2026年新高一数学暑假衔接专题《基本不等式》

预备新高一预备新高一数学专题09基本不等式一．选择题（共10小题）1．（2025秋•银川期末）已知，则的最小值为（）A．0 B．2 C．6 D．82．（2026•河西区模拟）已知，，且，则的最大值为（）A．1 B． C． D．3．（2026•杭锦后旗模拟）设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通规定车厢宽为，则车厢的最大容积是（）A． B． C． D．4．（2026春•香坊区月考）已知，，且，则的最小值为（）A． B．5 C．4 D．35．（2026春•信阳期中）的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．56．（2026•济南模拟）已知，，且，则的最小值为（）A． B．2 C． D．37．（2026•河南模拟）若，则的最小值为（）A．3 B．6 C．9 D．128．（2026•宣威市模拟）设，，且，则的最小值为（）A．8 B． C．10 D．9．（2026•武邑县模拟）已知正实数，满足，则的最小值为（）A．1 B． C． D．210．（2026•天津）设，则的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．6二．多选题（共4小题）（多选）11．（2026•模拟）下列说法正确的有（）A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是2 D．的最小值是4（多选）12．（2026春•方城县期末）下列命题中正确的是A．的最小值是2 B．当时，的最小值是4 C．当时，的最大值是5 D．若正数，满足，则的最小值为3（多选）13．（2026春•让胡路区期中）设正实数，满足，则（）A．有最大值4 B．有最大值 C．有最大值 D．有最大值（多选）14．（2026春•朝阳区月考）设，，下列说法正确的是（）A．若，则的最小值为1 B．恒成立 C．，恒成立 D．若，，且，则三．填空题（共4小题）15．（2025秋•天津期末）已知，，若，则的最大值为．16．（2026•涪城区模拟）若，，且，则的最小值为；17．（2026春•南京期末）若正实数，满足，则的最大值是．18．（2026春•深圳期中）已知，是正实数，且满足，则的最小值是．四．解答题（共6小题）19．（2025秋•广东期末）已知，，．（1）求的最大值；（2）求的最小值．20．（2026春•望都县期中）已知，均为正数，．（1）求的最小值；（2）求的最小值；（3）求的最小值．21．（2025秋•晋城期末）（1）已知，求的最小值；（2）求的最大值．22．（2025秋•白银期末）已知．（1）求的最大值；（2）求的最小值．23．（2025秋•共和县期末）已知，，且．（1）求的最大值；（2）求的最小值．24．（2025秋•黔南州期末）（1）已知，求的最小值；（2）已知，且，求的最小值．一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DCBCCDCDCB二．多选题（共4小题）题号11121314答案BDBCDBCBCD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为，则，当且仅当，即时取等号．故选：．2．【答案】【分析】直接利用基本不等式求解即可．【解答】解：，，且，由基本不等式得到，即，当且仅当，即时，等号成立．的最大值为．故选：．3．【答案】【分析】设长方体长为，高为，依题意，可求得，利用基本不等式可求得，从而可得车厢的最大容积．【解答】解：设长方体长为，高为，则有，即，，即，解得，，．车厢的最大容积是．故选：．4．【答案】【分析】结合基本不等式即可求解．【解答】解：，，且，则，当且仅当时取等号．故选：．5．【答案】【分析】根据基本不等式求解即可．【解答】解：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时所求最小值为4．故选：．6．【答案】【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为，，且，由均值不等式可得，，当且仅当取等．故选：．7．【答案】【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解．【解答】解：因为，所以，，当，即时，等号成立，则的最小值为9．故选：．8．【答案】【分析】先通过已知条件用表示，再将目标函数转化为关于的表达式，换元后利用基本不等式求最小值．【解答】解：由，及，得，且．目标函数可化为：令，则，代入得：由基本不等式，，当且仅当即时取等号．故，即最小值为．故选：．9．【答案】【分析】先根据条件，变形为，然后用常数代换思想，利用均值不等式求解最小值．【解答】解：已知，则，，当且仅当时，即时取等号，所以最小值为．故选：．10．【答案】【分析】展开算式，然后根据基本不等式求解最值即可．【解答】解：，当且仅当时，等号成立，，符合题意．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据基本不等式逐项判断．【解答】解：对，当时，错误；对，，，则，，当且仅当，即时取等号，正确；对，，当且仅当，即时等号成立，但无实数解，因此错误；对，，，，当且仅当时取等号，正确．故选：．12．【答案】【分析】利用基本不等式，并结合其取等条件依次判断各个选项即可．【解答】解：对于，，当且仅当取等号，显然取等条件不成立，错误；对于，当时，，，当且仅当，即时取等号，正确；对于，当时，，当且仅当，即时取等号，正确；对于，，，，，当且仅当，即时取等号，正确．故选：．13．【答案】【分析】结合的条件，利用基本不等式并明确等号成立条件，分析各代数式的最值，逐一验证选项的正确性．【解答】解：由正实数，满足，分析各选项：分析选项，由基本不等式得，等号成立当且仅当即，故，无最大值，错误．分析选项：由基本不等式得，等号成立当且仅当，故有最大值，正确．分析选项，由（等号成立当且仅当，得，故，等号成立当且仅当，正确．分析选项，由（等号成立当且仅当，得，无最大值，错误．故选：．14．【答案】【分析】根据不等式的性质逐项判断即可．【解答】解：，则，当且仅当时取等号，故错误；，故正确；当时，，故正确；，，且，可得，即，解得，正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】．【分析】根据基本不等式求解即可．【解答】解：因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以，故的最大值为．故答案为：．16．【分析】根据题意，分析可得，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，，，且，则，当且仅当时等号成立，则的最小值为8；故答案为：8．17．【答案】．【分析】利用基本不等式即可求最大值．【解答】解：因为正实数，满足，则由基本不等式可得，当且仅当取等号，所以的最大值是．故答案为：．18．【答案】2．【分析】根据条件，由，结合基本不等式求解即可．【解答】解：因为，是正实数，且满足，则，当且仅当且，即，时取等号，所以的最小值为2．故答案为：2．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）4；（2）．【分析】（1）根据基本不等式，即可求得答案．（2）根据基本不等式“1”的代换，即可求得答案．【解答】解：（1）因为，，所以，解得，当且仅当时取等号，所以的最大值为4．（2）因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．20．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由条件等式通分结合基本不等式即可求解；（2）由基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解；（3）由重要不等式结合（1）即可计算求解．【解答】解：（1）因为，均为正数，，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为；（2）由题可得，当且仅当时等号成立，的最小值为；（3）由（1）得，当且仅当时等号成立，所以的最小值．21．【答案】（1）7；（2）．【分析】（1）根据基本不等式求解即可．（2）求出的范围，结合基本不等式求解即可．【解答】解：（1）因为，，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值是7．（2）由题意知，解得，所以，当且仅当，即时取得等号，所以的最大值是．22．【答案】（1）；（2）12．【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；（2）利用“1”的代换，化简得到，展开后再利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）已知，根据基本不等式可得，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为；（2）因为，所以，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最小值为12．23．【答案】（1）．（2）5．【分析】（1）利用基本不等式直接求解的最大值；（2）通过“1的代换”结合基本不等式求解分式和的最小值．【解答】解：（1）因为，，所以，．由基本不等式，且，得：．当且仅当时等号成立，结合，解得，（满足，．故的最大值为．（2）由得，且，故．将变形为：由基本不等式，，当且仅当即时等号成立．结合，解得，（满足，，此时．故的最小值为5．24．【答案】（1）；（2）4．【分析】（1）应用基本不等式计算求解；（2）化简应用常值代换结合基本不等式计算求解．【解答】解：（1），．当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为．（2），，．当且仅当，且，即且时，等号成立，因此的最小值为4．

预备新高一预备新高一数学专题09基本不等式1．掌握重要不等式与基本不等式的公式形式、推导逻辑及适用条件．2．牢记基本不等式“一正、二定、三相等”核心使用准则及取等条件．3．熟练运用基本不等式完成大小比较、最值求解、不等式证明等基础题型．4．掌握基本不等式的实际应用、恒成立与能成立问题、综合难点题型的解题思路．一、重要不等式1．公式形式：对任意实数a,b，恒有．2．取等条件：当且仅当时，等号成立．3．适用范围：无正负限制，全体实数均可使用，是基本不等式的推导基础．4．核心变形：，常用于整式不等式放缩．二、基本不等式（均值不等式）1．公式形式：若，则．2．文字定义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．取等条件：当且仅当时，等号成立．4．核心准则：一正、二定、三相等，是使用基本不等式的必要前提，缺一不可．三、三大使用准则深度解读1．一正：参与运算的两个代数式必须均为正数，负数、零均不能直接套用公式，负数需变号转化后再使用．2．二定：求和的最小值需保证两式积为定值，求积的最大值需保证两式和为定值，无定值无法直接求解最值．3．三相等：在变量取值范围内，必须能取到，若无法取等，仅可比较大小，不能求取最值．四、基本不等式常用变形公式（）1．和式变形：（积定求和最小）．2．积式变形：（和定求积最大）．3．均值链式关系：．五、高频易错点汇总1．忽略“正数”前提，直接对负数代数式使用基本不等式，导致结论错误．2．无和定、积定条件强行求最值，违背基本不等式核心使用规则．3．忽略取值范围限制，无法取等却直接套用最值公式，导致最值取不到．4．多次使用基本不等式时，前后取等条件冲突，无法同时成立．题型01基本不等式的辨析应用1．核心辨析维度：围绕“一正、二定、三相等”三大条件逐一验证，判定能否使用基本不等式．2．一正辨析：优先判断参与运算的代数式正负，含负、含零均不可直接套用，需通过变形、提负号转化为正数形式．3．二定辨析：观察两式和或积是否为固定常数，无定值则不能直接求最值，仅可用于大小比较，需通过配凑、拆分构造定值．4．三相等辨析：假设两式相等求解变量，验证解是否在题干取值范围内，超出范围则无法取等，不可求取最值．5．解题作用：规避基本不等式的基础使用陷阱，是所有衍生题型的解题前提，适配选择填空辨析题．学以致用学以致用【例1】（2023秋•苏州期中）下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．的最小值为【答案】【分析】举出反例检验选项，；结合基本不等式检验选项；结合对勾函数单调性检验选项．【解答】解：当时，显然错误；当，时，显然错误；因为，当且仅当时取等号，正确；令，则时，则在，上单调递增，故，即时，函数取得最小值，正确．故选：．【例2】（2024秋•安徽期中）下列说法中，正确的是（）A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立【答案】【分析】：举反例即可判断；：利用基本不等式化简即可判断；：利用恒成立思想化简即可判断求解．【解答】解：：当，，，时，，故错误；：当，则，当且仅当时取等号，此时的最大值为，故错误；：当时，，故错误；：因为任意，，满足恒成立，则，当且仅当时取等号，故正确．故选：．【例3】（2024秋•驻马店月考）给出下面三个推导过程：①因为，为正实数，所以；②因为，，所以；③因为，，，所以．其中正确的推导为（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】【分析】利用基本不等式的运算性质对①②③逐个分析可得答案．【解答】解：①因为，为正实数，所以（当且仅当时取等号），故①正确；②因为，，所以不成立，例如时，，故②错误；③因为，，，所以成立，故③正确．故选：．题型02利用基本不等式比较大小1．正数代数式比较：对于任意两个正数，可直接利用算术平均与几何平均的大小关系，快速判定代数式大小，无需作差、作商运算．2．多均值大小比较：依托均值链式不等式，可直接判定调和平均、几何平均、算术平均、平方平均的固定大小顺序．3．含负代数式比较：负数代数式不可直接套用公式，需提取负号转化为正数，利用基本不等式比较后再反向还原大小关系．4．综合比较技巧：结合不等式传递性，叠加多组均值结论，快速判定复杂代数式的大小关系．5．解题作用：简化大小比较流程，替代繁琐的作差配方，快速秒杀正数代数式大小比较题型．学以致用学以致用【例4】已知，，则，之间的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】【分析】利用基本不等式的性质求出的取值范围，再作判断．【解答】解：因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以．故选：．【例5】（2021秋•同步）若，则与的大小关系是．【答案】．【分析】依据条件及基本不等式的性质即可得到结论．【解答】解：，，，当且仅当时取等号．故答案为：．【例6】（2022秋•武功县期中）已知，，为互不相等的实数，，，则与的大小关系为．【答案】．【分析】根据条件可得出，根据基本不等式得出，然后作差即可得出，的大小关系．【解答】解：，为互不相等的实数，，且，，．故答案为：．题型03利用基本不等式求最值1．积定求和最小值：若两个正数代数式乘积为定值，可利用，当且仅当两式相等时，和取得最小值．2．和定求积最大值：若两个正数代数式和为定值，可利用，当且仅当两式相等时，积取得最大值．3．无定值配凑最值：对于和、积均非定值的式子，通过拆分、添项、减项、凑分母等配凑技巧，构造和定或积定模型，再套用公式求最值．4．核心要求：所有最值求解必须严格验证三相等条件，无法取等时需改用函数单调性求解最值．5．解题作用：本节核心基础题型，是后续值域、参数问题的核心解题工具．学以致用学以致用【例7】（2026•邵阳学业考试）若正数，满足，则的最小值为（）A．2 B． C． D．3【答案】【分析】由，对进行化简，再结合不等式，即可求解．【解答】解：已知正数，满足，则，，，所以，当且仅当，即时等号成立，即取得最小值3．故选：．【例8】（2025秋•许昌期末）设，则函数的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】【分析】直接利用均值不等式求解和的最小值即可；【解答】解：因为，所以，当且仅当时，即时等号成立．故选：．【例9】（2026春•遵义期中）已知，，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】【分析】利用定值拆分分式构造可使用基本不等式的两项，结合均值不等式求最小值并验证等号可取条件．【解答】解：由得，代入目标式，，等号成立条件：，联立，解得，满足，．故选：．题型04基本不等式在生活中的应用1．解题通用流程：根据实际问题设正数变量（长度、面积、成本、产量等），结合题干约束条件，确定和定或积定关系．2．常见模型：固定面积求最小周长、固定用料长度求最大面积、固定成本求最大产量、固定产量求最低成本等最优解问题．3．条件适配：实际变量天然为正数，自动满足“一正”条件，只需验证二定、三相等即可求解最优最值．4．收尾要点：求出变量取值后，需还原实际问题场景，检验结果是否符合实际意义，舍去不合理取值．5．解题作用：对接实际应用题型，解决生活中的最优方案、最值优化类问题．学以致用学以致用【例10】（2026春•石景山区校级期中）湖北新冶钢有限公司（简称为“新冶钢”是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称．该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，则该台机器购买若干年后的年平均利润最大值是万元．A．8 B．10 C．12 D．14【答案】【分析】根据题意先求出每年的盈利表达式，再计算年累计盈利及平均年盈利，最后运用基本不等式求解即可．【解答】解：第年盈利为：．年后的盈利，令，则，解得．设该台机器购买年后的年平均利润为万元，则，当且仅当时取“”，该台机器购买8年后的年平均利润最大是12．故选：．【例11】（2025秋•黄骅市期末）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速．当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（）A．110 B．116 C．119 D．122【答案】【分析】利用基本不等式求解即可．【解答】解：当时，，当且仅当，即时，等号成立，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116．故选：．【例12】（2025秋•兴城市期末）“守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）．（1）要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围；（2）设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值．【答案】（1），；（2）设备占地面积为25平方米时，的值最小，最小值为11万元．【分析】（1）由题意得，解不等式即可；（2）将变形为，再利用基本不等式即可求解．【解答】解：（1）由题意得，令，即，，整理得，即，解得，所以设备占地面积的取值范围为，；（2），当且仅当，即，时等号成立，所以设备占地面积为25平方米时，的值最小，且最小值为11万元．题型05基本不等式中的恒成立问题1．恒成立核心转化规则：不等式恒成立问题等价于参数与代数式最值的大小关系，核心是求出代数式最值．2．参数大于式恒成立：在定义域内恒成立，等价于．3．参数小于式恒成立：在定义域内恒成立，等价于．4．解题步骤：先用基本不等式求解代数式最值，再转化为参数的不等关系，求解参数取值范围．5．易错提醒：必须保证最值可取，若最值取不到，需严格调整参数边界范围．学以致用学以致用【例13】（2025秋•宁波校级期末）已知，且．若恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】【分析】由已知等式可得，由，利用基本不等式可求得，根据恒成立的思想可得，解不等式即可求得结果．【解答】解：由，，得：，，当且仅当，时取等号，恒成立，，解得：，即实数的取值范围为．故选：．【例14】（2025秋•金凤区校级期末）正数，满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】先通过“1的代换”结合基本不等式求出的最小值，再将恒成立不等式转化为与二次函数最值的关系，求出的取值范围．【解答】解：因正数，满足，故由基本不等式，，因此，当且仅当且时取等号，解得，．不等式对任意实数恒成立，等价于对任意恒成立，整理得．将配方为，其最大值为10（当时取得），故．故选：．【例15】（2026•定安县模拟）已知正数，满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．，， B．，， C． D．【答案】【分析】由基本不等式乘“1”法，求得的最小值，进而可求解．【解答】解：不等式恒成立，即，，即，，，，，，，，当且仅当，即，时等号成立，取得最小值为8，，即，解得．故选：．题型06基本不等式中的能成立问题1．能成立核心逻辑：存在定义域内的变量满足不等式即可，无需全域成立，取值约束比恒成立更宽松．2．参数大于式能成立：能成立，等价于，只需大于式子最小值即可存在解．3．参数小于式能成立：能成立，等价于，只需小于式子最大值即可存在解．4．解题关键：区分恒成立与能成立的最值差异，避免参数范围求解混淆出错．5．解题作用：解决含参数存在性问题，是月考、期末高频重难点题型．学以致用学以致用【例16】（2026春•临河区校级期中）若存在，，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（）A． B．，， C． D．，，【答案】【分析】由已知结合基本不等式及不等式成立由最值关系的转化即可求解．【解答】解：因为能成立，所以．又因为，，，所以．所以，当且仅当，即，时等号成立，所以，即，所以或．故选：．【例17】（2025秋•遵义月考）若存在，，且．使不等式能成立，则实数的取值范围是（）A． B． C．，， D．，，【答案】【分析】结合乘1法及基本不等式先求出的最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解．【解答】解：当，，且时，，则，当且仅当，即，时取等号，若存在，，使不等式能成立，则，解得或．故选：．【例18】（2024秋•东湖区校级期中）存在，，使得不等式能成立，则的最小值等于（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】【分析】依题意可将化为，利用基本不等式即可得到答案．【解答】解：因为，，所以，存在，，使得不等式能成立，又，当且仅当，即时取等号，因为存在，，使得不等式能成立，所以．所以的最小值等于9．故选：．题型07利用基本不等式证明不等式1．基础证明思路：结合基本不等式及变形公式，对不等式一侧的代数式进行放缩，逐步推导得出目标不等关系．2．多式叠加证明：对于多变量不等式，多次套用基本不等式，统一放缩方向（全部放大或全部缩小），叠加化简完成证明．3．取等条件验证：多次放缩证明时，需保证所有取等条件可以同时成立，避免条件冲突导致证明失效．4．适配场景：适用于正数整式、分式不等式的简单证明，规避复杂的作差配方运算．5．解题作用：掌握不等式放缩核心思维，适配解答题基础证明题型．学以致用学以致用【例19】（2025秋•大同期末）设，，均为正数，且．（1）求的最小值；（2）证明：．【答案】（1）．（2）详见解答过程．【分析】（1）由已知结合乘1法及基本不等式即可求解；（2）法一：证明：由柯西不等式即可直接证明，法二：结合分析法，要证明，只需证明，只需证明，只需证明，然后结合基本不等式即可求证．【解答】解：（1），均为正数，且，，当且仅当，