2022年全国高中数学联赛加试B卷参考答案

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2022年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．10一．（本题满分40分）,B,C,D四点在圆AC经过的圆心OBD上一点P满足APCBPCAP上两点X,Y满足,O,X,B四点共圆，,Y,O,D四点共圆．证明：BD2XY．BωPXYACOD证明：根据条件，可知OXAOBACABCDB，CADCBD，所以OXY∽CDB．………………10分设AP于点M，CKAP于点K（K在圆CLBD于点L．由O为AC的中点，得CK．由APCBPC，得CKCL．………………20分考虑到,CL是相似三角形OXY,CDB的对应边XY,上的高，从而XYCLCK1，BD2即有BD2XY．………………40分BωKPXMYACOLD1二．（本题满分40分）给定正实数a,b，ab．设x,x,,2022∈a,b]，12求xxxxx11223xxx12的最大值．解：首先证明：当x,y∈[a,b]时，有b−ax−y≤(x+y)．①a+b………………10分ax不妨设a≤x≤y≤b，则≤≤1，于是byxa11−+1−x−yy−xb−ayxba==≤=，x+yy+xb+a1+yb故①得证．于是………………20分x−x+x−x++x−+−11223b−a≤=((1+x)(x++x)++(2022+x)1)+223ab2b−a)(x+x++x12022)，a+b2故x−x+x−x++x−+−12(b−a)1223≤，x+x++xa+b12………………30分当x=x==x=a,x=x==x=b时，等号成立．13242b−a)因此，所求的最大值为．………………40分a+b三．（本题满分50设正整数a,b都恰有m(m1,2a,,a是aa,aa,aa,,aam是否可3m112231能恰好是b的所有正约数的一个排列？证明你的结论．解：答案是否定的．用反证法．假设题述情形发生，记Aa,a,a,,a}，Ba,aa,aa,,aam}．123m112231显然ii13(i,m，而1B，故11．又知2B，故b是奇数．………………10分所以aa为奇数，得a为偶数，又aA，故a是偶数．1222………………20分a易知A中最大的两个元素为a,．22aa3显然B中每个元素都不超过a．特别地，有ba．222………………30分a设aa,ai,j2（因为a有m(m11ij2ab是B中存在两个元素aa,ai1abij1j23的约数．这表明2|b，与b为奇数矛盾．因此题述情形不可能发生．………………50分四．（本题满分50分）圆周上依次有100个点P,P,,P（其中P与P相1215种颜色，要求P,P,,P中每个点染5种颜色之一，每种颜色至少12P,P,,P中总存在t个连续的点含有至12少3种颜色，求t的最小值．解法1：首先，让P,P,P,P分别染颜色4，其余点染颜色5．此25时P,P,,P中任意25个连续的点只含有两种颜色，不符合要求．从而t至少12为26．………………10分以下假设有一种染色方式，使得任意26个连续的点含有至多两种颜色．对P,P,,P5124不含全部5P,P,,P，且这100k个点不含k1k2颜色1．由极端性，可知P与P均染有颜色1．………………20分1k对i5，用x表示染有颜色i的点的最大下标，则xk．i1由对称性，可不妨设xxxx，则x100，且易知xk．234552对每个i5xx25．i1………………30分i事实上，假如xx24，考虑26个连续的点P,P1,,Pi1i1（下标ixxi1i1模100P染有颜色i1P染有颜色iPxi1xii1所染的颜色j异于i1和（当i4i1j5i551PP，1故j13种颜色，与假设矛盾．5从而有xxxx)1425100，这与xii15100矛盾．51i2以上表明，对任意符合要求的染色方式，P,P,,P中总存在26个连续的12点含有至少3种颜色．综上，所求t的最小值为26．………………50分解法2：首先，让P,P,P,P分别染颜色4，其余点染颜色5．此25时P,P,,P中任意25个连续的点只含有两种颜色，不符合要求．从而t至少12为26．以下证明t26符合要求．考虑任何一种染色方式，对i5n表示P,P,,P中染颜色i………………10分i12的点的个数，其中nnn100．1253考虑含有颜色1的弧段PPk(k,100)的数目1kkk1模100理解．若任意26个连续的点都含有颜色1，则1100．若存在26个连续的点不含颜色1，不妨设染为颜色1的所有1个点分别为P,P,,P(27iii100)，则,124,,11,,,,是iii12n1iii12n112n11n25个两两不同的弧段，从而sn25．111这表明sn25,100．………………20分11同理，对于i5，含有颜色i的弧段(k,100)的数目skisn25,100．ii5所以sssS，其中记Si25,100．125i1若ni中存在一个数不小于75，不妨设n7