第1章 勾股定理 单元测试卷（含答案）初中数学北师大版（新教材）八年级上册

八年级数学上册第1章勾股定理单元测试卷北师大版（2024）A层（基础训练）1．下列各组数中，是勾股数的是（）A．2，3，5 B．4，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，12．等腰三角形的一腰长为13，底边长为10，则它的面积为（）A．65 B．60 C．120 D．1303．如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙MO上，测得AO＝4m．若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端在水平地面上也恰好外移1m，则梯子AB的长度为（）A．5m B．6m C．3m D．7m4．如图，在水平地面上，有一棵高9m的大树和一棵高4m的小树，两树之间的水平距离是12m．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行m．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．（1）若a＝40，c＝41，则b＝；（2）若c＝13，b＝5，则a＝；（3）若a：b＝3：4，c＝15，则a＝，b＝．6．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且B、C、D三个正方形的边长分别为5、6、10，则正方形A的面积为．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点A恰好落在边BC的中点D处，折痕交边AC于点E，交边AB于点F，求AE的长．8．如图，直线MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路的垂直距离分别为AA1＝20km，BB1＝40km，已知A1B1＝80km．现要在点A1，B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离之和最小．请你确定点P的位置，并求出这个最小距离．9．劳动教育是新时代教育体系中的重要组成部分．如图，△ABC区域是云岩区某学校为劳动课开辟的劳动场地，小路AD将场地分为“水果培育”和“蔬菜种植”两个部分，现用皮尺测量得到AB＝13m，AC＝15m，AD＝12m，BD＝5m．（1）请判断小路AD是否与BC垂直，并说明理由；（2）求劳动场地△ABC的面积．B层（能力提升）10．一个直角三角形的两边长分别是3和7，则第三边长的平方为．11．若△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则△ABC的面积是．12．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，高为8cm，在圆柱的侧面与底面的交点处，过点A和点C嵌有一圈金属丝（点A与点C相对），则这圈金属丝的长度的最小值为．13．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，E是AB的垂直平分线FG上的动点，D是边BC上的动点，则BE+DE的最小值的平方是．C层（思维拓展）14．图1、图2、图3分别是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，BC＝a，AC＝b，AB＝c，其中AB是最长边．（1）如图1，由勾股定理可得a，b，c的数量关系是．（2）如图2，过点B作BD⊥CA于点D，设CD＝x．在Rt△BCD中，BD2＝a2﹣x2；在Rt△BAD中，BD2＝c2﹣（b﹣x）2，∴a2﹣x2＝c2﹣（b﹣x）2．化简，得a2+b2＝c2+2bx．b＞0，x＞0，∴2bx＞0，∴a，b，c的数量关系是．（3）试猜想在钝角三角形中a，b，c的数量关系，并利用图3证明你的猜想．

参考答案A层（基础训练）1．解：根据勾股数需满足两个条件逐项分析判断如下：A选项，∵22+32＝4+9＝13，52＝25，13≠25，∴不是勾股数；B选项，∵42+122＝16+144＝160，132＝169，160≠169，∴不是勾股数；C选项，∵72+242＝49+576＝625＝252，且三个数均为正整数，∴是勾股数；D选项，∵三个数不全是正整数，∴不是勾股数；故选：C．2．解：如图所示：∵等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC于点D，∴BD＝BC＝×10＝5，∴AD＝＝＝12，∴S△ABC＝BC•AD＝×10×12＝60．故选：B．3．解：由题意，得：AC＝BD＝1米，AB＝CD∴OC＝OA﹣AC＝3米，设OB＝x，则OD＝OB+BD＝x+1，在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2，在Rt△COD中，CD＝OC2+OD2，∵AB＝CD，∴OA2+OB2＝OC2+OD2，即：42+x2＝32+（x+1）2，解得：x＝3，∴OB＝3米，∴AB＝＝5（m）．故选：A．4．解：如图，设大树高为AB＝9m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝12m，AE＝AB﹣EB＝9﹣4＝5m，在Rt△AEC中，AC＝＝＝13（m）．故小鸟至少飞行13m，故答案为：13．5．解：根据勾股定理可得：a2+b2＝c2，（1）∵b2＝c2﹣a2＝412﹣402＝81，b＞0，∴b＝9；故答案为：9；（2）∵a2＝c2﹣b2＝132﹣52＝122，a＞0，∴a＝12；故答案为：12；（3）设a＝3x，b＝4x，又∵a2+b2＝c2，c＝15，∴（3x）2+（4x）2＝152，∴x＝3（负值舍去），∴a＝9，b＝12．故答案为：9；12．6．解：设正方形A的面积为x，∵正方形B、C、D的边长分别为5、6、10，∴正方形B、C、D的面积分别为25、36、100，根据图形得：x+25＝100﹣36，解得：x＝39，故答案为：39．7．解：∵BC＝8，将△ABC折叠，使点A恰好落在边BC的中点D处，折痕交边AC于点E，∴DE＝AE，CD＝BD＝BC＝×8＝4，∵∠C＝90°，AC＝6，∴CE2+CD2＝DE2，CE＝6﹣AE，∴（6﹣AE）2+42＝AE2，解得AE＝，∴AE的长是．8．解：如图，延长AA1到D使A1D＝AA1，连接BD交MN于P，则PA+PB的最小值＝BD，过D作DE⊥BB1交BB1于E，∵AA1＝20km，BB1＝40km，A1B1＝80km，∴DE＝80km，BE＝60km，∴BD＝＝100km，∴这个最短距离是100km．9．解：（1）AD与BC垂直，理由：∵AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD为直角三角形且∠ADB＝90°，∴AD与BC垂直；（2）∵AD⊥BC，∴AD2+CD2＝AC2，∴CD＝＝＝9（m），∴S△ABC＝AD•BC＝AD×（BD+CD），∵BD+CD＝5+9＝14（m），∴S△ABC＝（m2）．B层（能力提升）10．解：当第三边是斜边时，则有第三边的平方＝32+72＝58；当第三边是直角边时，则有第三边的平方＝72﹣32＝40．则第三边长的平方为58或40．故答案为：58或40．11．解：已知等式整理得：（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）+（c2﹣10c+25）＝0，即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，解得：a＝3，b＝4，c＝5，∵32+42＝52，∴△ABC为直角三角形．∴△ABC的面积＝×3×4＝6．故答案为：6．12．解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，∴AB＝8cm，BC＝BC′＝6cm，∴AC2＝82+62＝100，∴AC＝10cm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝20cm．故答案为：20cm．13．解：连接AE，∵E是AB的垂直平分线FG上的动点，∴AE＝BE，∴BE+DE的最小值即为AE+DE的最小值，∴当点A，E，D三点共线且AD⊥BC时，AE+DE的值最小，且AE+DE的最小值＝AD，∵AB＝AC＝6，BC＝4，∴BD＝BC＝2，∴AD＝＝4，即BE+DE的最小值的平方是32，故答案为：32．C层（思维拓展）14．解：（1）由勾股定理得，a2+b2＝c2，故答案为：a2+b2＝c2；（2）故答案为a2+b2＞c2；（3）当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2＜c2，证明：如图3，过点A作AH⊥BC