2001年全国高中数学联赛试题及答案详解

二○○一年全国高中数学联赛（10月4日上午8：00—9：40）三题号一加试二合计总成绩131415得分评卷人复核人学生注意：1、本试卷共有三大题（15150分。2、用圆珠笔或钢笔作答。3、解题书写不要超过装订线。4、不能使用计算器。1、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或0分。1、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为（A）1（B）2（C）4（D）不确定5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ＋ａｘ＋ａｘ＋…＋ａｘ2000，2000０１２２则ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋…＋ａ的值为（（C）3999０3691998（B）3666（A）3333（D）3200166枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（（A）2枝玫瑰价格高C）价格相同（B）3枝康乃馨价格高（D）不确定（二、填空题（本题满分54分，每小题9分）789．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．3、若复数z,z满足|z|=2,|z|=3,3z-2z=-I,则zz=。121212122ABCD—ABCD的棱长为1AC与BD的距离是1111。1111310、不等式2的解集为。log1x2211、函数yxx2x的值域为32。x22y2(a为正常数)与C:y=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。114、设曲线C1:2a一、求实数m的取值范围（用a1一、O为原点，若C与x轴的负半轴交于点A，当0<a<时，试求⊿OAP12大值（用a15、用电阻值分别为a、a>a>a>a>a>a）的电阻组装成一个如图的123456123456组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题10月4日上午10：00—12：00）（学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。、用圆珠笔或钢笔作答。234、解题书写不要超过装订线。、不能使用计算器。50分）如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点50分）nkjn2设xi≥0(I=1,2,3,…,n)且xi2xxjk1，求xi的最大值与最小值。i1kjni150分）将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一．选择题：CBDDCA2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．以上三个命题中正确的有（Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个【答案】B解析】由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确．对于命题2和命【题离相等的点．因此，本题只有命题1正确，选Ｂ．4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范围是（Ａ．k83Ｂ．0＜ｋ≤12Ｃ．ｋ≥12Ｄ．0＜ｋ≤12或k83【答案】D这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问【题，由课本结论知，应选结论Ｄ．说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除Ａ、Ｂ、Ｃ．5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ＋ａｘ＋ａｘ＋…＋ａｘ2000，１2000０２２则ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋…＋ａ的值为（０3691998Ｃ．3999ꢀＡ．3333ꢀＢ．3666ꢀＤ．32001【答案】C66枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（Ａ．2枝玫瑰价格高Ｃ．价格相同Ｂ．3枝康乃馨价格高Ｄ．不确定【答案】A二．填空题2330137213671．8．i9．363270．(0,1)2)(4,)11．)[2,)12．73227．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．【答案】23ꢀ38满足｜ｚ｜＝2，｜ｚ｜＝3，3ｚ－2ｚ１２１３１２１·ｚ２＝______________．ꢀ【答案】3072i1313ｓｉｎ（α＋β）＝12／13，ｃｏｓ（α＋β）＝－5／13．故ｚ·ｚ＝6［ｃｏｓ（α＋β）＋ｉｓｉｎ（α＋β）］＝－（30／13）＋（72／13）１２ｉ．说明：本题也可以利用复数的几何意义解．ꢀ10．不等式｜（1／ｌｏｇｘ）＋2｜＞3／2的解集为______________．／21【答案】ｘ＞4，或1＜ｘ＜22／7，或0＜ｘ＜1．ꢀ【从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得ｌｏｇｘ＜－2，或－2／7＜ｌ／21ｏｇｘ＜0，或ｌｏｇｘ＞0．从而ｘ＞4，或1＜ｘ＜22／7，或0＜ｘ＜1．／21／21ꢀ11．函数ｙ＝ｘ＋的值域为______________．【答案】［1，3／2）∪［2，＋∞）．解析】先平方去掉根号．【由题设得（ｙ－ｘ）２＝ｘ２－3ｘ＋2，则ｘ＝（ｙ２－2）／（2ｙ－3）．由ｙ≥ｘ，得ｙ≥（ｙ２－2）／（2ｙ－3）．解得1≤ｙ＜3／2，或ｙ≥2．由于能达到下界0，所以函数的值域为［1，3／2）∪［2，＋∞）．1≤ｙ＜3／2或ｙ≥2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要．（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试．1相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有______________种栽种方案．【答案】732【解析】间隔三块Ａ、Ｃ、Ｅ种植植物的种数，分以下三类．ꢀ三．解答题1设所求公差为d，∵a＜a，∴d＞0．由此得12a2(a2d)2(ad)4化简得：2a24add20111112xy211(1)由a2消去y得：x2a2xa2ma2220①y22(xm)设f(x)x22a2x2a2ma2，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．只需讨论以下三种情况：a211°△＝0得：mxp＝－a220＜a＜1时适合；223°f(a)f(－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；°f(－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合．f(a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a．a21综上可知，当0＜a＜1时，m或－a＜m≤a；2当a≥1时，－a＜m＜a．1设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为R，当R＝a，i＝3，4，5，6，R、FGii1R是a、a的任意排列时，R最小212FG证明如下：1111．设当两个电阻R并联时，所得组件阻值为．故交换二电阻12R1R2的位置，不改变R值，且当R或R变小时，R也减小，因此不妨取R＞R．12122．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为1R2R3RRRRRR121323RRABAB1R21R2显然R＋RR最小必须取R为所取三个电阻中阻值最小的—ABAB123个．4°对于图3把由R、R、R组成的组件用等效电阻R代替．要使R最小，由3°必需使AB123R＜R；且由1°应使R最小．由2°知要使R最小，必需使R＜R，且应使R最小．CECECD6554而由3°，要使R最小，应使R＜R＜R且R＜R＜R，CD432431这就说明，要证结论成立2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系，aabca设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则k,kABACca∴直线AC的方程为y(xc)，直线BE的方程为y(xb)ccy(xb)a2cbc2ac2abca由得E点坐标为E(,)aa2c2a2c2y(xc)ca2bb2cab2abc同理可得F(,)a2b2a2b2acc直线AC的垂直平分线方程为y(x)2a2bc直线BC的垂直平分线方程为x2accy(x)bcbca22bca2由得O(,)22ax2bca2bca2ab2abcabac2akOB,kDFbcacaba2bb2ca2bcb2∵kOBkDF1∴OB⊥DFnnkjn先求最小值，因为(xi)2x2i2xx1xi≥1kji1i1kjni1等号成立当且仅当存在i使得x＝1，x＝0，j＝iijn∴∴x最小值为1．再求最大值，令xkykiki1nky2k2kyy1①kjk1kjnyyya12n12nnyya设Mxkky，令2nkk1k1ynan则①֞a2a2a2112nn令an1＝0，则Mk(akak1)k1nnnnnkakkak1kakk1ak(kk1)akk1k1k1k1k1记所求最小值为f(m，n)，可义证明f(m，n)＝rn＋n－(m，n)(*)其中(m，n)表示m和n的最大公约数事实上，不妨没m≥n(1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rnn－(m，n)＋当用m＝1时，命题显然成立．m＝k＋1ABCD中切去正方形AADABCD有一种分法使得1111所得正方形边长之和恰为m—n＋n—(m－n，n)＝m－ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为