD.

【解答过程】建立如图所示的空间直角坐标系，则M(2,2,4),E(6,3,0))(0,6,3),

z

(-2,4,-1),

设平面ME尸法向量为沆=(x,y,z),

(ME-m=4X+y-4z=0,取”％贝标=(5,4,6),

[MF♦m=-2x4-4y-z=0

而平面ABC。的一个法向量为标=(0,0,6),

历

所以平面与底面/BCD的夹角余弦值为|cos(沆而工=6x66.故错误,

6X^77—77A

TTM=(2,2,4),所以点。到平面M”的距离为叵磊1==察,故R正确.

由于四边形4BGD]为平行四边形：故延长EM交DiG于点N,

连接NF交DC延长线于点H,连接E77交BC于Q,

由于点M为体对角线5。1靠近劣点的三等分点，所以瞿=誓=[=DiN=：,

MDCD22

翳告1=*，

CH=CQ^1=6-BQ^12

EBBQ3BQ"5'

在棱45上取K,使得D〔K=a

6

K-4BQ1TZ

由

于S

----=

NT5EB32詈=假，故KN"EQ,

2-3nti

设截面与44i交于点T,连接7T,TK,FQ,

故六边形EQ尸NK7即为平面ME"上与正方体所截得的截面,

由于FC=AE=3,CQ=6——=—,DK=

5515

・•・林〃2，••荒咤程若=9=2,

由干CQ比4E、AT.D]K、D1N、C/都大，

故DQ为最大值Z）Q=J6?+（6-J）=~~~>

故当P在Q处时，DP最大为蜉，C正确，

由于Q（蓝,6,0）,E（6,3,0）,F（0,6,3）,7（6,0,2）,K（*0,6）,N（0弓，6）,

.#+3+62=杵呼,

KQ=]目2+62+62=等=誓,等呼,

因此六边形EQFNKT的最长对角线的长度大于等，故D正确.

故选:BCD.

第II卷（非选择题）

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）（23-24高二下•江苏连云港•阶段练习）如图，在三棱锥P-4BC中，PAL^ABC.CB1.AB.AB=

B

【解题思路】由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算》•亚=（PA+AB+BCy通的值即可求解.

【解答过程】因为P4_L平面力BC,ABu面力BC,

所以P4_L4B,所以m•而=0,

乂CB上AB,所以近•而=0,

:.PC-AB=（PA+AB+BQ-AB=PA-AB+AB•AB+BC-AB=0+a2+0=a2.

故答案为:a2.

14.（5分）（23-24高二上•福建莆田•期末）己知直线3%—y+1=0,l2,.x+y—5=0J3:x—ay—3=0,

若直线Z]/2/3不能围成三角形，写出一个符合要求的实数a的值-1，一二」.

【解题思路】联立方程组解得A，12交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可.

【解答过程】由｛FT/JV二:解得:，所以的交点坐标为(1,4),

l3:(%-3)-ay=0过定点(3,0),

若直线，1/2/3不能围成三角形，只需，3经过点(1,4)，或。与G平,亍，或L与，3平行，

当4经过点(1,4)时，1-4。-3=0,解得。=一去

当4与b平行时，-3。二一1,解得Q=/

当k与b平行时，-Q=l，解得Q=-l.

故G的值为——1.

故答案为：一1(只需写出其中一个即可).

15.(5分)(23-24高二下•河南•阶段练习)过点P(l,2)的直线，与曲线y=VT中有且仅有两个不同的交

点，则/斜率的取值范围为[―2,—3u(()3].

【解题思路】根据题意，将曲线y="^,变形为y>0,分析可得其为圆的上部分，

结合直线与圆的位置关系即可.

【解答过程】由题意可设直线上y=k(x—l)+2,又曲线y=可化为/+y2=*y>0,

作出直线/与曲线y=的图象如图所示：

设图中直线小5%，〃的斜率分别为八，&，的，七，

则〃1=1^=|，卜2=0,&二言二一2

又直线〃的方程为y-2=k4a-1),

|2-k|

圆心(0,0)到直线，4的距离为4=2,

解得3=0(舍去)或七=—

2

要使两图象有两个不同的交点，piiRG[-2,-|)u(o,

故答案为：卜2,—g）u（o,g].

16.（5分）（23-24高二下•江苏淮安•阶段练习）正四面体P-4BC的棱长为2V5,点M为平面A8C内的动

点，且满足PM=3,则直线月”与直线A8的所成角的余弦值的取值范围为[。,可.

【解题思路】

结合正四面体的结构特征求出相关线段长，确定A/轨迹，建立空间直角坐标系，设M（cosa,sina,0）,a6[0,2TT],

从而表示出丽，布的坐标，利用向量的夹角公式，即可求得答案.

【解答过程】由题意知正四面体尸-力BC的楂长为26，

设P在底面48c上的射影为O,则。为正三角形43C的中心，

设D为48的中点,连接则。在C。上,CDLABf

且04=Of=x2V3xsin=2.0D=1x2V3xsin^=1,

则P。=y/PA2-AO2=V12-4=2&,而PM=3,

故0M='PM?一OP?=回e=1,故点M轨迹为平面力BC内以。为圆心半径为1的圆，

以。为坐标原点，以。4为x轴，过点。作。。的垂线为y轴，0P为z轴，建立平面直角坐标系，

设M(cosa,sina,0),aE[0,2n),4(1,一V5,0),/?(l,g,0),P(0,024),

PA?=(cosa,sina,-272),AB=(0,273,0),

故cos两确=需缁=寰^=23,ae[0,2n),

设直线PM与直线A8的所成角为a6G(0片],

则cos。=|cos(PM,AB)\=|sina|6[o,,

故答案为:[0,i].

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）（23-24高二下.江苏常州.阶段练习）如图所示，平行六面体力8CD-48£Di中，48=力。=

1,AA=2/BAD=-,Z.BAA,=L

X23DAAX=

AC

(i)用向量而，而，丽表示向量西，并求|西|；

⑵求cos(西，祠.

【解题思路】(1)借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得；

(2)结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得.

【解答过程】(1)西二而一通=而+耐一荏，

22

则|西|=(AD+AA^-AB)2=AD2+~AA[+AB2+2AD•AA^-2AD-AB-2AB-AA^

=l+4+l+2xlx2xi-0-2x2xlxi=6,

22

所以I西I二历.

（2）由空间向量的运算法则，可得而=而+而，

因为48=AD=l,AAi=2且NB/0==%

所以|前^二J|而+可,二J|祠2+2府|•|阿cos^+|而广

=,1+0+1=\[2,

西•前=（而+丽-布•（而+硒

2

=AD-AB+AD+~AA[•而+而•而一而2一而•丽

=1x1xcos-+l2+2xlxcoS7+2xlxCOS?—I2-1x1xcos？=2,

2332

则c网西北)=禺禽二晟=当

18.(12分)(2024高三•全国•专题练习)已知四边形ABC。的四个顶点坐标分别为A(5,-l),8(1,1),C(2,3),

。(4,2).

试判断四边形ABC。的形状，并给出证明.

【解题思路】由各点坐标可求得四边的斜率，再由平行和垂直的斜率表示即可得出结论.

【解答过程】由已知可判断四边形/BCD是直角梯形，

证明如下:因为4(5,-1),8(1,1),C(2,3),D(4,2).

12

由斜率公式得Ac。=W=-g,kAB=-kBC=|-1=2,kAD==-3>

所以上CD=k/B，^BC工WD，即4yIIC〃且8c不平彳丁A”,

所以四边形4BCO是梯形，

又因为Lc•k=T，所以BC1CD,

综上，四边形48。。是直角梯形.

19.(12分)(23-24高二上・广西河池・阶段练习)已知2=(%,1,0),族=(-14,2),1=(2,-2,1),忻|=向，

ale,

(1)若G+无、2G+B共线，求实数k：

(2)若向量方+小与2五+方所成角为锐角，求实数k的范围.

【解题思路】(1)根据空间向量的模长公式以及1=0可求出戊、y的值，可得出向量苏B的坐标，根据

己十瓜2d+»共线，可得出关于实数k的不等式，解之即可；

(2)分析可知(6+kb)-(2a+S)>0以及G+瓜2a+3不共线，结合空间向量的坐标运算可求得实数A的

取值范围.

【解答过程】(1)解：因为苍=(%,1,0),b=(―l,y,2),c=(2,—2,1),\b\=V5,ale,

则同=Jl+y2+4=遍,可得y=o,ac=2x-2=0,解得3=1,

所以d=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以2+〃族=(1-k,l,2k),2a+S=(1,2,2),

因为(G+㈤〃(2d+»,所以甘=：=《,解得土乏.

(2)解：由(1)知，a+kb=(l-k,1,2/c),2a+b=(1,2,2),

因为向量d+无与2d+B所成角为锐角，

所以(G+席)•(2G+B)=(1-k)x1+1x2+2x2k=3k+3>0,解得k>-1,

又当々=:时，(d+kB)〃(2G+H，

所以实数上的范围为(一1；)uQ,-oo).

20.(12分X24-25高二上•上海・随堂练习)如图,已知4(6,6⑹,B(0,0),C(12,0),直线I：(k+V3)x-y-2k=

0.

⑴求直线2经过的定点坐标；

（2）若P（2,2g）,李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由8C（反射点为K）、AC（反射点为/）反射

后，光斑落在P点，求入射光线PK的直线方程.

【解题思路】（1）分离参数，列方程可得直线过定点;

（2）分别求点P关于直线BC与4c的对称点匕与P2,进而可得船卫，再根据对称性可得OK，即可得直线方

程.

【解答过程】（1）由直线/：（/c+V3）x-y-2k=0,即k（x-2）+百万-y=0,

令心，解得仁盛,

故直线1恒过定点（2,2K）：

（2）设P关于BC的对称点Pi，则肯（2,-26），

P关于4C的对称点。2（皿九），

由直线NC的方程为铠=三，即丫=一怖。一12）,

6V3一。6—12

害3）=T

所以《解得｛二6为

娱一同*12）'

所以&(14,6⑹,

由题意得Pi、K、/、P2四点共线，kpm罟,

由对称性得kpK=—当，

所以入射光线PK的直线方程为y-26=一乎(％-2),

即2x+V5y-10=0.

21.(12分)(23-24高二上•海西•期中)已知圆C：x2+y2—tx—2y=0(t>0)分别与x轴、y轴交于

点P，Q(均异于坐标原点。)，过点E(L0)作两条直线5％，斜率分别为八，k2,且的=一《，直线。与y轴

交干点F,直线，2与圆c交于力，B两点.

(1)若尸(6,0),\AB\=6f求直线%的方程;

(2)若原点。到直线PQ的距离为管，求a4BF面积的最小值.

【解题思路】(1)由点在圆上，代入求参数得到圆。为(无一3)2+(y-=10,设直线。的方程为y=

心(尤-1)，利用点线距离公式、圆中弦长的几何求法列方程求参数七，即可得直线方程；

(2)首先有P(t,0),Q(0,2),结合已知点线距离求得t=4,进而确定圆的方程，设。的方程为1=七(X-1)

“2H0)，则，1的方程为、=一《。-1)，结合两点及点线距离、圆的弦长公式求成"I、\AB\，写出△48”

面积关于心的表达式，即可求最低.

【解答过程】(1)将P(6,0)代人圆C的方程，解得t=6,

所以圆C的方程为产+y2-6x-2y=0,即(x-3)2+(y-I)2=10,

所以圆心坐标为(3,1),半径

根据题意得，直线。的方程为>=为(%-1)，即心"-'一左2=0，

因为|力8|=6,所以6=2行二"碎=210-华型，解得心=0(舍)或七二：，

故直线办的方程为4%-3y-4=0.

(2)令％=0,y=0,得P(t,0),Q(0,2),

所以直线尸Q方程为声”1,g|J2x+ty-2t=0.

由原点。到直线PQ的距离为管，得黑=?，结合t>0,解得£=4,

故圆C的方程为(x-2尸+(y-1)2=5,圆心坐标为(2,1),半径上=遍.

根据题意得，％的方程为y=七(％-1)(&工0)，则匕的方程为y=-*(无一1)，

K2

则点9(0,专)，所以|"|=J1+看

'4kl+2k+4

又圆心C到右的距离为d2=l"i|所以|力8|=2d畛—6=22

而1+kl

所以方.=41砌♦IM=N2憎萨X

=用+94=/(»了+善竽当且仅当心=一4时等号成立'

所以△AB尸面枳的最小值为手.

22.(12分)(23-24高一下♦吉林•期末)在RtAABC中,“=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,28上的

点，满足DEII8C且DE经过△