解三角形-2026年高考数学二轮复习

微专题13解三角形

高考定位应用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考内容，主要考查边、

角、面积、周长等的计算，既有选择、填空题，也有解答题，难度为中档或编下.

【真题体验】

1.(2024•全国甲卷)在△/△C中，内角4,B,。所对的边分别为b,c,若5=；,

Q

b2=ac,则sin4+sinC=()

4

239039

AA.B.

1313

C.7D313

213

答案C

解析由正弦定理得'sin/sinC=sin2^,

4

因为8=兀，所以sinZsin0=,11也=1.

393

由余弦定理得b2=a2-\-c2—2accosB=a1-\-c2—ac=^ac,

4

22

所以a+c=^ac9

4

ia

所以sin2/i+sin2C=sinAsinC,

4

717

所以(sin/+sinC)2=sin2/+sin2c+2sin4sinC=sin力sinC=,

44

又sin月＞0,sin00,

7.

所以sin/+sinC=.故选C.

2

2.(2021・全国乙卷)记△NBC的内角/B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,

8=60。，a2-\~c2=3ac,则h=.

答案22

17

解析由题意得S~t8c=；acsinB=jac=3,则ac=4,

所以〃2+C2=3QC=3X4=12,

所以b2=，+/—2Qccos8=12—2X4X1=8,

2

则6=22.

3.（2024・新高考I卷）记△43C的内角4B,3的对边分别为a,b,c,已知sinC

=2cos5,a2+h2—c2=2ab.

⑴求8；

（2）若△48C的面积为3+3,求c.

解（1）由余弦定理得3SC=/+/—，

2ab2

又0〈Cv兀，AC=K,

4

21

2cosi?=sinC=,AcosB=.

22

又0<4<兀，：.B=n.

3

（2）由（1）得力=兀_8—0=

由正弦定理.、=,C,

sinAsinC

1+3

得2+6=21c.

2

42

.../XABC的面积S=1tzcsinB

2

=t"3=3+3,

解得c=22.

【热点突破】

热点一利用正、余弦定理求边或角

I核心归纳

1.正弦定理：在△ABC中，a=/“=为△48。的外接圆半径）.

sinAsinBsinC

变形:a=2Hsin。,6=2Rsin8,c=2HsinC,sin/=",sin8=JsinC=C,

2R2R2R

a：b：c=sinJ:sin8：sinC等.

2.余弦定理：在△力BC中，a2=/>2+c2-2bccosA.

变形：b2-\~c2—a2=IbccosA,cos4=

2bc

例1（2024・新高考I［卷）记△48C的内角4B,C的对边分别为。，b,c,已知sin

4+3cosJ=2.

⑴求小

（2）若〃=2,2加inC=csin28,求△力BC的周长.

解（1）由sin4+3cos4=2,

得।sin4+^cosA—\,

22

所以sill"?）二.

因为0<4<兀，所以:V4+：〈T，

333

所以4+：=：,故/=兀

326

⑵由26sinC=csin2B,

得2/>sinC=2csinBcosB,

由正弦定理，得2bc=2cbcosB,

所以cosB=1

2

因为0<8<兀，所以8=：.

4

77r

C=7l—（4+0=

所以sinC=sin771=sinLJ=sinKcosK+cos^sin71

123434

=3X2+!X2=6+2

22224

.R2sin兀

由正弦定理得b="s1n"=4=22,

sinA.兀

sin

6

2sin771

asmC_12_

6+2,

sinA.71

sin

6

所以△48C的周长为〃+〃+c=2+6+32.

规律方法当题目条件中出现边和角的“混和体”时有两种方案：⑴全部统一为

角，将“边的齐次式”中的边直接化为对应角的正弦；(2)全部统一为边，利用正、

余弦定理将先转化为边，最后用因式分解等代数技巧化简即可.

训练1(1)(2024・济南模拟)已知mb,c分别为的三个内角4B,C的对

边，且4cosc+3f/sinC=b,则4=()

7tn

A.B.

64

nn

C.D.

32

(2)(2024•绵阳诊断)在△XBC中，内角4B,C的对边分别为a,b,a已知1

tanA

+△=，则*A

)

A.1B.2

C.3D.4

答案(1)A(2)C

解析(1)由acosC+3〃sin。=力以及正弦定理可得sinAcosC+3sin%sinC=

sinB,

因sinB=sin(J+C)=sin/cosC+cos4sinC,

代入整理得3sinAsinC-cosZsinC=0,

0为0<C<7i,sin00,

则得tan/=,

3

又因为0<J<7l,故

6

111

(2)因为+-,

tanAtanBtanC

所以cos4+cos3=cosC

sinAsinBsinC

由正弦定理得cos"+cos8=cosC,

abc

由余弦定理的推论得

Z)2+c2-t72.^2+(?—Z)2a2~\-b2—c2

+=,

2abc2abc2abc

整理得/+〃=3C2,

即*¥=3.故选C.

c2

热点二三角形的面积问题

I核心归纳

三角形的面积公式

设△48C的内角4,B,。的对边分别为。，b,c,其面积为S,△力8c的外接圆

半径为心内切圆半径为广.

(\)S=Xah(h为8C边上的高)；

(2)5=।absinC=】acsinB=】bcsinA；

222

(3)S=：(a+6+c)，。为△48C内切圆的半径)；

(4)S=p(p—。)(夕—b)(p-c)[2"+'+c)]

例2(2024・阜阳模拟)在△48。中，内角4,B,C的对边分别是a,b,c,且asin

4cosB+力sin4cos力=34cosC.

(1)求角。的大小；

(2)若Q=3,且而•企=1,求△48C的面积.

解(1)法—因为〃sin4cosB+bsin/cos/=3QCOSC,

所以根据正弦定理得

sin4sinAcos8+sin/sinBcosA=3sinAcosC,

因为sin为WO,

所以sin4cos8+sin3cos4=3cosc

即sin(/l+8)=3cosC,即sinC=3cosC.

因为cosCW0,所以tanC=3.

因为0VCV7T,所以C=；.

法二由三角形内的射影定理知

4cosB+6cosA=Cy

所以〃sin力cosB+bsin.4cos力=（acos3+加os力）sin4=csin力=3acosC,

又由正弦定理得sinCsin4=3sinAcosC,

因为sin力WO,所以sinC=3cosC,

因为cosCNO,所以lanC=3,

因为0＜。＜兀，所以。=；.

（2）ABAC=bcc,QSA=l.

因为a2=b2-\-c2—2bcccsA,

所以加+c2=9+2/＞ccos4=11.①

因为c2=a2-\-b2—labcQSC,

所以h2—c2=2ahcosC-a2

=2X3XbXcos；-32=36—9.②

联立①②可得2加-38-2=0,

解得b=2（负根舍去），

故的面积为YbsinC=lx3X2X3=33.

2222

规律方法与三角形面积有关问题的解题策略：⑴利用正弦、余弦定理解三角形,

求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；（2）把面积作为已知条件之

一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

训练2（2024・湛江调研）如图，在△力台。中，点。在边4c上，且/出_L8D已知cos

AD

⑴求4;

(2)若△BCQ的面积为;，求8C.

解⑴因为cos4=2sin'sin/"'0十'

22

R./.TI—A,.AA.

=2sinsin=2sincos=smAA,

2222

可得tan/=sin/=i,

cosA

因为4£(0,兀)，所以,4=：

(2)作4£_L4C,垂足为E,

在△48。中，由4=兀，

4

AB上BD,知△440为等腰直角三角形，

因为48=2,所以80=2,AD=2fBE=1,

由△6CO的面积为XBECD=X,

22

解得。。=1,

可得力C=4O+CZ)=3,

所以8C=AB2J{-AC1-2ABACCGSA=5.

热点三解三角形的实际应用

I核心归纳

解三角形实际问题的步躲

网祚■［理解题意.分析巳知与未知，画出示熏函］

|根据已知条件与求解目标，把已知量与求

库}-解量尽量集中在有关灼三角形申，建立一

个解三角形的模型______________

甲rrL型,［的利用解正、余弦定理解三角形，求得数学模

湛］_|检验上述所求出的解是否具有实际意义，

它酊I从而得出实际问题的解_________________

例3（2024・临沂模拟）在同一平面上有相距14公里的4,B两座炮台，力在8的正

东方.某次演习时，/向西偏北。方向发射炮弹，3则向东偏北，方向发射炮弹，其

中。为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标C,接着力改向向西偏

北?方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点〃，则B炮台与弹着点V的距离为

2

()

A.7公里B.8公里

C.9公里D.10公里

答案D

解析依题意，设炮弹第一次命中点为C,则48=14,ZC=8C=4W=18,/CBA

=NCAB=9,ZMAB=,

2

在4ABC中BC1=AC1^AB2-1ACABCOS仇

即182=I42+182-2X14X18COS。,

7

解得cos6=]&,

所以cos9=2cos2。-1=7,

218

又。为锐角，解得cos?=：(负值舍去)，

26

nc

在中8“=4W+/82-24M4BCOSa=182+142-2X18X14XJ=100,

26

所以W=10,

即8炮台与弹着点"的距离为10公里.

规律方法解三角形应用问题的要点

(1)从实际问题中抽象出口知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；

(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得到实际问题的解.

训练3(2024•湖州、衢州、丽水模拟)某学生为测量某酒店的高度，在远处选取了

与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点。与。，如图,现测得NBCQ

=45°,/BDC=T05。,CQ=100米，在点。处测得酒店顶端/的仰角=

28°,则酒店的高度约为(参考数据：2^1.4,6^2.4,tan28°^0.53)()

r

A.91米B.101米

C.lll米D.⑵米

答案B

解析由题知NC8O=30。,

CD=BC

在△8C。中,

sinZCBD~sinZBDCf

因为sinZBDC=sin105°=sin(60°+45°)

Z-I

=sin60°cos450+cos60°sin450=

4

所以BcJQsinNMC/。。'4=50(6+2),

sinZCBD1

2

所以，在△/BC中，AB=BCianZACB=5O(6+2)Xtan28。七101(米).

【精准强化练】

一、单选题

1.(2024•青岛模拟)△48。内角4,B,。的对边分别为。，b,c,若6=2asin8,

A=4,则△48C的面积为()

A.lB.3

C.2D.23

答案A

解析根据正弦定理得sinB=2sinZsin3,

因为8£(0,7i),则sinBWO,

所以1=2sinN,解得sin/=L

2

=

所以SAABC；6csin4=；X4X；=1.

2.在△49。中，己知C=45。，h=2,c=2,则角B为（）

A.30°B.60°

C.30。或150°D.60。或120°

答案A

解析在△/BC中，由正弦定理可得sinB="smC=2sin45°=l又因为介力，

c22

可得08,即0。<8<45。，所以8=30。.

3.(2024•北京海淀区调研)在△力中，sin3=sin24c=2〃，贝ij()

A.NB为直角B.N5为钝角

C.NC为直角D.NC为钝角

答案C

解析由sin8=sin2/=2sin/cos得〃=2〃cos4cos/l=",又c=2a,所以

2a

cos4='+c"'4"。=,化简得b=3〃，因为‘2=442=42+62,所

2bc2b2ala

以△NBC是直角三角形，且C是直角.故选C.

4.(2024•河南名校调研)在△力8C中，a,b,c分别为内角4B,C所对的边，且

b=2a,2屋+b2=c2,则sin8=()

A.1B,6

44

C.10D.15

44

答案C

22=2

解析由b=2a,2a-\~bc9得2〃2+b2=6a2=c2,

a2-\-c2-b23a6

所以COS8D==r=,

lac2c4

又BW（0,兀），所以sin8=1—cos2^=叫

4

5.（2024・石家庄模拟）海伦公式是利用三角形的三条边的长处b,c直接求三角形

面积S的公式，表达式为S=pCp—a）（p—8）（p—c）」"2,,它

的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三

斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海沦一秦九韶公式.

现在有周长为10+27的△43。满足sin4：sinB：sinC=2：3：7,则用以上

给出的公式求得△力8c的面积为（）

A.87B.47

C.63D.12

答案C

解析VsinA:sin8：sinC=2：3：7,

：.a:b：c=2：3：7,

•••△48C的周长为10+27,

即a+6+c=10+27,

=

**•6/4,b=6,c=27f

4+6+27

:・P=5+7,

2

:・S“BC=(5+7)X(14-7)X(7-1)X(5-7)=63.

6.（2024・昆明诊断）在△48。中，D为边BC上一点、,AD=6,BD=3,ZJ5C=45°,

则sin/4）C的值为（）

1+2

A.2+3B.

4

，+73

CD.

44

答案C

解析如图，在△48。中,

ADBD

由正弦定理得

sxnAABDsin/BAD'

即6=3

sin45°sin/.BAE)

故sin/BAD=.

4

又BD〈AD,则N8/0V//8C,

故只能是锐角，从而cos/B/Q='

4

所以smZADC=sin(ZBAD-[-AABD)

721421+7"、生小

=sin(N340+45。)=jX；+Xv=,故选C.

424

7.（2024♦广东名校联考）如图，A,B两点在河的同侧，且4,B两点均不可到达.

现需测4B两点间的距离，测量者在河对岸选定两点。，D,测得。=：km,

2

同时在C。两点分别测得/力。。=/c。。=30。，//C。=60。，//。?=45。，

则48两点间的距离为（）

A.kmB.km

24

C.6kmD.6km

34

答案D

解析VZADC=ZADB+ZCDB=60°tN为CZ)=60。，，△力。。是等边三角形,

3

：.AD=CD=AC=km.

2

在△3CZ)中，NBDC=30/。8。=180。-60。-30。-45。=45。，

RC=DC.

由正弦定理得.

sinZBDC~sinZCBD

33X1

即BC=2,BC=22=6km,

sm30°sin45024

2

在△力5c中，由余弦定理得/中=4C2+BC2—2ACBCcos45°=3+6-

416

2X3X6X2=6:.题=6km,

242164

即力，3两点间的距离为?km.

4

二、多选题

8.在△XBC中，内角4,B,。的对边分别是a,b,c.下面四个结论正确的是（）

A.若。=2,4=30。，则△48C的外接圆半径是4

B.若a=.人则彳=：

cosAsinB4

C.若/+方2々2,则△ZBC一定是钝角三角形

D.若A<B,则cos4<cosB

答案BC

解析由正弦定理知，=4=2几所以外接圆半径是2,故A错误;

sinA

由正弦定理及0,=上,

cosAsinB

--TZBsinAsinB日口，,1

可付=.=1,即tan4=1,

cosAsinB

由0〈力〈兀，知4=兀，故B正确；

4

因为所以。为钝角，

△48C一定是钝角三角形，故C正确；

若力=兀，B=",显然cos4>cos5,故D错误.

64

9.（2024•武汉调研）在。中，内角4,B,C所对的边分别为①b,c,下列与

AABC有关的结论正确的是（）

A.若。=2,彳=30。，则'+2。_2b+c_4

sin8+2sinC2sin8+sinC

B.若acosA=bcos5,则△NBC是等腰直角三角形

C.若△ABC是锐角三角形，则cos4〈sin8

D.若2刃+彷+3氏=0,Syoc,Sa.分别表示△4"，△44C的面积，则

S^AOC:S^ABC=1:6

答案ACD

解析对于A,设△46C外接圆的半径为几

因为〃=2,4=30。，

所以2R=.0=2=%

sinAsin30°

七皿b~\~2c2/?sin54-2-2/?sinC___

所以,=.=2R=4,

sin8+2sinCsin54-2sinC

2b十c2,2/?sin5+2/?sinC___

==2R=4,

2sinB+sinC2sinB+sinC

所以A正确.

对于B,因为t/cosA=6cosB,

所以由正弦定理得sinJcosJ=sinBcosB,

即sin24=sin2B,

因为力，4£（0,兀），所以24=24或24+24=71,

即4=8或4+8=：,所以△43C是等腰三角形或直角三角形，所以B不正确.

2

对于C,由△48C是锐角三角形得4+心>兀，即力兀一8,

22

因为y=cosx在1，2）上单调递减，

卜-8〕

所以cos4<cosl2J=sin8,

所以C正确.

对于D,如图所示，设4C的中点为"，8c的中点为。，

因为2为+访+3员?=0,

即2@+况）+（%+灰？）=0,

则2X2励+2而=0,即2而=一而，

所以点。是上靠近"的三等分点，

所以点0到AC的距离等于D到AC的距离的:,

又由8到AC的距离为D到AC的距离的2倍，

所以。到4c的距离等于B到dC的距离的;

6

由三角形的面积公式，可得品4g=65y0（7,

即S^AOC:SAABC=\：6,

所以D正确.

三、填空题

10.（2024・泰安模拟）在△月6C中，内角力，B,。的对边分别为。，b,c,己知2ccos

B=2d,则C=.

答案:

解析根据题意，在△43。中，2ccosB=2a-b9

则2sinCeosB=2sinsinB,

变形可得2sinCeos8=2sin（3+C）—sinB,

则有2sin8cosC=sinB,

因为sinB>0,所以cosC=J,

2

因为C£（0,7i）,则C=:

11.（2024•合肥调研）如图是2024年4月30日17时46分神舟十七号返回舱（图中C）

接近地面的场景.伞面是表面积为1200m2的半球面（不含底面圆），伞顶B与返回

舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线8c与水平地面垂直于点。，。和观测

7R

点力在同一水平线上，在4测得点4的仰角/。45=30。，且sinNA4C=

2247

aa

则此时返回舱底端离地面的距离CD=.（兀=3.14,sinN4cB=,计

247

算过程中，球半径四舍五入保留整数）

答案20m

解析设半球的半径为尸m,

则2兀户=1200,・、F4,

.\BC=5r=70m.

ABBC

在△彳BC中，由正弦定理得

sinN/C8sinNBAC'

“nBCsin/ACB_93y2247,、

则43==70AXZX=118O0A(m),

sinZBAC24773

又•；ND4B=30。,・・・8Q=90m,

则CD=BD—BC=20m.

12.（2024•无锡模拟）设小b,c分别为△48C内角力，B,。的对边.若8=CW4

且。(加+^2—〃2)=62°,则4=

答案:

解析因为〃十。2—q2=2bccos4,

所以2abecosA=b2c,即24cosA=b,

即2sin4cos4=sin3,所以sin24=sin3,

所以2A=B或24+8=兀

因为8=C,所以/+8+C=/+2B=TL

若24=5,则/=冗，B=C=2n；

55

若2力+8=兀，则力=4=。=冗，与矛盾.综上，A=n.

35

四、解答题

13.(2024•天津卷)在△ZBC中,角4,B,C所对的边分别是a,b,c.已知cos8=

9,a2

,b=c5,=.

16c3

(1)求。的值；

(2)求sin4的值;

(3)求cos(B-24)的值.

解⑴由得

c33

由余弦定理得a2-\-c2—b2=2tzccosB,

47Q

即C2-\~C2—25=2'CC-,

9316

得1°