2026新高一数学暑假培优、提高预习

11 22第9节函数y＝Asin(ωx+φ)的图象 33【知识讲解】1.十字相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法.（1）x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)+c(a≠0)能用十字相乘法因式分解的条件是：在式子a1Xc1中，竖向的两个数必须满足=c，在上式中斜向的两个数必须满足a1c2+a2c1=b，分解思路为“拆两边，凑中间”。2.韦达定理：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是Δ≥0.【典型例题】【例1】分解因式1）3x2一11x+10；44x1x2【例6】若方程x2+a2−2)x−3=0的两根是1和-3，则实数a=【例7】设x1,x2是方程2x2−6x+3=0的两根，则x+x的值是()A.15B.12C.6D.3551.形如ax2+bx+c>0(或<0，⩾0，⩽0)(其中a≠0)的不等式称为关于x的一元二次不等式.2.一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系．如下表（以a>0为例判别式Δ=b2-4ac二次函数yyAyAOx1=x2xOAyAyOx一元二次方程ax2有两相异实根有两相等实根没有实根不等式的解集ax22}实数集Rax2x2}⑦⑦66【例1】已知二次函数y=x2一x6，根据其图象解答下列问题：(1)当x取何值时，y=0；(2)当x取何值时，y>0；(3)当x取何值时，y<0；【例2】解下列不等式：（2）x2−4x+4⩽0【例4】不等式−x2−2x+3⩽0的解集为。【例5】解下列不等式：（2）(x−1)(x+2)⩾(x−2)(2x+1)771.分式不等式解法（1）>0f(x).g(x)>0（2）≥0f(x).g(x)≥0且g(x)≠02.绝对值不等式解法（1）绝对值的几何意义：①|x|是指数轴上点x到原点的距离；【例1】不等式的解集为.【例2】不等式的解为.8899【例1】当-2≤x≤2时，求函数y=x2-2x-3的最大值和最小值.【例2】当1≤x≤2时，求函数y=-x2-x+1的最大值和最小值.【例3】当t≤x≤t+1时，求函数x2-x-的最小值（其中t为常数）.（1）当a=-1时，求函数的最大值和最小值；（2）当a为实数时，求函数的最大值.某些确定的不同的对象集在一起称为集合．集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a∈A；若b不是集合A的元素，记作bA；2.集合的性质（指元素确定性，互异性，无序性a.任何一个对象都能确定它是不是某一个集合的元素，这是集合中元素的最基本的特征——确定性，反例：“很小的数”，“个子较高的同学”；b.集合中的任何两个元素都是不同的对象，即在同一集合里不能重复出现相同元素—互异性，事实告诉我c.在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序——无序性.例：集合{a,b,c}与集合{b,c,a}是相同集合3.集合的表示：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法、描述法的具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.4.常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.【例1】在“①难解的题目；②方程x2+1=0在实数集内的的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能组成集合的是()A.②③B.①③C.②④D.①②④【例2】下面有四个命题：（1）集合N中最小的数是1；（2）若-a不属于N，则a属于N；；其中正确命题的个数为()【例3】已知集合S={a,b,c}中的三个元素可构成ΔABC的三条边长，那么ΔABC一定不是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形（1）0______N∗,5______N，16______N（2）−_______Q,π______R,}【例6】已知集合试用列举法表示集合A【例7】用列举法表示集合【例9】下列各选项中的M与P表示同一集合的是()2}、1.集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A记作AB（或AB2.集合相等：构成两个集合的元素完全一样．若AB且B≥A，则称A等于B，记作A=B；3.简单性质：①AA；②ΦA；③若AB，BC，则AC；}之间的区别与联系①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是②⑦与{0}是不同的，⑦中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系(⑦Ü{0}）【例1】若集合X={x|x>-1}，下列关系式中成立的为(){0}Xxx(x-1)>0}，下列结论正确的是()C.PQD.QPxx-b>2}，若AB，则实数a,b必满足()C.a-b≤3D.a-b≥3【例4】设集合则M,N满足什么关系.【例5】若集合M={xx2+x-6=0}，N={x|ax-1=0}，且NM，求实数a的值.，若BA，求实数a的值.求m的取值范围.1.由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．记作A∩B（读作“A交2.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．并集3.补集的概念：①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA，即∁UA={X|X∈U,且xA}，数学符号表示：∁UA={X|X∈U且xA}；A∪∁UA)=U；A∩∁UA)=∅;∁U(∁UA)=A【例4】已知全集U=R，集合M=X|X2−4≤0}xx≤-2或x≥2}2-2x+2,x【例1】已知集合A={x|ax2-3x+2=0}至多有一个元素，则。的取值范围；若至少有一个元素，则。的取值范围.【例2】已知集合A={kx2-8x+16=0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.}（1）若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围.全集为R，若A⊂CRB，则实数m的取值范围是.第s节集合中的公式1.集合的简单性质（3）(A∩B)(AUB);2.子集个数公式设集合A中元素个数为n，则①子集的个数为2n，②真子集的个数为2n-1，③非空真子集的个数为2n-23.容斥原理n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B).、，M={a}，若PUM=P，则a的（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围.【例5】集合A={-1,0,1}，A的子集中，含有元素0的子集共有()【例6】求满足条件{1,2}≤A⊆{1,2,3,4,5}的集合A的个数【例7】50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是()【例8】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参见两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有人、1.全称量词a.定义：短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“丫”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题.为存在量词，再否定它的性质.2.存在量词a.定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常用叫做参在量词，用符号“彐”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题.词变为全称量词，再否定它的性质.3.全称命题与存在性命题的不同的表达方法命题表述方法【例1】判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假.（1）2x+1是整数（x∈R2）对所有的实数x，x>3；（3）对任意一个整数x，2x2+1为奇数；（4）末位是0的整数，可以被2整除；（5）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（6）有的实数是无限不循环小数；（7）有些三角形不是等腰三角形；（8）有的菱形是正方形.【例2】结论“至少有两个解”的否定的正确说法是()A．至少有三个解B．至多有一个解C．至多有两个解D．只有一个解【例3】知命题p:∃x∈R,x2+2ax+a≤0，则命题p的否定是 ；若命题p为假命题，则实数a的取值范围是.xxxx【例5】命题：∀x∈R,x2≥0的否定是.【例6】命题p：存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根，则“非p”和“非q”的形式的命题分别是1.充分条件与必要条件一般的，“若p则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可以推出q．记作：p→q2.充要条件一般的，如果既有p→q，又有q→q，记作pq．此时，说p是q的充分必要条件，简称充要条件.3.充分条件、必要条件、充要条件理解①从逻辑推理关系上看a.若p→q，但q≠>p，则p是q的充分而不必要条件；b.若q→p，且p≠>q，那么p是q的必要不充分条件；c.若p→q，但q→p（或p→q且p→q则p是q的充要条件；d.若p≠>q，且q≠>p，则p既不是q的充分不必要条件.②从集合与集合之间关系看a.若AB，则A是B的充分而不必要条件；b.若A彐B那么A是B的必要条件；d.若A丈B,B丈A，则A既不是B的充分不必要条件.【例1】设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC丄BD”的.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【例2】钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【例5】可以作为“若a,b∈R，则a+b>0”的一个充分而不必要条件的是.【例6】已知a,b,c,d为实数，且c>d、则“a>b”是“a-c>b-d”的.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【例1】已知条件p:x23x4≤0；条件q:x26x+9m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是.A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件（1）求不等式p:x24x+3<0的解集；（2）若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围.【例4】一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是.可以是.2不等式.23.（1）若正数x,y满足x+y=s（和为定值则当x=y时，xy取得最大值是（2）若正数x,y满足xy=p（积为定值则当x=y时，x+y取得最小值是2p【例4】求函数y=12x的取值范围.C.ab有最大值8D.ab有最小值8A.3B.4C.D.【知识讲解】1.在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.2.当题目当中出现等式为“1”时，可以利用乘以1，除以1，代换1的方式进行化简，进而凑成满足均值定理的条件，求出最值.【典型例题】函数f在x=a处取最小值，则a=(C.3【例3】（1）求函数y=x2+的最小值，并求出取得最小值时的x值.的最大值.+y2的最大值为.xy【例8】若A,B,C为ΔABC的三个内角，则的最小值为.【典型例题】【例1】若对任意x>0，恒成立，则a的取值范围是_________.A.05C.-2B.-2D.-3【例4】求函数的最小值.【例5】某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长22度x不得超过5m．房屋正面的造价为400元/m，房屋侧面的造价为150元/m，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造22【典型例题】件.【例5】设x，y，z为正实数，满足x-2y+3z=0，则的最小值是.+-10ac+25c2的最小值是.【知识讲解】1.设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x）,x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x）x∈A}}叫做函数的值域.2.函数概念的理解①A，B都是非空数集，因此定义域（或值域）为空的函数不存在.②B不一定是函数的值域，值域是B的子集.③对应关系、定义域、值域是函数的三要素，定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了.【典型例题】函数关系的有()、【例2】判断以下是否是函数：【例3】函数y=f(x)的图象与直线x=1的公共点数目是.【例4】如下图（1234）四个图象各表示两个变量x,y的对应关系，其中表示y是x的函数关系yy11O111O11yyOO1yyx111x111(3).y1111【例5】下列各组函数中，表示同一函数的是()x2xx2—1【例6】下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，为什么？（4）f(x)=x；g(x)=x2x123f(x)131【例7】已知函数f(x)x123f(x)131x123g(x)321则fg(1)的值是；满足fg(x)>gf(x)的x的值是.【例8】设f、g都是由A到A的函数，其对应法则如下表（从上到下函数f的对应法则是表11234象3421映射g的对应法则是表21234象4312则与fg(1)相同的是.A．gf(1)B．gf(2)C．gf(3)D．gf(4)、【知识讲解】1.有三点要求：①分母不为0；②偶次根号下整体不小于0；2.注意点①自然定义域：若对x未加限制，则使f(x)有意义的集合②复合函数的定义域：f(x)中x的范围，即为f(g(x))中，g(x)的范围，再解x即得结果.③几何问题、实际问题、物理问题等，应注意变量的实际意义.【典型例题】【例1】求下列函数的定义域【例2】求下列函数的定义域【例3】函数f(x)的定义域为(0,1)，求函数f(x2)的定义域;【例4】已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域;【例5】已知函数f(x+1)的定义域为[-2,3]，求f(2x2-2)的定义域.【例6】已知扇形的周长为10，求扇形半径r和面积s的函数关系式s(r)，及此函数的定义域.【例7】已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是.【知识讲解】1.值域定义：函数y=f(x),x∈A，其中集合A是函数的定义域.与x的值对应的y的值称函数值，函数值的集合2.求函数值域的方法无论什么方法一定要注意定义域，可能的话最好结合图象.常用方法：①观察分析法：函数图像已知，从x的范围入手，逐步推导出y的取值范围.③分离常数法：适用于分式形式的函数.例如：y=④均值不等式法：【典型例题】【巩固】求函数的值域.【例3】求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值和最小值【例5】的值域是.函数f的值域是__________.【例7】求函数的最值.【知识讲解】1.解析式：实际上就是函数三要素中对应法则的一种，也是最常用的一种.2.求解析式的方法：1）待定系数法：已知函数f(x)的类型，可以根据类型设出解析式，再确定系数.2）换元法：令t=g(x)求出f(t)的解析式，然后用x换掉等号两边所有的t即可.3）联立方程组法：已知f(x)与fg(x)的关系式，可以用p(x)代替两边所有的x，得到方程组，解的出f(x).4）配凑法【典型例题】【例1】已知fx是一次函数，且满足ffx=4x−3，求fx的解析式.【例2】已知函数f(x)是二次函数，且有f(0)=0，f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x).【例3】已知函数f(x)满足f(3x+1)=9x2-6x+5，求f(x)的解析式.【例4】已知函数f(x)满足，的解析式.【例5】设函数f(x)满足关系式=3x，求f(x).【例6】设函数f(x)满足关系式求f(x)的解析式.【例7】知函数f(x)满足=x2+已知f=x2+2x-的解析式.【知识讲解】1）定义说明：①函数的单调性与定义的区间有关，它是函数的局部性质②因函数的单调性是对区间而言，单独点没有增减变化，所以考虑区间的单调性时，可以不包括端点③初等函数均可分段单调2）函数的单调性与函数的图象之间的关系①f(x)是增（减）函数兮图象自左到右上升（下降）3）确定函数单调区间的常用方法有：①图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间②定义法（取值、作差、变形、定号、下结论【典型例题】例1.设x1，x2∈[a，b]，若>0，则f在区间[a，b]上是函数(填“增”或“减”).例2.若函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减，则下列关系正确的是()A．f(0)>f(3)B．f(－1)>f(1)C．f(0)<f(2)D．f(－1)<f(2)例3.已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则()A．f(1)<c<f(－2)B．c<f(－2)<f(1)C．c>f(1)>f(－2)D．f(1)>c>f(－2)、例4.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，若f(x)<f(2x－3)，则x的取值范围是 .例5.已知函数在定义域[－2，3]上单调递增，则满足f(2x－1)>f(x)的x的取值范围是()例6.下列函数在区间(-∞,0)上为增函数的是()A．y＝1B．yxC．y＝－x2－2x－1D．y＝1＋x2例7.讨论函数f(x)=-x2+2x-3的单调区间例8.试用函数单调性的定义判断函数在区间(0,1)上的单调性.【典型例题】例1.若函数f(x)＝(3a＋2)x－5在R上是增函数，则实数a的取值范围是()例2.函数f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在区间[－2，+∞)上递减，则实数a的取值范围是()A．(-∞,-3]B．[－3，0]C．[－3，0)D．[－2，0]例3.若y＝ax与y在区间(0，+∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在区间(0，+∞)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增例4.函数f在区间(－2，+∞)上是增函数，则a的取值范围是.例5.函数y=在上单调递增，则a的取值范围是().例6.已知函数在(2,+∞)上递增，求实数a的取值范围.例7.若f(x)在区间例7.若f(x)在区间(0，+∞)上是减函数，则f(a2－a＋1)与f例8.已知函数.(1)若f(2)＝f(1)，求a的值；(2)若f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围.【知识讲解】1）奇函数、偶函数的定义说明①一个函数有奇偶性的必要条件是它的定义域关于原点对称.②函数不一定具有奇偶性.③函数的奇偶性是整个定义域上的性质.（整体性质）④注意点：a.常数函数的奇偶性1）f(x)=c(c≠0)→偶函数（2）f(x)=0→奇且偶函数b.判定奇偶性时，灵活应用等价形式，如：f等2）函数的奇、偶性与函数的图像：①函数f(x)是奇函数函数图像关于原点对称；②函数f(x)是偶函数函数图像关于y轴对称.3）判断方法以及常用结论①判断函数的奇偶性，一般有三种方法1）定义法2）图象法3）性质法.【典型例题】例1.下列函数中奇函数的个数为()=x3x5x＋xA．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数例3.函数f的图像关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．原点对称D．直线y＝x对称例4.已知函数f(x)是定义在[1－a，5]上的偶函数，则a的值是()例5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，则f(0)＋f(1)=.例6.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()A3B1例7.已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)=.例8.已知函数＝1－.若g为奇函数，求a的值；例9.函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域，对定义域中任何x，有f(x)+f(-x)=0，A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数例10.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A.f(x)+g(x)是偶函数B.f(x)-g(x)是奇函数C.f(x)+g(x)是偶函数D.f(x)-g(x)是奇函数、【典型例题】例1.若对于任意实数x，都有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(-∞,0]上是增函数，则()例2.若奇函数f(x)在[1，3]上为增函数且有最小值0，则它在[－31]上()A．是减函数，有最大值0B．是减函数，有最小值0C．是增函数，有最大值0D．是增函数，有最小值0例3.已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞)上是减函数，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是A．a≤-2B．a≥2C．a≤-2或a≥2D2≤a≤2例4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞,0)上是增函数．若f(－3)＝0，则<0的解集为 .例5.已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2]，且在区间[-2,0]内递减，求满足：f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围.例6.设f(x)的图像关于原点对称，且在(0,+∞)上是增函数，f(3)=0，则xf(x)<0的解集为.f(3a2+a-3)<f(3a2-2a)，求实数a的取值范围.例8.已知f(x)是定义在R上的奇函数(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上为增函数；若f恒成立，求a的取值范围.第s节抽象函数的单调性和奇偶性【典型例题】例1.已知函数f(x)对于任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，fx<0,求证：f(x)在R上是减函数；例2.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足，且当x>1时，f（1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的单调性；（3）若f(3)=-1，求f(x)在[2,9]上的最小值.例3.已知函数f(x)，当x,y∈R时恒有f(x+y)=f(x)+f(y).①求证：函数f(x)是奇函数；②若f(-3)=a，试用a表示f(24).例4.设函数y=f(x)（x∈R且）对任意非零实数x1,x2，恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，（1）求证：f(1)=f(-1)=0；（2）求证：y=f(x)是偶函数；【知识讲解】3）am.an=am+nnmnnbn【典型例题】例1.化简：2+π=()A．4B．2π-4C．2π-4或4D．4－2π例2.已知am＝4，an＝3，则am－2n的值为()3例3.设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是3A．a2B．a6C．a6D．a2a9)a9)4(636a9)4的结果为a9)4的结果为()例5.化简下列各式（其中各字母均为正数）.例6.计算：【知识讲解】1）指数函数的图像①注意：指数函数底数变化与图像分布规律，在图中：bxxx②特殊函数请画出下列函数的图像：y=2x,y=3xx,y【典型例题】例1.下列函数1）y=3x22）y=4x3）y=32x4）y=3.2x5）y=3x+16）y=—3x其中为指数函数的有()例2.若函数f(x)＝(a－1)x在R上是指数函数，那么实数a的取值范围是()A．a＞0且a≠1B．1＜a＜2C．a＞1且a≠2D．a＞0例3.函数y＝x的图像的大致形状是()例4.例5.函数y＝ax(a>0且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差为，则a=.例6.函数y=ax（a>0，且a≠1）在[0，1]上的最大值与最小值的差为，则a等于()例7.求下列函数的定义域、值域-【典型例题】3434-3434,-,32-14三个数的大小顺序是()AC-13<-14<-13<-14<-13<--B.D.-14<-14<-14<-14<--①abac；②c；③aa；④ba__ca.3例4.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是.例5.求不等式a4x＋5>a2x－1(a>0，且a≠1)中x的取值范围.例6.已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值为14，求a的值.例7.若方程x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是()A．(-∞,1)B．(-∞,-2)C．(－32)D．(－3，0)例8.若函数为奇函数，则实数a=.例9.已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求实数a的值.(2)用定义证明：f(x)在R上是减函数.【知识讲解】2）loga(MN)=logaM+logaN3）loga=logaM-logaN4）恒等式：alogaN=N，loga【典型例题】例1.求下列各式中x的值：例的值是()例3.已知对数式loga－2(5－a)＝b，则实数a的取值范围是()C．(2，3)∪(3，5)D．(2，+∞)例4.计算log2(22)－log(2－1)(3－22)＋eln2的值为()A．a2＋bB．2a＋bC．a＋2bD．a＋b2例6.lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则lg)例7.方程lgx＋lg(x－1)＝1－lg5的根是x＝ 2lg4＋lg9 .1＋2lg0.36＋3lg8例9.(1)[(1－log63)2＋log62·log618]÷lg23－lg9＋1（lg27＋lg8－lg\【知识讲解】1）换底公式：logaN=【典型例题】例1.设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac10，求的值.例3.化简log34.log45.log58.log89的结果是.例4.已知loga1b1=loga2b2=⋯⋯=loganbn=λ求证：loga1a2⋯an(b1b2⋯bn)=λ145【知识讲解】值域为实数集R.2．对数函数的图象和性质：一般地，对数函数y=logax(a>0且a≠1）的图象和性质如下表所示：yOOy=logax(0<a<1)yAy=logax(a>1)·OO定义域值域R性质（2）在(0,+∞)上是增函数.【典型例题】1．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，x，x>1，则A∩B=2．函数y＝loga(2x－3)＋1的图像恒过定点P,则点P的坐标是()，－4．已知f(x)为R上的增函数，且f(log2x)>f(1)，则x的取值范围为()A．(2，+∞)B．0，C.，2D．(0，1)∪(2，+∞)5．函数f(x)＝log2(1－x)的图像为()6．已知x＝20.5，y＝log52，z＝log50.7，则x，y，z的大小关系为()A．x<y<zB．z<x<yC．z<y<xD．y<z<xA．1<n<mC．n<m<1、logam<logan<0，则()B．1<m<nD．m<n<1132=.________9．已知对数函数f(x)的图像过点P(8，3)，则132=.________1．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2014)＝9，则f(x)＋f(x2)+ⅆ+f(x20142)的值等于.2．判断函数＝log2的奇偶性.3．已知函数f(x)＝lg(3x－3).(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)设函数h(x)＝f(x)－lg(3x＋3)，若不等式h(x)>t无解，求实数t的取值范围.4．设函数x≥2，若f(x0)>1，则x0的取值范围是.5．已知实数x满足－3≤log求函数og2xog2x的值域.23的大小：.0.9，则a,b,c的大小关系是().5.下列大小关系正确的是().A.0.433a=f(log47),b=f(log13),c=f(0.2—0.6)，则a,2-，则9.已知定义在R上的函数f(x)=2x-m-1（m为实数）为偶函数，记=f(2m)则a,b,c的大小关系为偶函数：y=ax+a−x、、y=logaamx+1奇函数：y=ax−a−x、y=loga、y=loga1.设函数f(x)=ex+ae—x(a为常数)，若f(x)为奇函数,则a=______2.已知函数=3xx，则fA．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数3.下列函数为奇函数的是4.设函数f(x)=x(ex+ae—x)(x∈R)是偶函数，则实数a=.5.若函数=xln为偶函数，则a=6.已知函数+1，则f8.若是奇函数，则a=________.9.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1).若g(2)＝a，则f(2)＝()【知识讲解】1．五种幂函数的图象2．五种幂函数的性质特征性质y=x2y＝xy=x3y＝x2y＝x－1定义域RRR[0，+∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，+∞)R[0，+∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶非奇非偶奇单调性增当x∈[0，+∞)时，增；当x∈(-∞,0]时，减增当x∈(0，+∞)时，减；当x∈(-∞,0)时，减【典型例题】1．下列函数是幂函数的是()A．y＝xxB．y＝3x2．若函数f(x)＝(2m＋3)xm2－3是幂函数，则实数m的值为()A1B．03．已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点3，则f的值为()A.B.C.D．24．下列函数中既是偶函数，又在(0，+∞)上单调递增的是()A．y＝xB．y＝－x2C．y＝2xD．y＝|x|5．函数y＝x图像的大致形状是()6．幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8在(0，+∞)上为减函数，则m的值为()7．如图L2-3-2所示，曲线C1，C2，C3，C4是幂函数y＝xα在第一象限内的图像，已知α分别取±12四个值，对应于曲线C1，C2，C3，C4的α分别为()A11，2B．2，11C.，1，218．由幂函数的图像可知，使x3－x2>0成立的x的取值范围是.10．已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点2，2，则k+α=.11．已知f为幂函数，若F(x)＝f(x)＋g(x)的图像过点A(1，2)和B2则F(x)=.12．(12分)已知函数f(x)＝(a2－a＋1)xa＋1为幂函数，且为奇函数.(1)求a的值；0，1(2)求函数g(x)＝f(x)＋[f(x)]2在L20，113．(13分)已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈N)，满足f(2)<f(3).(1)求k的值与f(x)的解析式；(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在m，使得函数g(x)＝f(x)－2x＋m在[0，2]上的值域为[2，3]，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.14.在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的图象可能是()15.下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是() 1 1 16.已知函数若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 .17.幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）、设点A(1,0),B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA.那么，αβ=()C.3D.无法确定、1．函数f＝lgx＋的零点是()3．设函数x≤0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则函数g(x)＝f(x)－x的零点个数为()4．讨论函数f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零点.5．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的零点.1．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上的零点()A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有1x－22．设函数y＝x3与y＝2的图像的交点坐标为(x0，y0)，则x0所在的区间是()3．设函数x－lnx则下列说法中正确的是()r1r1r1r1A．fr1r1r1r1B．f(x)在区间le，C．f(x)在区间le，D．f(x)在区间le，11、1内有零点，在(1，e)内无零点1内无零点，在(1，e)内有零点4．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1，0)内有实数根；③在(1，2)内有实数根；④在(-∞,+∞)内没有实数根.其中正确的有．(填序号)5.已知函数-log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()、间()A.C.1．方程3x＝x＋2解的个数是.2．已知函数f(x)＝x＋log2x，则f(x)在l，2」内的零点的个数是.3．已知函数若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是 .4.函数f(x)=2x+x32在区间(0,1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.35.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)=x3—x，则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A.6B.76.函数f的零点个数是________.7、函数f(x)=2xlog0.5x-1的零点个数为()C.3D.41.已知函数＝|lnx|，g4|－2，0则方程f|(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________.2.定义域为R的偶函数f(x)满足对∀x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当x∈[2，3]时，f(x)＝－2x2＋12x-18.若函数y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，+∞)上至少有三个零点，则a的取值范围是()32 6632 665A.B.C.D.53.已知函数则下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是()B．当k>0时，有4个零点；当k<0时，有1个零点C．无论k为何值，均有2个零点D．无论k为何值，均有4个零点4.已知f且函数y＝f(x)＋ax恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是.第s节二分法求方程近似解1．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为()2．下列函数中，不能用二分法求零点的是()3．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间(an，bn)内，当|an－bn|<ε时，函数的近似零点与真正的零点的误差不超过()4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根所在区间为()A．(1，1.25)B．(1.25，1.5)C．(1.5，2)D．不能确定、5．函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为()A．1.2B．1.3C．1.4D．1.56．已知f(x)的一个零点x0∈(2，3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为()7．已知函数f(x)在区间[1，3]上连续不断，且f(1)f(2)f(3)<0，则下列说法正确的是()A．函数f(x)在区间[1，2]或者[2，3]上有一个零点B．函数f(x)在区间[1，2]、[2，3]上各有一个零点C．函数f(x)在区间[1，3]上最多有2015个零点D．函数f(x)在区间[1，3]可能有2014个零点8．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是 .9．已知方程mx2－x－1＝0在区间(0，1)内恰有一解，则实数m的取值范围是.10．用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次经过计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零11．“二分法”是求无理数的近似值的一个有效方法，用这个方法求17的近似值时，构造的函数是 ,选定的初始区间是(答案不唯一，写出一个即可).12．求函数y＝2x＋3x－7的近似零点．(精确度为0.1)1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A．一次函数模型B．二次函数模型C．指数型函数模型D．对数型函数模型2．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图像大致为()3．某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产．如外购，每个价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点是()A．1000件B．1200件C．1400件D．1600件4．将进货单价为8元的商品按10元一个零售，每天能卖出100个，若这种商品的销售价每涨1元，销量就减少10个，为了获取最大利润，这种商品的零售价格应定为每个()5．某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是()A．y＝100xB．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100x6．在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，则x与y的函数关系式为()7．已知当x≥0时，函数y＝x2与函数y＝2x的图像如图L3-2-2所示，则当x≤0时，不等式2x·x2≥1的解集是()A．[－4，－2]B．[2，4]C．[－2，2]D．[－4，2]8．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是.、9．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2013年以180万的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2023年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是.10．某药品经过两次降价，每瓶的零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设为x，为求两次降价的百分率，则列出的方程为.11．如图L3-2-3所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图像．有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于；②每月减少的有害物质量都相等；③若残留量为时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中所有正确叙述的序号是.12．复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法．某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息.(1)写出x年后，需要还款总数y(单位：万元)和x(单位：年)之间的函数关系式；(2)计算5年后的还款总额(精确到元)；(3)如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款x元，分5次还清，求每次还款的金额x(精确到元).(参考数据：1.073≈1.2250，1.074≈1.3108，1.075≈1.402551，1.076≈1.500730)13．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图L3-2-4所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点14．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A．200副B．400副C．60015．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是()16．一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减，则这种放射性元素的半衰期为(注：剩留量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)(精确到0.1.已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)()A．5.2B．6.6C．7.1D．8.317．某种生物增长的数量y与时间x的关系如下表：x123…y138…下面的函数关系式中，能表达这种关系的是()A．y＝x2－1B．y＝2x－1C．y＝2x－1D．y＝1.5x2－2.5x＋218．某商场在国庆促销期间规定，商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额(元)的范围[200，400)[400，500)[500，700)[700，900)…获得奖券的金额(元)3060…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110(元)．若顾客购买一件标价为1000元的商品，则所能得到的优惠额为()A．130元B．330元C．360元D．800元19．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，解析式是()20．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格为元.21．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2000·ln1＋.当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒.22．地震的等级是用里氏震级M表示，其计算公式为M＝lgA－lgA0，其中A是地震时的最大振幅，A0是“标准地震的振幅”(使用标准地震振幅是为了修正测量中的误差)．一般5级地震的震感已比较明显，某地区发生的大地震的震级是8级，则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.23．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中室内每立方米空气中1t－a的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比．药物释