不等关系与不等式性质-高考数学复习之重难点题型讲义（新高考地区专用）解析版

专题1.5不等关系与不等式性质.重难点题型精讲

衣

1.两个实数比较大小的方法

a—b>()<^>a>h

(1)作差法，a—〃=0=。三》，(a,〃£R)；

a-b<0^>a<b

a.,

g>1<=>«>/?

(2)作商法<1<^a=h,(a£R,b>0).

a,,

1<=>a<b

2.不等式的基本性质

性质性质内容特别提醒

对称性a>b<^b<a<=>

传递性a>b,b>c=>a>c=>

可加性a>b^ii±_c>b±_c=

a>b

=>ae>bc

c>0

可乘性注意c的符号

a>b

=ac<bc

c<0

a>b

同向可加性，寺+c>>+d=>

c>d

a>b>(n

同向同正可乘性naobd=>

c>d>CH

可乘方性a>Z»0=a”阳(〃£N,n>l)a，〃同为正数

可开方性a>b>O=^\fci>-\/b(nN,n>2)a,b同为正数

【题型1判断不等式是否成立】

【方法点拨】

⑴逐一给出推理判断或举反例说明.

⑵结合不等式的性质、对数函数、指数函数的性质等进行判断.

[例I]（2022•顺义区校级模拟1若非零实数&〃满足则下列不等式一定成立的是（）

A.—>-B.a+h>2y[abC.Iga2>Igh2D.d3>/?3

ab

【解题思路】根据不等式基本性质，用特值法判断A8C,用函数单调性判断。.

11

【解答过程】解•：对于A，因为当a=2,b=l时，满足但一>二不成立，所以A错：

ab

对于B,因为当a=-1,b=-2时，满足a>b,但a+b=-3,2Vab=2或>0,所以不成立，

所以8错；

对于C,因为当4=-1,6=-10时，满足但/g〃2=o,lgb2=2,所以/g〃2>/g〃2不成立，所以C

错；

对于。，因为y=/是单调递增函数，所以所以。对.

故选：

【变式1-1]（2021秋•贺州期末）如果aV力V0,那么下列不等式成立的是（）

A.-<-B.ab<b2C.D.--<-i

abab

【解题思路】根据不等式的基本性质，结合题意，判断选项中的命题是否正确即可.

【解答过程】解：因为所以曲>0,所以《<工<0,即工>3选项A错误；

baab

因为aV〃V0,所以帅>户>0,选项4错误：

因为aV〃V0,所以即abvM,选项。错误：

因为aV〃V0,所以工V—<0,所以—*>—'，即—Jv—1，选项0正确.

babaao

故选：D.

【变式1・2】（2022春•海淀区期末）如果aVbVO,那么下列不等式成立的是（）

11a7

A.-<-B.a92V■0C.-<1D.ab>b2

abb

【解题思路】运用不等式的性质直接求解.

【解答过程】解：选项4TaV力V0,选项A错误：

ab

选项&V«<Z?<0,：,(r-b2=(a+b)b)>0,a2>b2,选项8错误;

选项C,'：a<b<0,选项。错误;

选项D,・・・aVbV0,.•.而〉从,选项。正确.

故：选。.

答案为：D.

【变式1-3]（2U22春•巴中期水）若0<a<U,则下列不等式中成立的是（）

C.b2<a2D.In(-Z?)<ln(-a)

【解题思路】取〃=-l,〃=-2说明A、C、。不成立，由基本不等式说明3正确即可.

1

【解答过程】解：取a=7,b=-2,1,A错误.

2

（-2）2><-I）2,C错误.

!n2>ln\tD错误.

易得2,f>0,则2+fH--=2,当且仅当2=E即a=b时取等号，又》VaVO,显然取不到

ababybaab

ba

等号，则一+丁>2,B正确.

故选:B.

【题型2利用不等式的性质比较大小】

【方法点拨】

⑴作差法：①作差；②变形；③定号；④结论.

⑵作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论.

【例2】（2022春•武威期中）已知Q=J7—B，匕二遍一遍，则（）

A.a<hB.a>b

C.a=bD.a,b大小不确定

【解题思路】首先利用分子有理化，将小力分别化简，再比较分母的大小，即可判断选项.

【解答过程】解：a=5-巫）=力：，7b=显一星=」七，

v/+VoV6+v5

因为夕>遍>遮X）,所以夜+遍>遍+店>0,

所以a<b.

故选：A.

【变式2-1](2022•山西自主招生)已知a=1.2,b=可，c=e0,2,则()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

【解题思路】可先分别计算出Q,伊,/,进行比较即可得出小儿C的大小关系.

【解答过程】解：由。=1.2,故/=2.48832,

由/)=?,故〃5N2.72741,

由c=*2,故=0*2.71828,

因为a,vQv/,所以aVcV。，

故选：C.

【变式2-2](2021春•铜鼓县校级月考)设。=/-x,b=x+3,则。与。的大小关系为()

A.a>bB.a=bC.a<bD.与x有关

【解题思路】先求出。-8=/-2x-3,再解一元二次不等式求解即可.

【解答过程】解：・・・4=»-X，〃=x+3,

*.a-b=E-2x-3»

①当x2-2r-3>0,即x>3或xV-1时，a>b,

②当/-2A-3=O,即x=3或x=-l时，a=b,

③当7・21・3<0,即・lVx<3时，a<b,

二〃与〃的大小与“的值有关，

故选：D.

【变式2-3](2021秋•河南月考)已知：x>\,yER,则〃=2A+2)，-3,b=-x2+2y,c=7+『的大小关系

是()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【解题思路】利用作差，配方法，即可比较大小.

【解答过程】解：a-b=2x+2y-3-(-f+2y)=『+2.3=(x+l)2-4,

因为x>l,所以(x+1)2-4>(1+1)2-4=0,

所以a-b>(),即a>b,

a-c=2x+2y-3-(』+)2)=-(/-2x+\)-(y2-2y+1)-1=-(x-1)2-(y-1)2-1,

因为x>1,)，6R,所以-(x-1)2<0,-(厂1)2忘0,所以-(x-1)2-(y-1)2-l<0,

所以a-cVO,即c>a,

淙上，c>a>b.

故选：A.

【题型3利用不等式的性质证明不等式】

【方法点拨】

①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不

等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.

②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更

不能随意构造性质与法则.

【例3】（2021春•阳高县校级月考）设。=6+2迎，〃=2+夕，则〃、〃的大小关系为？并证明你的结论.

【解题思路】由已知求得店的值并比较大小即可得解.

【解答过程】解：。、〃的大小关系为：a<b,证明如下：

Va=V3+2V2X）,Z?=2+V7>0,

・•・£?=11+4通,力2=11+4斤,

,\a<b.

【变式3-1]（2021秋•科尔沁区期末）若,〃>0,判断与生”的大小关系，

aa+m

并加以证明.

【解题思路】利用作差法，判断出2<—,基本步骤是（I）作差，（2）判断正负，（3）确定大小.

uu+rn

【解答过程】解:-<—，证明如下；

aa+m

作差，得；

bb+mb（^a+m）-a（b+m）

——----=-----------------

aa+ma（a+m）

__m-am

一Q（a+m）

_m（ba）

一a（a+m）；

,：a>h>0,m>0,

'•b-d<0»a+〃？>0,

,m（匕-a）

••-；--------<U;

a（a+m）

bb+m

v----.

aa+m

【变式3-2]（2021秋♦徐汇区校级月考）已知实数。、b、c、d满足下列三个条件：①d>c；②a+Qc+d；

③a+dVHc.

（1）请把。、从。、d四个数依次从小到大排列;

（2）证明你的上述结论.

【解题思路】由等式及不等式的性质化简即可.

【解答过程】解：（1）a<c<d<bx

（2）证明：Va+b=c+d^:・a-c=d-b,

XVa+d<b+Cf:・a-c<b-d,

••a-c<0<b-d,

d<h,

又・：d>c,

：,a<c<d<b.

【变式3-3]（2021春•桃江县期末）（I）比较下列两组实数的大小：

©V2-1与2-g；②2一百与遥-V5；

（II）类比以上结论，写出一个更具一般意义的结论，并给出证明.

【解题思路】（I）根据题意，对于①、②，将不等式的左右两边同时平方，再作差比较大小，即可得

答案；

（11）由（I）可得一般结论：若〃是正整数，则7?好1-赤4赤不^一7^?不1,利用作差法证明即

可得证明.

2

【解答过程】解：（I）①（或+75）2-（2+1）=2V6-4>0.

故企+百>2+1,即四-1>2一百.

②（2+^）2-（V6+V3）2=4V5-2V18=2V20-27l8>0.

故2+遥>遥+V5,即2-百>6-石.

（H）由（I）可得一般结论：若〃是正整数，则而不1-e>75好3-而不I.

证明如下：左-右=（y/n+l->/n）-（Vn4-3-Vn+2）=1」《一//”=

y/n+1+VnJ九+3+Jn+2

Vn+3+Vn+2—Vn+1—Vn、八

则有+1-y/n>Vn+3-y/n+2.

【题型4利用不等式的性质求取值范围】

【方法点拨】

同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用不等式的性质求取值范围时，要充分利用所

给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性.

【例4】（2021秋•朝阳区校级月考）已知1W〃W8,-2W〃W3,则。。的取值范围是（）

A.3Wa-b<5B.-2^a-b^\0C.-2Wa-%W5D.3<a-%W10

【解题思路】转化为〃+（-〃），而由-2W8W3可得-3W-6W2,结合不等式的性质化简即可.

【解答过程】解：,・,-2W/W3,・・・-3W-6W2,

又・.・1，W8,・・・-2W〃-反10,

故选：B.

x

【变式4」】（2。2°秋响南月考）已知234,-3*7,则装豆的取值范围是（）

111212

A.(―,-)B.(-,-)C.(-,I)D.(-52)

10443J3

【解题思路】把号变形为1

2尸再由已知结合不等式的性质得答案.

1----X--

x1

【解答过程】解:

x-2y一1一咨

111

V2<x<4,A-<-<-,

4x2

又-3VyV-l,A2<-2y<6,

12y

A-<--<3,

2x

则2<1--<4,可得三〈-^―2

2x4x-2y3

故选:B.

【变式4-2]（2021秋•九原区校级期末）若角a,0满足一/VaV0V3,则2a-0的取值范围是（）

3

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